1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)"

Transkript

1 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde Ω je množina všech elementárních jevů Ajemnožinamožnýchjevů(platíA 2 Ω ) Pjepravděpodobnost,nebolifunkceP:A [0,1] splňující následující axiomy(první 3 se nazývají σ-algebra): (1) A (2) A A Ω \ A A (3) A 1, A 2,..., A n A A i A (4)P(Ω)=1 (5) A 1, A 2,..., A n disjunktní P( A i )= P(A i ) 2. Elementární jev. Prvek množiny Ω. Každý elementární jev má stejnou pravděpodobnost, že nastane a každé dva elementární jevy jsou disjunktní. 3. Nezávislost jevů. Jevy AaBjsounezávislé,jestližeP(A B)=P(A) P(B). Sdružená nezávislost dvou jevů. Jevy A 1, A 2,..., A n jsousdruženě(vesměs)nezávislé, jestliže J {1,..., n}:p( j J A j )= j JP(A j ). Neslučitelnost(dvou) jevů. Dva jevy jsou neslučitelné, jestliže nemohou nastat zároveň. Neboli pravděpodobnost jejich průniku je nulová. Nezávislost po dvou. Jevy A 1, A 2,..., A n jsoupodvounezávislé,jestliže jsou každé dva z nich nezávislé. 1

2 4. Podmíněná pravděpodobnost + příklad použití. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpokladu B je pravděpodobnost, že A nastal, za podmínky, že nastal B a definuje se P(A B) P(A B)=. P(B) Příklad házení kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padlo číslovyššínež3,zapodmínky,žehozenéčíslojesudé.jev A je padlovícenež3 ajev Bje padlosudéčíslo. P(A B)= P(A B) P(B) = P( padlo4nebo6 ) P( padlo2,4nebo6 ) = Věta o úplné pravděpodobnosti + příklad použití. Mějmepravděpodobnostníprostor(Ω,A,P), jev A A a disjunktníjevy H i pokrývajícíceléa,neboli i I: H i A, i I H i=ω, i j: H i H j =.Pakplatí: P(A)= i IP(A H i ) P(H i ). Důkaz:Učiňmepozorování,žejelikož A A,tak A Ω=A. Proto platí první rovnost: P(A)=P(A Ω)=P(A ( i I H i ))=P( i I(A H i ))= = i I P(A H i )= i IP(A H i ) P(H i ). Druhárovnostjezdefinicejevů H i (pokrývajíceloumnožinu elementárních jevů). Třetí rovnost jsou de Morganova pravidla.čtvrtárovnostjepátýaxiom,neboťprorůzná ijsoujevy A H i disjunktní,neboli i j:(a H i ) (A H j )=. Poslendí rovnost je definice podmíněné pravděpodobnosti. Příklad cesta do školy. Pravděpodobnost, že mi ujede tramvaj, je 0.3. Pravděpodobnost, že stihnu hodinu, pokud mi ujede tramvaj, je 0.1(budu muset běžet). Pravděpodobnost, že stihnuhodinu,pokudtramvajstihnu,je0.8(můžeseještěněco stát na cestě od tramvaje). Jaká je pravděpodobnost, že stihnuhodinu?označme A= stihnuhodinu. H 1 = tramvaj miujede. H 1 = tramvajmineujede. P(A)=P(A H 1 ) P(H 1 )+P(A H 2 ) P(H 2 ) = =0.59 2

3 6. Bayesova věta. Mějmepravděpodobnostníprostor(Ω,A,P), jev A A a disjunktníjevy H i pokrývajícíceléa,neboli i I: H i A, i I H i=ω, i j: H i H j =.Pakplatí: P(H i A)= P(A H i ) P(H i ) j I P(A H j) P(H j ). Důkaz: P(H i A)= P(H i A) P(A) = P(A H i ) P(H i ) j I P(A H j) P(H j ). První rovnost je definice podmíněné pravděpodobnosti. Druhá rovnost je též definice podmíněné pravděpodobnosti a věta o úplné pravděpodobnosti. Příklad střelciakanci.18střelcůstřílelonakance.5znich sestrefíspstí0.8,7spstí0.6,4spstí0.5a2spstí0.4. Náhodně vybraný střelec minul. Jaká je pravděpodobnost, že střelec patřil k první skupině? Označme A= střelecminul, H i = střelecbylzitéskupiny.pakznámepravděpodobnostip(a c H i ),kde A c je doplněkjevu A,tedyžesestřelecstrefil.Jevy H i jsoudisjunktníapokrývajíceléω.pakpravděpodobnostp(h i A) vypočteme pomocí Bayesovy věty P(H i A)= = Náhodná veličina. Mějme(Ω,A,P).Náhodnáveličinajefunkce X:(Ω,A,P) (R 1, B),kde Bjetřídamnožin(typickyintervalů)vR 1.Nebo zjednodušeně X:Ω R. 8. Nezávislé náhodné veličiny. Náhodné veličiny jsou nezávislé, jestliže pro všechny hodnoty a, bplatíp(x= a&y = b)=p(x= a) P(Y = b). 3

