Integrace funkcí více proměnných, numerické metody
|
|
- Rudolf Hruška
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matematika III 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky
2 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více proměnných Násobné integrály Záměna souřadnic při integraci Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice 3 Numerické metody Interpolace vs. aproximace Numerické derivování Numerická kvadratura (integrování)
3 Plán přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více proměnných Násobné integrály Záměna souřadnic při integraci Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice 3 Numerické metody Interpolace vs. aproximace Numerické derivování Numerická kvadratura (integrování)
4 Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text.
5 Doporučené zdroje Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. Předmětové záložky v IS MU Boris Pavlovič Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, Emil Vitásek, Numerické metody, SNTL, 1987.
6 Plán přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více proměnných Násobné integrály Záměna souřadnic při integraci Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice 3 Numerické metody Interpolace vs. aproximace Numerické derivování Numerická kvadratura (integrování)
7 Násobné integrály Riemannovsky integrovatelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y [ϕ(x), ψ(x)], poté rozsah další souřadnice z [η(x, y), ζ(x, y)] atd. (Zejména tedy i případy, kdy jsou funkce ϕ, ψ, η, ζ konstantní.)
8 Násobné integrály Riemannovsky integrovatelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y [ϕ(x), ψ(x)], poté rozsah další souřadnice z [η(x, y), ζ(x, y)] atd. (Zejména tedy i případy, kdy jsou funkce ϕ, ψ, η, ζ konstantní.) Věta V případě množiny S zadané jako výše a Riemannovsky integrovatelné funkce f na S je Riemannův integrál vyčíslen formuĺı f (x, y,..., z)dx... dz = S ( b ( ψ(x) ) ) ζ(x,y,... )... f (x, y,..., z)dz... dy dx a ϕ(x) η(x,y,... )
9 Přímým důsledkem pro konstatní funkce je: Věta Pro vícerozměrný interval S = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ] a spojitou funkci f (x 1,..., x n ) na S je násobný integrál f (x 1,..., x n ) dx 1... dx n = S b1 ( b2 ( bn ) ) =... f (x 1,..., x n ) dx 1... dx n a 2 a n a 1 nezávislý na pořadí, ve kterém postupně integraci provádíme.
10 Příklad (nezávislé meze integrace) Vypočtěte dvojný integrál I = 3(x 1) 2 + (y 2) dxdy. [0,1] [0,3]
11 Příklad (nezávislé meze integrace) Vypočtěte dvojný integrál I = 3(x 1) 2 + (y 2) dxdy. [0,1] [0,3] Řešení S využitím předchozí věty dostáváme 3 ( 1 ) I = 3(x 1) 2 + (y 2) dx dy = = = [ (x 1) 3 + x(y 2) 2 + 2x ] 1 x=0 dy (y 2) dy = [ 1 3 (y 2)3 + 3y] 3 0 = 12 Stejný výsledek dostaneme i při integraci v opačném pořadí.
12 Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál I = S xy 2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E 2 ohraničená grafy funkcí y = x a y = x 2.
13 Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál I = S xy 2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E 2 ohraničená grafy funkcí y = x a y = x 2. Řešení Snadno je vidět, že grafy se protínají v bodech [0, 0] a [1, 1], přičemž pro x [0, 1] je x 2 x.
14 Příklad (závislé meze integrace) Vypočtěte integrál I = S xy 2 dxdy, kde S je plocha v 1. kvadrantu E 2 ohraničená grafy funkcí y = x a y = x 2. Řešení Snadno je vidět, že grafy se protínají v bodech [0, 0] a [1, 1], přičemž pro x [0, 1] je x 2 x. Proto je I = = ( x ) xy 2 dy dx = 1 x (x 4 x 7 ) dx = [ x 5 5 x 8 8 [ xy 3 ] x dx = y=x 2 ] 1 0 = 1 40.
