ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
|
|
|
- Jan Dostál
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU: SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Iveta Haasová Přírodovědná studia, Matematická studia Vedoucí práce: PhDr. Lukáš Honzík, Ph.D. Plzeň 2018
2 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracovala samostatně s použitím uvedené literatury a zdrojů informací. V Plzni, 28. června vlastnoruční podpis
3 PODĚKOVÁNÍ Ráda bych touto cestou poděkovala PhDr. Lukáši Honzíkovi, Ph.D., vedoucímu mé bakalářské práce, za čas, zájem a připomínky, které mi věnoval, ale především za trpělivost a vedení v průběhu vytváření práce. Další poděkování patří také mé rodině, příteli a všem blízkým, kteří při mně během studia stáli a podporovali mne.
4 OBSAH OBSAH ÚVOD TEORETICKÁ ČÁST ZÁKLADNÍ POJMY OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ZÁKLADNÍHO TYPU OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE SE SEPAROVANÝMI PROMĚNNÝMI HOMOGENNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE BERNOULLIOVA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE APLIKACE A VYUŽITÍ ZÁVĚR RESUMÉ SEZNAM LITERATURY SEZNAM OBRÁZKŮ
5 ÚVOD ÚVOD Tématem mé bakalářské práce jsou diferenciální rovnice 1. řádu, které mají široké využití nejen v matematice, ale také ve fyzice, ekonomii či řadě technických odvětví. Ačkoli by to mohlo mnohé překvapit, diferenciální rovnice si můžeme spojit např. i s lesními zvířaty, která na první pohled nemají s matematikou vůbec nic společného. Vezměme si problém přemnožení zajíců a lišek. Pokud budeme předpokládat, že liščí potravou jsou pouze zajíci a zajíci se živí trávou, které je všude dostatek, pak se díky dostatku potravy začnou zajíci přemnožovat. V důsledku velkého množství zajíců mají dostatek potravy také lišky, jejichž počet se také výrazně navýší. Tím ale začne ubývat zajíců a následně i lišek. Pokud je málo lišek, začnou přibývat zajíci a tak se celý koloběh neustále opakuje. Tento proces bychom snadno mohli vyjádřit soustavou lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu. Takový příklad už je složitější, ale snadno nám posloužil jako ukázka využití diferenciálních rovnic. V této práci se ale budeme zabývat spíše úvodem do tématu a jednodušší problematikou. V první části jsem se věnovala úvodu do teorie těchto rovnic, kterou je nezbytné znát pro řešení příkladů. Vyřešené příklady tvoří druhou a nejpodstatnější část mé práce. Celý text je pojat a psán jako sbírka řešených příkladů. Druhá část je dělena na podkapitoly zabývající se konkrétními typy diferenciálních rovnic 1. řádu, mezi které patří obyčejné diferenciální rovnice základního typu, diferenciální rovnice se separovanými proměnnými, homogenní diferenciální rovnice, lineární diferenciální rovnice a Bernoulliova diferenciální rovnice. Jsou zde představeny rovnice spolu s popisem způsobů jejich řešení. Nechybí ani příklady s počátečními podmínkami. V závěrečné třetí části jsem se krátce věnovala aplikaci a využití diferenciálních rovnic v příkladech z praxe. Text je vhodný pro zájemce o matematiku, ale především je koncipován jako pomocný studijní materiál pro studenty matematických či technických oborů. Může sloužit jako doplnění k doporučené literatuře. 2
6 1 TEORETICKÁ ČÁST 1 TEORETICKÁ ČÁST 1.1 ZÁKLADNÍ POJMY Rovnice, v nichž se vyskytuje neznámá funkce a její derivace, nazýváme diferenciální rovnice. S takovými rovnicemi se můžeme setkat při matematické formulaci některých úloh z fyziky, geometrie a jiných vědních oborů. My však v této části práce zůstaneme u matematického hlediska. Při řešení diferenciálních rovnic hledáme funkci, definovanou na nějaké množině M a víme, že pro každé splňuje vztah. Pokud taková funkce existuje, pak ji nazýváme řešením obyčejné diferenciální rovnice ( ) na množině M. Kromě obyčejných diferenciálních rovnic, jejichž neznámou je funkce jedné proměnné a v nichž se vyskytuje derivace této neznámé funkce, existují i tzv. parciální diferenciální rovnice. Tyto rovnice obsahují jako neznámou funkci dvou nebo více proměnných a vyskytují se v nich derivace této neznámé funkce, kterým se říká parciální derivace. Příklad parciální diferenciální rovnice: U některých příkladů se lze setkat i se soustavami diferenciálních rovnic. Diferenciální rovnice mohou být různého řádu. Rozdělení se odvíjí od výše řádu derivace neznámé funkce. V našem případě nás tedy budou zajímat pouze diferenciální rovnice obsahující nejvýše derivaci prvního řádu neznámé funkce, protože se jedná o sbírku příkladů diferenciálních rovnic 1. řádu. (BRABEC, MARTAN, & ROZENSKÝ, 1989) Příklady diferenciálních rovnic: je diferenciální rovnice prvního řádu je diferenciální rovnice druhého řádu je diferenciální rovnice třetího řádu 3
7 1 TEORETICKÁ ČÁST Definice (diferenciální rovnice prvního řádu) Diferenciální rovnice prvního řádu rozřešená vzhledem k derivaci je rovnice tvaru, (DR) kde je funkce dvou proměnných. Řešením rovnice (DR) na intervalu rozumíme každou funkci, která rovnici na splňuje. Zpravidla lze téměř všechna řešení rovnice (DR) vyjádřit pomocí jediného vzorce, který obsahuje nějakou konstantu, tj., případně. Všechna tato řešení nazýváme obecné řešení. Obecné řešení může, ale nemusí obsahovat úplně všechna řešení. U výsledků příkladů v druhé části práce budeme znázorňovat také grafické řešení, musíme tedy zavést pojem integrální křivka. Křivka, která je grafem řešení se nazývá integrální křivka. Definice (počáteční (Cauchyho) úloha) Nechť. Úloha najít řešení rovnice (DR), které splňuje tzv. počáteční podmínku se nazývá počáteční (Cauchyho) úloha. Jejím řešením je funkce, která splňuje počáteční, podmínku a je na nějakém otevřeném intervalu obsahujícím bod řešením rovnice (DR). Partikulárním řešením rozumíme jednu konkrétní funkci, která rovnici splňuje. Volbou konkrétní konstanty v obecném řešení obdržíme jedno partikulární řešení. Řešení počáteční úlohy je partikulární řešení, jehož integrální křivka prochází bodem. Má-li počáteční úloha jediné řešení, znamená to, že bodem integrální křivka. prochází jediná 4