4 9. Diskrétní náhodná veličina a její charakteristiky. Diskrétní náhodná veličina je náhodná veličina, která může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot. Její charakteristiky jsou: Vektor hodnot a pravděpodobností. Vektorhodnot x i apravděpodobností p i,sekterými těchto hodnot nabývá. Někdy se tento vektor nazývá rozdělení pravděpodobnosti. Distribuční funkce. Distribuční funkce náhodné veličiny je funkce F(x)=P(X x), kde x R. Distribuční funkce je neklesající. Pro diskrétní náhodnou veličinu je po částech konstantní.platí F( )=0aF( )=1. Střední hodnota. Střední hodnota náhodné veličiny X dané vektoremhodnot { (xi p i ) },kde P(X= x i )=p i,je EX= ω Ω X(ω)P(ω)= i x i p i. Rozptyl. Rozptyl náhodné veličiny X je definován jako Směrodatná odchylka. varx= E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Směrodatná odchylka náhodné veličiny X je definovánajako varx. Kovariace. Korelace. Kovariancenáhodnýchveličin Xa Y je cov(x, Y)=E(X EX)(Y EY). Korelacenáhodnýchveličin Xa Y je cor(x, Y)= cov(x, Y) varx vary. 4

5 10. Vlastnosti střední hodnoty. Nechť Xjenáhodnáveličinaag(x)jefunkce.Pak Y = g(x) jetakénáhodnáveličinaajejístředníhodnotaje i g(x i)p i. Nechť Xa Y= a+bxjsounáhodnéveličiny,kdereálnáčísla a, bsenazývajípořaděposunazměnaměřítka.pak Důkaz: EY = E(a+bX)=a+bEX. E(a+bX)= ω (a+bx)(ω)p(ω)= ω (a+b X(ω))P(ω)= = ω a P(ω)+ ω (b X(ω))P(ω)=a+b ω X(ω)P(ω)=a+bEX. Tedy nutně platí: Ea=a, E(bX)=bEX a E(X+ Y)=EX+ EY. 11. Vlastnosti rozptylu. PlatívarX= EX 2 (EX) 2. Důkaz:varX= E(X EX) 2 = E(X 2 2XEX+(EX 2 )= EX 2 2EX EX+E(EX) 2 = EX 2 (EX) 2.Využilijsme,že EX je konstanta, tedy ji můžeme vytýkat a střední hodnota konstanty je konstanta. Platívar(a)=0. Důkaz: Ea 2 (Ea) 2 =0. Platívar(a+X)=varX. Důkaz: var(a+x)=e(a+x) 2 (E(a+X)) 2 = = E(a 2 +2aX+ X 2 ) (a 2 +2aEX+(EX 2 ))=EX 2 (EX) 2 =varx. Platívar(bX)= a 2 var(x). Důkaz: var(bx)=e(bx) 2 (E(bx)) 2 = b 2 EX 2 b 2 (EX) 2 = b 2 varx 5

6 12. Vlastnosti kovariance a korelace cov(x, X)= E(X EX)(X EX)=varX. 1 cor(x, Y) 1 Jsou-li X, Y nezávislé,pakcov(x, Y)=0acor(X, Y)=0. E(X EX)(Y EY)=EXY EX EY =0. cor(x, X)=1. cor(x, X)= Spojitá náhodná veličina a její charakteristiky. Spojitá náhodná veličina je náhodná veličina, která může nabývat všech hodnot ze spojitého intervalu. Její charakteristiky jsou: Distribuční funkce. Distribuční funkce náhodné veličiny je funkce F(x)=P(X x), Hustota. kde x R. Distribuční funkce je neklesající. Pro diskrétní náhodnou veličinu je po částech konstantní. V má distribuční funkce nulovou hodnotu avnekonečnu1. Hustota spojité náhodné veličiny X je f(x)=f (x), kde F(x) je distribuční funkce této náhodné veličiny. Platí, že má pro všechny hodnoty x nezáporné funkčníhodnotya f(x)dx=1. Střední hodnota. Střední hodnota spojité náhodné veličiny X je EX= xf(x)dx. R 1 6

