Projekty do předmětu MF
|
|
- Šimon Macháček
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní obor: Obecná fyzika a matematická fyzika Vedoucí předmětu: prof. RNDr. Jiří Bajer, CSc. Termín odevzdání práce: květen 2012
2 Obsah Úvod 3 1 Gravitační vlny Rychlost šíření gravitační vlny Polarizace gravitační vlny Typ gravitační vlny Metoda zrcadlového náboje Hustota a velikost indukovaného náboje na povrchu uzemněného disku Elektrostatické pole disku a bodového náboje Pohyb fotonů a volných částic v okolí černé díry Cesta k pohybovým rovnicím Průběh efektivního potenciálu volné částice Průběh efektivního potenciálu fotonu Pohybová rovnice volné částice Pohybová rovnice fotonu Závěr 20 Literatura 21 2
3 Úvod Cílem předmětu bylo vypracovat tři projekty z oblasti matematické fyziky, podle vlastního návrhu, nebo podle návrhu vedoucího předmětu. V minimálně v jeden případ zpracovat na počítači. První část se zabývá gravitačními vlnami v plochém prostoročase. Druhá elektrostatickým polem generovaným bodovým nábojem a vodivým diskem s využitím metody zrcadlového náboje. Třetí část je věnována pohybu částic a světelných paprsků v okolí černé díry popsané Schwarzschildovou metrikou. Obrázky jsou vytvořeny v programu Macromedia Flash MX Pro počítačové modely byl použit program Wolfram Mathematica 6. Text byl vysázen typografickým softwarem L A TEX. Práce byla vypracována na základě znalostí poskytnutých v základním kurzu fyziky a použité literatury. 3
4 Kapitola 1 Gravitační vlny 1.1 Rychlost šíření gravitační vlny Do rovnice pro slabou gravitační vlnu dosadíme řešení ve tvaru rovinné monochromatické vlny a ze znalosti tenzorové algebry a de Broglieho vztahu, kde pro jednoduchost volíme = 1, odvodíme rychlost šíření gravitační vlny. h ij = η mn h ij,mn = 0 (1.1) Linearizované rovnice gravitačního pole. označujeme D alambertův operátor h ij velmi malé odchylky od euklidovské geometrie Slabá gravitační vlna h ij 1 η mn kontravariantní složky Minkowského tenzoru,mn druhé parciální derivace podle m-té a n-té souřadnice Pravá strana rovnice (1.1) je rovna 0 Gravitační vlna se šíří vakuem Předpokládáme řešení ve tvaru monochromatické rovinné vlny h ij = H ij e ik lx l (1.2) H ij amplituda gravitační vlny k l l-tá kovariantní složka vlnového čtyřvektoru x l l-tá složka radiusvektoru Provedeme derivaci (1.2) podle m-té a n-té souřadnice a dosadíme do (1.1) η mn H ij k m k n e ik lx l = 0 (1.3) Platí Rovnici (1.3) lze splnit jen pokud η mn k n = k m k m k m = 0 Gravitační vlna se šíří rychlostí světla POZN: k m k m = (p m p m ) = 0 Platí pro fotony a ty jak je známo se pohybují rychlostí c Rychlost šíření gravitační vlny je rovna rychlosti světla. 4
5 1.2 Polarizace gravitační vlny Složky amplitudy gravitační vlny tvoří symetrický tenzor druhého řádu o deseti složkách. K jejich redukci při zachování měřitelných veličin využijmeme příslušný tvar kalibrační podmínky (1.4). Zbylé složky tenzoru jsou nezávislé a tudíž jim budou odpovídat nezávislé polarizace. Symetrický tenzor H ij = H 00 H 01 H 02 H 03 H 10 H 11 H 12 H 13 H 20 H 21 H 22 H 23 H 30 H 31 H 32 H 33 (1.4) H ij = H ij (1.5) 10 rovnic Kalibrační podmínka = zjednodušení tvaru rovnic při zachování měřitelných veličin Tato podmínka vede po dosazení na tvar Mějme vlnu, která se šíří ve směru osy x 1 h j i,j = 1 2 hk k,i H ij k j = 1 2 Hk k k i (1.6) H k k = H 00 + H 11 + H 22 + H 33 (1.7) k i = ω c ( ) (1.8) a k i = ω c ( ) (1.9) Do rovnice (1.6) dosadíme (1.4), (1.8) a (1.9) H 10 = 1 2 (H 00 + H 11 ) H 21 = H 20 H 21 = H 30 Pak z rovnice (1.5) plyne H ij = H 22 H 23 H 32 H 33 Čtyři komponenty kalibrační podmínky neodstraní Z rovnice (1.5) víme H 23 = H 32 (1.10) a z rovnice (1.7) dostaneme H 22 = H 33 (1.11) Dvě nezávislé složky amplitudy Dvě nezávislé polarizace gravitační vlny NAPŘ: H 22 0,H 23 = 0; H 22 = 0,H 23 0
6 1.3 Typ gravitační vlny Předpokládáme slabou gravitační vlnu šířící se ve směru osy x 1. Ve dvou případech sledujeme jak se mění prostorová vzdálenost bodů A a B při průchodu gravitační vlny. V prvním případě se body A a B nalézají přímo na ose x 1. V Druhém případě se nalézají na ose x 2, která je na osu x 1 kolmá. Obrázek 1.1: Popis případu kdy bod A i B leží na ose x 1 ( s) 2 = (η ij + h ij )(x i (A) x i (B))(x j (A) xj (B) ) (1.12) ( s) 2 čtverec prostorové vzdálenosti bodů A a B η ij kovariantní složky Minkowského tenzoru (x i (A) xi (B) ) = ni (x j (A) xj (B) ) = nj Pro náš případ n i = n j = ( 0 l 0 0 ) (1.13) Do rovnice (1.12) dosadíme (1.13) a (1.2) za předpokladu (1.10) a (1.11) ( s) 2 = l 2 Po odmocnění vidíme, že nedošlo k žádné změně vzdáleností mezi body A a B nejedná se tedy o vlnu podélnou, jelikož ta by vzdálenosti bodů ovlivnila.
