Projekty do předmětu MF

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Projekty do předmětu MF"

Transkript

1 Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář Studijní program: B1701 Fyzika Studijní obor: Obecná fyzika a matematická fyzika Vedoucí předmětu: prof. RNDr. Jiří Bajer, CSc. Termín odevzdání práce: květen 2012

2 Obsah Úvod 3 1 Gravitační vlny Rychlost šíření gravitační vlny Polarizace gravitační vlny Typ gravitační vlny Metoda zrcadlového náboje Hustota a velikost indukovaného náboje na povrchu uzemněného disku Elektrostatické pole disku a bodového náboje Pohyb fotonů a volných částic v okolí černé díry Cesta k pohybovým rovnicím Průběh efektivního potenciálu volné částice Průběh efektivního potenciálu fotonu Pohybová rovnice volné částice Pohybová rovnice fotonu Závěr 20 Literatura 21 2

3 Úvod Cílem předmětu bylo vypracovat tři projekty z oblasti matematické fyziky, podle vlastního návrhu, nebo podle návrhu vedoucího předmětu. V minimálně v jeden případ zpracovat na počítači. První část se zabývá gravitačními vlnami v plochém prostoročase. Druhá elektrostatickým polem generovaným bodovým nábojem a vodivým diskem s využitím metody zrcadlového náboje. Třetí část je věnována pohybu částic a světelných paprsků v okolí černé díry popsané Schwarzschildovou metrikou. Obrázky jsou vytvořeny v programu Macromedia Flash MX Pro počítačové modely byl použit program Wolfram Mathematica 6. Text byl vysázen typografickým softwarem L A TEX. Práce byla vypracována na základě znalostí poskytnutých v základním kurzu fyziky a použité literatury. 3

4 Kapitola 1 Gravitační vlny 1.1 Rychlost šíření gravitační vlny Do rovnice pro slabou gravitační vlnu dosadíme řešení ve tvaru rovinné monochromatické vlny a ze znalosti tenzorové algebry a de Broglieho vztahu, kde pro jednoduchost volíme = 1, odvodíme rychlost šíření gravitační vlny. h ij = η mn h ij,mn = 0 (1.1) Linearizované rovnice gravitačního pole. označujeme D alambertův operátor h ij velmi malé odchylky od euklidovské geometrie Slabá gravitační vlna h ij 1 η mn kontravariantní složky Minkowského tenzoru,mn druhé parciální derivace podle m-té a n-té souřadnice Pravá strana rovnice (1.1) je rovna 0 Gravitační vlna se šíří vakuem Předpokládáme řešení ve tvaru monochromatické rovinné vlny h ij = H ij e ik lx l (1.2) H ij amplituda gravitační vlny k l l-tá kovariantní složka vlnového čtyřvektoru x l l-tá složka radiusvektoru Provedeme derivaci (1.2) podle m-té a n-té souřadnice a dosadíme do (1.1) η mn H ij k m k n e ik lx l = 0 (1.3) Platí Rovnici (1.3) lze splnit jen pokud η mn k n = k m k m k m = 0 Gravitační vlna se šíří rychlostí světla POZN: k m k m = (p m p m ) = 0 Platí pro fotony a ty jak je známo se pohybují rychlostí c Rychlost šíření gravitační vlny je rovna rychlosti světla. 4

5 1.2 Polarizace gravitační vlny Složky amplitudy gravitační vlny tvoří symetrický tenzor druhého řádu o deseti složkách. K jejich redukci při zachování měřitelných veličin využijmeme příslušný tvar kalibrační podmínky (1.4). Zbylé složky tenzoru jsou nezávislé a tudíž jim budou odpovídat nezávislé polarizace. Symetrický tenzor H ij = H 00 H 01 H 02 H 03 H 10 H 11 H 12 H 13 H 20 H 21 H 22 H 23 H 30 H 31 H 32 H 33 (1.4) H ij = H ij (1.5) 10 rovnic Kalibrační podmínka = zjednodušení tvaru rovnic při zachování měřitelných veličin Tato podmínka vede po dosazení na tvar Mějme vlnu, která se šíří ve směru osy x 1 h j i,j = 1 2 hk k,i H ij k j = 1 2 Hk k k i (1.6) H k k = H 00 + H 11 + H 22 + H 33 (1.7) k i = ω c ( ) (1.8) a k i = ω c ( ) (1.9) Do rovnice (1.6) dosadíme (1.4), (1.8) a (1.9) H 10 = 1 2 (H 00 + H 11 ) H 21 = H 20 H 21 = H 30 Pak z rovnice (1.5) plyne H ij = H 22 H 23 H 32 H 33 Čtyři komponenty kalibrační podmínky neodstraní Z rovnice (1.5) víme H 23 = H 32 (1.10) a z rovnice (1.7) dostaneme H 22 = H 33 (1.11) Dvě nezávislé složky amplitudy Dvě nezávislé polarizace gravitační vlny NAPŘ: H 22 0,H 23 = 0; H 22 = 0,H 23 0

