Příklady k přednášce 26 Nelineární systémy a řízení

Transkript

1 Příklady k přednášce 6 Nelineární systémy a řízení Michael Šebek Automatické řízení

2 DC motor s omezením - odezva na rampu, sinus a součet rampa+sinus nefunguje superpozice ne-věrnost frekvence hůř sleduje Příklad: Nelineární systém s lineární ZV reference vystup po saturaci před saturací

3 Příklad: Nelineární stabilizace integrátoru Porovnejte lineární stabilizaci integrátoru = u } = x u = x s nelineární stabilizací = u x ( ) ( sign x) x u sign x x = = typu spojitý deadbeat Vhodná Lyapunovova funkce je V( x) = x V ( x) = x sign x x < x ( ) IntegratorNonlinear.mdl x x u u 3

4 Příklad: Nelineární stabilizace integrátoru Jiná nelineární stabilizace je IntegratorNonlinear_JF.mdl u = u = = x 3 3 x x 4

5 Příklad: Únik v konečném čase rovnice = x s počátečním stavem má řešení x () = 1 xt () 1 = 1 t Pro srovnání: výstup lineárního systému roste nejvýše exponenciálně, a do nekonečna se dostane až v nekonečném čase 5

6 Příklad: Více izolovaných ekvilibrií Systém je v ekvilibriu, když jsou všechny stavové proměnné konstantní ekvilibrium je dáno konstantními vektory takovými, že e e = f( x, u ) = e e e z této rovnice ho vypočteme, nejčastěji pro LTI má většinou jediný ustálený stav v nule x, u (výjimečně podprostor ustálených stavů pro A singulární) Nelineární systém může mít více izolovaných ekvilibrií = sin( x) = sin( x ) e u e = x = kπ, k =, ± 1, e 6

7 Srovnání: Lineární a nelineární oscilátor Lineární oscilátor x+ x= může oscilovat (když má póly na imaginární ose), ale oscilace jsou nestabilní (póly jsou na mezi stability) a jejich amplituda závisí na počátečních podmínkách Nelineární oscilátor x+ x+ 3( x 1) = jen nelineární systém může mít stabilní oscilace s pevnou amplitudou a frekvencí nezávisle na poč. stavu, tzv. limitní cykly např. van der Polova rovnice (model stahů srdce, nerv. pulsů, stahů svalů v jícnu a střevech, další známé oscilátory: Raleigh: klarinet, housle, Voltera: populace 7

8 Příklad: Špatné vlastnosti lineárního oscilátor LTI může oscilovat (když má póly na imaginární ose), ale jejich amplituda závisí na počátečních podmínkách x+ x= >> sys=ss(1/(s^+1));initial(sys,[1,],), hold >>initial(sys,[,],),initial(sys,[.5,],) a oscilace jsou nestabilní (póly na mezi stability) Uvažme perturbovaný oscilátor x+ ε + (1 + ε ) x= 1 ε 4+ 4ε 1 ε1 λ1, = ± i ε < 4+ 4ε 1 >> eps1=;eps=1;sys=ss(1/(s^+eps1*s+1+eps)); >> initial(sys,[1,],3),hold >> eps1=.1;eps=1; // atd. 8

9 Co ještě může nastat u nelineárních systémů? řešení neexistuje: Např. rovnice, kde 1 x = sign( x), x() = sign( x) = 1 x < nemá žádné řešení (= žádná spojitě dif. fce ji nesplňuje), i když není zas tak nesmyslná: je to zjednodušený model termostatu řešení není jednoznačné: Např. rovnice = x x = 3 3, () 3 je řešitelná každou funkcí ( t a) t a x s libovolným a a = t < a bifurkace (kvalitativní rysy se mění se změnou parametrů) synchronizace (vázané oscilátory se synchronizují) složité dynamické chování (turbulence, chaos, ) 9

10 Příklad: Fázový portrét tlumeného kyvadla Pohybová rovnice v tečném směru ml ϕ = mg sinϕ kl ϕ x = ϕ, x = ϕ Pro stavové proměnné dostaneme nelineární stavový model 1 = x k g = x sin( x1) m l 1 demoph Fázový portrét je na obr. Vidíme např. stabilní a nestabilní ekvilibria 1

