LOGIKA A TEORIE MNOŽIN
|
|
- Filip Dvořák
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Poznámka: Tento text vzniká jako materiál k přednášce Logika a teorie množin na MFFUKvPraze.Jelikožjdeotextvefázivzniku,obsahujejistěřadunedostatků, které budou průběžně odstraňovány, stejně jako se text bude obsahově rozrůstat. LOGIKA A TEORIE MNOŽIN PetrGlivický 1 1 petrglivicky@gmail.com,
2 Kapitola 2 Teorie množin 2.1 Úvod Teorie množin tvoří dnes rámec, ve kterém je možné formalizovat(téměř) veškerou matematiku. Každou matematickou disciplínu je tedy možné interpretovat jako součást teorie množin. Metaforicky bývá proto teorie množin označována za svět matematiky. V teorii množin je každý matematický objekt(např. funkce, vektorový prostor, číslo 1) množinou a všechny vztahy mezi objekty jsou vztahy množinové, vyjádřitelné pouze pomocí relace býtprvkem ( ).Poznamenejme,že množinovádefinice pojmujevmnohapřípadech(např. u již zmíněné funkce) obecnější než definice předmnožinové. Díky tomu vedl vznik teorie množin k rozvoji mnoha matematických disciplín daleko za hranice jejich původního oboru. Naivní(též Cantorova) teorie množin, vytvořená Georgem Cantorem v 70. letech 19. století, vycházela z intuitivního pojetí množiny jako dobře vymezeného souboru libovolných objektů. Šlo tedy o teorii neformální, založenou na intuici. Oproti tomu axiomatická teorie množin je dána svojí axiomatikou, tj. seznamem axiomů. O existenci a vlastnostech množin se pak usuzuje pouze z těchto axiomů. Přitom toto usuzování je precizováno v rámci formální predikátové logiky. Vprůběhu20.stoletíbylovreakcinaproblémy,vnichžseocitlanaivníCantorovateorie množin, vytvořeno několik různých axiomatizací teorie množin. Kromě dnes nejužívanější Zermelo- Fraenkelovy(ZF) také například teorie Gödel-Bernaysova(GB) a Kelley-Morseova(KM). V řadě kandidátů na nahrazení Cantorovy teorie musíme zmínit též Russelovu teorii typů, která však není axiomatizací teorie množin. Zermelo-Fraenkelovu teorii ZF s axiomatikou rozšířenou o jeden další axiom, tzv. axiom výběru(ac), značíme ZFC a nazýváme ji Zermelo-Fraenkelova teorie množin s axiomem výběru. V této přednášce se budeme zabývat výhradně Zermelo-Fraenkelovou teorií množin s axiomem výběru.použijeme-lispojení teoriemnožin,mínímetímobvykle(není-liuvedenojinak)právě teorii ZFC. 2.2 Základní pojmy syntaxe predikátové logiky Jak již bylo řečeno, teorie ZFC, jíž se budeme zabývat, je teorií axiomatickou, formalizovanou pomocí predikátové logiky. Nastíníme proto nyní některé potřebné pojmy ze syntaxe predikátové logiky. Všechny tyto pojmy budou upřesněny v kapitole týkající se predikátové logiky Jazyk Jazykjezadánseznamemsymbolů,kdeukaždéhosymbolujeurčenjehodruh relačníčifunkční ačetnost(arita) n N.Symbolyuvedenévtomtoseznamusenazývajímimologické.Kromě nich každý jazyk obsahuje symboly logické, které tvoří nekonečně mnoho symbolů pro proměnné 2
3 (x,y,z,...),symbolyprologickéspojky(,,...),kvantifikátory(, )apřípadněještěpomocné symboly(závorky). Pokud není řečeno jinak, je symbolem každého jazyka též symbol = Formule, teorie Správně utvořená tvrzení ze symbolů jazyka se nazývají formule tohoto jazyka. Teorii ztotožňujeme s její axiomatikou, tj. se seznamem nějakých formulí, které nazýváme axiomy této teorie. Příklad 2.2:1. Jazyk Llzezadatnapříkladnásledovně: L= 0,1,+,,<,kdesymboly0,1jsou nulárnífunkční,+, binárnífunkčnía<binárnírelační.výrazy0<x, (x=y) (1+y <0 x) či( x)( y)(x=y+1&x x <0)jsoupakpříkladyformulíjazyka L. 2.3 Axiomatika Zermelo-Fraenkelovy teorie množin Uvedeme nyní axiomatiku Zermelo-Fraenkelovy teorie množin(zf). Axiomu výběru, který spolu