15 Záměna souřadnic při integraci Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou:
16 Záměna souřadnic při integraci Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Připomeňme nejdříve, jak je to s transformacemi pro jednu proměnnou: Integrovaný výraz f (x)dx vyjadřuje plochu obdélníčku určeného (linearizovaným) přírůstkem proměnné x a hodnotou f (x). Pokud proměnnou transformujeme vztahem x = u(t), vyjadřuje se i linearizovaný přírůstek jako dx = du dt dt a proto i příslušný příspěvek pro integrál je vyjádřen jako f (u(t)) du dt dt, přičemž bud předpokládáme, že znaménko derivace u (t) je kladné, nebo dojde k obrácení mezí integrálu, takže ve výsledku se znaménko neprojeví.
17 Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů ( substitution#substitution_for_multiple_variables).
18 Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů ( substitution#substitution_for_multiple_variables). Věta Necht G(t 1,..., t n ) : E n E n, [x 1,..., x n ] = G(t 1,..., t n ), je spojitě diferencovatelné zobrazení, T a S = G(T ) jsou Riemannovsky měřitelné množiny a f : S R spojitá funkce. Potom platí f (x 1,..., x n )dx 1... x n = S f (G(t 1,..., t n )) det(d 1 G(t 1,..., t n )) dt 1... dt n. T
19 Abychom si přibĺıžili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s, t) = (g(s, t), h(s, t)). Dostáváme f (x, y)dxdy = G(T ) T f (g(s, t), h(s, t)) g s h t g t h s dsdt.
20 Abychom si přibĺıžili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s, t) = (g(s, t), h(s, t)). Dostáváme f (x, y)dxdy = G(T ) T f (g(s, t), h(s, t)) g s h t g t Konkrétně: spočtěme integrál z charakteristické funkce kruhu o poloměru R (tj. jeho obsah) definovaného v polárních souřadnicích. h s dsdt.
21 Abychom si přibĺıžili obsah tvrzení poslední věty, uvedeme jeho speciální případ pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s, t) = (g(s, t), h(s, t)). Dostáváme f (x, y)dxdy = G(T ) T f (g(s, t), h(s, t)) g s h t g t h s dsdt. Konkrétně: spočtěme integrál z charakteristické funkce kruhu o poloměru R (tj. jeho obsah) definovaného v polárních souřadnicích. Nejprve spočítáme Jacobiho matici transformace x = r cos ϕ, y = r sin ϕ ( ) D 1 cos ϕ r sin ϕ G =. sin ϕ r cos ϕ Proto je determinant z této matice roven det D 1 G(r, ϕ) = r(sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) = r.
22 Můžeme tedy přímo počítat pro kružnici S o poloměru R, která je obrazem obdélníku (r, ϕ) [0, R] [0, 2π] = T : S dxdy = 2π R 0 0 r dr dϕ = R 0 2πr dr = πr 2.
23 Příklad (využití polárních souřadnic) Zjednodušte dvojný integrál I = f ( x 2 + y 2 ) dxdy x 2 +y 2 1 na jednoduchý přechodem k polárním souřadnicím.
24 Příklad (využití polárních souřadnic) Zjednodušte dvojný integrál I = f ( x 2 + y 2 ) dxdy x 2 +y 2 1 na jednoduchý přechodem k polárním souřadnicím. Řešení Z předchozího víme, že při transformaci x = r cos ϕ, y = r sin ϕ je determinant Jacobiho matice roven r. Proto 2π ( 1 ) I = f (r) r dr dϕ = = f (r) r ( 2π 0 ) dϕ dr = 2π 1 0 f (r) r dr.
