K výsečovým souřadnicím

Transkript

1 3. cvičení K výsečovým souřadnicím Jak již bylo řečeno, výsečové souřadnice přiřazujeme bodům na střednici otevřeného průřezu, jejich soustava je dána pólem B a výsečovým počátkem M 0. Velikost výsečové souřadnice v bodě M je definována výrazem M ω = r ds, M0 kde r...absolutní vzdálenost pólu B od tečny ke střednici, ds...diferenciál délky střednice měřené od bodu M 0. Geometrický význam lze chápat jako dvojnásobek orientované plochy výseče omezené úsekem střednice M 0 M a dvojicí průvodičů BM 0 a BM (viz obr.), přičemž kladný smysl je takový, když výsečovou souřadnici čteme od počátečního průvodiče BM 0 proti smyslu chodu hodinových ručiček. Obr. Výsečová souřadnice Úlohu lze snadno diskretizovat pro průřez složený z přímých stěn, a to užitím výrazu ω = r i si, kde s i...délka střednice i-tého přímého úseku, r i...rameno konstantní pro všechny body střednice příslušného úseku. Je třeba si uvědomit, že pro součiny r i s i platí přijatá znaménková konvence, kterou dále rozebereme. 1

2 Dva jednoduché případy čtení výsečových souřadnic A) Máme část průřezu složenou ze přímých úseků (viz obr.), hledáme výsečovou souřadnici v bodě M podle vztahu ω = r i s i = ± r1 s1 ± r s. Obr. Čtení se shodným znaménkem Počátek čtení je v bodě M 0 v něm je výsečová souřadnice nulová. Nejprve čteme na úseku č. 1 na jeho konci (v bodě M 1 ) je výsečová souřadnice dána součinem r 1 s 1. Otočení počátečního průvodiče BM 0 do přechodového průvodiče BM 1 jde proti smyslu chodu hodinových ručiček, součin r 1 s 1 má tedy kladné znaménko. Pokračujeme čtením na úseku č. na jeho konci (v bodě M ) přičítáme součin r s k výsečové souřadnici bodu M 1. Otočení přechodového průvodiče BM 1 do koncového průvodiče BM jde proti smyslu chodu hodinových ručiček, součin r s má tedy opět kladné znaménko. V daném případě ω = r i s i = + r1 s1 + r s. Hodnoty výsečových souřadnic vynášíme podél střednice průřezu, viz obr. Lze snadno ověřit, že na přímých úsecích je jejich průběh lineární.

3 B) Máme jiný případ části průřezu složené rovněž ze přímých úseků (viz obr.), hledáme opět výsečovou souřadnici v bodě M podle vztahu ω = r i s i = ± r1 s1 ± r s. Obr. Čtení s měnícím se znaménkem Počátek čtení je nadále v bodě M 0. Čtení opět zahájíme na úseku č. 1 na jeho konci (v bodě M 1 ) je výsečová souřadnice dána součinem r 1 s 1. Otočení počátečního průvodiče BM 0 do přechodového průvodiče BM 1 jde proti smyslu chodu hodinových ručiček, součin r 1 s 1 má tedy (obdobně jako v předchozím případě) kladné znaménko. Pokračujeme opět čtením na úseku č. na jeho konci (v bodě M ) přičítáme součin r s k výsečové souřadnici bodu M 1. Otočení přechodového průvodiče BM 1 do koncového průvodiče BM jde tentokrát po smyslu chodu hodinových ručiček, součin r s má potom záporné znaménko. V daném případě ω = r i s i = + r1 s1 r s. Hodnoty výsečových souřadnic opět vyneseme podél střednice průřezu, viz obr. Příklad Zadání. Určete výsečové souřadnice nesymetrického průřezu vztažené k definovanému pólu a výsečovému počátku podle obr. 3

4 Řešení Průřez rozložíme na dílčí přímé úseky, jež dále očíslujeme; délky střednic s i, jakož i jejich ramena r i stanovíme podle kót v obr. Čtení výsečových souřadnic začíná ve výsečovém počátku M 0 v něm ω = 0. 4