7 Obrázek 1.2: Popis případu kdy bod A i B leží na ose x 2 Opakujeme předešlý postup s tím rozdílem, že n i = n j = ( 0 0 l 0 ) ( s) 2 = (1 + h 22 )l 2 Došlo ke změně vzdáleností bodů A a B Gravitační vlna je vlnou příčnou
8 Kapitola 2 Metoda zrcadlového náboje Máme uzemněný vodivý disk o poloměru R kolmý na osu z, ve vzdálenosti a umístíme náboj Q. Úlohy tohoto typu se řeší metodou zrcadlového náboje, kdy předpokládáme fiktivní náboj Q umístěný na záporné části osy z ve vzdálenosti a. Vypočteme potenciál disku v obecném bodě, z-ovou složku intenzity elektrického pole vstupující do disku(ta je postačující k dalším výpočtům), povrchovou hustotu náboje a indukovaný náboj. A zobrazíme průběh hustoty elektrického náboje v závislosti na poloměru disku. Dále uvažujeme nekonečnou rovinu kolmou na osuz s vyříznutým diskovým otvorem o poloměru R, jehož střed splývá s osou z. Dojdeme k závěru, že náboj indukovaný na rovině je roven náboji Q, který je zmenšený o náboj, který by se indukoval na disku o poloměru R. Tedy součet náboje indukovaného na disku a rovině je roven Q, což je intuitivní. Další část je věnována studiu elektrostatického pole disku a náboje. Výpočet potenciálu elektrostatického pole v obecném bodě je v případě nehomogenního rozložení hustoty náboje na disku velmi složité. Volíme proto případ kdy počítáme pouze intenzitu na ose z. 2.1 Hustota a velikost indukovaného náboje na povrchu uzemněného disku Obrázek 2.1: Metoda zrcadlového náboje a disk Problém vykazuje válcovou symetrii Válcová soustava souřadnic ( r, α, z ) a vzdálenost náboje Q od disku Q reálný náboj Q fiktivní náboj 8
9 R poloměr uzemněného disku Průvodiče Jejich velikost je Obrázek 2.2: K výpočtu vzdáleností obecnému bodu r 1 = ( r cos α, r sin α, z a ) r 1 = ( r cos α, r sin α, z + a ) r 1 = 3 x i = r 2 + (z a) i=1 r 1 = r 2 + (z + a) Potenciál elektrostatického pole od náboje Q a Q v obecném bodě [ ] ϕ = 1 n Q i = Q 1 4πε 0 r i 4πε 0 r2 + (z a) 1 2 r2 + (z + a) 2 i=1 Intenzita elektrostatického pole od náboje Q a Q v obecném bodě Ē = 1 n Q i r 4πε 0 ri 3 i = Q ( 1 r 4πε 0 r ) r r2 3 2 i=1 K určení hustoty náboje indukované na povrchu disku nám postačí z-ová komponenta Ē aq Ē z = 2πε 0 (r 2 + a 2 ) 3 2 Z relace pak Ze vztahu σ = ε 0 Ē z aq σ = 2π(r 2 + a 2 ) 3 2 Q I = S σds kde v našem případě ds = rdrdα pak indukovaný náboj na povrchu disku je roven Q I = aq R 0 r dr (r 2 + a 2 ) 3 2
10 Substituce t = r 2 + a 2 ; dt = 2rdr; dr = dt 2r Vede po dosazení na R [ ] [ R 1 1 a ] R Q i = aq dt = aq = aq 2 + a 2 0 2t3/2 r2 + a 2 0 a R 2 + a 2 PŘÍKLAD: R = 5; a = 1; Q = 1; Plot[ a Q/(2 Pi (r^2 + a^2)^(3/2)), {r, -R, R}, PlotRange -> All, Filling -> Bottom, AxesLabel -> {r, \[Sigma]}] Obrázek 2.3: Příklad rozložení hustoty elektrického náboje na disku v závislosti na r Qi = N[- a Q (Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, 0, R}]), 9] Uvažujme ještě případ, kdy máme nekonečnou vodivou rovinu a v ní diskovitý otvor, pak náboj indukovaný na rovině je roven Tedy součet Což intuitivně odpovídá. Pro náš konkrétní případ Q I2 = aq R r dr = aq (r 2 + a 2 ) 3 2 R2 + a 2 Qi + Q I2 = Q N[- a Q (Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, 0, R}])+ Integrate[r/((r^2 + a^2)^(3/2)), {r, R, Infinity}]), 9] -1