25 Časté transformace souřadnic v E 3 Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, ϕ, z]; r 0, ϕ [0, 2π), z R} E 3 je dáno předpisem x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z,
26 Časté transformace souřadnic v E 3 Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, ϕ, z]; r 0, ϕ [0, 2π), z R} E 3 je dáno předpisem x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z,
27 Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, ϕ, z]; r 0, ϕ [0, 2π), z R} E 3 je dáno předpisem x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, (r = x 2 + y 2, tg ϕ = y x, z = z ),
28 Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, ϕ, z]; r 0, ϕ [0, 2π), z R} E 3 je dáno předpisem x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, (r = x 2 + y 2, tg ϕ = y x, z = z ), a tedy cos ϕ r sin ϕ 0 D 1 G = sin ϕ r cos ϕ
29 Válcové souřadnice Zobrazení G : {[r, ϕ, z]; r 0, ϕ [0, 2π), z R} E 3 je dáno předpisem x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, (r = x 2 + y 2, tg ϕ = y x, z = z ), a tedy Proto je det D 1 G = r. cos ϕ r sin ϕ 0 D 1 G = sin ϕ r cos ϕ
30 Časté transformace souřadnic v E 3 Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, θ, ϕ]; r 0, θ [0, π], ϕ [0, 2π)} E 3 je dáno předpisem x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ,
31 Časté transformace souřadnic v E 3 Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, θ, ϕ]; r 0, θ [0, π], ϕ [0, 2π)} E 3 je dáno předpisem x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ,
32 Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, θ, ϕ]; r 0, θ [0, π], ϕ [0, 2π)} E 3 je dáno předpisem x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, ( r = ) x 2 + y 2 + z 2, tg ϕ = y x, cos θ = z, x 2 + y 2 + z 2 a tedy sin θ cos ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ sin ϕ D 1 G = sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ. cos θ r sin θ 0
33 Sférické souřadnice Zobrazení G : {[r, θ, ϕ]; r 0, θ [0, π], ϕ [0, 2π)} E 3 je dáno předpisem a tedy x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, ( r = ) x 2 + y 2 + z 2, tg ϕ = y x, cos θ = z, x 2 + y 2 + z 2 Proto je sin θ cos ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ sin ϕ D 1 G = sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ. cos θ r sin θ 0 det D 1 G = r 2 sin 3 θ sin 2 ϕ + r 2 cos 2 θ sin θ cos 2 ϕ+ + r 2 cos 2 θ sin θ sin 2 ϕ + r 2 sin 3 θ cos 2 ϕ = = r 2 sin 3 θ + r 2 cos 2 θ sin θ = r 2 sin θ.
34 Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R.
35 Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R. Řešení Koule B(R) o poloměru R je dána ve sférických souřadnicích (r, θ, ϕ) jednoduchou podmínkou r R. Je tedy obrazem intervalu U = [0, R] [0, π] [0, 2π), přičemž víme, že objemový element (tj. determinant jakobiánu transformačního zobrazení) je roven r 2 sin θ. Proto je objem koule roven
36 Příklad Vypočtěte objem koule o poloměru R. Řešení Koule B(R) o poloměru R je dána ve sférických souřadnicích (r, θ, ϕ) jednoduchou podmínkou r R. Je tedy obrazem intervalu U = [0, R] [0, π] [0, 2π), přičemž víme, že objemový element (tj. determinant jakobiánu transformačního zobrazení) je roven r 2 sin θ. Proto je objem koule roven 1 dx dy dz = r 2 sin θ dr dθ dϕ = B = U R 0 r 2 dr π 0 2π sin θdθ dϕ = R3 π.