8 1 TEORETICKÁ ČÁST Diferenciální rovnice můžeme také dělit na tzv. lineární a nelineární diferenciální rovnice. Mezi obyčejné lineární diferenciální rovnice n-tého řádu řadíme všechny ve tvaru, kde jsou funkce proměnné. (JANKOVSKÝ, PECHOVÁ, & PRŮCHA, 1985) 5
9 2.1 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ZÁKLADNÍHO TYPU Rovnice ve tvaru je nejjednodušším příkladem diferenciální rovnice. Jsou to rovnice, ve kterých se nevyskytuje, tedy závisí pouze na. Je-li primitivní funkce k funkci, tj. platí-li, lze obecné řešení diferenciální rovnice zapsat ve tvaru, kde je integrační konstanta. (KUFNER, 1993) K výsledku dojdeme nahrazením podílem diferenciálů a pomocí úprav a využití primitivní funkce (neurčitého integrálu). 6
10 Příklad Najděte všechna řešení obyčejné diferenciální rovnice. Řešení: Integrál na pravé straně rovnice vyřešíme metodou substituce: Po dosazení do rovnice dostáváme obecné řešení, kde,. Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 1: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Kdybychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu. 7
11 Příklad Najděte všechna řešení obyčejné diferenciální rovnice Řešení: Integrál na pravé straně rovnice vyřešíme metodou substituce: Po dosazení do rovnice dostáváme obecné řešení: kde,. Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 2: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Kdybychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu. 8
12 Příklad Najděte partikulární řešení obyčejné diferenciální rovnice s počáteční podmínkou. Řešení: Vyřešíme složitější integrál z pravé strany rovnice: Po dosazení do rovnice dostáváme obecné řešení: kde. Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : Hledané partikulární řešení je tedy: kde. 9
13 Grafické řešení: Obrázek 3: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Příklad Najděte partikulární řešení obyčejné diferenciální rovnice s počáteční podmínkou. Řešení: Nejprve stanovíme podmínku. Integrál na pravé straně rovnice vyřešíme metodou substituce: Po dosazení do rovnice dostáváme obecné řešení: kde. 10
14 Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : Hledané partikulární řešení je tedy:, kde. Grafické řešení: Obrázek 4: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Příklad Najděte partikulární řešení obyčejné diferenciální rovnice s počáteční podmínkou Řešení: Nejprve stanovíme podmínku. 11
15 Vyřešíme složitější integrál z pravé strany rovnice: Po dosazení do rovnice dostáváme obecné řešení: kde,. Nyní bychom měli zjistit hodnotu konstanty, abychom mohli nalézt partikulární řešení vzhledem k počátečním podmínkám. Takové řešení ale v tomto případě neexistuje, protože. Grafická řešení pro vybraná : Obrázek 5: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Kdybychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu kromě přímky. 12
16 Příklad Najděte partikulární řešení obyčejné diferenciální rovnice s počáteční podmínkou. Řešení: Vyřešíme složitější integrál z pravé strany rovnice: Po dosazení do rovnice dostáváme obecné řešení: kde. Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : Hledané partikulární řešení je tedy kde., 13
17 Grafické řešení: Obrázek 6: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Příklad Najděte partikulární řešení obyčejné diferenciální rovnice ( ) s počáteční podmínkou. Řešení: ( ) ( ) Vyřešíme složitější integrál z pravé strany rovnice: ( ) 14
18 Po dosazení do rovnice dostáváme obecné řešení rovnice: kde. Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : Hledané partikulární řešení je tedy kde. Grafické řešení: Obrázek 7: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) 15
19 Příklad Najděte všechna řešení obyčejné diferenciální rovnice. Řešení: Nejprve stanovíme podmínku. Vyřešíme složitější integrál z pravé strany rovnice s využitím goniometrických vzorců: Po dosazení do rovnice najdeme obecné řešení rovnice:, kde,. Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 8: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Kdybychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu kromě přímek. 16
20 Příklad Najděte všechna řešení obyčejné diferenciální rovnice Řešení: Nejprve stanovíme podmínku. Vyřešíme složitější integrál z pravé strany rovnice s využitím goniometrických vzorců: Po dosazení do rovnice najdeme obecné řešení rovnice:, kde,. Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 9: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Kdybychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu kromě přímek. 17
21 Příklad Najděte partikulární řešení obyčejné diferenciální rovnice s počáteční podmínkou. Řešení: Složitější integrál na pravé straně rovnice vyřešíme metodou substituce: Po dosazení do rovnice najdeme obecné řešení rovnice: kde. Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : Hledané partikulární řešení je tedy kde. 18
22 Grafické řešení: Obrázek 10: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) 19
23 PŘÍKLADY K SAMOSTATNÉMU PROCVIČENÍ: 1. [ ] 2. [ ] 3. [ ] 4. [ ] 5. [ ] 6. [ ] 7. * ( ) + 8., [ ( )] 9., [ ] 20
