Příklady k přednášce 1. Úvod. Michael Šebek Automatické řízení 2019

Transkript

1 Příklady k řednášce. Úvod Michael Šebek Atomatické řízení

2 Kyvadlo řízené momentem Pohybová rovnice (. Newtonův zákon ro rotaci) J ϕ = M ro moment setrvačnosti J = ml = M Flsinϕ c = M mgl sinϕ c g Nelineární model vst-výst s sin ml ϕ+ mgl ϕ = M c + sin = ml y mgl y y = ϕ = M, c Fg = m mg Nelineární stavový model s = g = sin + l ml y = = ϕ = y, = ϕ = y, = Mc Michael Šebek ARI-Pr-0-07

3 Jen ro zajímavost: řesné řešení? Při hledání řešení (Mathieovy) rovnice ml ϕ+ mgl sinϕ rvní integrál ohyb (výočtem rychlosti z kinetické energie) dϕ g = ( cosϕ cosϕ0 ) dt Dále bychom ostovali metodo searace roměnných ϕ ϕ d d = dt t C g = + g ( cosϕ cosϕ0) ( cosϕ cosϕ0) To ale vede na elitický integrál, který atří mezi tzv. neelementární (je dokázáno, že ho nelze sestavit z elementárních fnkcí) Přesné řešení tak jednodché rovnice (v zavřeném tvar) tedy neeistje! Michael Šebek ARI-Pr

4 Fázový ortrét Řešení nelineárních stavových rovnic ve fázovém rostor - ro. řád je D = = sin = ϕ = ϕ Složité křivky, nelze je osat elementárními fnkcemi SW: htt:// Michael Šebek ARI-Pr

5 nelineární stavový model = f(,, ) = f,, racovní bod Linearizace stavového model ro SISO. řád ( ) (,, ) y = h,,,, ozor: msí latit (,, ) (,, ) = f,,, = f,,, (,, ) y = h,, lineární odchylková aroimace f f f = + +,,,,, f f f = + +,,,,, rotože racovní bod je řešením rovnic!,, h h h = + + y,,,,,, Michael Šebek ARI-Pr

6 Kyvadlo stavová linearizace v obecné oloze Nelineární stavový model V obecném racovním bodě a lineární odchylková aroimace je = g = sin + l ml y =,,, y,, g = cos, 0 ( 0 0) 0 l ml y = = g = cos, + l ml y = = ϕ = = ϕ = M c y, =, g = sin + l ml y =,,, Fg = m mg Michael Šebek ARI-Pr

7 Kyvadlo stavová linearizace v dolní oloze racovní bod v dolní oloze,,,, ϕ = M, ϕ = je ekvilibrim,,, (lyne z označení stavů a nelineárních rovnic) dále cos = cos 0 =, takže,, = = ϕ lineární odchylková aroimace je = g = + l ml y =, =, = = g = sin + l ml y = Michael Šebek ARI-Pr

8 Kyvadlo stavová linearizace v horní oloze racovní bod horní oloze = π,,,, je také ekvilibrim,,, (lyne z označení stavů a nelineárních rovnic) dále cos = cosπ =, takže, ϕ =, = π ϕ = = M, 0 = ϕ ϕ = π ϕ lineární odchylková aroimace je = g = + l ml y =, = π = =, 0 = g = sin + l ml y = Michael Šebek ARI-Pr

9 Kyvadlo stavová linearizace ve vodorovné oloze racovní bod ve vodorovné oloze dorava = π,, = mgl,, je také ekvilibrim,,, (lyne z označení stavů a nelineárních rovnic) neboť klidový moment vyrovnává tíhové zrychlení dále cos, = cosπ, takže lineární odchylková aroimace je = = ml y = = mgl volný ád ro konstantní ϕ ϕ ϕ = π = g = sin + l ml y = Michael Šebek ARI-Pr ,, = π

10 Linearizace vnějšího model ro SISO. řád V říadě LTI SISO systém.řád má IO model skalární tvar ( ) g yyy,,,,, Lineární odchylková aroimace v racovním bodě je ak y, y, y,,, g g g g g g y+ y + y = y y y Michael Šebek ARI-Pr

11 Kyvadlo vnější linearizace v obecné oloze Nelineární model + = ml y mgl sin y V obecném racovním bodě y, y, y,,,, který slňje ml y + mgl sin y = 0 cos 0 0 ml y+ y+ mgl y y = + + y = = M ϕ c Fg = mg m a lineární odchylková aroimace je ml y + mgl sin y = y, y, y,, ml y+ mgl cos y y = Michael Šebek ARI-Pr-0-07

12 Kyvadlo vnější linearizace v dolní oloze racovní bod dolní oloze y, y, y,,, je ekvilibrim rotože cos y = cos 0 =, takže lineární odchylková aroimace y y y = ϕ = ϕ = ϕ = M = M = M y = ϕ ml y+ mgl y = ml y + mgl sin y = y, y, y,, Michael Šebek ARI-Pr-0-07