37 Příklad Vypočtěte integrál I = V x 2 + y 2 + z 2 dx dy dz, kde množina V je vymezena plochou x 2 + y 2 + z 2 = z.
38 Příklad Vypočtěte integrál I = V x 2 + y 2 + z 2 dx dy dz, kde množina V je vymezena plochou x 2 + y 2 + z 2 = z. Řešení Transformací do sférických souřadnic dostáváme (grafem plochy je koule se středem v [0, 0, 1/2] a poloměrem 1/2) promyslete meze! I = 2π π/2 cos θ 0 0 =... = π r r 2 sin θ dr dθ dϕ =
39 Určování mezí integrace Častým obtížným úkolem je při integraci v E 3 určování integračních mezí. V tom nám může pomoci: prostorová představivost
40 Určování mezí integrace Častým obtížným úkolem je při integraci v E 3 určování integračních mezí. V tom nám může pomoci: prostorová představivost u symetrických objektů omezení pouze na výpočet v části objektu
41 Určování mezí integrace Častým obtížným úkolem je při integraci v E 3 určování integračních mezí. V tom nám může pomoci: prostorová představivost u symetrických objektů omezení pouze na výpočet v části objektu zakreslení řezu objektu vhodnými rovinami (často x = 0, y = 0 nebo z = 0, případně využití SW pro vykreslení prostorového grafu.
42 Využití ve fyzice Hmotnost tělesa Těleso o objemu V a hustotě v bodě [x, y, z] dané funkcí ρ(x, y, z) má hmotnost danou vztahem M = ρ dxdydz. V
43 Využití ve fyzice Hmotnost tělesa Těleso o objemu V a hustotě v bodě [x, y, z] dané funkcí ρ(x, y, z) má hmotnost danou vztahem M = ρ dxdydz. V Těžiště tělesa Těleso o objemu V a hustotě v bodě [x, y, z] dané funkcí ρ(x, y, z) má souřadnice těžiště [x 0, y 0, z 0 ] dané vztahy x 0 = 1 xρ dxdydz, y 0 = 1 yρ dxdydz, z 0 = 1 zρ dxdydz. M M M V V V
44 Využití ve fyzice pokr. Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose l je I l = ρr 2 dx dy dz, kde r je funkce závislosti bodu [x, y, z] od osy l. V
45 Využití ve fyzice pokr. Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose l je I l = ρr 2 dx dy dz, kde r je funkce závislosti bodu [x, y, z] od osy l. Příklad V Určete souřadnice těžiště kruhové destičky x 2 + y 2 a, je-li její hustota v bodě [x, y] přímo úměrná vzdálenosti od bodu [a, 0]. [ xt = a 5, y T = 0 ]
46 Využití ve fyzice pokr. Moment setrvačnosti Momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose l je I l = ρr 2 dx dy dz, kde r je funkce závislosti bodu [x, y, z] od osy l. Příklad V Určete souřadnice těžiště kruhové destičky x 2 + y 2 a, je-li její hustota v bodě [x, y] přímo úměrná vzdálenosti od bodu [a, 0]. [ xt = a 5, y T = 0 ] Příklad Vypočtěte moment setrvačnosti homogenního válce x 2 + y 2 a 2 o hustotě ρ 0 vzhledem k ose tvořené přímkou x = y [ = z. M ( 3 a h2)]
47 Plán přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více proměnných Násobné integrály Záměna souřadnic při integraci Některá využití integrálů více proměnných ve fyzice 3 Numerické metody Interpolace vs. aproximace Numerické derivování Numerická kvadratura (integrování)
48 Interpolace a aproximace opakování Interpolace stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech x 0,..., x n. Formule musí v těchto bodech dodržet danou funkční hodnotu (např. interpolační polynom stupně n). Mimo interval extrapolace.
49 Interpolace a aproximace opakování Interpolace stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech x 0,..., x n. Formule musí v těchto bodech dodržet danou funkční hodnotu (např. interpolační polynom stupně n). Mimo interval extrapolace. Aproximace stanovení formule pro funkci, kterou máme zadánu v bodech x 0,..., x n. Formule má obvykle méně stupňů volnosti než n, proto danou funkční hodnotu obvykle nejde dodržet. Snažíme se najít nejlepší možnou aproximaci podle předem daného kritéria (např. metoda nejmenších čtverců).
50 Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom kde f (x) = y 0 l 0 (x) + y 1 l 1 (x) + + y n l n (x), l i (x) = j i (x x j) j i (x i x j ).