6 1.3 Typ gravitační vlny Předpokládáme slabou gravitační vlnu šířící se ve směru osy x 1. Ve dvou případech sledujeme jak se mění prostorová vzdálenost bodů A a B při průchodu gravitační vlny. V prvním případě se body A a B nalézají přímo na ose x 1. V Druhém případě se nalézají na ose x 2, která je na osu x 1 kolmá. Obrázek 1.1: Popis případu kdy bod A i B leží na ose x 1 ( s) 2 = (η ij + h ij )(x i (A) x i (B))(x j (A) xj (B) ) (1.12) ( s) 2 čtverec prostorové vzdálenosti bodů A a B η ij kovariantní složky Minkowského tenzoru (x i (A) xi (B) ) = ni (x j (A) xj (B) ) = nj Pro náš případ n i = n j = ( 0 l 0 0 ) (1.13) Do rovnice (1.12) dosadíme (1.13) a (1.2) za předpokladu (1.10) a (1.11) ( s) 2 = l 2 Po odmocnění vidíme, že nedošlo k žádné změně vzdáleností mezi body A a B nejedná se tedy o vlnu podélnou, jelikož ta by vzdálenosti bodů ovlivnila.

7 Obrázek 1.2: Popis případu kdy bod A i B leží na ose x 2 Opakujeme předešlý postup s tím rozdílem, že n i = n j = ( 0 0 l 0 ) ( s) 2 = (1 + h 22 )l 2 Došlo ke změně vzdáleností bodů A a B Gravitační vlna je vlnou příčnou

8 Kapitola 2 Metoda zrcadlového náboje Máme uzemněný vodivý disk o poloměru R kolmý na osu z, ve vzdálenosti a umístíme náboj Q. Úlohy tohoto typu se řeší metodou zrcadlového náboje, kdy předpokládáme fiktivní náboj Q umístěný na záporné části osy z ve vzdálenosti a. Vypočteme potenciál disku v obecném bodě, z-ovou složku intenzity elektrického pole vstupující do disku(ta je postačující k dalším výpočtům), povrchovou hustotu náboje a indukovaný náboj. A zobrazíme průběh hustoty elektrického náboje v závislosti na poloměru disku. Dále uvažujeme nekonečnou rovinu kolmou na osuz s vyříznutým diskovým otvorem o poloměru R, jehož střed splývá s osou z. Dojdeme k závěru, že náboj indukovaný na rovině je roven náboji Q, který je zmenšený o náboj, který by se indukoval na disku o poloměru R. Tedy součet náboje indukovaného na disku a rovině je roven Q, což je intuitivní. Další část je věnována studiu elektrostatického pole disku a náboje. Výpočet potenciálu elektrostatického pole v obecném bodě je v případě nehomogenního rozložení hustoty náboje na disku velmi složité. Volíme proto případ kdy počítáme pouze intenzitu na ose z. 2.1 Hustota a velikost indukovaného náboje na povrchu uzemněného disku Obrázek 2.1: Metoda zrcadlového náboje a disk Problém vykazuje válcovou symetrii Válcová soustava souřadnic ( r, α, z ) a vzdálenost náboje Q od disku Q reálný náboj Q fiktivní náboj 8

9 R poloměr uzemněného disku Průvodiče Jejich velikost je Obrázek 2.2: K výpočtu vzdáleností obecnému bodu r 1 = ( r cos α, r sin α, z a ) r 1 = ( r cos α, r sin α, z + a ) r 1 = 3 x i = r 2 + (z a) i=1 r 1 = r 2 + (z + a) Potenciál elektrostatického pole od náboje Q a Q v obecném bodě [ ] ϕ = 1 n Q i = Q 1 4πε 0 r i 4πε 0 r2 + (z a) 1 2 r2 + (z + a) 2 i=1 Intenzita elektrostatického pole od náboje Q a Q v obecném bodě Ē = 1 n Q i r 4πε 0 ri 3 i = Q ( 1 r 4πε 0 r ) r r2 3 2 i=1 K určení hustoty náboje indukované na povrchu disku nám postačí z-ová komponenta Ē aq Ē z = 2πε 0 (r 2 + a 2 ) 3 2 Z relace pak Ze vztahu σ = ε 0 Ē z aq σ = 2π(r 2 + a 2 ) 3 2 Q I = S σds kde v našem případě ds = rdrdα pak indukovaný náboj na povrchu disku je roven Q I = aq R 0 r dr (r 2 + a 2 ) 3 2

10 Substituce t = r 2 + a 2 ; dt = 2rdr; dr = dt 2r Vede po dosazení na R [ ] [ R 1 1 a ] R Q i = aq dt = aq = aq 2 + a 2 0 2t3/2 r2 + a 2 0 a R 2 + a 2 PŘÍKLAD: R = 5; a = 1; Q = 1; Plot[ a Q/(2 Pi (r^2 + a^2)^(3/2)), {r, -R, R}, PlotRange -> All, Filling -> Bottom, AxesLabel -> {r, \[Sigma]}] Obrázek 2.3: Příklad rozložení hustoty elektrického náboje na disku v závislosti na r Qi = N[- a Q (Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, 0, R}]), 9] Uvažujme ještě případ, kdy máme nekonečnou vodivou rovinu a v ní diskovitý otvor, pak náboj indukovaný na rovině je roven Tedy součet Což intuitivně odpovídá. Pro náš konkrétní případ Q I2 = aq R r dr = aq (r 2 + a 2 ) 3 2 R2 + a 2 Qi + Q I2 = Q N[- a Q (Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, 0, R}])+ Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, R, Infinity}]), 9] -1