7 14. Čebyševova nerovnost(znění a důkaz). Nechť náhodná veličina X má konečný rozptyl varx. Pak Důkaz: varx= E(X EX) 2 = i 15. Čebyševova věta. ε >0 P[ X EX ε] varx ε 2. i ( (x i EX) ε) p i (x i EX) 2 i (x i EX) 2 ε 2 p i (x i EX) 2 p i ε 2 = ε 2 P[ X EX ε 2 ] Nechť X 1,..., X n jsounezávisléveličinyskonečnýmrozptylem σ 2 astředníhodnotou µ.potom 16. Centrální limitní věta. ε >0 P[ X n µ ε] 0pro n Nechť X 1, X 2,..., X n jsounezávisléstejněrozdělenénáhodné veličiny s konečnou střední hondotou. Potom [ n P X i E ] n X i n var X x Φ(x). i Nechť Y Bi(n, p).potom [ ] Y EY P x Φ(x). vary Přitomplatí,že 17. Zákon velkých čísel. Φ(x)= x 1 2π e t2 2 dt. Mějmenezávisléstejněrozdělenénáhodnéveličiny X 1,...,X n skonečnoustředníhodnotou EX n = µ.potom 1 n P ω Ω: lim X j (ω)=µ =1 n n j=1 7

8 Rozdělení diskrétní rozdělení 1. Rovnoměrné rozdělení R(M) Xnabýváhodnotzmnožiny {1,...,M}. P[X= k]= 1 M EX= M+1 2 Všechny hodnoty mají stejnou pravděpodobnost. Např. kolik padne na kostce při jednom hodu. 2. Alternativní rozdělení Alt(p) Xnabýváhodnotzmnožiny {0,1}. P[X=0]=0aP[X=1]=1 EX= p varx= p(1 p) Jsoujendvěhodnoty,kterémohounastat,jednamápst p, druhá(1 p).např.zdapadnepannaneboorelpřijednom hodu mincí. 3. Binomické rozdělení Bi(n, p) Xnabýváhodnotzmnožiny {0,1,..., n}. P[X= k]= ( ) n p k (1 p) k k EX= np varx= np(1 p) Součet alternativních rozdělení, neboli n nezávislých dichotomických pokusů. Např. n hodů mincí a počet orlů. 4. Geometrické rozdělení Ge(p) Xnabýváhodnotzmnožiny {1,2,...}. P[X= k]=p(1 p) k 1 EX= 1 p varx= 1 p (1 p 1) Geometrické rozdělení je jediné diskrétní rozdělení bez paměti. P[X > a+b X > a]=p[x > b] 8

9 Čekání na první zdar. Např. počet hodů mincí, dokud nepadne panna. Tedy první zdar v k-tém pokuse. Obdobněpočetnezdarůpředprvnímzdarem,cožmápst P[X= k]=p(1 p) k Středníhodnotaarozptyllzevypočítatjakoprvníadruhá derivace vytvořující funkce A(x)= pq i x i = p 1 qx i=0 5. Negativně geometrické rozdělení Před r-týmzdaremmáme inezdarů,resp. r-týzdarvi-tém pokusu. Prvnímápst ( ) r+ i 1 q i p r r 1 adruhémápst ( ) i 1 q i p r. r 1 6. Hypergeometrické rozdělení Hyp(N, M, n) Xnabýváhodnotzmnožiny {0,1,...,min n, M}. ( M )( N M ) k n k P[X= k]= ( N n) varx= nm N EX= nm N ( 1 M N ) N n N 1 Např. Nkoulí, Mznichbílých,tahám n. Xjepočetbílých vytažených koulí(tahy bez vracení). 7. Poissonovo rozdělení Pois(λ) Xnabýváhodnotzmnožiny {0,1,...}. P[X= k]=e λλk k! EX= λ varx= λ Počet událostí za jednotku času. 9