11 2.2 Elektrostatické pole disku a bodového náboje Snaha o výpočet elektrostatického pole disku s nerovnoměrným rozložením plošné hustoty náboje Obrázek 2.4: K výpočtu potenciálu disku s nehomogenním rozložením plošné hustoty náboje v obecném bodě r 5 = ( r cos α, r sin α, z ) r 4 = ( ρ cos θ, ρ sin θ, 0 ) r 6 = r 5 r 4 Velikost r 6 r 6 = r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ) Výpočet potenciálu z plošné hustoty náboje ϕ = 1 4πε 0 Po dosazení ϕ D = aq 4πε 0 2π R 0 0 S σ r 6 ds ρ 2 1 dρdθ (ρ 2 + a 2 ) 3/2 [r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ)] 1/2 Neznám metodu, kterou bych tento integrál spočetl + nepomůže ani Mathematica Potenciál disku(d) a bodového náboje(bn) { ϕ D+BN = Q 1 2π } R 4πε 0 [r 2 + (z a)] ρ 2 dρdθ 1/2 0 0 (ρ 2 + a 2 ) 3/2 [r 2 + ρ 2 + z 2 2ρr cos (α θ)] 1/2 Další postup by byl výpočet intenzity elektrostatického pole Ē = gradϕ D+BN
12 Následné zobrazení intenzity elektrostatického pole v Mathematice. Případné zjednodušení úlohy, kdy uvažujeme pole jen na ose z ϕ D = aq R ρ 2 dρ 2ε 0 0 (ρ 2 + a 2 ) 3/2 (ρ 2 + z 2 ) 1/2 vede tento integrál na eliptické funkce, které úvodní kurzy matematiky na bakalářském studiu neobsahují. Nicméně je možné vypočítat intenzitu pole od disku na ose z ze vztahu Velikost tomto případě a dē = 1 dq i r 4πε 0 r6 3 6 Q i = r 6 = ρ 2 + z 2 aqρ dρ (ρ 2 + a 2 ) 3/2 Po dosazení E D = aq R ρz dρ 4πε 0 0 ((ρ 2 + a 2 )(ρ 2 + z 2 )) 3/2 Po integraci a dosazení mezí E D = aq z( a 2 2R 2 z 2 ) a2 + z 2 z( a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 ) 4πε 0 (a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 )(a 2 + z 2 ) Celková intenzita na ose z je [ E = aq 1 4πε 0 (r 2 + (z + a) 2 ) z( a2 2R 2 z 2 ) a2 + z 2 z( a 2 z 2 ) ] (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 ) 3/2 (a 2 z 2 ) (a 2 + R 2 )(z 2 + R 2 )(a 2 + z 2 )
13 Kapitola 3 Pohyb fotonů a volných částic v okolí černé díry S využitím variačního principu v obecné teorii relativity sestavíme pohybové rovnice pro foton a volnou částici. Vyšetříme průběhy potenciálů, zobrazíme je v Mathematice a stanovíme vzdálenosti kruhových orbit. V Mathematice vykreslíme pohyby částic a fotonů pro námi navolené parametry. 3.1 Cesta k pohybovým rovnicím δs = δ τ2 τ 1 Ldτ = 0. S akce L Lagrangian τ vlastní čas částice, v případě fotonu je nutné nahradit jakýmkoli afinním parametrem λ problém vede na Lagrangeovy rovnice 2.druhu kde d dτ [ ] L ( ) dx i dτ L = g ij dx i dτ L x i = 0 Pokud dl dx = 0 i tak existují tzv. cyklické souřadnice a k nim příslušející zobecněné hybnosti dx j dτ následně s využtím sestavíme analogii Binetova vzorce p i = L ( ) dx i dτ g ij p i p j = m 2 (3.1) 13
14 3.2 Průběh efektivního potenciálu volné částice Pracujeme v soustavě jednotek, kde c = G = 1, uvažujeme pohyb v ekvatoriální rovině θ = π/2 ( ds 2 = 1 r g r ) dt 2 + ( dr2 1 r g ) + r 2 dφ 2 r vnější Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole r g gravitační poloměr...zde je úniková rychlost rovna rychlosti světla r radiální souřadnice Platí ds 2 = g ij dx i dx j. pak L = [ ( 1 r ) g dt 2 r dτ 1 ( 2 1 r g r ] 1/2 ) dr2 dφ2 r2 dτ 2 dτ 2 Sestavení Lagrangeových rovnic 2. druhu cyklické souřadnice t a φ dvě zobecněné hybnosti ( p t = 1 r ) g dt r dτ = Ẽ Ẽ energie vztažená na jednotku hmotnosti p φ = r 2 dφ dτ = L L moment hybnosti vztažený na jednotku hmotnosti Dosadíme do rovnice (3.1) a upravíme ( ) 2 dr ( = dτ 2 Ẽ2 1 r ) ( g 1 + L ) 2 r r 2 (3.2) Výraz U ef efektivní potenciál Položme Hledáme extrémy ( U ef = 1 r ) ( g 1 + L ) 2 r r 2 du ef dr 2 L 2 r + r g 3 r + 3 L 2 r g = 0 r 4 Kvadratickou rovnici pro proměnnou r, jejiž kořeny jsou (po dosazení r g = 2M) r 1,2 = L [ ] 2 1 ± 1 12M 2 2M L 2 L > 12M = 0