se ZF tvoří teorii ZFC se budeme věnovat později Jazyk ZF ZFjeteorievjazyce L=,kde jebinárnírelačnísymbol.jazyk L= senazývájazyk teoriemnožin,čitéž -jazyk(čteme epsilon-jazyk ).Formulejazykateoriemnožinnazýváme také -formule(čteme epsilon-formule ),častotéžjenformule. Poznámka2.3:1. Symbol interpretujemejakorelaci býtprvkem,tj. x yčteme (množina) xjeprvkem(množiny) y.individua,kterásipředstavujemepodproměnnými x,y,z,u,v,... nazývámemnožiny.pojem množina tedyužívámejenjakojazykovoufiguruprosrozumitelnější vyjádření zamýšleného významu formulí; nepřikládáme mu žádný hlubší význam a nijak ho dále nespecifikujeme. Axiomatická teorie množin tedy(na rozdíl od teorie naivní) vůbec neodpovídá naotázku: Cojetomnožina? Úmluva o značení Vprůběhupřenáškybudemedefinovatrůznédalšísymboly(např.,,,,...)apoužívatjev zápisech formulí. Přísně vzato, formule obsahující jiný mimologický symbol než, není formulí jazyka teorie množin. Použití nějakého nově definovaného symbolu proto budeme chápat jen jako zkratku za -formuli, která vznikne nahrazením všech užitých nových symbolů jejich definicemi (v -jazyce). Značí-li nějakýsymbolprobinárnírelaci(např.=,,,...),zavádímepronějnásledující zkratky.formule x yjezkratkouza y xax yjezkratkouza (x y).můžemetedypsát např. x y, x yčidokonce x y Axiomy ZF Představíme nyní postupně axiomy teorie ZF. Pro přehlednost uvádíme na tomto místě seznam všech axiomů s jejich tradičními názvy a intuitivním významem. Přesné znění axiomu je uvedeno vždy v jemu příslušející pasáži v následujícím textu. Simultánně s výkladem jednotlivých axiomů budeme postupně zavádět některé elementární pojmy teorie množin. 3
4 axiomexistence: axiomextenzionality: schéma axiomů vydělení: axiom dvojice: axiomsjednocení: axiompotence: schéma axiomů nahrazení: axiomnekonečna: axiomfundovanosti: Existujealespoňjednamnožina. Množiny,kterémajístejnéprvky,serovnají. Vydělením těch prvků nějaké množiny, které splňují danou množinovouvlastnost,vzniknemnožina. Pro každé dvě množiny existuje dvouprvková množina, kterámázaprvkyprávěje. Sjednocenímmnožinymnožinvzniknemnožina. Existujemnožinavšechpodmnožindanémnožiny. Obraz množiny v daném množinově definovaném zobrazeníjemnožina. Existujealespoňjednanekonečnámnožina. Neexistujenekonečnýklesající -řetězec. Axiom existence ( x)x=x Existujealespoňjednamnožina. Axiom postuluje existenci nějaké množiny. Je dokazatelný v čisté predikátové logice a lze ho tedy z axiomatiky ZF vynechat. Uvádíme ho pouze z historických důvodů. Axiom extenzionality ( x)( y)(( u)(u x u y) x=y) Množiny,kterémajístejnéprvky,serovnají. Opačnáimplikace,tj. pokudsemnožinyrovnají,pakmajístejnéprvky jedokazatelnáv čisté predikátové logice. Tento axiom vyjadřuje důležitou vlastnost, kterou od množin očekáváme, totiž to, že množina je jednoznačně určena tím, které prvky obsahuje. Říkáme,žemnožina xjepodmnožinoumnožiny yapíšeme x y,pokudkaždýprvek xje taképrvkem y,tj.pokudplatí( u)(u x u y).je-li x yax y,nazýváme xvlastní podmnožinou yapíšeme x y.zaxiomuextenzionalityvyplývá Schéma axiomů vydělení x y&y x x=y. ( x)( z)( u)(u z (u x&ϕ(u)))prokaždouformuli ϕ(u) neobsahující proměnnou z Vydělením těch prvků nějaké množiny, které splňují danou množinovouvlastnost ϕ,vzniknemnožina. Sestrojená množina: {u x; ϕ(u)} Schéma vydělení není jediným axiomem, nýbrž vyjadřuje nekonečně mnoho různých axiomů naráz pro každou formuli ϕ jeden, nazývaný instance schématu vydělení pro ϕ. Instance schématu vyděleníproformuli ϕříká,žeprokaždoumnožinu xsouborvšechprvků x,onichž ϕplatí,tvoří množinu. Omezení tohoto vydělování na prvky nějaké již předem dané množiny x je zde podstatné. Beznějbytotižbylomožnézískatmnožinuimplikujícísporvteoriimnožin(např.formulí ϕ: u / u bychom dospěli k Russelovu paradoxu). 4