5 Nejprve vyšetříme úseky č. 1 a. Čtení po obou úsecích provádíme po smyslu chodu hodinových ručiček, tedy v záporném smyslu přijaté konvence. Na konci úseku č. 1 ω = r 1 s 1 = = 5000 mm, na konci úseku č. ω = 5000 r s = = 7000 mm. Dále vyšetříme úseky č. 3 a 4. Po úseku č. 3 čteme proti smyslu chodu hodinových ručiček (tedy v kladném smyslu), po úseku č. 4 je smysl čtení opačný, tj. čteme po smyslu chodu hodinových ručiček (tedy v záporném smyslu). Na konci úseku č. 3 ω = + r 3 s 3 = = mm, na konci úseku č. 4 ω = r 4 s 4 = = mm. Nakonec vyšetříme úseky č. 5 a 6. Zřejmě vzdálenost pólu B od střednice úseku č. 5 je nulová, tedy ω = r 5 s 5 = = 0. Rovněž vzdálenost pólu B od střednice úseku č. 6 je nulová, takže i na jeho konci ω = 0 + r 6 s 6 = = 0. Hodnoty výsečových souřadnic vyneseme podél střednice průřezu, viz obr. 5

6 K výsečovým veličinám Příklad Zadání. Stanovte výsečové charakteristiky průřezu tvaru U z minulého cvičení. Z předchozího výpočtu přebíráme hodnoty průřezových veličin A =, mm, 7 mm 4 I =1,60 10, y 6 mm 4 I z =, Rovněž zachováme číslování dílčích částí, tj. č. 1 horní vodorovná stěna, č. svislá stěna, č. 3 dolní vodorovná stěna. Řešení Úlohu rozdělíme do několika po sobě jdoucích kroků 1) určíme polohu středu smyku C s, ) ověříme polohu hlavního nulového bodu M 0, 3) stanovíme výsečový moment setrvačnosti I ω. 1) Polohu středu smyku C s určíme pomocí výsečového deviačního momentu zavedeme tudíž pomocné výsečové souřadnice. Pól B 1 volíme na konci stěny č. 3, výsečový počátek M 0,1 volíme na počátku stěny č. 1, viz obr. 6

7 Hodnoty výsečových souřadnic stanovíme jednak v koncových bodech střednic dílčích částí: v počátku stěny č. 1 (tj. ve výsečovém počátku) ω = 0, na konci stěny č. 1 ω = + r1 s1 = = mm, na konci stěny č. ω = r s = = mm, na konci stěny č. 3 ω = r3 s3 = = mm, a dále ve středových bodech dílčích částí: uprostřed stěny č ω = = mm, uprostřed stěny č ω = = mm, uprostřed stěny č. 3 ω = mm. 7

8 Vzhledem k symetrii úlohy zřejmě střed smyku leží na ose symetrie, takže hledáme jen jeho vodorovnou souřadnici Dω 1y ys = yb +, 1 I y kde y = 75 mm... y-ová souřadnice pólu B 1, B 1 7 mm 4 I y =1, moment setrvačnosti k ose y, Dω 1 y... výsečový deviační moment k ose y a k pólu B 1. Výsečový deviační moment stanovíme pomocí diskrétního vztahu ( ωb, i ωa, i )( zb, i za, i ) D ω y = Ai + ωc, i z 1 c, i, 1 kde A i... plocha i-té stěny, ω c,i, z c,i... výsečová a z-ová souřadnice středu i-té stěny, ω a,i, z a,i... výsečová a z-ová souřadnice (zvoleného) počátku střednice i-té stěny, ω b,i, z b,i... výsečová a z-ová souřadnice (zbývajícího) konce střednice i-té stěny. Tedy ( )( ) D ω = ( 100) + 1y 1 ( )( ) ( )( ) = +, mm 1. 8

9 Souřadnice středu smyku 9,0 10 y s = 75 + = + 6,5 mm. 7 1,60 10 Poznámka Kladná hodnota značí vzdálenost od osy z vynášenou po smyslu osy y. ) Hlavní nulový bod zřejmě také leží na ose symetrie protože se jedná o bod na střednici průřezu, jeho poloha je dána průsečíkem střednice s osou symetrie. Polohu hlavního nulového bodu ověříme, a to pomocí výsečového statického momentu zavedeme tudíž hlavní výsečové souřadnice, viz obr. Hodnoty hlavních výsečových souřadnic stanovíme jednak v koncových bodech střednic dílčích částí: v počátku stěny č. ω = + r sa = 37,5 100 = 3750 mm, v počátku stěny č. 1 ω = 3750 r1 s1 = = 650 mm, na konci stěny č. ω = r sb = 37,5 100 = 3750 mm, na konci stěny č. 3 ω = r3 s3 = = 650 mm, 9

