A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

Transkript

1 A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Počítejte v radiánech, ne ve stupních! Rovnici lze upravit na sin = 2. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin a y = 2, vidíme, že kořen leží v intervalu 2,. 2 Půlení intervalů: a b s f(a) f(b) f(s) 2 2, ,5 2,75 + 2,5 2,75 + Kořen je v intervalu 2,5; 2,75. Newtonova metoda: k+ = k sin k k + 2 cos k Zvolíme-li např. 0 = 2,5: y 2 = 2,555 2 = 2,554 = 2,554 Kořen je přibližně 2,554. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 0 + 2y z = y 4z = y 8z = 5 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu ( 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 0 > 2 +, 20 > + 4, 8 > 2 +. Budeme dosazovat do iteračních vztahů k+ = (25 2y 0 k + z k ) y k+ = ( 0 20 k+ + 4z k ) z k+ = ( k+ y k+ ) Vyjde: k k y k z k ,5-0,875-2, ,44 -,840-2,655

2 Př.. Jsou uzly 0 = 2, = 0, 2 = 2, = ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproimuje funkci f() = 2 +. Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi 2 a je jiný než např. mezi a 2. Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: i f i -2 8 =,6 4 = 0,8 0 = 0, = 0,8 = 0, =,6 =, = 2,7 0 Interpolační polynom: P () =,6 + 0,8( + 2) + 0,02( + 2)( 2)

3 B 9 Př.. Je dána rovnice 2e + 4 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Rovnici lze upravit na e = Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = e a y = ( + 4)/2, vidíme, že kořen leží v intervalu 0,. y Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic Půlení intervalů: a b s f(a) f(b) f(s) 0 0,5 + 0,5 0, ,5 0,75 + Kořen je v intervalu 0,5; 0,75. Newtonova metoda: k+ = k 2e k + k 4 2e k + Zvolíme-li např. 0 = 0,5: = 0,547 2 = 0,546 = 0,546 Kořen je přibližně 0, y + 2z = y z = 6 5 2y 20z = 0 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu ( 0, y 0, z 0 ) = (2; 2; ) a proveďte 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 0 > + 2, 8 > 2 +, 20 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů k+ = (5 + y 0 k 2z k ) y k+ = ( k + z k ) z k+ = 20 (0 5 k + 2y k ) Vyjde: k k y k z k , -,625-0,8 2,725 -,25-0,5625

4 Př.. Jsou uzly 0 =, = 0, 2 =, = ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproimuje funkci f() = 2 0. Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi 2 a je jiný než např. mezi a 2. Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: i - 9 f i. = 0,. = 0, = 0, 4. = 0, = 0,. =, Interpolační polynom: P () = ( + ) ( + )( ) = 0,

5 C 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Počítejte v radiánech, ne ve stupních! Rovnici lze upravit na sin = + 2. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin a y = + 2, vidíme, že kořen leží v intervalu, 2. y Půlení intervalů: a b s f(a) f(b) f(s) 2,5 + +,5,25 + +,25 + Kořen je v intervalu ;,25. Newtonova metoda: k+ = k sin k + k 2 cos k + Zvolíme-li např. 0 = : =,0 2 =,06 =,06 Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 20 2y + z = y = 25 2y + 5z = 20 Kořen je přibližně,06. Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu ( 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 20 > 2 +, 0 > 4 + 0, 5 > + 2. Budeme dosazovat do iteračních vztahů k+ = (40 + 2y 20 k z k ) y k+ = 0 k+) z k+ = ( 20 5 k+ + 2y k+ ) Vyjde: k k y k z k ,7-5,08 2 2,084 -,6664-5,087

6 Př.. Jsou uzly 0 =, = 0, 2 =, = 4 ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproimuje funkci f() = Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi 2 a je jiný než např. mezi a 2. Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: i f i - = 0,2 = 0,2 0 = 0, = 0,2 = 0,2 5 5 = 0, =,2 5 Interpolační polynom: P () = 0,2 + 0,2( + ) + 0,04( + )( )

7 D 9 Př.. Je dána rovnice e 2 4 = 0. Najděte interval délky, v němž leží záporný kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Rovnici lze upravit na e = Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = e a y = 2 + 4, vidíme, že záporný kořen leží v intervalu 2,. 5 4 Půlení intervalů: a b s f(a) f(b) f(s) , ,5 -, ,75 + Kořen je v intervalu 2;,75. Newtonova metoda: y 2 k+ = k e k 2k 4 e k 2 Zvolíme-li např. 0 = 0,5: =,927 2 =,927 Kořen je přibližně -, Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 5 + y 2z = 5 20y + 4z = 40 2 y + 0z = 0 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu ( 0, y 0, z 0 ) = ( ; 2; ) a proveďte 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 5 > + 2, 20 > + 4, 0 > 2 +. Budeme dosazovat do iteračních vztahů k+ = 5 ( 5 y k + 2z k ) y k+ = 20 k 4z k ) z k+ = (0 2 0 k + y k ) Vyjde: k k y k z k ,4 -,85,4 2 -,27 -,5,095

8 Př.. Jsou uzly 0 = 2, = 0, 2 = 2, = ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproimuje funkci f() = 2 +. Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi 2 a je jiný než např. mezi a 2. Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: i f i -2 2 = 0, = 0, = 0, = 0, 0 0 Interpolační polynom: P () = 0,4 + 0,2( + 2) 0,02( + 2)( 2)