11 Příklad: Jiný portrét netlumeného kyvadla mgl 1 g 1 θ = sinθ + Mkot θ = sinθ + J J l ml M kot J = ml θ l r Fg = mg M kot 11

12 Příklad: vliv saturace v aktuátoru Řízení motoru otáčejícím anténou se saturací v aktuátoru = výkonovém zesilovači Zesilovač má zesílení 1, ale také saturaci ± 5 V úhlová rychlost antény v rad/s bez saturace se saturací Efekt saturace v zesilovači je podle očekávání: saturace pouze zmenší skokový signál na vstupu a tomu odpovídá výstup 1

13 Příklad: Vliv pásma necitlivosti pásmo necitlivosti dead zone na výstupní hřídeli vstupní signály v pásmu od - V do + V nemají efekt na výstup (neotočí hřídelí) úhlová výchylka antény v rad bez dead zone s dead zone dobře se projeví při sinusovém vstupním signálu hřídel reaguje teprve až vstupní signál překročí práh necitlivosti výsledkem je menší amplituda 13

14 Příklad: Vliv mrtvého chodu mrtvý chod - backlash vůle v ložiscích šířka pásma necitlivosti.15 úhlová výchylka antény v rad s backlash bez backlash dobře se projeví při sinusovém vstupním signálu po změně směru rotace motoru zůstane výstupní hřídel na chvilku v klidu dokud ložiska nezaberou opačně 14

15 Příklad: Hammersteinův model lidského svalu Lýtkové svaly: triceps surae = Gastrocnemius + Soleus Jejich reakci na elektrickou stimulaci popisuje Hammersteinův empirický model: statická nelinearita + lineární dynamika z experimentální impulsní charakteristiky odvodíme tvar nelinearity sval 1-1 a potom ji vyrušíme f f B r r m( z ) 1 Am ( z ) umělou inverzí a z výsledkem je lineární systém Např. řízení momentu pro stabilizaci postoje paraplegika mt () 15

16 Podivný příklad stability Může být ekvilibrium stabilní asymptoticky, ale ne Lyapunovsky? Uvažme systém s ekvilibriem (,) fázový portrét = x x = xx pro x () = má řešení x1 () x1 () t = 1 tx1 () x() t = speciálně pro x1() = 1, x() = má řešení 1 x1 () t = 1 t x () t = modré trajektorie konvergují k a co zelená? také tato trajektorie asymptoticky konverguje k ekvilibriu, ale podivně: přes v čase t =1 x x 1 x () t 1 t 16

17 Kdy je lineární systém Lyapunovsky stabilní? = Zvláštním případem nelineárního systému je systém lineární: U lineárního systému je stabilita ekvilibria globální = stabilitě systému U lineárního systému asymptotická stabilita implikuje Lyapunovskou Kdy ještě je lineární systém Lyapunovsky stabilní? (není-li asymptoticky) Role vlastních čísel na mezi stability: Jednonásobná vlastní čísla na mezi neporuší Lyapunovskou stabilitu Ale co vícenásobná? Neporuší ji taková vícenásobné vl. č. na mezi, pro která platí, že násobnost vl. č. = počet jeho lineárně nezávislých vlastních vektorů Alternativně: násobnost vl. č. = počet jeho Jordanových bloků Paralelní spojení Kaskáda integrátorů 1 integrátorů je A = není A = Lyapunovsky stabilní Lyapunovsky stabilní Ax 17

18 Příklad: Stabilní a nestabilní ekvilibrium stabilní 3 Uvažme dva nelineární systémy: x= x a = x oba mají ekvilibrium v počátku a oba mají v jeho okolí x = nestabilní stejnou linearizaci x = tj. A =, která má pól v s = všechny pp. jdou k» syms x» sol=dsolve('dx=-x^3','x()=x') sol = [ -1/(*t+1/x^)^(1/)] [ 1/(*t+1/x^)^(1/)] odmocnina z hyperboly posunuté do 1 x znaménko podle znaménka počáteční podmínky jen kladné pp. jdou k» sol=dsolve('dx=-x^','x()=x') sol = 1/(t+1/x)» sol=dsolve('dx=-x^','x()=-1') sol = 1/(t-1) hyperbola posunutá do 1 x tj. pro x < druhá větev! Pozor: lim v nehraje roli 18