15 PŘÍKLAD: V[u_, L_] := -u + L^2 u^2/2 - L^2 u^3 L=5 veff = Plot[V[1/r, L_], {r, 2.5, 80}, AxesLabel -> {"r/m", "V"}, PlotRange -> {{0, 80}, All}, Filling -> Bottom] Obrázek 3.1: Příklad závislosti efektivního potenciálu volné částice na r Vypočteme konkrétní hodnoty maxima a minima efektivního potenciálu dv[u_, L_]] := -1 + L^2 u - 3 L^2 u^2 maxmin = NSolve[dV[ex, L] == 0, ex] {{ex -> }, {ex -> }} vmin = V[ex /. maxmin[[1]], L] vmin...minimum efektivního potenciálu(stabilní kruhová orbita) vmax = V[ex /. maxmin[[2]], L] vmax...maximum efektivního potenciálu(labilní kruhová orbita) 3.3 Průběh efektivního potenciálu fotonu Postupujeme obdobně jako u volné částice jen vlastní čas nahradíme afinním parametrem a pravá strana rovnice (3.1) je rovna 0 ( ) 2 dr = dλ 2 Ẽ2 L 2 ( 1 r ) g r 2 r Výraz U ef = L 2 ( 1 r ) g r 2 r
16 U ef efektivní potenciál Položme Hledáme extrémy Pak po dosazení za r g = 2M du ef dr = 0 2r + 3r g = 0 r = 3M PŘÍKLAD: V[u_] := u^2*(1-2*u) veff = Plot[V[1/r], {r, 2, 10}, AxesLabel -> {"r/m", "V"}, PlotRange -> {{0, 10}, All}, Filling -> Bottom] Obrázek 3.2: Příklad závislosti efektivního potenciálu fotonu na r Vypočteme konkrétní hodnoty maxima efektivního potenciálu PŘÍKLAD: dv[u_] := 2 u - 6 u^2 maxmin = NSolve[dV[ex] == 0, ex] {{ex -> 0.}, {ex -> }} vmax = V[ex /. maxmin[[2]]] vmax...maximum efektivního potenciálu(labilní kruhová orbita) 3.4 Pohybová rovnice volné částice Rovnici (3.2) vynásobíme výrazem ( ) 2 dτ = r4 dφ L 2
17 Standardní substitucí r = 1/u pak Po derivaci a drobné úpravě PŘÍKLAD ( ) 2 du = 2Mu 3 u 2 + 2M L dφ u + Ẽ2 1 2 L 2 d 2 u dφ 2 3Mu2 + u = M L2 E = r0 = 20 v0 = -Sqrt[2*E (1-2/p0)*(1 + L^2/p0^2)] reseni = NDSolve[{rp [t] == -1/rp[t]^2 + L^2/rp[t]^3-3*L^2/rp[t]^4, phi [t] == L/rp[t]^2, rp[0] == r0, rp [0] == v0, phi[0] == 0}, {rp, phi}, {t, 0, 5000}] ParametricPlot[Evaluate[{rp[t]*Cos[phi[t]], rp[t]*sin[phi[t]]} /. reseni], {t, 0, 5000}, PlotStyle -> {Thickness[0.007]}] E kinetická energie částice(pohyb po elipse)
18 Obrázek 3.3: Vykreslení příkladu trajektorie volné částice 3.5 Pohybová rovnice fotonu Obdobně jako u volné částice PŘÍKLAD d 2 u dφ 3Mu2 + u = 0 b=12 r0 = 50 v0 = -Sqrt[1/b^2 - V[1/r0]] phi0 = ArcTan[r0, b] tm = 600; reseni = NDSolve[{rp [t] == 1/rp[t]^3-3/rp[t]^4, phi [t] == 1/rp[t]^2, rp[0] == r0, rp [0] == v0, phi[0] == phi0}, {rp, phi}, {t, 0, tm}] kr1 = ParametricPlot[Evaluate[{rp[t]*Cos[phi[t]], rp[t]*sin[phi[t]]} /. reseni], {t, 0, tm}, PlotStyle -> {Thickness[0.007]}]; kr2 = Graphics[Circle[{0, 0}, 2]];
19 kr3 = Graphics[{LightGray, Disk[{0, 0}, 2]}]; Show[{kr1, kr3, kr2}, PlotRange -> All] DALŠÍ PŘÍKLAD b=sqrt[27] r0 = 3 Obrázek 3.4: Ohyb fotonu v blízkosti černé díry Obrázek 3.5: Vykreslení příkladu kruhové trajektorie fotonu
20 Závěr Cílem projektu bylo zpracovat tři úlohy z oblasti matematické fyziky. A minimálně jednu úlohu vyřešit numericky na počítači. První úloha se týká gravitačních vln. Monochromatická rovinná gravitační vlna se šíří rychlostí světla. Vykazuje dva základní módy polarizace. Jedná se o příčnou vlnu. Druhá úloha se věnuje metodě zrcadlového náboje. Vypočetli jsme hustotu indukovaného náboje a zobrazili její průběh v závislosti na r a vypočetli na počítači i ručně velikost indukovaného náboje. Při výpočtu potenciálu disku a bodového náboje v obecném bodě, následném výpočtu intenzity a případném vykreslení elektrostatického pole jsme narazili na neřešitelný integrál. Třetí úloha se zabývá pohybem volných částic a fotonů v okolí černé díry(se Schwarzschildovou metrikou). Odvodili jsem pohybové rovnice pro foton a volnou částici. Vyšetřili jsem průběh efektivních potenciálů. Namodelovali jsem pohyb fotonu a volné částice na počítači. 20