10 Rozdělení spojitá rozdělení 1. Rovnoměrné rozdělení R(a, b) Xnabýváhodnotzmnožiny {a,...,b}. f(x)= 1 b apro x [a, b],jinde0. 2. Normální rozdělení N(µ, σ 2 ) EX= µavarx= σ 2 3. Normované normální rozdělení N(0,1) EX= a+b 2 varx= (b a)3 12 f(x)= 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 f(x)= 1 2π e x2 2 EX=0avarX=1 f( x)=f(x)aφ( x)=1 Φ(x),kdeΦjedistribučnífunkce. Φ(u α )=αsenazývá α-kvantil. Všechny hodnoty mají stejnou pravděpodobnost. 4. Exponenciální rozdělení Exp(λ) Xnabýváhodnotzmnožiny {0,...}. f(x)=λe λx pro x >0,jinde0. EX= 1 λ varx= 1 λ 2 Exponenciální rozdělení je jediné spojité rozdělení bez paměti. P[X > a+b X > a]=p[x > b] Doba čekání na určitou událost. 10

11 Statistika pojmy 1. Bodový odhad. Mějme náhodný výběr rozsahu n(posloupnost n nezávislých stejněrozdělenýchveličin) X 1, X 2,..., X n zrozdělení,které závisí na parametru Θ. Najít bodový odhad znamená najít takovoufunkcináhodnýchveličin X 1, X 2,..., X n (téžstatistiku), která je v nějakém smyslu blízko určené hodnotě Θ. Označmetentoodhad T = T(X 1, X 2,..., X n ).Protožeje T funkce náhodných veličin, je také náhodnou veličinou. Zároveň se T nazývá bodovým odhadem. 2. Vychýlení. Vektorkonstatntb=ET Θsenazývávychýlení. 3. Nestranný odhad parametru Θ. Odhad T parametru Θ je nestranný(nevychýlený), jestliže je nulové vychýlení, neboli ET=Θ. 4. Konzistentní odhad. Odhad T = T n jekonzistentníodhadparametruθ,jestliže platí ε >0 lim n P[ T n Θ < ε]=1. Např.pokud lim n ET n =Θalim n vart n =0,pak T n je konzistentním odhadem Θ. Odhad může být konzistentní a zároveň nemusí být nestranný.např.náhodnývýběr X 1,..., X n z N(µ, σ 2 ).Proodhad rozptylu se používá statistika ˆσ 2 = 1 n n (X i X) 2. Tonenínestrannýodhad,neboť Eˆσ 2 = σ 2.Alejekonzistentní, neboť lim n varˆσ 2 = Intervalový odhad, interval spolehlivosti. Platí-li pro statistiky T L = T L (X 1,..., X n ), T U = T U (X 1,...,X n ) 1 Tobychtělopodrobnějšíodvození. 11

12 vztah P[T L Θ T U ]=1 α, říkáme,že(t L, T U )tvoříintervalspolehlivosti(intervalovýodhad, konfidenční interval) pro parametr Θ s koeficientem spolehlivosti1 α. 6. Chyba prvního druhu. P[zamítneme H 0 H 0 platí],neboli,žezamítnemeplatnou hypotézu. Značí se α. 7. Chyba druhého druhu. P[nezamítneme H 0 H 0 neplatí],neboli,ženezamítnemeneplatnou hypotézu. Značí se β. 8. Síla testu. 1 β. Někdy při hledání opptimálního testu stanovíme hladinu významnosti α(omezíme pravděpodobnost chyby 1. druhu) a mezi α-testy hledáme ten s největší sílou(nejmenší chybou 2. druhu). 9. Hladina testu. Hladina testu je maximální dovolená chyba prvního druhu. 10. P-hodnota testu. Nejmenší hladina, při které bychom ještě hypotézu zamítli. Pravděpodobnost, s jakou testovací statistika nabývá horších hodnot (vícesvědčícíchprotihypotéze).hypotézu H 0 zamítámenahladině α,právěkdyž p-hodnotajemenšínež α. 11. Kritický obor Množina výsledků pokusu, při kterých budeme hypotézu zamítat.značíse W. 12. Na příkladu falšené mince popsat testování hypotéz. Viz papíry. 13. Rozdíl mezi párovým a dvouvýběrovým testem. Párový test je test hypotézy o hodnotě rozdílu středních hodnot µ 1 a µ 2 složeknáhodnýchvektorůvnáhodnémvýběru (X 1, Y 1 ),...,(X n, Y n )zdvourozměrnéhonormálníhorozdělení.(uvnitř každé dvojice nemusí jít o nezávislé veličiny.) H 0 : µ 1 µ 2 = d H 1 : µ 1 µ 2 d 12