51 Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom kde f (x) = y 0 l 0 (x) + y 1 l 1 (x) + + y n l n (x), l i (x) = j i (x x j) j i (x i x j ). Hermiteův interpolační polynom kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace.
52 Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom kde f (x) = y 0 l 0 (x) + y 1 l 1 (x) + + y n l n (x), l i (x) = j i (x x j) j i (x i x j ). Hermiteův interpolační polynom kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace. Interpolace (kubickými) splajny intepolace po částech kubickými polynomy, přičemž v uzlových bodech požadujeme rovnost 1. a 2. derivací sousedních polynomů.
53 Polynomiální interpolace Lagrangeův interpolační polynom kde f (x) = y 0 l 0 (x) + y 1 l 1 (x) + + y n l n (x), l i (x) = j i (x x j) j i (x i x j ). Hermiteův interpolační polynom kromě funkčních hodnot známe v daných bodech i hodnotu derivace. Interpolace (kubickými) splajny intepolace po částech kubickými polynomy, přičemž v uzlových bodech požadujeme rovnost 1. a 2. derivací sousedních polynomů. Trigonometrická interpolace interpolační polynom Q n (x) = A n (A j cos jx + B j sin jx), j=1 jehož koeficienty obvykle počítáme pomocí rychlé Fourierovy
54 Aproximace metodou nejmenších čtverců Slouží k rekonstrukci funkce f z hodnot f 0,..., f n naměřených v uzlových bodech a 0,..., a n. Tuto rekonstrukci hledáme vzhledem k danému modelu dané posloupnosti funkcí (obecně více proměnných) g 0 (x),..., g m (x),... ve tvaru y m (x) = m c j g j (x). j=0 Cílem je při tom minimalizovat součet čtverců n ( fi y m (a i ) ) 2. i=0
55 Aproximace metodou nejmenších čtverců Aplikace lineární (multilineární) regrese ve statistice
56 Aproximace metodou nejmenších čtverců Aplikace lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: g j (x) obecný polynom stupně j
57 Aproximace metodou nejmenších čtverců Aplikace lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: g j (x) obecný polynom stupně j g j (x) ortogonální polynomy na dané množině bodů
58 Aproximace metodou nejmenších čtverců Aplikace lineární (multilineární) regrese ve statistice Typy modelů: g j (x) obecný polynom stupně j g j (x) ortogonální polynomy na dané množině bodů g j (x) trigonometrický polynom
59 Aproximace metodou nejmenších čtverců
60 Ukažme si použití této metody v nejjednodušším případě, kdy máme dáno n bodů ([x 1, y 1 ],..., [x n, y n ]) a hledáme přímku, která nejlépe vystihuje rozložení těchto bodů.
61 Ukažme si použití této metody v nejjednodušším případě, kdy máme dáno n bodů ([x 1, y 1 ],..., [x n, y n ]) a hledáme přímku, která nejlépe vystihuje rozložení těchto bodů. Hledáme tedy funkci tvaru f (x) = a x + b s neznámými a, b R tak, aby hodnota n (f (x i ) y i ) 2 byla minimální. i=1
62 Ukažme si použití této metody v nejjednodušším případě, kdy máme dáno n bodů ([x 1, y 1 ],..., [x n, y n ]) a hledáme přímku, která nejlépe vystihuje rozložení těchto bodů. Hledáme tedy funkci tvaru f (x) = a x + b s neznámými a, b R tak, aby hodnota n (f (x i ) y i ) 2 i=1 byla minimální. S využitím diferenciálního počtu lze snadno odvodit následující tvrzení. Věta Mezi přímkami tvaru f (x) = a x + b má nejmenší součet čtverců vzdáleností funkčních hodnot v bodech x 1,..., x n od hodnot y i funkce splňující a x 2 i + b x i = x i y i a x i + b n = y i
63 Metoda nejmenších čtverců Příklad Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající x naměřeným datům: y
64 Metoda nejmenších čtverců Příklad Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající x naměřeným datům: y Řešení Data je vhodné seřadit v tabulce podle schématu: x y xy x
65 Metoda nejmenších čtverců Příklad Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající x naměřeným datům: y Řešení Data je vhodné seřadit v tabulce podle schématu: Odtud a = 0,5, b = 0,8. x y xy x
66 Numerické derivování Uvedeno pouze pro úplnost, metody velmi jednoduché, založené na definici derivace. Často dávají velmi nepřesný výsledek. Uvedeme zde pouze pro případ funkcí jedné proměnné, ve více proměnných počítáme parciální derivace analogicky.