11 2.2 Elektrostatické pole disku a bodového náboje Snaha o výpočet elektrostatického pole disku s nerovnoměrným rozložením plošné hustoty náboje Obrázek 2.4: K výpočtu potenciálu disku s nehomogenním rozložením plošné hustoty náboje v obecném bodě r 5 = ( r cos α, r sin α, z ) r 4 = ( ρ cos θ, ρ sin θ, 0 ) r 6 = r 5 r 4 Velikost r 6 r 6 = r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ) Výpočet potenciálu z plošné hustoty náboje ϕ = 1 4πε 0 Po dosazení ϕ D = aq 4πε 0 2π R 0 0 S σ r 6 ds ρ 2 1 dρdθ (ρ 2 + a 2 ) 3/2 [r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ)] 1/2 Neznám metodu, kterou bych tento integrál spočetl + nepomůže ani Mathematica Potenciál disku(d) a bodového náboje(bn) { ϕ D+BN = Q 1 2π } R 4πε 0 [r 2 + (z a)] ρ 2 dρdθ 1/2 0 0 (ρ 2 + a 2 ) 3/2 [r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ)] 1/2 Další postup by byl výpočet intenzity elektrostatického pole Ē = gradϕ D+BN

12 Následné zobrazení intenzity elektrostatického pole v Mathematice. Případné zjednodušení úlohy, kdy uvažujeme pole jen na ose z ϕ D = aq R ρ 2 dρ 2ε 0 0 (ρ 2 + a 2 ) 3/2 (ρ 2 + z 2 ) 1/2 vede tento integrál na eliptické funkce, které úvodní kurzy matematiky na bakalářském studiu neobsahují. Nicméně je možné vypočítat intenzitu pole od disku na ose z ze vztahu Velikost tomto případě a dē = 1 dq i r 4πε 0 r6 3 6 Q i = r 6 = ρ 2 + z 2 aqρ dρ (ρ 2 + a 2 ) 3/2 Po dosazení E D = aq R ρz dρ 4πε 0 0 ((ρ 2 + a 2 )(ρ 2 + z 2 )) 3/2 Po integraci a dosazení mezí E D = aq z( a 2 2R 2 z 2 ) a2 + z 2 z( a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 ) 4πε 0 (a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 )(a 2 + z 2 ) Celková intenzita na ose z je [ E = aq 1 4πε 0 (r 2 + (z + a) 2 ) z( a2 2R 2 z 2 ) a2 + z 2 z( a 2 z 2 ) ] (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 ) 3/2 (a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 )(a 2 + z 2 )

13 Kapitola 3 Pohyb fotonů a volných částic v okolí černé díry S využitím variačního principu v obecné teorii relativity sestavíme pohybové rovnice pro foton a volnou částici. Vyšetříme průběhy potenciálů, zobrazíme je v Mathematice a stanovíme vzdálenosti kruhových orbit. V Mathematice vykreslíme pohyby částic a fotonů pro námi navolené parametry. 3.1 Cesta k pohybovým rovnicím δs = δ τ2 τ 1 Ldτ = 0. S akce L Lagrangian τ vlastní čas částice, v případě fotonu je nutné nahradit jakýmkoli afinním parametrem λ problém vede na Lagrangeovy rovnice 2.druhu kde d dτ [ ] L ( ) dx i dτ L = g ij dx i dτ L x i = 0 Pokud dl dx = 0 i tak existují tzv. cyklické souřadnice a k nim příslušející zobecněné hybnosti dx j dτ následně s využtím sestavíme analogii Binetova vzorce p i = L ( ) dx i dτ g ij p i p j = m 2 (3.1) 13

14 3.2 Průběh efektivního potenciálu volné částice Pracujeme v soustavě jednotek, kde c = G = 1, uvažujeme pohyb v ekvatoriální rovině θ = π/2 ( ds 2 = 1 r g r ) dt 2 + ( dr2 1 r g ) + r 2 dφ 2 r vnější Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole r g gravitační poloměr...zde je úniková rychlost rovna rychlosti světla r radiální souřadnice Platí ds 2 = g ij dx i dx j. pak L = [ ( 1 r ) g dt 2 r dτ 1 ( 2 1 r g r ] 1/2 ) dr2 dφ2 r2 dτ 2 dτ 2 Sestavení Lagrangeových rovnic 2. druhu cyklické souřadnice t a φ dvě zobecněné hybnosti ( p t = 1 r ) g dt r dτ = Ẽ Ẽ energie vztažená na jednotku hmotnosti p φ = r 2 dφ dτ = L L moment hybnosti vztažený na jednotku hmotnosti Dosadíme do rovnice (3.1) a upravíme ( ) 2 dr ( = dτ 2 Ẽ2 1 r ) ( g 1 + L ) 2 r r 2 (3.2) Výraz U ef efektivní potenciál Položme Hledáme extrémy ( U ef = 1 r ) ( g 1 + L ) 2 r r 2 du ef dr 2 L 2 r + r g 3 r + 3 L 2 r g = 0 r 4 Kvadratickou rovnici pro proměnnou r, jejiž kořeny jsou (po dosazení r g = 2M) r 1,2 = L [ ] 2 1 ± 1 12M 2 2M L 2 L > 12M = 0