5 Množina z získaná vydělením prvků z x formulí ϕ(u) podle příslušné instance schématu vydělení existuje jediná to plyne z axiomu extenzionality. Značíme ji dále {u x;ϕ(u)}, cožčteme množinavšech uzx,takových,žeplatí ϕ(u). Prázdnámnožina jetakovámnožina z,kteránemážádnéprvky,tj.neexistuje usu z. Prázdnou množinu značíme symbolem. Toto značení je korektní pouze za předpokladu, že existuje právě jedna množina, která je prázdná. To ovšem vyplývá snadno následovně: Existence prázdné množinyplynezinstanceschématuvyděleníproformuli u u.množina x,znížvydělujeme, existuje dle axiomu existence. Řečeno stručněji, je ={u x;u u}. To, že je prázdná množina jediná, je důsledkem axiomu extenzionality. Axiom dvojice ( x)( y)( z)( u)(u z u=x u=y) Pro každé dvě množiny existuje dvouprvková množina, která má za prvkyprávěje. Sestrojenámnožina: {x,y}={u;u=x u=y} Axiom dvojice je konstrukčním axiomem. Jako konstrukční označujeme axiom, jenž udává způsob,jakýmmůžemezjižvytvořenýchmnožinzkonstruovatmnožinudalší,ato složitější,tj. takovou, která není nutně částí žádné z původních množin. Množinu mající právě dva prvky x a y značíme {x, y} a nazýváme(neuspořádaná) dvojice množin xay.existencemnožiny {x,y}prokaždédvěmnožiny x,yplynezaxiomudvojice.platí (dle definice a axiomu extenzionality) {x,y}={y,x}, {x,y}={u,v} (x=u&y= v) (x=v&y= u). Místo {x,x}píšeme {x}aříkáme,žetojejednoprvkovámnožinasprvkem x. Axiom sjednocení ( x)( z)( u)(u z ( y)(y x&u y) Sjednocenímmnožinymnožinvzniknemnožina. Sestrojená množina: x={u;( y)(y x&u y)} Axiomsjednoceníjekonstrukčnímaxiomem.Je-li xjižvytvořenámnožinasprvky y,y,... (libovolně mnoha), pak dle axiomu sjednocení existuje množina z, jejímiž prvky jsou právě prvky alespoňjednézmnožin y,y,... Je-li xmnožina,množinu znazývámesjednocením xaznačíme x,pokud u z,právěkdyž u ypronějakýprvek y x.existence xplynezaxiomusjednocení,jednoznačnostzaxiomu extenzionality.místo {x,y}píšeme x yaříkáme,žetojesjednocenímnožin xay.užíváme zde axiomy dvojice a sjednocení. Promnožinu xdefinujemejejíprůnikznačený xjakomnožinu zobsahujícíprávětymnožiny u(z (x)),kteréjsouprvkemkaždémnožiny y x,tj. u xprávěkdyž u yprokaždýprvek y x.skutečnost,žeprůnikemjakékolimnožiny xjeopětmnožinaplynezaxiomůsjednocenía vydělení;jetotiž (x)={u (x);( y)(y x u y)}.místo {x,y}píšeme x yaříkáme, žetojeprůnikmnožin xay. Již máme definovány symboly, {x} a {x, y} pro prázdnou, jednoprvkovou a dvouprvkovou množinu s určenými prvky. Pomocí axiomu sjednocení můžeme definovat n-prvkovou množinu pro libovolné n přirozené následující induktivní definicí: Pro n 3 se n-prvková množina s vzájemně různýmiprvky x 1,...,x n definujejako {x 1,...,x n }={x 1,...,x n 1 } {x n }. 5
6 Axiom potence ( x)( z)( u)(u z u x) Existujemnožinavšechpodmnožindanémnožiny. V -jazyce: ( x)( z)( u)(u z ( v)(v u v x)) Sestrojenámnožina: P(x)={u;u x} Axiom potence lze chápat jako konstrukční axiom. Na rozdíl od dalších konstrukčních axiomů (dvojiceasjednocení)všakaxiompotence konstruuje množinuobsahujícíiprvky,kteréještě nebyly explicitně sestrojeny(ne každá podmnožina x byla již dříve sestrojena pomocí jiných axiomů).vtomtoohledusepodobáspíšeaxiomům existenčním,kterýmijsouaxiomyexistencea nekonečna(a některé instance schématu nahrazení). Tato vlastnost axiomu potence zapříčinila, že v počátcích axiomatické teorie množin měli proti němu někteří matematici výhrady a pochybnosti o jeho správnosti. Množinu mající za prvky všechny podmnožiny dané množiny x nazýváme potence x a značíme P(x). Jinými slovy u