21 Literatura [1] ČECHOVÁ, M., VYŠÍN, I. Teorie elektromagnetického pole. Olomouc: Vydavatelství Univerzity Palackého, [2] DVOŘÁK, L. Obecná teorie relativity a moderní fyzikální obraz vesmíru. Praha: SPN, [3] HORSKÝ, J., NOVOTNÝ, J., ŠTEFANÍK, M. Mechanika ve fyzice. Praha: Academia, ISBN [4] KUCHAŘ, K. Základy obecné teorie relativity. Praha: Academia,
Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu
Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s
VíceIdeální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče
Cvičení 3 Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu Aplikace kvantové mechaniky pásová struktura polovodiče Nosiče náboje v polovodiči hustota stavů obsazovací funkce, Fermiho hladina koncentrace
VíceELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná
VíceZáklady matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
VíceELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná
VíceSvětlo v multimódových optických vláknech
Světlo v multimódových optických vláknech Tomáš Tyc Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 61137 Brno Úvod Optické vlákno je pozoruhodný fyzikální systém: téměř dokonalý
VíceŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA
ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
VíceFYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 4: Balmerova série vodíku. Abstrakt
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření:.. 00 Úloha 4: Balmerova série vodíku Jméno: Jiří Slabý Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek:. ročník,. kroužek, pondělí 3:30 Spolupracovala: Eliška Greplová
VíceK přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014
K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav
Více4.1 Shrnutí základních poznatků
4.1 Shrnutí základních poznatků V celé řadě konstrukcí se setkáváme s případy, kdy o nosnosti nerozhoduje pevnost materiálu, ale stabilitní stav rovnováhy. Tuto problematiku souhrnně nazýváme stabilita
Více3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru
3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceNěkolik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VíceZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNIKY
ZÁKLADNÍ POJMY SVĚTELNÉ TECHNKY 1. Rovinný úhel α (rad) arcα a/r a'/l (pro malé, zorné, úhly) α a α a' a arcα / π α/36 (malým se rozumí r/a >3 až 5) r l. Prostorový úhel Ω S/r (sr) steradián, Ω 4π 1 spat
VíceŘešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky
Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první
VíceSpontánní sestupná frekvenční konverze v nelineárních vrstevnatých strukturách
Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Spontánní sestupná frekvenční konverze v nelineárních vrstevnatých strukturách Jan Peřina ml. Olomouc 212 Oponenti: RNDr. Antonín Lukš, CSc. Mgr.
Více5.2.4 Rayleighova Taylorova nestabilita
74 Nestability v plazmatu 5..4 Rayleighova Taylorova nestabilita Rayleighova Taylorova nestabilita (RT nestabilita) vzniká na rozhraní dvou tekutin různých hustot (například je-li v gravitačním poli hustší
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceŠROUBOVÉ SPOJE VÝKLAD
ŠROUBOVÉ SPOJE VÝKLAD Šroubové spoje patří mezi rozebíratelné spoje s tvarovým stykem (lícovaný šroub), popřípadě silovým stykem (šroub prochází součástí volně, je zatížený pouze silou působící kolmo k
Více+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity
Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní
VíceMěřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry
MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický
Více6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh
6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.