15 PŘÍKLAD: V[u_, L_] := -u + L^2 u^2/2 - L^2 u^3 L=5 veff = Plot[V[1/r, L_], {r, 2.5, 80}, AxesLabel -> {"r/m", "V"}, PlotRange -> {{0, 80}, All}, Filling -> Bottom] Obrázek 3.1: Příklad závislosti efektivního potenciálu volné částice na r Vypočteme konkrétní hodnoty maxima a minima efektivního potenciálu dv[u_, L_]] := -1 + L^2 u - 3 L^2 u^2 maxmin = NSolve[dV[ex, L] == 0, ex] {{ex -> }, {ex -> }} vmin = V[ex /. maxmin[[1]], L] vmin...minimum efektivního potenciálu(stabilní kruhová orbita) vmax = V[ex /. maxmin[[2]], L] vmax...maximum efektivního potenciálu(labilní kruhová orbita) 3.3 Průběh efektivního potenciálu fotonu Postupujeme obdobně jako u volné částice jen vlastní čas nahradíme afinním parametrem a pravá strana rovnice (3.1) je rovna 0 ( ) 2 dr = dλ 2 Ẽ2 L 2 ( 1 r ) g r 2 r Výraz U ef = L 2 ( 1 r ) g r 2 r

16 U ef efektivní potenciál Položme Hledáme extrémy Pak po dosazení za r g = 2M du ef dr = 0 2r + 3r g = 0 r = 3M PŘÍKLAD: V[u_] := u^2*(1-2*u) veff = Plot[V[1/r], {r, 2, 10}, AxesLabel -> {"r/m", "V"}, PlotRange -> {{0, 10}, All}, Filling -> Bottom] Obrázek 3.2: Příklad závislosti efektivního potenciálu fotonu na r Vypočteme konkrétní hodnoty maxima efektivního potenciálu PŘÍKLAD: dv[u_] := 2 u - 6 u^2 maxmin = NSolve[dV[ex] == 0, ex] {{ex -> 0.}, {ex -> }} vmax = V[ex /. maxmin[[2]]] vmax...maximum efektivního potenciálu(labilní kruhová orbita) 3.4 Pohybová rovnice volné částice Rovnici (3.2) vynásobíme výrazem ( ) 2 dτ = r4 dφ L 2

17 Standardní substitucí r = 1/u pak Po derivaci a drobné úpravě PŘÍKLAD ( ) 2 du = 2Mu 3 u 2 + 2M L dφ u + Ẽ2 1 2 L 2 d 2 u dφ 2 3Mu2 + u = M L2 E = r0 = 20 v0 = -Sqrt[2*E (1-2/p0)*(1 + L^2/p0^2)] reseni = NDSolve[{rp [t] == -1/rp[t]^2 + L^2/rp[t]^3-3*L^2/rp[t]^4, phi [t] == L/rp[t]^2, rp[0] == r0, rp [0] == v0, phi[0] == 0}, {rp, phi}, {t, 0, 5000}] ParametricPlot[Evaluate[{rp[t]*Cos[phi[t]], rp[t]*sin[phi[t]]} /. reseni], {t, 0, 5000}, PlotStyle -> {Thickness[0.007]}] E kinetická energie částice(pohyb po elipse)

18 Obrázek 3.3: Vykreslení příkladu trajektorie volné částice 3.5 Pohybová rovnice fotonu Obdobně jako u volné částice PŘÍKLAD d 2 u dφ 3Mu2 + u = 0 b=12 r0 = 50 v0 = -Sqrt[1/b^2 - V[1/r0]] phi0 = ArcTan[r0, b] tm = 600; reseni = NDSolve[{rp [t] == 1/rp[t]^3-3/rp[t]^4, phi [t] == 1/rp[t]^2, rp[0] == r0, rp [0] == v0, phi[0] == phi0}, {rp, phi}, {t, 0, tm}] kr1 = ParametricPlot[Evaluate[{rp[t]*Cos[phi[t]], rp[t]*sin[phi[t]]} /. reseni], {t, 0, tm}, PlotStyle -> {Thickness[0.007]}]; kr2 = Graphics[Circle[{0, 0}, 2]];