24 2.2 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE SE SEPAROVANÝMI PROMĚNNÝMI V této podkapitole budeme řešit diferenciální rovnice se separovanými proměnnými. Jsou to rovnice zadané ve tvaru. Jedná se tedy o rovnice, ve kterých se nachází součin dvou funkcí, z nichž jedna závisí pouze na a druhá pouze na. Nejprve budeme hledat řešení rovnice. Tato řešení jsou konstantními řešeními diferenciální rovnice, ale nemusí nutně existovat v každém příkladu. Dále budeme předpokládat, že a budeme pokračovat v hledání nekonstantního řešení. Podobně jako v předchozí kapitole nahradíme a dosadíme do původního zadání, čímž dostáváme rovnici Rovnici upravíme tak, aby na každé straně byla jen jedna proměnná a integrujeme Získáme obecné řešení v implicitním tvaru s primitivními funkcemi pro, pro a integrační konstantou C. Vyjádřením řešení. z obecného řešení v implicitním tvaru dostaneme explicitní tvar obecného Vhodnou volbou konstanty (případně ) se snažíme získat konstantní řešení, které by šlo zahrnout do obecného. Rovnice ve tvaru lze převést na rovnice se separovanými proměnnými užitím substituce. (KUFNER, 1993) 21
25 Test separovatelnosti proměnných Diferenciální rovnice je rovnicí se separovanými proměnnými právě tehdy, když existují funkce takové, že a Pokud je nezáporná a dostatečně hladká na nějaké otevřené konvexní množině, je rovnice rovnicí se separovanými proměnnými právě tehdy, když platí Věta o existenci a jednoznačnosti řešení Je-li, je řešení počáteční úlohy které obdržíme pomocí postupu z předchozích odstavců, definované a jednoznačně určené v nějakém okolí bodu. (JANKOVSKÝ, PECHOVÁ, & PRŮCHA, 1985) 22
26 Příklad Najděte všechna řešení diferenciální rovnice. Řešení: Konstantní řešení Nekonstantní řešení Vyřešíme integrály z obou stran rovnice Dosadíme zpět do rovnice a dále upravujeme 23
27 Zvolíme novou konstantu, kde, pak jsou řešením všechny funkce, kde,. Vhodnou volbou konstanty dostáváme konstantní řešení, které můžeme zahrnout do obecného vzorce. Výsledné řešení je tedy, kde. Grafické řešení pro vybraná. Obrázek 11: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Kdybychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu. 24
28 Příklad Najděte všechna řešení diferenciální rovnice. Řešení: Konstantní řešení Nekonstantní řešení Vyřešíme integrály z obou stran rovnice Dosadíme zpět do rovnice a dále upravujeme 25
29 Zvolíme novou konstantu, kde., kde,. Vhodnou volbou konstanty dostáváme konstantní řešení, které můžeme zahrnout do obecného vzorce. Výsledné řešení je tedy, kde. Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 12: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Kdybychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu. 26
30 Příklad Najděte všechna řešení diferenciální rovnice Řešení: Nejprve stanovíme podmínku. Konstantní řešení Nekonstantní řešení Vyřešíme integrály z obou stran rovnice Dosadíme zpět do rovnice a dále upravujeme 27
31 Zvolíme novou konstantu, kde, pak jsou řešením všechny funkce, kde. Vhodnou volbou konstanty dostáváme konstantní řešení, které můžeme zahrnout do obecného vzorce. Výsledné řešení je tedy, kde. Grafické řešení pro vybraná. Obrázek 13: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Kdybychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu kromě přímky. 28
32 Příklad Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice s počáteční podmínkou ( ). Řešení: Přepíšeme danou rovnici na tvar a zavedeme podmínku. Konstantní řešení Nekonstantní řešení Vyřešíme integrály z obou stran rovnice Složitější integrál na pravé straně rovnice vyřešíme metodou substituce: 29
33 Dosadíme zpět do rovnice a dále upravujeme Zvolíme novou konstantu, kde, pak jsou řešením všechny funkce, kde. Vhodnou volbou konstanty dostáváme konstantní řešení, které můžeme zahrnout do obecného vzorce. Obecné řešení je tedy, kde. Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : Hledané partikulární řešení je tedy kde. 30
34 Grafické řešení: Obrázek 14: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Příklad Najděte všechna řešení diferenciální rovnice. Řešení: Nejprve musíme vyřadit funkci. Přepíšeme danou rovnici na tvar. Konstantní řešení Vidíme, že v tomto případě konstantní řešení neexistuje, protože funkci vyřadili. jsme 31
35 Nekonstantní řešení Vyřešíme integrály z obou stran rovnice Dosadíme zpět do rovnice a dále upravujeme Zvolíme novou konstantu, kde, pak jsou řešením všechny funkce kde., 32
36 Grafické řešení pro vybraná. Obrázek 15: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Pokud bychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu kromě přímky. Příklad Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice s počáteční podmínkou. Řešení: Nejprve stanovíme podmínku a musíme vyřadit funkci. Přepíšeme danou rovnici na tvar 33
37 Konstantní řešení Vidíme, že v tomto případě konstantní řešení neexistuje, protože funci vyřadili. jsme Nekonstantní řešení Vyřešíme integrály z obou stran rovnice Dosadíme zpět do rovnice a dále upravujeme Zvolíme novou konstantu, kde, pak jsou řešením všechny funkce, kde., 34
38 Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : Hledané partikulární řešení je tedy Grafické řešení: Obrázek 16: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Příklad Najděte všechna řešení diferenciální rovnice Řešení: 35
39 Konstantní řešení Nekonstantní řešení Vyřešíme integrály z obou stran rovnice Dosadíme zpět do rovnice a dále upravujeme Konstanta násobená číslem je opět konstanta, budeme tedy v zápisu používat i nadále pouze označení. (Takto budeme označovat konstantu i dalších příkladech, kde se vyskytne násobení konstanty číslem.) kde., 36
40 Konstantní řešení nedostaneme žádnou volbou konstanty, proto jej musíme připsat zvlášť. Výsledné řešení je tedy a, kde. Grafické řešení pro vybraná. Obrázek 17: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Pokud bychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu. Příklad Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice s počáteční podmínkou. Řešení: Nejprve stanovíme podmínku a vyřadíme funkci. 37