VíceModelování kmitavých soustav s jedním stupněm volnosti
Modeování kmitavých soustav s jedním stupněm vonosti Zpracova Doc. RNDr. Zdeněk Haváč, CSc 1. Zákadní mode Zákadním modeem kmitavé soustavy s jedním stupněm vonosti je tzv. diskrétní podéně kmitající mode,
VíceInovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání
Grantový projekt FRVŠ MŠMT č.97/7/f/a Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v obasti tepotního namáhání Některé apikace a ukázky konkrétních řešení tepeného namáhání těes. Autorky:
VíceTeoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO
rozevřete, až se prsty narovnají, a znovu rychle tyč uchopte. Tuto dobu změříte stopkami velmi obtížně. Poměrně přesně dokážete zjistit, kam se posunulo na tyči místo úchopu. Vzdálenost obou míst, v nichž
VíceCVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN
Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením
VíceUrčování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků
Geodézie přednáška 9 Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Určování výměr určování
VíceAPLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC A JIŘÍ VONDRÁK APLIKOVANÁ OPTIKA A ELEKTRONIKA MODUL 01 OPTICKÁ ZOBRAZENÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Více. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 2015
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim 0 František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou
VíceExperimentální metody EVF II.: Mikrovlnná
Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná měření parametrů plazmatu Vypracovali: Štěpán Roučka, Jan Klusoň Zadání: Měření admitance kolíku impedančního transformátoru v závislosti na hloubce zapuštění.
VíceGeodetické polohové a výškové vytyčovací práce
Geodézie přednáška 3 Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Geodetické vytyčovací práce řeší úlohu
VíceI Mechanika a molekulová fyzika
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I Mechanika a molekulová fyzika Úloha č.: XVII Název: Studium otáčení tuhého tělesa Pracoval: Pavel Brožek stud. skup. 12
VíceROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou
ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.
VíceZákladní radiometrické veličiny
Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
VíceAplikovaná optika. Optika. Vlnová optika. Geometrická optika. Kvantová optika. - pracuje s čistě geometrickými představami
Aplikovaná optika Optika Geometrická optika Vlnová optika Kvantová optika - pracuje s čistě geometrickými představami - zanedbává vlnovou a kvantovou povahu světla - elektromagnetická teorie světla -světlo
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
Vícehttp://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
Více9. Umělé osvětlení. 9.1 Základní veličiny. e. (9.1) I =. (9.6)
9. Umělé osvětlení Umělé osvětlení vhodně doplňuje nebo cela nahrauje denní osvětlení v případě jeho nedostatku a tím přispívá ke lepšení rakové pohody člověka. Umělé osvětlení ale potřebuje droj energie,
VíceFyzikální praktikum ( optika)
Fyzikální praktikum ( optika) OPT/FP4 a OPT/P2 Jan Ponec Určeno pro studenty všech kombinací s fyzikou Olomouc 2011 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva
VíceDiplomová práce. Sbírka úloh z mechaniky kontinua PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO KATEDRA TEORETICKÉ FYZIKY. Vypracoval: Michal Kolář
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO KATEDRA TEORETICKÉ FYZIKY Diplomová práce Sbírka úloh z mechaniky kontinua Vypracoval: Michal Kolář studující V. ročníku obor M F studijní rok 00/003 Vedoucí
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Vázané extrémy funkcí více proměnných 1 / 13 Matematika 1 pro PEF PaE 11. Vázané extrémy funkcí více proměnných Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vázané extrémy funkcí více proměnných Vázané
VíceOPTIKA - NAUKA O SVĚTLE
OPTIKA OPTIKA - NAUKA O SVĚTLE - jeden z nejstarších oborů yziky - studium světla, zákonitostí jeho šíření a analýza dějů při vzájemném působení světla a látky SVĚTLO elektromagnetické vlnění λ = 380 790
VíceMendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně
Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Bobtnání dřeva Fyzikální vlastnosti dřeva Protokol č.3 Vypracoval: Pavel Lauko Datum cvičení: 24.9.2002 Obor: DI Datum vyprac.: 10.12.02 Ročník: 2. Skupina:
VíceDostáváte do rukou zadání druhé série svého oblíbeného Fyzikálního korespondenčního
Milí řešitelé! Dostáváte do rukou zadání druhé série svého oblíbeného Fyzikálního korespondenčního semináře. Doufáme, že se vám naše úlohy budou líbit a pošlete nám svá řešení, na která již nyní netrpělivě
VíceRotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky. i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu?