19 kr3 = Graphics[{LightGray, Disk[{0, 0}, 2]}]; Show[{kr1, kr3, kr2}, PlotRange -> All] DALŠÍ PŘÍKLAD b=sqrt[27] r0 = 3 Obrázek 3.4: Ohyb fotonu v blízkosti černé díry Obrázek 3.5: Vykreslení příkladu kruhové trajektorie fotonu

20 Závěr Cílem projektu bylo zpracovat tři úlohy z oblasti matematické fyziky. A minimálně jednu úlohu vyřešit numericky na počítači. První úloha se týká gravitačních vln. Monochromatická rovinná gravitační vlna se šíří rychlostí světla. Vykazuje dva základní módy polarizace. Jedná se o příčnou vlnu. Druhá úloha se věnuje metodě zrcadlového náboje. Vypočetli jsme hustotu indukovaného náboje a zobrazili její průběh v závislosti na r a vypočetli na počítači i ručně velikost indukovaného náboje. Při výpočtu potenciálu disku a bodového náboje v obecném bodě, následném výpočtu intenzity a případném vykreslení elektrostatického pole jsme narazili na neřešitelný integrál. Třetí úloha se zabývá pohybem volných částic a fotonů v okolí černé díry(se Schwarzschildovou metrikou). Odvodili jsem pohybové rovnice pro foton a volnou částici. Vyšetřili jsem průběh efektivních potenciálů. Namodelovali jsem pohyb fotonu a volné částice na počítači. 20

21 Literatura [1] ČECHOVÁ, M., VYŠÍN, I. Teorie elektromagnetického pole. Olomouc: Vydavatelství Univerzity Palackého, [2] DVOŘÁK, L. Obecná teorie relativity a moderní fyzikální obraz vesmíru. Praha: SPN, [3] HORSKÝ, J., NOVOTNÝ, J., ŠTEFANÍK, M. Mechanika ve fyzice. Praha: Academia, ISBN [4] KUCHAŘ, K. Základy obecné teorie relativity. Praha: Academia,

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče

Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče Cvičení 3 Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu Aplikace kvantové mechaniky pásová struktura polovodiče Nosiče náboje v polovodiči hustota stavů obsazovací funkce, Fermiho hladina koncentrace

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

Světlo v multimódových optických vláknech

Světlo v multimódových optických vláknech Světlo v multimódových optických vláknech Tomáš Tyc Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 61137 Brno Úvod Optické vlákno je pozoruhodný fyzikální systém: téměř dokonalý

Více

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 4: Balmerova série vodíku. Abstrakt

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 4: Balmerova série vodíku. Abstrakt FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření:.. 00 Úloha 4: Balmerova série vodíku Jméno: Jiří Slabý Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek:. ročník,. kroužek, pondělí 3:30 Spolupracovala: Eliška Greplová

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

4.1 Shrnutí základních poznatků

4.1 Shrnutí základních poznatků 4.1 Shrnutí základních poznatků V celé řadě konstrukcí se setkáváme s případy, kdy o nosnosti nerozhoduje pevnost materiálu, ale stabilitní stav rovnováhy. Tuto problematiku souhrnně nazýváme stabilita

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNIKY ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNKY 1. Rovinný úhel α (rad) arcα a/r a'/l (pro malé, zorné, úhly) α a α a' a arcα / π α/36 (malým se rozumí r/a >3 až 5) r l. Prostorový úhel Ω S/r (sr) steradián, Ω 4π 1 spat

Více

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první

Více

Spontánní sestupná frekvenční konverze v nelineárních vrstevnatých strukturách

Spontánní sestupná frekvenční konverze v nelineárních vrstevnatých strukturách Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Spontánní sestupná frekvenční konverze v nelineárních vrstevnatých strukturách Jan Peřina ml. Olomouc 212 Oponenti: RNDr. Antonín Lukš, CSc. Mgr.

Více

5.2.4 Rayleighova Taylorova nestabilita

5.2.4 Rayleighova Taylorova nestabilita 74 Nestability v plazmatu 5..4 Rayleighova Taylorova nestabilita Rayleighova Taylorova nestabilita (RT nestabilita) vzniká na rozhraní dvou tekutin různých hustot (například je-li v gravitačním poli hustší

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

ŠROUBOVÉ SPOJE VÝKLAD

ŠROUBOVÉ SPOJE VÝKLAD ŠROUBOVÉ SPOJE VÝKLAD Šroubové spoje patří mezi rozebíratelné spoje s tvarovým stykem (lícovaný šroub), popřípadě silovým stykem (šroub prochází součástí volně, je zatížený pouze silou působící kolmo k

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

Modelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti

Modelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti Modeování kmitavých soustav s jedním stupněm vonosti Zpracova Doc. RNDr. Zdeněk Haváč, CSc 1. Zákadní mode Zákadním modeem kmitavé soustavy s jedním stupněm vonosti je tzv. diskrétní podéně kmitající mode,

Více

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání

Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání Grantový projekt FRVŠ MŠMT č.97/7/f/a Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v obasti tepotního namáhání Některé apikace a ukázky konkrétních řešení tepeného namáhání těes. Autorky:

Více

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO rozevřete, až se prsty narovnají, a znovu rychle tyč uchopte. Tuto dobu změříte stopkami velmi obtížně. Poměrně přesně dokážete zjistit, kam se posunulo na tyči místo úchopu. Vzdálenost obou míst, v nichž

Více

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením

Více

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Geodézie přednáška 9 Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Určování výměr určování

Více

APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA

APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC A JIŘÍ VONDRÁK APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA MODUL 01 OPTICKÁ ZOBRAZENÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015

. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015 . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná

Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná měření parametrů plazmatu Vypracovali: Štěpán Roučka, Jan Klusoň Zadání: Měření admitance kolíku impedančního transformátoru v závislosti na hloubce zapuštění.