41 Přepíšeme zadanou rovnici do tvaru Konstantní řešení Vidíme, že v tomto případě konstantní řešení neexistuje, protože funkci vyřadili. jsme Nekonstantní řešení Vyřešíme integrály z obou stran rovnice Dosadíme zpět do rovnice a dále upravujeme 38
42 Zvolíme novou konstantu,. Obecné řešení je tedy, kde. Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : Hledané partikulární řešení je tedy, kde. Grafické řešení: Obrázek 18: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Příklad Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice s počáteční podmínkou. 39
43 Řešení: Konstantní řešení Víme, že jmenovatel zlomku se 0 rovnat nesmí, proto v tomto případě konstantní řešení vyjádřit nemůžeme. Nekonstantní řešení Vyřešíme integrály z obou stran rovnice Dosadíme zpět do rovnice a dále upravujeme kde, pak., 40
44 Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : Hledané partikulární řešení je tedy, kde. Grafické řešení: Obrázek 19: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Příklad Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice s počáteční podmínkou ( ). 41
45 Řešení: Nejprve stanovíme podmínku a vyřadíme funkci. Upravíme si rovnici do tvaru Konstantní řešení Vidíme, že v tomto případě konstantní řešení neexistuje, protože funkci vyřadili. jsme Nekonstantní řešení Vyřešíme integrály na obou stranách rovnice 42
46 Dosadíme zpět do rovnice a dále upravujeme Zvolíme novou konstantu, kde. Obecné řešení je, kde,. Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : Hledané partikulární řešení je tedy, kde,. Grafické řešení: Obrázek 20: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) 43
47 PŘÍKLADY K SAMOSTATNÉMU PROCVIČENÍ 1. [ ] 2. [ ] 3. [ ] 4. * + 5. * ( ) + 6., [ ] 7., * + 8., [ ] 9., [ ] 44
48 2.3 HOMOGENNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Homogenní diferenciální rovnice jsou rovnice ve tvaru ( ). Řešíme je pomocí substituce, tedy zavedením nové závislé proměnné u, pro kterou platí vztah s podmínkou. Zavedenou substituci můžeme napsat ve tvaru a následně provést derivaci. Po dosazení do původní rovnice dostaneme pro neznámou funkci rovnici která je rovnicí se separovanými proměnnými Následně rovnici integrujeme vyjádříme, dosadíme podle původní substituce a dostaneme obecné řešení zadané diferenciální rovnice. Jestliže pro nějakou hodnotu platí, je konstantní funkce dalším řešením rovnice a funkce je pak dalším řešením naší výchozí rovnice ( ). (KUFNER, 1993) 45
49 Příklad Řešte diferenciální rovnici Řešení: Rovnici upravíme do tvaru ( ) ( ) Stanovíme podmínku a můžeme zavést substituci. Nahradíme výrazy a dále upravujeme Tuto úpravu můžeme provést za předpokladu a a následně vyřešíme integrály z obou stran rovnice 46
50 ( ) Dosadíme zpět a dále upravujeme Zvolíme novou konstantu, kde. kde. V průběhu řešení jsme určili podmínku a. K těmto funkcím se nyní vrátíme a po dosazení hodnoty do zjistíme, zda jsou také řešením původní rovnice. Dosazením si ověříme, zda jsou obě funkce řešeními rovnice. Pro není rovnost splněna a tudíž funkce není jedním z řešení. Žádnou volbou konstanty nezajistíme funkci a je potřeba ji doplnit k řešení. Výsledné řešení zadané rovnice je a kde. 47
51 Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 21: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Pokud bychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu kromě přímky. Příklad Řešte diferenciální rovnici Řešení: Rovnici upravíme do tvaru ( ) Stanovíme podmínku a můžeme zavést substituci 48
52 Nahradíme výrazy a dále upravujeme Tuto úpravu můžeme provést za předpokladu stran rovnice a následně vyřešíme integrály z obou Dosadíme zpět a dále upravujeme ( ). 49
53 V průběhu řešení jsme určili podmínku. K této funkci se nyní vrátíme a po dosazení hodnoty do zjistíme, zda je také řešením původní rovnice. Dosazením si ověříme, že funkce je skutečně řešením rovnice. V tomto případě nelze nalézt konstantu, která by zajistila zahrnutí do obecného vzorce, musíme tedy tuto funkci připsat zvlášť. Obecné řešení zadané diferenciální rovnice je ( ). Grafické řešení pro vybraná. Obrázek 22: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Pokud bychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu kromě přímky. 50
54 Příklad Řešte diferenciální rovnici Řešení: Rovnici upravíme do tvaru Stanovíme podmínku a a můžeme zavést substituci. Nahradíme výrazy a dále upravujeme Tuto úpravu můžeme provést za předpokladu a a následně vyřešíme integrály z obou stran rovnice 51
55 Dosadíme zpět a dále upravujeme Zvolíme novou konstantu, kde. 52
56 V průběhu řešení jsme určili podmínku a. K těmto funkcím se nyní vrátíme a po dosazení hodnoty do zjistíme, zda jsou také řešením původní rovnice. Dosazením si ověříme, zda jsou funkce řešeními rovnice. Pro tudíž funkce není jedním z řešení. Vhodnou volbou konstanty a můžeme je zahrnout do obecného vzorce. není rovnost splněna a zajistíme funkce Výsledné řešení zadané rovnice je kde. Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 23: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Kdybychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu kromě přímky. 53
57 Příklad Řešte diferenciální rovnici Řešení: Nejprve stanovíme podmínku a zavedeme substituci Dosadíme a dále upravujeme Tuto úpravu můžeme provést za předpokladu a z obou stran rovnice a následně vyřešíme integrály Dosadíme zpět a dále upravujeme 54
58 Zvolíme novou konstantu, kde. kde. V průběhu řešení jsme určili podmínku a. K této funkci se nyní vrátíme a po dosazení hodnoty do zjistíme, zda je také řešením původní rovnice. Dosazením si ověříme, že je funkce skutečně řešením rovnice. Vhodnou volbou konstanty zajistíme funkci a můžeme ji zahrnout do obecného vzorce. Výsledné řešení zadané rovnice je kde. 55