13 Můžeme zavést náhodnou veličinu Z i = X i Y i pro i = 1,...,n.Pokudneznámerozptyl,můžemepoužít t-testpro T= Z d S Z / n, kde ZjevýběrovýprůměraS 2 Z jevýběrovýrozptyl(odhadnutý).hypotézu H 0 zamítnemenahladiněvýznamnosti α, pokud T W=(, t α (n 1)) (t 1 α (n 1)). 2 2 Kde t 1 α 2 (n 1)je(1 α 2 )-kvantilstudentovarozdělenís(n 1) stupni volnosti. Dvouvýběrový test je testem hypotézy o hodnotě rozdílu středních µ 1 a µ 2 vedvounezávislýchnáhodnýchvýběrech X 1,..., X n znormálníhorozdělení N(µ 1, σ 2 ) Y 1,..., Y m znormálníhorozdělení N(µ 2, σ 2 ) sestejným(ikdyžklidněneznámým)rozptylem σ 2. H 0 : µ 1 µ 2 = d H 1 : µ 1 µ 2 d K testování můžeme použít statistiku(opět t-test) T= X Y d nm(n+m 2) (n 1)S 2 X +(m 1)SY 2), n+m kde S 2 X a S2 Y jsoupříslušnévýběrovérozptyly(odhadnuté). Hypotézu H 0 zamítnemenahladiněvýznamnosti α,pokud T W=(, t α 2 (n+m 2)) (t 1 α 2 (n+m 2)). Kde t 1 α 2 (n+m 2)je(1 α 2 )-kvantilstudentovarozdělení s(n+m 2)stupnivolnosti. 14. Model lineární regrese. 15. Reziduum. Lineární regrese představuje aproximaci daných(naměřených) hodnot(x i, Y i )přímkou.mějmenezávislénáhodnéveličiny Y 1,..., Y n z N(β 0 + β 1 x i, σ 2 ),kde x i jsoudanénestejněvelkékonstanty.rozptyly Y i jsoutedystejné(σ 2 ),alestřední hodnotylzevyjádřitjakolineránífunkciznámýchkonstant x i (β 0 + β 1 x i )pomocíneznámýchparametrů β 0, β 1. Reziduumjehodnota r i = Y i β 0 β 1 x i. 13

14 Poznámkykestatistice výpiskyzvárastr Test nezávislosti v normálním rozdělení. Protestovánínezávislostisložeknáhodnýchvektorů(X 1, Y 1 ),...,(X n, Y n ) v náhodném výběru z dvourozměrného normálního rozdělení vektoru(x, Y)ahypotézy H 0 : X, Y nezávislé H 1 : X, Y závislé se používá test založený na statistice T= r 1 r 2 n 2, kde rjevýběrovýkorelačníkoeficient.hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti α, pokud T > t 1 α(n 2). 2 Kde t 1 α 2 (n 2)je(1 α 2 )-kvantilstudentovarozdělenís(n 2) stupni volnosti. 2.Výběrovýprůměrnaměřenýchhodnot x i jejejicharitmetickýprůměr x= 1 n n x i. Přičemžplatí,že(a+xb)=a+bx. 3. Medián je prostřední hodnota v setříděném souboru naměřených hodnot. Pokud jich je sudo, tak je to aritmetický průměr prostředních dvou. 4.(Výběrový) p-tý kvantil(percentil) je v uspořádaném souboru hodnot definovaný x p = x np +1 pro np np aaritemtickýprůměr1/2x np +x np+1 pro np= np. 5. Výběrový rozptyl je definován jako s 2 x= 1 n 1 n (x i x) 2 = 1 n 1 n (x 2 i x 2 ). 6.Směrodatnáodchylka s x jedefinovánajakoodmocninazrozptylu. 7. Krabicový diagram(box plot) znázorňuje medián, 25%ní a 75%ní kvantil ahorníměřeníadolníměření,resp.10%nía90%níkvantil. 2 Pravděpodobnostamatematickástatistika KarelZváraaJosefŠtěpán 14