Více

Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce

Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Geodézie přednáška 3 Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Geodetické vytyčovací práce řeší úlohu

Více

I Mechanika a molekulová fyzika

I Mechanika a molekulová fyzika Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I Mechanika a molekulová fyzika Úloha č.: XVII Název: Studium otáčení tuhého tělesa Pracoval: Pavel Brožek stud. skup. 12

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Základní radiometrické veličiny

Základní radiometrické veličiny Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Aplikovaná optika. Optika. Vlnová optika. Geometrická optika. Kvantová optika. - pracuje s čistě geometrickými představami

Aplikovaná optika. Optika. Vlnová optika. Geometrická optika. Kvantová optika. - pracuje s čistě geometrickými představami Aplikovaná optika Optika Geometrická optika Vlnová optika Kvantová optika - pracuje s čistě geometrickými představami - zanedbává vlnovou a kvantovou povahu světla - elektromagnetická teorie světla -světlo

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

9. Umělé osvětlení. 9.1 Základní veličiny. e. (9.1) I =. (9.6)

9. Umělé osvětlení. 9.1 Základní veličiny. e. (9.1) I =. (9.6) 9. Umělé osvětlení Umělé osvětlení vhodně doplňuje nebo cela nahrauje denní osvětlení v případě jeho nedostatku a tím přispívá ke lepšení rakové pohody člověka. Umělé osvětlení ale potřebuje droj energie,

Více

Fyzikální praktikum ( optika)

Fyzikální praktikum ( optika) Fyzikální praktikum ( optika) OPT/FP4 a OPT/P2 Jan Ponec Určeno pro studenty všech kombinací s fyzikou Olomouc 2011 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Diplomová práce. Sbírka úloh z mechaniky kontinua PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO KATEDRA TEORETICKÉ FYZIKY. Vypracoval: Michal Kolář

Diplomová práce. Sbírka úloh z mechaniky kontinua PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO KATEDRA TEORETICKÉ FYZIKY. Vypracoval: Michal Kolář PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO KATEDRA TEORETICKÉ FYZIKY Diplomová práce Sbírka úloh z mechaniky kontinua Vypracoval: Michal Kolář studující V. ročníku obor M F studijní rok 00/003 Vedoucí

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané

Více

OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE

OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE OPTIKA OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE - jeden z nejstarších oborů yziky - studium světla, zákonitostí jeho šíření a analýza dějů při vzájemném působení světla a látky SVĚTLO elektromagnetické vlnění λ = 380 790

Více

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Bobtnání dřeva Fyzikální vlastnosti dřeva Protokol č.3 Vypracoval: Pavel Lauko Datum cvičení: 24.9.2002 Obor: DI Datum vyprac.: 10.12.02 Ročník: 2. Skupina:

Více

Dostáváte do rukou zadání druhé série svého oblíbeného Fyzikálního korespondenčního

Dostáváte do rukou zadání druhé série svého oblíbeného Fyzikálního korespondenčního Milí řešitelé! Dostáváte do rukou zadání druhé série svého oblíbeného Fyzikálního korespondenčního semináře. Doufáme, že se vám naše úlohy budou líbit a pošlete nám svá řešení, na která již nyní netrpělivě

Více

Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky. i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu?

Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky. i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu? Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu? Kapitola vstupních parametrů 1. Výběr materiálu a nastavení jednotek 1.1 Jednotky výpočtu 1.2 Materiál SI Units

Více

Učební text k přednášce UFY008

Učební text k přednášce UFY008 Lom hranolem lámavé stěny lámavá hrana lámavý úhel ϕ deviace δ úhel, o který je po výstupu z hranolu vychýlen světelný paprsek ležící v rovině kolmé k lámavé hraně (v tzv. hlavním řezu hranolu), který

Více

Fyzikální praktikum 1. Úloha č. 10: Tepelná vodivost pevných látek

Fyzikální praktikum 1. Úloha č. 10: Tepelná vodivost pevných látek Ústav fyzikální elektroniky Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 1 Úloha č. 10: Tepelná vodivost pevných látek 1 Základní vztahy jarní semestr 2013 Tepelná vodivost je

Více

Michal Zamboj. January 4, 2018

Michal Zamboj. January 4, 2018 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