10 a dále ve středových bodech dílčích částí: uprostřed stěny č ω = = 150 mm, uprostřed stěny č. (tj. v hlavním nulovém bodě) ω = 0, uprostřed stěny č ω = = mm. Výsečový statický moment stanovíme pomocí diskrétního vztahu S ω = A i ωc, i, kde A i...plocha i-té stěny, ω c,i...výsečová souřadnice středu i-té stěny. Tedy S =. = ω ( ) 0 3) Výsečový moment setrvačnosti stanovíme pomocí diskrétního vztahu ( ω ) b, i ωa, i Iω = A i + ωc, i, 1 kde A i... plocha i-té stěny, ω a,i, ω b,i, ω c,i... výsečové souřadnice počátku, konce a středu střednice i-té stěny. Tedy ( ) ( ) ( ) I ω = ( ) = 1,75 10 mm. 1 Doplňující poznámka K vyčíslení výsečových veličin lze použít rovněž vztahy představující aplikaci Vereščaginova pravidla pro násobení lineárních obrazců (tj. určitý integrál součinu dvou funkcí, z nichž alespoň jedna je lineární, je dán součinem plochy jednoho z obrazců (je-li jeden nelineární, pak tohoto) a pořadnice druhého obrazce v místě, kde má předešlý své těžiště). Tedy t i A S ω = ω, i, D ω y = ti Aω, i zcω, i, D ω z = ti Aω, i ycω, i, I ω = t i Aω, i ω cω, i, 10

11 kde t i... tloušťka stěny v i-tém dílčím úseku průřezu, A ω,i... plocha obrazce výsečové souřadnice v i-tém úseku, z cω,i, y cω,i... souřadnice průmětu těžiště výsečové plochy A ω,i do střednice průřezu v i-tém úseku, ω cω,i... výsečová souřadnice v místě těžiště výsečové plochy A ω,i i-tého úseku. Odpověď na častou otázku K čemu je to dobré? Statické veličiny průřezu Plochu A používáme v technické teorii prutů tažených (tlačených). Slouží jednak ke stanovení trakční tuhosti EA (kde E je Youngův modul), a dále k určení velikosti normálových napětí v průřezu σ N x = A, kde N je normálová síla. Momenty setrvačnosti I y, I z používáme v technické teorii prutů ohýbaných. Slouží jednak ke stanovení ohybové tuhosti EI, a dále k určení průběhu normálových napětí po průřezu M y M z σ x = z, resp. σ x = y, I y I z kde M y, M z... ohybový moment k ose y, resp. z, z, y... z-ová, resp. y-ová souřadnice vyšetřovaného bodu průřezu. Výsečový moment setrvačnosti I ω používáme v technické teorii prutů kroucených. Slouží jednak ke stanovení výsečové tuhosti EI ω, a dále k určení průběhu normálových napětí po průřezu B σ = ω I x, ω kde B...bimoment, ω...výsečová souřadnice vyšetřovaného bodu na střednici průřezu. Hlavní vztažná soustava K těžišti C g vztahujeme působiště vnějších sil na prutu taženém (tlačeném). Nemá-li nastat (přídavné) namáhání ohybem, musí výslednice vnějších sil procházet právě těžištěm. 11

12 K hlavním setrvačným osám y, z vztahujeme paprsek vnějších sil na prutu ohýbaném. Má-li nastat pouze rovinný ohyb (tj. nemá-li dojít k prostorovému ohybu), musí být výslednice vnějších sil rovnoběžná s některou z hlavních os setrvačnosti. Ke středu smyku C s vztahujeme působiště vnějších sil na prutu ohýbaném. Nemáli nastat (přídavné) namáhání kroucením, musí výslednice vnějších sil procházet právě středem smyku. K hlavnímu nulovému bodu M 0 vztahujeme působiště vnějších sil na prutu taženém (tlačeném). Nemá-li nastat (přídavné) namáhání kroucením, musí vnější síly procházet právě hlavním nulovým bodem. 1