P(x) právě když u x. Její existenci postuluje axiom potence. Jednoznačnost plyne z axiomu extenzionality. Zřejmě platí Schéma axiomů nahrazení P(x), x P(x), {u 1,...,u n } P(x)pro u 1,...,u n x. ( u)( v)( w)(ϕ(u,v)&ϕ(u,w) v= w) ( x)( z)( v)(v z ( u)(u x&ϕ(u,v))) pro každou formuli ϕ(u, v) neobsahující proměnné w ani z. Obraz množiny v daném množinově definovaném zobrazení je množina. Schéma axiomů nahrazení sestává z nekonečně mnoha samostatných axiomů, instancí schématu nahrazení, jedné pro každou formuli ϕ(u, v). První část axiomu nahrazení vyjadřuje předpoklad, že ϕ(u,v) určuje(parciální)zobrazení u v,tj.žekekaždému uexistujenejvýšejedno v, proněž ϕ(u,v).druháčástpakříká,ženahradíme-liprvky unějakémnožiny xjimpřiřazenými prvky v, vznikne tímto nahrazením množina. Podobně jako u axiomu vydělení i zde je omezení nahrazování na nějakou již dříve vytvořenou množinu klíčové a jeho vypuštění by vedlo ke sporu. Axiom nekonečna V -jazyce: ( z)( z&( u)(u z u {u} z)) Existujealespoňjednanekonečnámnožina. ( z)(( u)(u z&( v) (v u))& &( u)(u z) ( w)(w z&( y)(y w y u y= u))) Axiomnekonečnajeaxiomčistě existenční,podobnéhocharakterujakoaxiomexistence. Postuluje existenci nekonečné množiny z. Nekonečnost je přitom vyjádřena induktivně, tj. tím, že jednak z(prvníkrok)aprokaždýprvek u zjetakéjeho následník u {u}prvkem z (indukčníkrok);zřejmě u {u}jerůznéod u.speciálněmámetedyvznásledujícíprvky, { }, {,{ }}, {,{ },{,{ }}},... Axiom nekonečna se zásadně liší od všech předchozích axiomů(snad s výjimkou axiomu existence). Postuluje existenci aktuálně nekonečné množiny, aniž by dával jakýkoli návod, jak tuto množinu vytvořit z již dříve vytvořených množin. Jde tedy o velice silný axiom, který přidává kteoriimnožinpopsanýchpředchozímiaxiomycelénové patro množinnekonečných.opodstatnění platnosti(či bezespornosti) tohoto axiomu je hluboce netriviální a otázka jeho přijetí či odmítnutí se stala předmětem mnoha zásadních historických sporů mezi významnými matematiky afilosofy. 6
7 Uvidíme později, že množina z postulovaná axiomem nekonečna obsahuje všechna přirozené čísla(poté,cojevteoriimnožinzavedeme)ažemnožinavšechpřirozenýchčíseljenejmenší množinou z splňující vlastnost uvedenou pro množinu z v axiomu nekonečna. Axiom fundovanosti(regularity) V -jazyce: ( x)(x ( u)(u x&u x= )) Neexistujenekonečnýklesající -řetězec. Každáneprázdnámnožinamá -minimálníprvek. ( x)(( v)(v x) ( u)(u x&( w)(w u (w x)))) Axiom fundovanosti omezuje bohatost množinového univerza tím, že zakazuje některé typy množin či jejich posloupností. Například množina x taková, že x = {x}(x je svým vlastním jediným prvkem) porušuje podmínku ve znění axiomu. Podobně též například množina y s vlastností y yčimnožina xobsahujícíprvky u 1,u 2,...splňující u i+1 u i vedoukesporusaxiomem fundovanosti. Pro naprostou většinu praktických aplikací teorie množin je platnost či neplatnost axiomu fundovanosti nepodstatná. V průběhu celé přednášky tento axiom ani jedenkrát nepoužijeme. Uvádíme ho pouze z historických důvodů. 7
8 Index n-prvková množina, 5 dvojice neuspořádaná, 5 formule, 3 jazyk, 2 jednorpvková množina, 5 jednotice, 5 množina n-prvková, 5 jednoprvková, 5 prázdná, 5 všech podmnožin, 6 neuspořádaná dvojice, 5 podmnožina, 4 vlastní, 4 potence, 6 prázdná množina, 5 průnik, 5 dvou množin, 5 sjednocení, 5 dvou množin, 5 teorie, 3 vlastní podmnožina, 4 8
MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.
MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceTeorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno
Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions 2010 - Orličky 23.2. 27.2.2010 Lenka (Brkos 2010) TeMno 23.2. 27.2.2010 1 / 42 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená
Víceť Š é ť ů ů é ž é Í Ř é ů ůž é é Ž Í ť é Ú Ú Ú Ú é ů ů Ž é é é é Ž é é ť ů Ú ň ů é ž Ž ů é ů é é é Á Ť é ď Á ů Í ž Í é é é é é é é é é Ý Ž Ž é é ů ů Ž Í é Í é ď ů é ů ů Ú é ó ť ž Ú Ž é úú ú Ž é ť ů Ž ů
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé
Více1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:
1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto
VíceŘešení: Ano. Řešení: Ne.
1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceKlasická predikátová logika
Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít
VíceAD4M33AU Automatické uvažování
AD4M33AU Automatické uvažování Úvod, historie Petr Pudlák Organizační informace Tyto slidy jsou pomocný studijní materiál. Na přednášce budou uváděny další informace a příklady, které ve slidech nejsou.
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.
Úvod do informatiky přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Množiny, relace a funkce úvod Množiny, relace a funkce
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceMatematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami
5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si
VíceVysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.
VíceTeorie množin Pavel Podbrdský
Teorie množin Pavel Podbrdský V matematice se s pojmem množina setkáváte na každém kroku. Jistě jste obeznámenispojmemmnožinyvšechpřirozenýchčísel,množinyvšechbodůvrovině,... Cílem této přednášky bude
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VícePřevyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha
Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),
VíceZáklady logiky a teorie množin část II
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 2008 1 1 Teorie množin 2 Její význam spočívá v tom, že všechny matematické pojmy (čísla, funkce, Základy logiky a teorie množin část II URL (slajdy): Petr
VíceLogika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceVýroková a predikátová logika - XIII
Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které
Víceplatné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/??
Predikátová logika plně přejímá výsledky výrokové logiky zabývá se navíc strukturou jednotlivých jednoduchých výroků na základě této analýzy lze odvodit platnost některých výroků, které ve výrokové logice
VíceĚ Ů Ý Ů ý ý ůý ý ů ů ů ů ý ý ů ž Č ů ý ů ž ž ý ů Ě Ů Ý Ú ž ž ý ý ž ž ý ů ů ý Ý ý ý ů ů ý ú ú ú ý ú ý ž ž ť ž ň ý ý ů ň ý ú ů ů ý ý ý ů ž Ú ý Č ů ň Ě ť Ů Ý Ů Č ú ů ů ý ý Ý ůž ý Ú ý ý Š Č Č ý ú ů ú ž ů Ž
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
VíceJak je důležité být fuzzy
100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením
VíceDefinice. Petr Kuchyňka
Definice Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) 1 Úvod Pravdivost vět či platnost argumentů lze kompetentně posoudit, jen když je jasné, co přesně znamenají výrazy v nich užité. Základním prostředkem specifikace
VíceLogika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceZáklady logiky a teorie množin část II
1 Základy logiky a teorie množin část II Petr Pajas pajas@matfyz.cz URL (slajdy): http://pajas.matfyz.cz/vyuka Teorie množin 2 Její význam spočívá v tom, že všechny matematické pojmy (čísla, funkce, relace,
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceLogika Libor Barto. Výroková logika
Logika Libor Barto Výroková logika Definice.(Jazyk výrokové logiky) Ve výrokové logice používáme tyto symboly: (1) Výrokové proměnné: velká písmena, případně opatřená indexy. (2) Výrokovéspojky:,,&,,,....