Fyzika pro chemiky II. Jarní semestr 2014. Elektromagnetické vlny a optika Fyzika mikrosvěta Fyzika pevných látek. Petr Mikulík. Maloúhlový rozptyl

Fyzika pro chemiky II. Jarní semestr 2014. Elektromagnetické vlny a optika Fyzika mikrosvěta Fyzika pevných látek. Petr Mikulík. Maloúhlový rozptyl Fyzika pro chemiky II Jarní semestr 2014 Elektromagnetické vlny a optika Fyzika mikrosvěta Fyzika pevných látek Petr Mikulík Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita,

Více

Geometrická optika. Aberace (vady) optických soustav

Geometrická optika. Aberace (vady) optických soustav Geometická optika Abeace (vady) optických soustav abeace (vady) optických soustav jsou odchylky zobazení eálné optické soustavy od zobazení ideální optické soustavy v důsledku abeací není obazem bodu bod,

Více

22.9. 29.9. 11. Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická Božetěchova 3, Olomouc Laboratoře elektrotechnických měření

22.9. 29.9. 11. Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická Božetěchova 3, Olomouc Laboratoře elektrotechnických měření Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická Božetěchova 3, Olomouc Laboratoře elektrotechnických měření Název úlohy Číslo úlohy MĚŘENÍ NA VEDENÍ 102-4R-T,S Zadání 1. Sestavte měřící

Více

Praktická geometrická optika

Praktická geometrická optika Praktická geometrická optika Václav Hlaváč České vysoké učení technické v Praze Centrum strojového vnímání (přemosťuje skupiny z) Český institut informatiky, robotiky a kybernetiky Fakulta elektrotechnická,

Více

Polarizační vlastnosti antén

Polarizační vlastnosti antén ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Katedra elektromagnetického pole Diplomová práce Polarizační vlastnosti antén Vypracoval: Bc. Radim Oliva Vedoucí práce: prof. Ing. Miloš Mazánek,

Více

OPTIKA Světelné jevy TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.

OPTIKA Světelné jevy TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. OPTIKA Světelné jevy TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. Rozklad světla Když světlo prochází hranolem, v důsledku dvojnásobného lomu na rozhraních

Více

4 Příklady Fraunhoferových difrakčních jevů

4 Příklady Fraunhoferových difrakčních jevů 47 4 Příklady Fraunhoferových difrakčních jevů 4.1 Fraunhoferova difrakce na obdélníkovém otvoru 4.2 Fraunhoferova difrakce na stěrbině 4.3 Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru 4.4 Fraunhoferova difrakce

Více

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2 Fyzikální sekce přírodovědecké faklty Masarykovy niverzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Fyzikální praktikm 2 Zpracoval: Jakb Jránek Naměřeno: 24. září 2012 Obor: UF Ročník: II Semestr: III Testováno: Úloha

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny Elektromagnetické vlny Optika, část fyziky zabývající se světlem, patří spolu s mechanikou k nejstarším fyzikálním oborům. Podle jedné ze starověkých teorií je světlo vyzařováno z oka a oko si jím ohmatává

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3D MODELY TENZORU NAPJATOSTI 3D MODELS OF STRESS TENSOR

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3D MODELY TENZORU NAPJATOSTI 3D MODELS OF STRESS TENSOR VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMOBILNÍHO A DOPRAVNÍHO FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMOTIVE ENGINEERING 3D MODELY

Více

Laboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny

Laboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY Laboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY FYZIKÁLNA 2. ročník šestiletého studia

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Praktikum III - Optika

Praktikum III - Optika Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum III - Optika Úloha č. 3 Název: Mřížkový spektrometr Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.: 13 dne: 10. 4. 2008 Odevzdal dne:...

Více

Technická mechanika - Statika

Technická mechanika - Statika Technická mechanika - Statika Elektronická učebnice Ing. Jaromír Petr Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Statika tuhých těles...

Více

I. Statické elektrické pole ve vakuu

I. Statické elektrické pole ve vakuu I. Statické elektické pole ve vakuu Osnova:. Náboj a jeho vlastnosti 2. Coulombův zákon 3. Intenzita elektostatického pole 4. Gaussova věta elektostatiky 5. Potenciál elektického pole 6. Pole vodiče ve

Více

Praktikum III - Optika

Praktikum III - Optika Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum III - Optika Úloha č. 1 Název: Studium rotační disperze křemene a Kerrova jevu v kapalině Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.:

Více

Rotující kotouče Drahomír Rychecký Drahomír Rychecký Rotující kotouče

Rotující kotouče Drahomír Rychecký Drahomír Rychecký Rotující kotouče Nabídka Kotouče bez otvoru Obecná úloha zde Volný kotouč zde Kotouč zatížený tahovým napětím na vnějším poloměru zde Kotouče s otvorem Obecná úloha zde Volný kotouč zde Kotouč zatížený tahovým napětím

Více

Dodatek A Einsteinova sumační konvence a její použití

Dodatek A Einsteinova sumační konvence a její použití Dodatky 330 Dodatky Dodatek A Einsteinova sumační konvence a její použití A1 Einsteinova sumační konvence Vyskytnou-li se ve výrazu dva stejné indexy, potom přes ně automaticky sčítáme. Sčítací indexy

Více

Astronomická pozorování

Astronomická pozorování KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové

Více

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K zvuk každé mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem akustika zabývá se fyzikálními ději spojenými se vznikem zvukového vlnění, jeho šířením a vnímáním

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. Přírodovědecká fakulta. Katedra optiky. Jana Grézlová. Obor: Digitální a přístrojová optika.