59 Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 24: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Kdybychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu kromě přímky. Ke kapitole homogenní diferenciální rovnice přidáme ještě řešení rovnic ve tvaru ( ). Tuto rovnici lze převést na rovnici typu ( ) substitucí, při níž zavedeme novou nezávisle proměnnou (místo ). Substituce má tvar (místo ) a novou závisle proměnnou tj. funkci, kde, jsou řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Protože pak je, přejde naše rovnice v rovnici tvaru ( ) ( ) ( ), a to je již zmíněná rovnice typu ( ). 56
60 V případě, že by soustava lineárních algebraických rovnic nebyla řešitelná, lze rovnici převést na rovnici se separovanými proměnnými substitucí, kde je nová neznámá funkce. Příklad Řešte diferenciální rovnici. Řešení: Vidíme, že zadaná rovnice je typu ( ), kde,,,, a. Soustava lineárních algebraických rovnic má tvar a její řešení je,. Nyní můžeme zavést substituci a dostáváme rovnici. Zavedeme další substituci ve tvaru, díky které se dostaneme k rovnici se separovanými proměnnými a dále už pokračujeme známým způsobem. 57
61 Vyřešíme integrály z obou stran rovnice Dosadíme zpět a dále upravujeme Zvolíme novou konstantu,. 58
62 ( ) Obecné řešení rovnice v implicitním tvaru je. Grafické řešení pro vybraná. Obrázek 25: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Pokud bychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu. 59
63 Příklad Řešte diferenciální rovnici. Řešení:,,, Soustava není jednoznačně řešitelná, a proto zavedeme substituci Získáváme rovnici se separovanými proměnnými a dále už pokračujeme známým způsobem. Vyřešíme integrály z obou stran rovnice 60
64 Dosadíme zpět do rovnice a dále upravujeme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Výsledné obecné řešení rovnice je tedy * ( ) +. Grafické řešení pro vybraná. Obrázek 26: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) 61
65 PŘÍKLADY K SAMOSTATNÉMU PROCVIČENÍ [ ] [ ] * + [ ] * + 62
66 2.4 LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Nazýváme tak rovnice tvaru, kde je lineární funkcí proměnné, tj. rovnice tvaru resp. kde a jsou dané funkce proměnné a jsou spojité na intervalu. Je-li rovnici Je-li, nazýváme rovnici homogenní a mluvíme o zkrácené lineární diferenciální, mluvíme o úplné diferenciální lineární rovnici. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Tato rovnice má tvar a můžeme ji řešit metodou separace proměnných: Vhodnou volbou získáváme, což je singulární řešení. Počáteční úloha má tedy řešení 63
67 NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Tyto rovnice se řeší tzv. metodou variace konstanty. Vyjdeme z řešení homogenní diferenciální rovnice kde je primitivní funkce k funkci : Nahradíme konstantu nějakou (spojitě diferencovatelnou) funkcí, kterou se pokusíme určit z podmínky, aby funkce. řešila nehomogenní rovnici Dosazením dostáváme Protože je, dostáváme odtud pro neznámou funkci diferenciální rovnici To je obyčejná diferenciální rovnice základního typu, kterou lze řešit přímou integrací: Po dosazení do rovnice rovnice dostáváme obecný tvar řešení diferenciální * + kde je libovolná reální konstanta a funkce je dána vzorcem Řešení počáteční úlohy pak dostaneme, položíme-li. 64
68 Věta Buďte funkce spojité na intervalu. Budiž bod v rovině s Pak má počáteční úloha právě jedno řešení, definované pro vzorcem * +, kde funkce je dána vzorcem Obecné řešení nehomogenní rovnice je tedy součtem obecného řešení homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice. (KUFNER, 1993) 65
69 Příklad Řešte počáteční úlohu Řešení: Rovnici nejprve převedeme na tvar Jedná se o lineární rovnici kde a. Tyto funkce jsou spojité na intervalech a. Protože z počáteční podmínky vidíme, že, tak zvolíme první interval. Příklad nejprve vyřešíme s využitím výše zmíněné věty a poté i metodou variace konstanty. * + Metoda variace konstanty je podstatně delší, ale dovede nás ke stejnému výsledku. Tuto úpravu můžeme provést pouze za předpokladu. 66
70 Zvolíme novou konstantu,. Vhodnou volbou konstanty doplníme funkci. Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice je Provedeme variaci konstanty a hledáme řešení nehomogenní rovnice. Dosadíme do původního zadání a dále upravujeme Obecným řešením zadané diferenciální rovnice je Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : 67
71 Hledané partikulární řešení je Výsledky obou postupů jsou shodné. Grafické řešení: Obrázek 27: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Příklad Řešte diferenciální rovnici Řešení: Nejprve si rovnici upravíme do tvaru a za předpokladu do tvaru kde a. 68
72 Nejprve určíme obecné řešení homogenní rovnice Tuto úpravu lze provést za předpokladu rovnice:. Vyřešíme složitější integrál z pravé strany Dosadíme a dále upravujeme Zvolíme novou konstantu Vhodnou volbou konstanty doplníme funkci. Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice je Provedeme variaci konstanty a hledáme řešení nehomogenní rovnice. 69
73 Dosadíme do původního zadání a dále upravujeme Obecné řešení zadané diferenciální rovnice je Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 28: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Pokud bychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu. 70
74 Příklad Řešte diferenciální rovnici Řešení: Rovnici upravíme do tvaru kde a. Nejprve určíme obecné řešení homogenní rovnice: Tuto úpravu lze provést za předpokladu. Zvolíme novou konstantu Vhodnou volbou konstanty doplníme funkci. Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice je 71
75 Provedeme variaci konstanty a hledáme řešení nehomogenní rovnice. Dosadíme do původního zadání a dále upravujeme Obecné řešení zadané diferenciální rovnice je ( ) Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 29: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Pokud bychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu. 72