VíceVýroková a predikátová logika - VI
Výroková a predikátová logika - VI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VI ZS 2017/2018 1 / 24 Predikátová logika Úvod Predikátová logika Zabývá
VíceParciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Paradoxy teorie množin BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Martin Královec Přírodovědná studia Matematická studia Vedoucí
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceÚvod do logiky (PL): základní úvaha
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (PL): základní úvaha doc. PhDr. Jiří Raclavský,
Vícepostaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy
Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných
VíceNaivní teorie množin. Naivní pojem množiny Funkce jako nálepkovací schéma Konečnost, nekonečnost Spočetnost, nespočetnost
Naivní teorie množin Jiří Velebil: YD01MLO 27. února 2008: Naivní teorie množin 1/16 Definice Množinou A rozumíme souhrn určitých a rozlišitelných objektů x existujících v naší mysli. Těmto objektům říkáme
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceÝ ň ť Í Ť ň Ť Ý ň ň Ú Ú ÚÝ ť Ž Ť Ž ň ť Ť Ť Ť ť Í Ť Ť ň ů Í Ť Í ň Ť ň ť Í Í Í Í ť Í ň Ď Í ň Í Í Í ň Í Í Í Ť Í ň Č ť Ť ň Í Í Í Ď Í Ť Ď Í ú Ť Í Ť Ž Ť ň ň Ž Ť Ť ň Í Č ň Ť Í Ť ť Ž ň Ť ň Ť ň Ť ň Ť ň ť Ž Ť ť
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceNegativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1
Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit
Víceú ň ň ů ý ů ů ů ň Í ů ý ů ý ý ý ň ú ý ů ú ň ý ú ý ů ú ů ý ý ů ď ď ň ú ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ý ý ó ť ý ů ý ů ý ý ý ý ý ď ý ý ý ý ů ý ů ý ý ý ý ů ý ý ý ý ů Í ů ď ý ý ů Ť ý ý ý ý ý ý ý ú ý ů ú ú Í Ť ú ú
VíceMatematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky
Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická
VícePredik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
VíceRUSSELŮV PARADOX RUSSELLŮV PARADOX
RUSSELLŮV PARADOX Tím, kdo v podstatě sám založil celou teorii množin, byl německý matematik Georg Cantor. Rychle se ukázalo, že množiny, respektive třídy (pro naše účely nejsou rozdíly mezi oběma pojmy
VíceGödelovy věty o neúplnosti
Gödelovy věty o neúplnosti Miloš Jakubíček PB016 Úvod do umělé inteligence Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 23. listopadu 2007 1 Gödel & historie Kurt Gödel Historický kontext 2 Jazyk a metajazyk
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Více1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VíceMatematika pro studenty ekonomie
w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
Vícezejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
Více3 Množiny, Relace a Funkce
3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli
VíceO TOPOLOGII NA OBJEKTU TYPU TŘÍDA
Acta Fac. Paed. Univ. Tyrnaviensis, Ser. C, 2008, no.12, pp. 7-15 7 O TOPOLOGII NA OBJEKTU TYPU TŘÍDA Jiří Havlík, Běla Šikulová Katedra matematiky a fyziky, Univerzita obrany Kounicova 65, 612 00 Brno,
VíceZáklady matematické logiky
OBSAH 1 Základy matematické logiky Obsah 1 Úvod 2 1.1 Předmět matematiky.......................... 2 1.2 Nástin historie.............................. 2 1.3 Axiomatická výstavba matematických teorií.............
