Obsah na dnes Derivácia funkcie

Transkript

1 Johnnes Kepler Dec 2, 57- Nov 5, 63 Mtemtik I Prednášjúci: prof. RNDr. Igor Podlný, DrSc. # Osh n dnes Deriváci fnkcie 74 KAPITOLA 3. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Určitý integrál 8. Vlstnosti rčitého integrál. 9. Nmerický výpočet rčitého integrál (prvidlo odĺžnikov, prvidlo lichoežníkov). 2. Aplikácie rčitého integrál (osh, ojem, vzdilenosť, koncentráci...). Ojem rotčného teles. 2. Newtonov-Leinizov vzorec. D R Á H A 33 metr m s vteřin ČAS R Y C H L O S T Rýchlosť 7. Delenie intervl. n súčet. Definíci rčitého integrál. Dráh 6. Výpočet prejdenej vzdilenosti n záklde záznm rýchlosti. Geometrická interpretáci tohto výpočt. ČAS Orázek 3.3.: Ato rzdí, nenrzilo. Jk kdo vidí derivci: 4

2 Rýchlosť S v(t) n v(τ k ) t k k= t k = t k t k, t =, t n = τ k [t k,t k ] (k =,...,n) Rýchlosť S v(t) v(t)dt = n v(τ k ) t k k= lim v(τ k ) t k m t k k

3 f()d = lim m k f(ξ k ) k k

4 [ f () + g()] d = c f () d = c f () d = f() d = c f () d + f() d f () d. g() d, f () d + f () d. c Nech N f(ξ k ) k k= F () =f() J-L. Lgrnge: ξ k ( k, k ): F (ξ k )= F ( k) F ( k ) k k Vezmeme f(ξ k )=F (ξ k ) N N f(ξ k ) k = k= k= F ( k ) F ( k ) ( k k )=F( N ) F ( )=F() F () k k Fnkce Střední hodnot Newtonov-Leinizov vzorec M f() d = F () F () M( ) = M = ( ) f()d f()d 6

5 Príkld Osh množin mezi křivkmi ojem těles, vzniklého rotcí této množin f () Osh množin mezi křivkmi ojem těles, vzniklého rotcí této množin f () g() [ ( ) d = ] 3 = = = 6 [ 3 ] S = g() [ ] S = f() [ f g()] d V = π f 2 () g 2 () d g() d V = π [ ] S = [ f () g()] d V = π f 2 () g 2 () d Aplikce výpočet ojemů oshů c Roert Mřík, 26 f 2 () g 2 () d Aplikce výpočet ojemů oshů c Roert Mřík, 26 4 Aplikce výpočet ojemů oshů 7 Osh křivočrého lichoěžník ojem rotčního těles Nevlstný integrál - neohrničený intervl e 2 d = lim e 2 d S = S = f () d S = f () d V = π f 2 () d Aplikce výpočet ojemů oshů c Roert Mřík, 26 V = π f 2 () d Aplikce výpočet ojemů oshů c Roert Mřík, 26 f() d V = V = π π f 2 () d f 2 () d Definice. Nechť R {+ } nechťfnkce f () je integrovtelná n kždém intervl [, ], kde<<. Dále nechť ď pltí = neo nechť f () není ohrničená v okolí od. Eistje-li vlstní limit lim že nevlstní integrál konvergje píšeme neo je nevlstní, říkáme, že integrál f ()d = B, říkáme f ()d = B. Pokd limit neeistje, f ()d divergje. Nevlstní integrál c Roert Mřík, 26

6 Nevlstný integrál - neohrničený intervl Nevlstný integrál - príkld e 2 d = lim e 2 d Vpočítť I = Nerčitý integrál + ( 2 + ) d = lim + ( 2 + ) d ( 2 + ) d = 2 d = ln + 2 ln(2 + ) ( ) ( 2 + ) d = 2 d = ln + 2 ln(2 + ) + 2 ln 2 I = lim + ln 2 ln(2 + ) + 2 ln 2 = 2 2 lim ln ln 2 = 2 ln 2 Nevlstný integrál - neohrničený intervl Nerčitý integrál f () d = F(). F () = f () v f ()+g() d = f () d + cf() d = c f () d. g() d, e 2 d = e 2 d + = lim e 2 d +lim v e 2 d v e 2 d ( ) {± } f ( + ) d = F( + )

7 I = ( sin + e ) d = 2 d d d = /4 5/ ( cos )+e + C = / cos + e + C sin d + n d = n+ n + sin d = cos e d = e e d Prciálne zlomk 2 ( )( + 3) = A + B + C = A + B + C ( ) 2 2 = A + B ( ) 2 + C + D ( 2 + )( + 2) 2 = A + B C D ( + 2) 2 I = tg d sin = cos d sin = cos d (cos ) = cos d = ln cos + C + 2 I = d = d = ( ) d = 2 ln( )+C e I = Prciálne zlomk 2 + ( )( + 2)( 2) d. 2 + ( )( + 2)( 2) = A + B C = A( + 2)( 2) + B( )( 2) + C( )( + 2) = 2 = A3( )+B + C A = 2 3 = 2 5 = A + B ( 3)( 4)+C B = 5 2 f () d = ln f () + C f () = 2 5 = A + B + 4C C = ( )( + 2)( 2) =

8 e I = Prciálne zlomk 2 + ( )( + 2)( 2) d. 2 + ( )( + 2)( 2) = A + B C ( )( + 2)( 2) = I = 2 3 d d d = 2 3 ln ln ln 2 + C 4 f (φ())φ () d = Sstitúci f (t) dt, φ() =t φ () d = dt f () d = f (φ(t))φ (t) dt, = φ(t) d = φ (t) dt Integrovnie per prtes ()v () d = ()v() ()v() d, (v) = v + v (v) d = v d + v = v d + v v d = v d v d v d P()e α d, P() sin(α) d, P()rctg d, P() cos(α) d, P()ln m d.