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. Přírodovědecká fakulta. Katedra optiky. Jana Grézlová. Obor: Digitální a přístrojová optika. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra optiky Jana Grézlová Obor: Digitální a přístrojová optika Optimalizace podmínek použití širokopásmových zrcadel a dichroických filtrů ve spektrometru

Více

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Téma: Světlo a stín Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Objekty na nebeské sféře září ve viditelném spektru buď vlastním světlem(hvězdy, galaxie) nebo světlem odraženým(planety, planetky, satelity).

Více

Praktická geometrická optika

Praktická geometrická optika Praktická geometrická optika Václav Hlaváč České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická, katedra kybernetiky Centrum strojového vnímání http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac, hlavac@fel.cvut.cz

Více

Fyzikální praktikum 2. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr

Fyzikální praktikum 2. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr Úkoly k měření Povinná část Měření

Více

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima KULOVÁ ZRCADLA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima Zakřivená zrcadla Zrcadla, která nejsou rovinná Platí pro ně zákon odrazu, deformují obraz My se budeme zabývat speciálním typem zakřivených

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

Program: Analýza kinematiky a dynamiky klikového mechanismu čtyřdobého spalovacího motoru

Program: Analýza kinematiky a dynamiky klikového mechanismu čtyřdobého spalovacího motoru Program: Analýza kinematiky a dynamiky klikového mechanismu čtyřdobého spalovacího motoru Zadání: Pro předložený čtyřdobý jednoválcový zážehový motor proveďte výpočet silového zatížení klikového mechanismu

Více

Geometrická optika 1

Geometrická optika 1 Geometrická optika 1 Popis pomocí světelných paprsků těmi se šíří energie a informace, zanedbává vlnové vlastnosti světla světelný paprsek = přímka, podél níž se šíří světlo, jeho energie index lomu (základní

Více

AKUSTICK E JEVY V KONTINU ICH Petr Hora 30. kvˇ etna 2001

AKUSTICK E JEVY V KONTINU ICH Petr Hora 30. kvˇ etna 2001 AKUSTICKÉ JEVY V KONTINUÍCH Petr Hora 30. května 2001 Tento text obsahuje sylabus přednášek z předmětu Akustické jevy v kontinuích (AJK), který se přednáší na Fakultě aplikovaných věd Západočeské univerzity

Více

Akustická měření - měření rychlosti zvuku

Akustická měření - měření rychlosti zvuku Akustická měření - měření rychlosti zvuku Úkol : 1. Pomocí přizpůsobené Kundtovy trubice určete platnost vztahu λ = v / f. 2. Určete rychlost zvuku ve vzduchu pomocí Kundtovy a Quinckeho trubice. Pomůcky

Více

Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí

Více

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

Pavel Burda Jarmila Doležalová

Pavel Burda Jarmila Doležalová VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA III Pavel Burda Jarmila Doležalová Vytvořeno v rámci projetu Operačního programu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.0/..15.1/0016 Studijní opory

Více

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA HYDROMECHANIKA HYDROSTATIKA základní zákon hdrostatik Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA Hdrostatika - obsah Základn

Více

Základy rádiové navigace

Základy rádiové navigace Základy rádiové navigace Obsah Definice pojmů Způsoby navigace Principy rádiové navigace Pozemské navigační systémy Družicové navigační systémy Definice pojmů Navigace Vedení prostředku po stanovené trati

Více

Vypracoval. Jakub Kákona Datum Hodnocení

Vypracoval. Jakub Kákona Datum Hodnocení Úloha č. 1 - Polarizace světelného záření Název a číslo úlohy Datum měření 4. 5. 2011 Měření provedli Tomáš Zikmund, Jakub Kákona Vypracoval Jakub Kákona Datum Hodnocení 1 Zjištění polarizace LASERu Pro

Více

Řešení testu 1b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021. 19. listopadu 2015

Řešení testu 1b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021. 19. listopadu 2015 Řešení testu b Fyzika I (Mechanika a olekulová fyzika) NOFY0 9. listopadu 05 Příklad Zadání: Kulička byla vystřelena vodorovně rychlostí 0 /s do válcové roury o průěru a koná pohyb naznačený na obrázku.

Více

Vedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua

Vedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Vedení tepla v MKP Stacionární úlohy (viz dále) Konstantní tepelné toky Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Nestacionární úlohy (analogické dynamice stavebních konstrukcí) 1 Základní rovnice

Více

NÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI

NÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI NÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI Petr Vojčinák, Martin Pieš, Radovan Hájovský Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra měřicí a

Více