67 Numerické derivování Uvedeno pouze pro úplnost, metody velmi jednoduché, založené na definici derivace. Často dávají velmi nepřesný výsledek. Uvedeme zde pouze pro případ funkcí jedné proměnné, ve více proměnných počítáme parciální derivace analogicky. Pro výpočet odhadu k-té derivace funkce v daném bodě, známe-li hodnoty této funkce v několika bodech, lze využít interpolaci této funkce, např. Lagrangeův interpolační polynom.
68 Numerické derivování V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce pro odhad derivace:
69 Numerické derivování V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce pro odhad derivace: f (x) 1 (f (x + h) f (x)), h
70 Numerické derivování V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce pro odhad derivace: f (x) 1 (f (x + h) f (x)), h f (x) 1 (f (x + h) f (x h)), 2h
71 Numerické derivování V praxi se často používají jednoduché několikabodové vzorce pro odhad derivace: f (x) 1 (f (x + h) f (x)), h f (x) 1 (f (x + h) f (x h)), 2h nebo pětibodový vzorec f (x) 1 ( f (x + 2h) + 8f (x + h) 8f (x h) + f (x 2h)). 12h
72 Numerická integrace (kvadratura) Numerická integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření)
73 Numerická integrace (kvadratura) Numerická integrace nachází uplatnění zejména v následujících případech: integrovanou funkci neznáme přímo, známe jen její hodnoty v některých bodech (např. z měření) integrovaná funkce je známá, ale její primitivní funkci (antiderivaci) je obtížné (či dokonce nemožné) vyjádřit jakožto elementární funkci.
74 Numerická kvadratura Přímo z definice Riemannova integrálu snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem pod plochou apod. Podobně jako u derivování i zde můžeme využít interpolační polynomy.
75 Numerická kvadratura Přímo z definice Riemannova integrálu snaha odhadnout plochu pod křivkou, objem pod plochou apod. Podobně jako u derivování i zde můžeme využít interpolační polynomy. Newton-Cotesovy vzorce Interval [a, b], nad kterým integrujeme, rozděĺıme na n stejných částí (délky h) tak, že v krajních bodech těchto částí známe hodnotu integrované funkce. Podle toho, jestli uvažujeme i hodnoty v krajních bodech a a b intervalu, rozlišujeme Newton-Cotesovy formule na uzavřené a otevřené. Pak b n f (x) dx w i f (x i ), w i jsou váhy (uzavřený tvar). a i=0
76 Váhy snadno odvodíme např. pomocí Lagrangeovy interpolace. b a f (x) dx = b a b n a i=0 L(x) dx = f (x i )l i (x) dx = n i=0 b f (x i ) l i (x) dx. a } {{ } w i
77 obdélníkové pravidlo (otevřená Newton-Cotesova formule) interpolace konstatní funkcí b a ( ) a + b f (x) dx (b a)f. 2
78 lichoběžníkové pravidlo (uzavřená Newton-Cotesova formule) interpolace lineární funkcí b a f (x) dx (b a) f (a) + f (b). 2
79 Simpsonovo pravidlo (uzavřená Newton-Cotesova formule) interpolace kvadratickou funkcí b a f (x) dx b a 6 [ f (a) + 4f ( a + b 2 ) ] + f (b).