Rotační skořepiny, tlakové nádoby, trubky i Výpočet bez chyb. ii Informace o o projektu? Kapitola vstupních parametrů 1. Výběr materiálu a nastavení jednotek 1.1 Jednotky výpočtu 1.2 Materiál SI Units
VíceUčební text k přednášce UFY008
Lom hranolem lámavé stěny lámavá hrana lámavý úhel ϕ deviace δ úhel, o který je po výstupu z hranolu vychýlen světelný paprsek ležící v rovině kolmé k lámavé hraně (v tzv. hlavním řezu hranolu), který
VíceFyzikální praktikum 1. Úloha č. 10: Tepelná vodivost pevných látek
Ústav fyzikální elektroniky Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 1 Úloha č. 10: Tepelná vodivost pevných látek 1 Základní vztahy jarní semestr 2013 Tepelná vodivost je
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceVybrané problémy lineární algebry v programu Maple
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceMatematické symboly a značky
Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,
VíceFyzika pro chemiky II. Jarní semestr 2014. Elektromagnetické vlny a optika Fyzika mikrosvěta Fyzika pevných látek. Petr Mikulík. Maloúhlový rozptyl
Fyzika pro chemiky II Jarní semestr 2014 Elektromagnetické vlny a optika Fyzika mikrosvěta Fyzika pevných látek Petr Mikulík Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita,
VíceGeometrická optika. Aberace (vady) optických soustav
Geometická optika Abeace (vady) optických soustav abeace (vady) optických soustav jsou odchylky zobazení eálné optické soustavy od zobazení ideální optické soustavy v důsledku abeací není obazem bodu bod,
Více22.9. 29.9. 11. Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická Božetěchova 3, Olomouc Laboratoře elektrotechnických měření
Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická Božetěchova 3, Olomouc Laboratoře elektrotechnických měření Název úlohy Číslo úlohy MĚŘENÍ NA VEDENÍ 102-4R-T,S Zadání 1. Sestavte měřící
VícePraktická geometrická optika
Praktická geometrická optika Václav Hlaváč České vysoké učení technické v Praze Centrum strojového vnímání (přemosťuje skupiny z) Český institut informatiky, robotiky a kybernetiky Fakulta elektrotechnická,
VícePolarizační vlastnosti antén
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Katedra elektromagnetického pole Diplomová práce Polarizační vlastnosti antén Vypracoval: Bc. Radim Oliva Vedoucí práce: prof. Ing. Miloš Mazánek,
VíceOPTIKA Světelné jevy TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.
OPTIKA Světelné jevy TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. Rozklad světla Když světlo prochází hranolem, v důsledku dvojnásobného lomu na rozhraních
Více4 Příklady Fraunhoferových difrakčních jevů
47 4 Příklady Fraunhoferových difrakčních jevů 4.1 Fraunhoferova difrakce na obdélníkovém otvoru 4.2 Fraunhoferova difrakce na stěrbině 4.3 Fraunhoferova difrakce na kruhovém otvoru 4.4 Fraunhoferova difrakce
VíceFyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Fyzikální praktikum 2
Fyzikální sekce přírodovědecké faklty Masarykovy niverzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Fyzikální praktikm 2 Zpracoval: Jakb Jránek Naměřeno: 24. září 2012 Obor: UF Ročník: II Semestr: III Testováno: Úloha
VíceGeometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0
Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme
Víceλ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny
Elektromagnetické vlny Optika, část fyziky zabývající se světlem, patří spolu s mechanikou k nejstarším fyzikálním oborům. Podle jedné ze starověkých teorií je světlo vyzařováno z oka a oko si jím ohmatává
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3D MODELY TENZORU NAPJATOSTI 3D MODELS OF STRESS TENSOR
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMOBILNÍHO A DOPRAVNÍHO FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMOTIVE ENGINEERING 3D MODELY
VíceLaboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny
Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY Laboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY FYZIKÁLNA 2. ročník šestiletého studia
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
VícePraktikum III - Optika
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum III - Optika Úloha č. 3 Název: Mřížkový spektrometr Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.: 13 dne: 10. 4. 2008 Odevzdal dne:...
VíceTechnická mechanika - Statika
Technická mechanika - Statika Elektronická učebnice Ing. Jaromír Petr Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Statika tuhých těles...