9 A 0 Př.. Je dána rovnice e = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Rovnici lze upravit na e = Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = e a y = 2 + 6, vidíme, že kořen leží v intervalu, 2. y Půlení intervalů: a b s f(a) f(b) f(s) 2,5 + +,5,25 +,25,5 + Kořen je v intervalu, 25;,5. Newtonova metoda: k+ = k e k + 2k 6 e k + 2 Zvolíme-li např. 0 =,25: =,252 2 =,252 Kořen je přibližně, Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 20 2y + z = y = 25 2y + 5z = 20 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu ( 0, y 0, z 0 ) = (2; 2; 4) a proveďte 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 20 > 2 +, 0 > 4 + 0, 5 > + 2. Budeme dosazovat do iteračních vztahů k+ = (40 + 2y 20 k z k ) y k+ = 0 k) z k+ = ( 20 5 k + 2y k ) Vyjde: k k y k z k ,7-5,2 2 2,09 -,7-5,08

10 Př.. Jsou uzly 0 =, = 0, 2 =, = ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproimuje funkci f() = 2 +. Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi 2 a je jiný než např. mezi a 2. Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: i f i - = 0, = 0, = 0,2 5 2 = 0, 0 0 Interpolační polynom: P () = 0,5 + 0,5( + ) 0,05( + )( )

11 B 0 Př.. Je dána rovnice sin = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Počítejte v radiánech, ne ve stupních! Rovnici lze upravit na sin = 2 4. Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin a y = 2 4, vidíme, že kořen leží v intervalu 2, Půlení intervalů: a b s f(a) f(b) f(s) 2 2, ,5 2, ,25 2,5 + Kořen je v intervalu 2, 25; 2,5. Newtonova metoda: k+ = k sin k 2 k + 4 cos k 2 Zvolíme-li např. 0 = 2,25: y 2 4 = 2,56 2 = 2,54 = 2,54 Kořen je přibližně 2,54. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 5 + y 2z = 5 20y + 4z = 40 2 y + 0z = 0 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu ( 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 5 > + 2, 20 > + 4, 0 > 2 +. Budeme dosazovat do iteračních vztahů k+ = 5 ( 5 y k + 2z k ) y k+ = 20 k+ 4z k ) z k+ = (0 2 0 k+ + y k+ ) Vyjde: k k y k z k ,45,55 2 -,68 -,5042,082

12 Př.. Jsou uzly 0 =, = 0, 2 =, = 4 ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproimuje funkci f() = Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi 2 a je jiný než např. mezi a 2. Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: i f i - = 0, = 0, = 0, Interpolační polynom: P () = 0,2 + 0,2( + ) 0,0( + )( )

13 C 0 Př.. Je dána rovnice 2e 4 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kladný kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Rovnici lze upravit na e = Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = e a y = ( + 4)/2, vidíme, že kořen leží v intervalu 0, (nebo 0,5;,5 ). 4 Půlení intervalů: a b s f(a) f(b) f(s) 0 0,5 + 0,5 0,75 + 0,75 + Kořen je v intervalu 0, 75;. Newtonova metoda: k+ = k 2e k k 4 2e k 2 y Zvolíme-li např. 0 = : = 0,902 2 = 0,895 = 0,895 Kořen je přibližně 0,895. Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic 0 + 2y z = y 4z = y 8z = 5 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu ( 0, y 0, z 0 ) = (2; ; 2) a proveďte 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 0 > 2 +, 20 > + 4, 8 > 2 +. Budeme dosazovat do iteračních vztahů k+ = (25 2y 0 k + z k ) y k+ = ( 0 20 k + 4z k ) z k+ = ( k y k ) Vyjde: k k y k z k ,5 -,2-2,5 2 2,49 -,75-2,65

14 Př.. Jsou uzly 0 = 2, = 0, 2 = 2, = ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproimuje funkci f() = 2 0. Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi 2 a je jiný než např. mezi a 2. Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: i -2 f i. = 0, = 0, 8 = 2,6667. = 0, = 0, = 0,8 6 Interpolační polynom: P () = ( + 2) ( + 2)( 2) 6 6. = 0,667

15 D 0 Př.. Je dána rovnice sin = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00 Newtonovou metodou (podmínky konvergence ověřovat nemusíte). Počítejte v radiánech, ne ve stupních! Rovnici lze upravit na sin = Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin a y = 2 + 4, vidíme, že kořen leží v intervalu, 2. y Půlení intervalů: a b s f(a) f(b) f(s) 2,5 +,5 2,75 + +,5,75 + Kořen je v intervalu, 5;,75. Newtonova metoda: k+ = k sin k + 2 k 4 cos k + 2 Zvolíme-li např. 0 =,5: =,50 2 =,50 Kořen je přibližně,50. Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic 0 y + 2z = y z = 6 5 2y 20z = 0 Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody rozepište! Vyjděte z bodu ( 0, y 0, z 0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky. Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní: 0 > + 2, 8 > 2 +, 20 > Budeme dosazovat do iteračních vztahů k+ = (5 + y 0 k 2z k ) y k+ = ( k+ + z k ) z k+ = 20 (0 5 k+ + 2y k+ ) Vyjde: k k y k z k ,5 -,25-0,525 2,265 -,2478-0,5590

16 Př.. Jsou uzly 0 =, = 0, 2 =, = ekvidistantní? Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproimuje funkci f() = 2 +. Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi 2 a je jiný než např. mezi a 2. Musíme proto použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu. Tabulka poměrných diferencí: i f i - = 0,5 = 0,5 0 = 0, = 0,5 = 0,2 2 5 = 0,5 =, = 2,7 0 Interpolační polynom: P () = 0,5 + 0,5( + ) + 0,05( + )( )