80 Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte I = π/2 0 sin x dx.
81 Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte Řešení I = π/2 0 sin x dx. lichoběžníkové pravidlo: I π
82 Příklad Pomocí lichoběžníkového, resp. Simpsonova pravidla vypočtěte Řešení I = π/2 0 sin x dx. lichoběžníkové pravidlo: I π ( Simpsonovo pravidlo: I π )
83 Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů.
84 Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle
85 Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle zjistíme, zda leží uvnitř tělesa
86 Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle zjistíme, zda leží uvnitř tělesa opakujeme
87 Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle zjistíme, zda leží uvnitř tělesa opakujeme
88 Metody Monte Carlo Obvykle používané u vícerozměrných integrálů, kde je často výrazně přesnější a efektivnější než násobné použití metod na numerickou integraci jednorozměrných integrálů. Princip výpočet objemu tělesa V uvnitř jednotkové krychle: vygenerujeme náhodný bod uvnitř jednotkové krychle zjistíme, zda leží uvnitř tělesa opakujeme Podíl objemu tělesa a krychle je pak aproximován relativní četností jevu, že náhodný bod leží uvnitř tělesa.
89 Metody Monte Carlo Integrál b a f (x) dx tak aproximujeme pomocí výběru náhodných n bodů x i z intervalu [a, b], ve kterých určíme funkční hodnoty. Pak
90 Metody Monte Carlo Integrál b a f (x) dx tak aproximujeme pomocí výběru náhodných n bodů x i z intervalu [a, b], ve kterých určíme funkční hodnoty. Pak b f (x) dx b a n f (x i ). n a i=1
Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných
Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 10. 2007 Obsah přednášky 1 Lineární programování 2 Integrály
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
Více10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
Více12 Trojný integrál - Transformace integrálů
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
Více7. Integrál přes n-rozměrný interval
7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
Víceˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE
PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná
VícePŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných
Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
VíceNumerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VíceMATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,
MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
Více2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
Více, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceNumerická matematika Písemky
Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VíceMatematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
VíceMatematika III - 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných
S Integrálni počet vice proměnných oooooooooooooooooooooo Matematika III - 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16.
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceAproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceVeronika Chrastinová, Oto Přibyl
Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceMatematika (a fyzika) schovaná za GPS. Global Positioning system. Michal Bulant. Brno, 2011
Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Michal Bulant Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Brno, 2011 Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Brno,
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
Více[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceMichal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
VíceNumerické integrace některých nediferencovatelných funkcí
Numerické integrace některých nediferencovatelných funkcí Ústav matematiky a biomatematiky Přírodovědecká fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích 2. prosince 2014 Školitel: doc. Dr. rer. nat.
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
VíceMomenty setrvačnosti a deviační momenty
Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceDrsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VícePlošný integrál funkce
Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho
VíceAproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy
Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceZáklady vyšší matematiky arboristika Zadání písemek ze školního roku
Základy vyšší matematiky arboristika Zadání písemek ze školního roku 20 202 Robert ařík 9. ledna 203 Níže najdete zadání písemek předmětu ZVTA. Za některými písemkami je vloženo i řešení. Písemná část
VíceIntegrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
VíceZkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceZkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.
Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, 6.2.204 60 minut 2 3 4 5 6 Jméno:................................... Součet Koeficient Body. [2 bodů] V následující tabulce do každého z šesti
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceTypy příkladů na písemnou část zkoušky 2NU a vzorová řešení (doc. Martišek 2017)
Typy příkladů na písemnou část zkoušky NU a vzorová řešení (doc. Martišek 07). Vhodnou iterační metodou (tj. metodou se zaručenou konvergencí) řešte soustavu: x +x +4x 3 = 3.5 x 3x +x 3 =.5 x +x +x 3 =.5
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
Víceje omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0
Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
Vícemá spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,
4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceŘešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,
Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceŘešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.
E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Více