VíceI. Statické elektrické pole ve vakuu
I. Statické elektické pole ve vakuu Osnova:. Náboj a jeho vlastnosti 2. Coulombův zákon 3. Intenzita elektostatického pole 4. Gaussova věta elektostatiky 5. Potenciál elektického pole 6. Pole vodiče ve
VícePraktikum III - Optika
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum III - Optika Úloha č. 1 Název: Studium rotační disperze křemene a Kerrova jevu v kapalině Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.:
VíceRotující kotouče Drahomír Rychecký Drahomír Rychecký Rotující kotouče
Nabídka Kotouče bez otvoru Obecná úloha zde Volný kotouč zde Kotouč zatížený tahovým napětím na vnějším poloměru zde Kotouče s otvorem Obecná úloha zde Volný kotouč zde Kotouč zatížený tahovým napětím
VíceDodatek A Einsteinova sumační konvence a její použití
Dodatky 330 Dodatky Dodatek A Einsteinova sumační konvence a její použití A1 Einsteinova sumační konvence Vyskytnou-li se ve výrazu dva stejné indexy, potom přes ně automaticky sčítáme. Sčítací indexy
VíceAstronomická pozorování
KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové
VíceAkustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K
zvuk každé mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem akustika zabývá se fyzikálními ději spojenými se vznikem zvukového vlnění, jeho šířením a vnímáním
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. Přírodovědecká fakulta. Katedra optiky. Jana Grézlová. Obor: Digitální a přístrojová optika.
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra optiky Jana Grézlová Obor: Digitální a přístrojová optika Optimalizace podmínek použití širokopásmových zrcadel a dichroických filtrů ve spektrometru
VíceTéma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Téma: Světlo a stín Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Objekty na nebeské sféře září ve viditelném spektru buď vlastním světlem(hvězdy, galaxie) nebo světlem odraženým(planety, planetky, satelity).
VícePraktická geometrická optika
Praktická geometrická optika Václav Hlaváč České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická, katedra kybernetiky Centrum strojového vnímání http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac, hlavac@fel.cvut.cz
VíceFyzikální praktikum 2. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr
Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr Úkoly k měření Povinná část Měření
VíceKULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima
KULOVÁ ZRCADLA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima Zakřivená zrcadla Zrcadla, která nejsou rovinná Platí pro ně zákon odrazu, deformují obraz My se budeme zabývat speciálním typem zakřivených
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceFAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD
VíceProgram: Analýza kinematiky a dynamiky klikového mechanismu čtyřdobého spalovacího motoru
Program: Analýza kinematiky a dynamiky klikového mechanismu čtyřdobého spalovacího motoru Zadání: Pro předložený čtyřdobý jednoválcový zážehový motor proveďte výpočet silového zatížení klikového mechanismu
VíceGeometrická optika 1
Geometrická optika 1 Popis pomocí světelných paprsků těmi se šíří energie a informace, zanedbává vlnové vlastnosti světla světelný paprsek = přímka, podél níž se šíří světlo, jeho energie index lomu (základní
VíceAKUSTICK E JEVY V KONTINU ICH Petr Hora 30. kvˇ etna 2001
AKUSTICKÉ JEVY V KONTINUÍCH Petr Hora 30. května 2001 Tento text obsahuje sylabus přednášek z předmětu Akustické jevy v kontinuích (AJK), který se přednáší na Fakultě aplikovaných věd Západočeské univerzity
VíceAkustická měření - měření rychlosti zvuku
Akustická měření - měření rychlosti zvuku Úkol : 1. Pomocí přizpůsobené Kundtovy trubice určete platnost vztahu λ = v / f. 2. Určete rychlost zvuku ve vzduchu pomocí Kundtovy a Quinckeho trubice. Pomůcky
VíceMatematika I: Aplikované úlohy
Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí
VíceMasarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.
Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
VícePoznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
VícePavel Burda Jarmila Doležalová
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA III Pavel Burda Jarmila Doležalová Vytvořeno v rámci projetu Operačního programu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.0/..15.1/0016 Studijní opory
VíceČást 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA
HYDROMECHANIKA HYDROSTATIKA základní zákon hdrostatik Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA Hdrostatika - obsah Základn
VíceZáklady rádiové navigace
Základy rádiové navigace Obsah Definice pojmů Způsoby navigace Principy rádiové navigace Pozemské navigační systémy Družicové navigační systémy Definice pojmů Navigace Vedení prostředku po stanovené trati
VíceVypracoval. Jakub Kákona Datum Hodnocení
Úloha č. 1 - Polarizace světelného záření Název a číslo úlohy Datum měření 4. 5. 2011 Měření provedli Tomáš Zikmund, Jakub Kákona Vypracoval Jakub Kákona Datum Hodnocení 1 Zjištění polarizace LASERu Pro
VíceŘešení testu 1b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021. 19. listopadu 2015
Řešení testu b Fyzika I (Mechanika a olekulová fyzika) NOFY0 9. listopadu 05 Příklad Zadání: Kulička byla vystřelena vodorovně rychlostí 0 /s do válcové roury o průěru a koná pohyb naznačený na obrázku.
VíceVedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua
Vedení tepla v MKP Stacionární úlohy (viz dále) Konstantní tepelné toky Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Nestacionární úlohy (analogické dynamice stavebních konstrukcí) 1 Základní rovnice
VíceNÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI
NÁVRH LQG ŘÍZENÍ PRO FYZIKÁLNÍ MODEL KULIČKY NA TYČI Petr Vojčinák, Martin Pieš, Radovan Hájovský Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra měřicí a
Více