19 Jak zkoumat stabilitu - motivace Určeme stabilitu ekvilibria v počátku pro systém. řádu zkoumáním vzdálenosti jeho řešení od počátku d () t = x1() t + x() t sledujme její změnu jako funkce času podél tohoto řešení Nejprve 3 1 = x x1 3 pro systém je = x1 x d ( x1() t + x() t ) dt = x11 + x dosazením rovnic systému dostaneme ( 1 ) 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 + ) d x () t + x () t dt = x x x + x x x = x x t dokud nejsou x 1 a x současně, čtverec vzdálenosti klesá k a řešení blíží k nule ekvilibrium je lokálně asymptoticky stabilní Naopak 3 1 = x + x1 3 pro systém je = x1+ x 3 3 d( x1() t + x() t ) dt = x1( x + x1 ) + x( x1+ x 1 = x ) 4 4 = x1 = ( x1 + x) t tedy vzdálenost roste bez omezení ekvilibrium je nestabilní Mimochodem: Oba systémy mají stejnou linearizaci s vlastními čísly ± j stabilitu z ní nepoznáme. 19

20 Příklad: Lyapunova funkce Polohová ZV, Fe5 Ex 9.16, s Ts ZV od polohy + nelinearita nelinearita v aktuátoru (saturace apod.) statická nelinearita s grafem procházejícím 1. a 3. kvadrantem a s rovnicí u = f() e takovou, že e f () e de > a f() e = e= celkový systém je popsán rovnicemi e = x, = x T + f() e T, T > Zkusme Lyapunovovu funkci ve tvaru potenciální + kinetická energie T e V = x + f( σ) dσ Zřejmě je V = x = e= a Zbývá ověřit 3. podmínku r e u y 1 s V > x + e

21 vypočteme derivaci dle trajektorie zřejmě platí V takže počátek je Lyapunovsky stabilní ekvilibrium Dále je zřejmě V vždy klesající pro x a k tomu ještě žádná trajektorie kromě nemá počátek je dokonce globálně asymptoticky stabilní a celý systém je asymptoticky stabilní Příklad - pokračování Zopakujme, že nelinearita musí splňovat tyto podmínky: Simulace: 1 f() e V = Tx + f () e e = Tx x + + f () e x = x T T ( ) x = V( x ) = e f () e de > f() e = e= 1

22 Příklad: Lyapunova fce pro lineární systém Speciálně pro LTI = Ax Najdeme vždy Lyapunovovu funkci ve tvaru kvadratické formy T Uvažme V = x Px, P je reálná symetrická matice Derivace podle trajektorie T T T T T T T V = Px + x P = x A Px + x PAx = x A P + PA x ( ) Položíme T A P + PA = Q, což je tzv. Lyapunova maticová rovnice a dostaneme T V = x Qx Prakticky: Volíme positivně definitní Q, vypočteme P a určíme její definitnost Je-li P pozitivně definitní, pak je systém asymptoticky stabilní Není-li, pak je systém nestabilní

23 Příklad: příprava na kruhové kritérium někdy ZV nelineární systém překreslujme do struktury s nelinearitou ve zpětné vazbě rs () Fs () Gs () Fsrs ()() Fs () Gs () F() sgs () Fsrs ()() 3

24 Příklad: Kruhové kritérium Systém s přenosem 1 Ls () = ss ( + 1)( s+ ) má Nyquistův graf, který leží napravo od svislé přímky v -.8 tomu odpovídá kruh s k 1 = a k = 1/.8 = 1.5 systém je tedy stabilní s nelinearitou typu saturace či dead-zone kde směrnice lineární části < 1.5 jiné vhodné kruhy jsou mezi -.5 a -.5, tj. k 1 =.4 a k = mezi -.5 a -.3, tj. k 1 = a k =