13 Kyvadlo vnější linearizace v horní oloze racovní bod horní oloze y, y, y = π,,, je také ekvilibrim dále cos y = cosπ =, takže y y y = ϕ y = ϕ y = ϕ = π = M y = M = M = π lineární odchylková aroimace je ml y mgl y = ml y + mgl sin y = y, y, y = π,, Michael Šebek ARI-Pr

14 Kyvadlo vnější linearizace ve vodorovné oloze racovní bod ve vodorovné oloze dorava y, y, y = π,,, = mgl ϕ ϕ je také ekvilibrim, neboť klidový moment vyrovnává vliv tíhového zrychlení dále cosϕ, takže = cosπ lineární odchylková aroimace je ml y = y, y, y = π,, = mgl ϕ + = ml y mgl sin y = π volný ád ro konstantní Michael Šebek ARI-Pr

15 Kyvadlo ještě jedno totéž maticově = ϕ = y, = ϕ = y, = Mc f(,, ) =, g g = f = = f(,, ) sin + = sin + l ml l ml y = y = h, h = (,, ) = f f f 0 0 f g f A= = =, B= = = (, ) f f cos, 0 (, ) f l ml = = = h h h h h C= = = [ 0], = = D = = (, ) (, ) = g = cos, + t () l ml yt () = Michael Šebek ARI-Pr = = =

16 Kyvadlo - aroimace v obecné oloze = ϕ = y, = ϕ = y, = Mc = g = sin + l ml y = = g = cos, + t () l ml yt () = Nelineární Lineární dole nahoře vodorovně = y = ϕ = y = ϕ cos 0 =,, = y = ϕ = π = y = ϕ cosπ =,, = y = ϕ = π = y = ϕ cosπ,, Michael Šebek ARI-Pr

17 Kyvadlo - aroimace IO v obecné oloze + sin ml y mgl y g( yy,, y, ) g g g g y y y = mgl cos y,, = ml, = ml y + mgl cos y y = dole nahoře vodorovně = y = ϕ = y = ϕ cos 0 =,, = y = ϕ = π = y = ϕ cosπ =,, = y = ϕ = π = y = ϕ cosπ,, Michael Šebek ARI-Pr

18 ARI_endlm_lin_nonlin Nelineární a linearizovaný model y = y = y+ y Michael Šebek ARI-Pr

19 Geometrická interretace Linearizace ve fázovém ortrét = ϕ = = sin, = = kržnice = ϕ hyerboly araboly = π, Michael Šebek ARI-Pr = = π =, = = ( = )

20 Někdy lineární aroimace neeistje Nehladká fnkce: diody, tlmiče f( ) Různé fnkce, řeínání, (event-driven) skákající míč Nesojitá fnkce: relé, Colombovo tření Není to fnkce (v matematickém smysl): hystereze (závislost na dráze) f( ) f( ) elektrická: feroelektrický materiál elastická: gmička termostat, Schmidtův sínač Michael Šebek ARI-Pr

21 Někdy lineární aroimace eistje, ale neomůže Některé nelineární sostavy neomůže lineárně aroimovat = f ( ψ ) Příklad: kinematika ata v rovině = cos 3 = sin 3 3 = 3 Přibližná linearizace v okolí bod (0,0,0) je = není řiditelná 3 3 = A, B = Con = Intitivně známý fakt: atem nelze římo ohnot do strany Můžeme oojíždět vřed-vzad s střídavým natáčením kol, ale to ž je nelineární řízení To lyne z tzv. ne-holonomického omezení sin 3 cos 3 které latí, okd kola nekložo do strany Michael Šebek ARI-Pr-0-05

22 Aroimace ro nelinearity dané grafem Magnetický levitátor s kličko (zjednodšené magnetické ložisko) rovnice ohyb kličky m = f (,) m i mg kde síla elektromagnet je teoreticky f (,) m i, ale rakticky složitější eerimentálně změřené křivky (klička d = cm, m = 8,4.0-3 kg) mg.084mn ekvilibrim = magnetická síla vyrší gravitaci Michael Šebek ARI-Pr-0-05

23 okračování i f i mg m m = 8, , = 600 ma, 3mm, m(, ) kg =, = 8, 4.0 kg m = fm(,) i mg fm fm m( 0 + ) = fm(, i) + + i mg i m f m = + i rčíme z graf jako směrnici fm, i Lineární aroimace je 4 N m f i m i i i odhadneme z graf i fm f(, i ) f(, i ) i i i = = 3, i 3 ( ) 0 = , 6 i 0.4 N A kde signály jso v jednotkách SI [m], ia [ ] Michael Šebek ARI-Pr

24 Logistické zobrazení Nelineární diskrétní systém k ( + ) = rk ( )( k ( )) demografický model - vystihje jevy: ro malé olace otimisms (míra růst roste úměrně s velikostí olace), ro velké olace vyhladovění (míra růst klesá úměrně rozdíl úživnost rostředí mins velikost olace) chování silně závisí na arametr r řešení avčinovým diagramem bifrkace Michael Šebek ARI-Pr