76 Příklad Řešte diferenciální rovnici Řešení: Nejprve určíme podmínku a upravíme si rovnici do tvaru kde a. Nejprve určíme obecné řešení homogenní rovnice: Tuto úpravu lze provést za předpokladu rovnice:. Vyřešíme složitější integrál z pravé strany Dosadíme a dále upravujeme 73
77 Zvolíme novou konstantu Vhodnou volbou konstanty doplníme funkci. Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice je Provedeme variaci konstanty a hledáme řešení nehomogenní rovnice. Dosadíme do původního zadání a dále upravujeme Druhý integrál vyřešíme metodou per partes: 74
78 Dosadíme zpět a dořešíme rovnici: Obecné řešení zadané diferenciální rovnice je Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 30: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Pokud bychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu kromě přímek. 75
79 Příklad Řešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou. Řešení: Rovnici za předpokladu upravíme do tvaru kde a. Nejprve určíme obecné řešení homogenní rovnice: Tuto úpravu můžeme provést pouze za předpokladu. Zvolíme novou konstantu,. 76
80 Vhodnou volbou konstanty doplníme funkci. Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice je Provedeme variaci konstanty a hledáme řešení nehomogenní rovnice. Dosadíme do původního zadání a dále upravujeme ( ) ( ) Vyřešíme integrál: ( ) 77
81 Obecným řešením zadané diferenciální rovnice je Nyní zjistíme hodnotu konstanty s využitím počáteční podmínky, : Hledané partikulární řešení je Grafické řešení: Obrázek 31: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) 78
82 PŘÍKLADY K SAMOSTATNÉMU PROCVIČENÍ 1. * + 2. [ ] 3. * + 4. [ ] 5. [ ] 79
83 2.5 BERNOULLIOVA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Nazývá se tak rovnice tvaru která pro a není lineární. Tuto rovnici lze substitucí převést na lineární diferenciální rovnici. Je pak totiž [ ] a to je lineární diferenciální rovnice pro neznámou funkci s místo a s místo. Hledané řešení pak dostaneme pomocí vzorce [ ] Tento vzorec i zavedená substituce mají obecně smysl jen tehdy, je-li. (KUFNER, 1993) 80
84 Příklad Řešte diferenciální rovnici Řešení: Za předpokladu upravíme rovnici do tvaru odkud vidíme, že a zavedeme substituci Z upravené rovnice dostáváme tvar Tuto úpravu můžeme provést za předpokladu rovnice: a vyřešíme integrály z obou stran 81
85 Dosadíme a dále opravujeme Zvolíme novou konstantu Vhodnou volbou konstanty doplníme funkci. Obecným řešením zadané diferenciální rovnice je 82
86 Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 32: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Pokud bychom vykreslili všechna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou rovinu. Příklad Řešte diferenciální rovnici Řešení: Za předpokladu upravíme rovnici do tvaru Odtud vidíme, že a zavedeme substituci 83
87 Z upravené rovnice dostáváme tvar kde a. Nejprve určíme obecné řešení homogenní rovnice: Tuto úpravu můžeme provést pouze za předpokladu. Zvolíme novou konstantu,. Vhodnou volbou konstanty doplníme funkci. Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice je Provedeme variaci konstanty a hledáme řešení nehomogenní rovnice. 84
88 Dosadíme do původního zadání a dále upravujeme Vyřešíme integrál metodou per partes: ( ) Dosadíme a dále upravujeme Obecným řešením zadané diferenciální rovnice je kde. 85
89 Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 33: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Příklad Řešte diferenciální rovnici Řešení: Nejprve rovnici upravíme do tvaru Odtud vidíme, že a zavedeme substituci za předpokladu a. Z upravené rovnice dostáváme tvar kde a. 86
90 Nejprve určíme obecné řešení homogenní rovnice: Zvolíme novou konstantu,. Vhodnou volbou konstanty doplníme funkci. Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice je Provedeme variaci konstanty a hledáme řešení nehomogenní rovnice. Dosadíme do původního zadání a dále upravujeme: 87
91 Obecným řešením zadané diferenciální rovnice je Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 34: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Příklad Řešte diferenciální rovnici Řešení: Nejprve stanovíme podmínku. Vidíme, že a zavedeme substituci za předpokladu a. 88
92 Z upravené rovnice dostáváme tvar kde a. Nejprve určíme obecné řešení homogenní rovnice: Zvolíme novou konstantu,. Vhodnou volbou konstanty doplníme funkci. Řešení zkrácené lineární diferenciální rovnice je 89
93 Provedeme variaci konstanty a hledáme řešení nehomogenní rovnice. Dosadíme do původního zadání a dále upravujeme Vyřešíme integrál metodou per partes: Dosadíme a dále upravujeme ( ) ( ) Obecným řešením zadané diferenciální rovnice je 90
94 Grafické řešení pro vybraná : Obrázek 35: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Kdybychom vyreslili vchna řešení, pak by integrální křivky vyplnily celou polorovinu. 91
95 PŘÍKLADY K SAMOSTATNÉMU PROCVIČENÍ 1. [ ] 2. [ ( ) { } ] 3. [ ] 4. [ ] 92
96 3 APLIKACE A VYUŽITÍ 3 APLIKACE A VYUŽITÍ Geometrický význam Diferenciální rovnici můžeme chápat jako předpis, který každému bodu přiřadí směrnici tečny k integrální křivce, která tímto bodem prochází. Pokud pro dostatečný počet bodů nakreslíme krátké úsečky (tzv. lineární elementy) procházející těmito body a mající směrnici (jsou to tečny k integrálním křivkám), dostáváme tzv. směrové pole. Množinu bodů, kterým je přiřazen stejný směrový vektor nazýváme izoklinou. Někdy je možné tímto způsobem odhadnout tvar integrálních křivek. (JIRÁSEK, VACEK, & ČIPERA, 1989) Příklad Sestrojte směrové pole diferenciální rovnice Řešení: Směrové pole není definováno pro, tj. na ose x. Najdeme rovnice izoklin, křivek spojujících body, kde je derivace rovna konstantě: izokliny jsou přímky procházející počátkem ; pro je, tedy derivace je nulová ve všech bodech osy (s výjimkou počátku, kde není směrové pole definováno), čili tečny k integrálním křivkám v bodech na ose jsou rovnoběžné s osou integrální křivky protínají osu pod pravým úhlem. Dále je na přímce, na přímce, na přímce, na přímce. 93