15 8. Populace neboli základní soubor je statistický soubor, na kterém děláme všechna měření. Jeho velikost je N. Pokud měříme hodnotu zvoleného číselnéhoznaku X,taknaměřenéhodnotyoznačujeme x 1, x 2,..., x n.jejich průměr xznačíme µ.populačnírozptylznačíme σ Výběrový soubor(výběr) je výběr z populace, aby dobře reprezentoval populaci. Jeho velikost se značí n. 10. Abychom vybrali náhodný výběrový soubor, použijeme náhodný výběr bez vracení. Každý takový soubor má pravděpodobnost 1 ( N n). 11.Výběrovýprůměr nnáhodnýchveličin X 1,..., X n definujeme X= 1 n n X j. 12. Pro výběrový průměr spočítaný z prvků náhodného výběru z konečné populace lze dokázat j=1 EX= µ varx= N n N 1 σ2 n. Výraz N n N 1 senazývákonečnostnínásobitelapro n << NjevlivkonečnostníhonásobitelezanedbatelnýavarX= σ2 n.zřejměpro n=1platí EX= µavarx= σ V případě výběru z konečné populace je střední hodnota výběrového průměru X rovna populačnímu průměru µ, tedy odhadovanému parametru. Uvedenou vlastnost formulujeme, že X je nestranným odhadem parametru µ. 14. Nebo můžeme výběrový soubor vybírat s vracením. Naměřené hodnoty X 1,..., X n nataktonáhodněvybranýchprvcíchjsounezávislé náhodné veličiny. Při výběru bez vracení by obecně nezávislé nebyly, ale pro dostatečně velikou populaci(nekonečnou) ano. 15. Pro výběrový průměr spočítaný z náhodného výběru rozsahu n z rozdělení s konečnou střední hodnotou a konečným rozptylem platí: EX= µ varx= σ2 n. 16.Jakoodhadrozptylu σ 2 sepoužívávýběrovýrozptyl S 2 = 1 n 1 N (X i X) Pronáhodnývýběrrozsahu nplatí ES 2 = σ 2. 15

16 18.Je-li X 1,..., X n náhodnývýběrzrozdělení N(µ, σ 2 ),potom Xa S 2 jsou nezávislé veličiny a platí (N 1)S 2 σ 2 = 1 n σ 2 (X i X) 2 χ 2 (n 1). 19. Mějme náhodnou veličinu T dánu podílem nezávislých náhodných veličin T= Z. X n Kde Z N(0,1)aX χ 2 (n).potomhustotastudentova t-rozdělenís n stupnivolnostije F T (t)ajetonějakýhnusnývzorec. 20. Můžeme nahlédnout, že náhodná veličina mározdělení t(n 1). T= X µ n S Výběr z normálního rozdělení se známou střední hodnotou Předpokládejme,ženáhodnéveličiny X 1,..., X n tvořínáhodnývýběrrozsahu nznormálníhorozdělení N(µ, σ 2 ) (tedycelápopulaceseřídítímto normálním rozdělením).předpokládejmenavíc,žeznámerozptyl σ 2.Jakouinformaciohodnotě µ můžeme získat z tohoto náhodného výběru? Jižvíme,ževtomtopřípaděmávýběrovýprůměrnormálnírozdělení N(µ, σ2 n ). Je tedy nestranným odhadem parametru µ(neboť náš výběrový průměr má též střední hodnotu µ). Provedeme-li normování této náhodné veličiny, dostaneme náhodnou veličinu s normovaným náhodným rozdělením N(0, 1). Ta bude vypadat X µ. σ 2 n (Pomocí jednoduchých vztahů lze dokázat, že bude mít střední hodnotu nulovou a rozptylroven1).prolibovolné α (0,1)pakbudeplatit: 1 α = P( Z < z(α/2)) PlynezCLV. (1) = P( X µ < z(α/2)) Plynezpozorování. (2) σ 2 n = P(X σ n z(α/2) < µ < X+ σ n z(α/2)) (2) Našli jsme interval s náhodnými konci, který s předem danou pravděpodobností pokrývá neznámý parametr µ. Říkáme, že ( X σ z(α/2) < µ < X+ σ ) z(α/2) n n je interval spolehlivosti(neboli konfidenční interval) pro parametr µ s koeficientem spolehlivosti 1- α. 16

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

Přehled pravděpodobnostních rozdělení

Přehled pravděpodobnostních rozdělení NSTP097Statistika Zima009 Přehled pravděpodobnostních rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní(Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení X Alt(p) p (0, ) X {0,} Hustota: P[X= j]=p j ( p) j, j {0,} Středníhodnota:

Více

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení. Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D. 16. března 2009 Literatura [1] J. Anděl: Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 [2] V. Dupač, M. Hušková: Pravděpodobnost a matematická

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

Cvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Úvod do teorie pravděpodobnosti Náhoda a pravděpodobnost, náhodný jev, náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti

Více

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2. A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic:

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a

Více

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Teoretická rozdělení

Teoretická rozdělení Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Alternativní rozdělení Příklad Střelec vystřelí do terče, pravděpodobnost zásahu je 0,8. Náhodná veličina X udává, jestli trefil: položíme X = 1, jestliže ano, a X = 0, jestliže ne. Alternativní rozdělení

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

alternativní rozdělení Statistika binomické rozdělení bi(n, π)(2)

alternativní rozdělení Statistika binomické rozdělení bi(n, π)(2) Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara 5. listopadu 2007 1(178) binomické rozdělení Poissonovo rozdělení normální rozdělení

Více

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich MATEMATIKA PRO??? 2003/4, 1?? c MATFYZPRESS 2004 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI JOSEF ŠTĚPÁN 1 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematicým modelem pro popis náhodných jevů a jejich pravděpodobností. Uvědomme

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

a) Základní informace o souboru Statistika: Základní statistika a tabulky: Popisné statistiky: Detaily

a) Základní informace o souboru Statistika: Základní statistika a tabulky: Popisné statistiky: Detaily Testování hypotéz Testování hypotéz jsou klasické statistické úsudky založené na nějakém apriorním předpokladu. Vyslovíme-li předpoklad o hodnotě neznámého parametru nebo o zákonu rozdělení sledované náhodné

Více

Analýza rozptylu. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Analýza rozptylu. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. ANOVA Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz ANOVA ANOVA je nástroj pro zkoumání vztahu mezi vysvětlovanými a vysvětlujícími proměnnými.

Více

Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny

Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Ing. Jana Šenkapoulová VODÁRENSKÁ AKCIOVÁ SPOLEČNOST, a.s. Brno, Soběšická 156, 638 1 Brno ÚVOD Každé rekonstrukci

Více

Základní radiometrické veličiny

Základní radiometrické veličiny Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná

Více

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií STATISTIKA pro TZP Modul : Pravděpodobnost a náhodné veličiny Prof

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR KORELACE A REGRESE 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/..00/8.001)

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra TEORIE MATIC Tomáš Vondra 2 Obsah 1 Opakování 5 1.1 Základní operace s maticemi..................... 5 1.2 Determinant matice......................... 7 1.2.1 Cauchyův-Binedův vzorec..................

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

Jaroslav Michálek A STATISTIKA

Jaroslav Michálek A STATISTIKA VUT BRNO FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Jaroslav Michálek PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA BRNO 2006 preprint Kapitola 1 Úvod Prudký rozvoj výpočetní techniky, jehož jsme v posledních desetiletích svědky, podstatně

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Skupina Testování obsahuje následující moduly: Síla a rozsah výběru, Testy a Kontingenční tabulka.

Skupina Testování obsahuje následující moduly: Síla a rozsah výběru, Testy a Kontingenční tabulka. Testování Menu: QCExpert Testování Skupina Testování obsahuje následující moduly: Síla a rozsah výběru, Testy a Kontingenční tabulka. Síla a rozsah výběru Menu: QCExpert Testování Síla a rozsah výběru

Více

Značení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů,

Značení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, Rekurentní jevy Značení. (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, kde každý má tutéž konečnou nebo spočetnou množinu výsledků E, E,...}. Pak E j,..., E jn } značí

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@niax.cz Pravděodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, tyy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Elektrotechnická fakulta

Elektrotechnická fakulta ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot Rozdělení Náhodná veličina Náhodná veličina je vyjádření výsledku náhodného pokusu číselnou hodnotou. Jde o reálnou funkci definovanou na množině. Rozdělení náhodné veličiny udává jakých hodnot a s jakou

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Balanční vlastnosti pevného bodu substituce

Balanční vlastnosti pevného bodu substituce Úvod Karel Břinda Edita Pelantová Theoretical Informatics Group FJFI ČVUT v Praze 14. prosince 2010 Schéma postupu Úvod Abelovská komplexita Balanční funkce Diskrepanční funkce Funkce S f u (N) Matice

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více