Více1. Základy logiky a teorie množin
1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické
VíceSpojitost funkcí více proměnných
Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceVýroková a predikátová logika - I
Výroková a predikátová logika - I Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2019/2020 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - I ZS 2019/2020 1 / 19 K čemu je logika? Pro matematiky: matematika o matematice.
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceZáklady podmíněné matematické optimalizace
Základy podmíněné matematické optimalizace Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc V tématu nepodmíněné optimalizace jsme na pohyb bodu v prostoru nezávisle proměnných nekladli žádná omezení. V případě
Víceó ý ř ů ť ě ř š ř ý ěž ě ň šř ý ů ů ý ř ů ů ý ý ě Ú ýš ý ě ěř š ý ů ř ě ř š ý ř ů š ř ě ěř ů ř ě ú ů Ó ýý š Ú ý ř ů ř š ý ý ů ď š ů ý ý ř ů Č ě ě ě ů ě ř ř Š ěř ě ů ý ř ů ý ý Ž š ý š ř ý ý Ž ý ě ř ě Š
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2017/2018 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceStefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Logika pro každodenní přežití Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie
Více+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity
Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní
VíceOkruh č.9: sémantické metody dokazování v PL1 model formule Tradiční Aristotelova logika kategorický sylogismus subjekt predikátové výroky
Okruh č.9: sémantické metody dokazování v PL1 Pomocí metody Vennových diagramů a relačních struktur vytváříme grafický model situace, která je úsudkem vyjádřena. Ověřujeme, zda náš graficky znázorněný
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
Více13. května 2009 seminář AEM, Praha Jan Kanta ředitel útvaru Legislativa a trh
Novela energetického zákona 13. května 2009 seminář AEM, Praha Jan Kanta ředitel útvaru Legislativa a trh DŮVODY NOVELIZACE ENERGETICKÉHO ZÁKONA Implementace směrnice 2005/89/ES o opatřeních pro zabezpečení
Více1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY
Vážená kolegyně / vážený kolego, součástí Vašeho rozšiřujícího studia informatiky je absolvování předmětu Logika pro učitele 2, jehož cílem je v návaznosti na předmět Logika pro učitele 1 seznámení se
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceDISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I RADIM BĚLOHLÁVEK, VILÉM VYCHODIL VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM
Více5.4.1 Mnohostěny. Předpoklady:
5.4.1 Mnohostěny Předpoklady: Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar, jehož hranicí je uzavřená plocha. Hranoly Je dán n-úhelník A... 1A2 A n (řídící n-úhelník) ležící v rovině ρ a
VíceVýroková a predikátová logika - X
Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2018/2019 1 / 16 Rozšiřování teorií Extenze o definice Rozšiřování
VíceLogika, výroky, množiny
Logika, výroky, množiny Martina Šimůnková 23. srpna 2017 Učební text k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Jazyk matematiky Budeme používat dva jazyky: jazyk matematiky a běžně používaný jazyk.
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
Více( ) ( ) ( ) 2.3.11 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých II. Předpoklady: 2310
..11 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých II Předpoklady: 10 Pedagogická poznámka: V první části hodiny si studenti zopakuji nejdůležitější metody z minulé hodny. V druhé si pak zkusí méně
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceRegulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
VíceÚvod do teorie her. David Bartl, Lenka Ploháková
Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková Abstrakt Předložený text Úvod do teorie her pokrývá čtyři nejdůležitější, vybrané kapitoly z této oblasti. Nejprve je čtenář seznámen s předmětem studia
VíceGRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
Více2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
VíceMnožiny, základní číselné množiny, množinové operace
2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás
VíceTEORIE GRAFŮ. Petr Kovář
TEORIE GRAFŮ Petr Kovář Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita
Více1. Základy logiky a teorie množin
. Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil
VíceMatematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy DIPLOMOVÁ PRÁCE
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy DIPLOMOVÁ PRÁCE Endomorfismy, invariantní třídy a nestandardní principy v neregulárním universu množin Petr Pajas Obor: Matematika Zaměření studia: Matematické
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VícePLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
VíceGeometrie v rovině 1
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 1 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006 Obsah Úvod 5 1Přímkaajejíčásti 7 Klíčováslova...
Více