97 3 APLIKACE A VYUŽITÍ V každém bodě přímky je směrnice tečny k integrální křivce rovna, tedy přímky a integrální křivky se protínají kolmo. Integrální křivky jsou kružnice se středem v počátku (osu protínají kolmo, směrnice tečen není definována): Obrázek 36: Grafické znázornění příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) (JANKOVSKÝ, PECHOVÁ, & PRŮCHA, 1985) Ortogonální trajektorie Ortogonální trajektorie jsou křivky, které všechny křivky dané soustavy protínají pod pravým úhlem. Diferenciální rovnici ortogonálních trajektorií dostaneme tak, že do diferenciální rovnice dané soustavy křivek místo derivace dosadíme. Příklad Určete ortogonální trajektorie soustavy rovnoosých hyperbol Řešení: Najdeme nejprve diferenciální rovnici soustavy hyperbol : 94
98 3 APLIKACE A VYUŽITÍ Vyloučíme konstantu k: Nyní v této diferenciální rovnici píšeme místo Tato rovnice je rovnicí soustavy hledaných ortogonálních trajektorií. Vyřešíme ji: Ortogonální trajektorie mají rovnici v souřadnicových osách. (JANKOVSKÝ, PECHOVÁ, & PRŮCHA, 1985), jsou to rovnoosé hyperboly s osami 95
99 3 APLIKACE A VYUŽITÍ Kromě matematického a geometrického využití se s diferenciálními rovnicemi setkáme i ve fyzice. Mnohé fyzikální zákony jsou popisovány pomocí diferenciálních rovnic např. volný pád, Newtonův zákon ochlazování, logistická rovnice apod. Ukážeme si příklad využití diferenciálních rovnic při výpočtu problému rozpadu radioaktivní látky. Příklad Rychlost rozpadu radioaktivní látky je úměrná množství přítomné látky. Předpokládáme, že v čase je jednotek látky. Máme vypočítat množství radioaktivní látky v libovolném okamžiku. Podle uvedeného zákona rozpadu platí kde je spojitá funkce, je konstanta úměrnosti. Rovnici spolu s počáteční podmínkou vyhovuje funkce 96
100 ZÁVĚR ZÁVĚR Hlavním cílem práce bylo vytvořit sbírku zaměřenou na konkrétní téma, která bude obsahovat jak teoretickou část, tak dostatek vyřešených příkladů s komentářem, který bude stačit k pochopení, případně procvičení dané látky. Tato bakalářská práce tedy může posloužit jako pomocný studijní materiál k doporučené literatuře v průběhu studia. Text je vhodný pro studenty jakéhokoliv matematického oboru, kteří již mají absolvované základy matematické analýzy. Důležité jsou znalosti především vlastností funkcí jedné proměnné a diferenciálního počtu jedné proměnné. Dané téma jsem se snažila popsat dostatečně srozumitelně, v průběhu řešení nejsou vynechány žádné kroky, naopak jsem využila možnosti výsledky doplnit o grafické znázornění, které může pomoci k pochopení. 97
101 RESUMÉ RESUMÉ Práce se věnuje tématu diferenciálních rovnic prvního řádu ze tří různých pohledů. Uvádí základní teoretické pojmy a v další části využívá nově získaných znalostí při řešení konkrétních příkladů. Kromě teoretické a početní kapitoly je v práci také zahrnut popis využití diferenciálních rovnic v praxi. Nejvýznamnější částí je kapitola s řešenými příklady, po jejímž prostudování by student měl být schopen určit, o jaký typ diferenciální rovnice se jedná a samostatně příklad vyřešit. This bachelor thesis scrutinizes the subject of first order differential equations from three different perspectives. It introduces theoretical terms. In the following section it benefits from newly acquired knowledge when solving concrete exercises. Apart from a theoretical and a numeric chapter the essay also includes description of a practical use of differential equations. A chapter with solved exercises represents the most significant part of the thesis, as the student should be able to identify the type of differential equation as well as individually solve the exercise after being acquainted with this chapter. 98
102 SEZNAM LITERATURY SEZNAM LITERATURY 1. BRABEC, Jiří, Zdeněk ROZENSKÝ a František MARTAN. Matematická analýza: vysokoškolská učebnice pro elektrotechnické fakulty vysokých škol technických. 2. upr. vyd. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, ISBN DRÁBEK, Pavel a Stanislav MÍKA. Matematická analýza II. 4. vyd. V Plzni: Západočeská univerzita, ISBN x. 3. JANKOVSKÝ, Zdeněk, Emilie PECHOVÁ a Ladislav PRŮCHA. Matematická analýza I - úlohy. Dotisk. Praha: České vysoké učení technické v Praze, JIRÁSEK, František, Milan VACEK a Stanislav ČIPERA. Sbírka řešených příkladů z matematiky: vysokoškolská učebnice pro skupinu studijních oborů strojírenství a ostatní kovodělná výroba. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, ISBN KOJECKÁ, Jitka a Miloslav ZÁVODNÝ. Příklady z diferenciálních rovnic I. Olomouc: Univerzita Palackého, ISBN KUFNER, Alois. Obyčejné diferenciální rovnice. Plzeň: Západočeská univerzita, ISBN x. 7. MÍKA, Stanislav a Alois KUFNER. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. 2., upravené vyd. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, Matematika pro vysoké školy technické. 8. NAGY, Jozef. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic: Vysokošk. příručka pro vys. školy techn. směru. 2. vyd. Praha: SNTL, Matematika pro vysoké školy technické. 9. VEJMELKOVÁ, Eliška. Aplikace diferenciálních rovnic. Bakalářská práce. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni,
103 SEZNAM OBRÁZKŮ SEZNAM OBRÁZKŮ Obrázek 1: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra)... 7 Obrázek 2: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra)... 8 Obrázek 3: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 4: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 5: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 6: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 7: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 8: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 9: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 10: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 11: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 12: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 13: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 14: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 15: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 16: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 17: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 18: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 19: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 20: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 21: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 22: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 23: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra)
104 SEZNAM OBRÁZKŮ Obrázek 24: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 25: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 26: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 27: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 28: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 29: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 30: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 31: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 32: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 33: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 34: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 35: Grafické řešení příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra) Obrázek 36: Grafické znázornění příkladu (Zdroj: Vlastní zpracování v programu GeoGebra)
105 I SEZNAM OBRÁZKŮ
Diferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
Q(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ DIPLOMOVÁ PRÁCE Diplomant: Vedoucí diplomové práce: Zdeněk ŽELEZNÝ RNDr. Libuše Samková,
y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
![1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu](/thumbs/102/155926571.jpg "1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu")
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
Diferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Obsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
![Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].](/thumbs/91/104981778.jpg "Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].")
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
Obyčejné diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH
pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její
6. dubna *********** Přednáška ***********
KMA/MAT2 Přednáška a cvičení č. 8, Obyčejné diferenciální rovnice 2 6. dubna 2016 *********** Přednáška *********** 1 Existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy Stále uvažujeme rovnici y = f(t, y).
Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
8.1. Separovatelné rovnice
8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina
1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
Diferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1
ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž
Diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Matematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
Parametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
CZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
Matematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
METODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Matematika I. dvouletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy
Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1
Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na
, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky
řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující
= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0
rovnice Matematická analýza 3 (verze 10. června 2015)
Diferenciální rovnice součást předmětu Matematická analýza 3 Pavel Řehák (verze 10. června 2015) 2 Pár slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza 3 (partie týkající se diferenciálních
Diferenciální rovnice s programem GeoGebra
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Bakalářská práce Diferenciální rovnice s programem GeoGebra Vypracovala: Michaela Opavová Vedoucí práce: RNDr. Libuše
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
Diferenciální rovnice a dynamické modely
Diferenciální rovnice a namické modely Robert Mařík 31. srpna 2009 c Robert Mařík, 2009 G. Galilei: Velkou knihu příro mohou číst jen ti, kteří znají jazyk, jímž je tato kniha napsána. A tímto jazykem
Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě
Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob
1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.
Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,
Logaritmické rovnice a nerovnice
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Matematika pro všechny
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické rovnice Autor: Ondráčková
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová
Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
![Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)](/thumbs/96/128965676.jpg "Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)")
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
Elementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u
Maturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde
Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.