Přibližná linearizace modelu kyvadla

Transkript

1 Přibližná linearizace model kyvadla :47 - verze Obsah Oakování kalkl - Taylorův rozvoj fnkce... Nelineární savový model a jeho řibližná linearizace... 4 Nelineární model vs-výs a jeho řibližná linearizace... 7 Nelineární model vs-výs jednodchého kyvadla a jeho řibližné linearizace... 0 Nelineární savový model jednodchého kyvadla a jeho řibližné linearizace... 4 Troch obecnější nelineární model vs-výs a jeho řibližná linearizace... 7 Lineární aroximace

2 Oakování kalkl - Taylorův rozvoj fnkce Taylorův rozvoj nekonečně diferencovaelné fnkce f ( x ) reálné roměnné x v okolí bod x, (neboli Taylorova řada éo fnkce v bodě x= x + x ) je 3 f f 3 f( x + x) = f( x) + x+ ( x) + ( x) +!! 3! 3 x= x x= x x= x Je-li fx ( ) vekorová fnkce vekorová roměnné x, aková, že všechny její arciální derivace všech řádů exisjí, ak její Taylorův rozvoj v okolí bod x= x + x ) je nekonečným sočem oálních diferenciálů kde x, (neboli Taylorova řada éo fnkce v bodě fx ( + x ) = fx ( ) +! Df + + x= x! Df x= x Dfje oální diferenciál. řád fnkce f definovaný jako x f f f f Df = x+ x + + xn = x= J x= n x x xn kde J = = se nazývá Jacobiho maice a o vyčíslení v bodě x= x je Df x, x x = x+ x + + xn = x= x x x x n, x, xn, x x n x Lineární aroximace

3 Analogicky Dfje oální diferenciál. řád fnkce f je definovaný jako Df = D ( Df) = D x+ x + + xn = n = x+ x + + xn x+ x+ x + + xn x + n n + x+ x + + xn x n n n 3 a bez ožií enzorů se nedá hezky komakně vyjádři. Pro jednolivé složky (řádky) všech drhých arciálních derivací ale ro celo fnkci je řeba f i fnkce f lze sice ři vyjádření oží Hessov maici složeno ze H fi fi f i n fi fi f i fi = n fi fi f i n n n ( ) ( ) H f ( f ) H = ( fn ) H což je enzor 3. řád, edy 3-D ole složené z Hessových maic. Drhý člen se jím komakně vyjádři dá, ale jen ožiím enzorových oerací. V mnoha alikacích Taylorova rozvoje se členy drhého a vyšších řádů zanedbávají. Lze o ak děla, jen když jso všechny ve srovnání s nlým a rvním členem malé. K om je ořeba, aby všechny byly malé říslšné arciální derivace, odchylky (menší než ) a nejlée obojí. Lineární aroximace

4 Nelineární savový model a jeho řibližná linearizace Pro sysém osaný nelineárním savovým modelem x () = fx ( (), ()) y() = hx ( (), ()) 4 () vybereme nějaké nominální řešení (rajekorii), ve kerém chceme sysém rovozova - naříklad referenční rajekorie roboa, liminí cykls nebo, nejčasěji, ekvilibrim - a říkejme m racovní bod. Označíme-li ho x (), (), y (), ak samozřejmě laí x () = fx ( (), ()) y () = hx ( (), ()) () neboť je o řešení rovnic savového model jako každé jiné. Vyjádřeme hodnoy veličin v okolí racovního bod omocí odchylek jako x() = x () + x() () = () + () y() = y () + y() (3) a dosaďme je do nelineárních rovnic (). Tím dosaneme x () + x() = f( x() + x(), () + ()) y () + y() = hx ( () + x(), () + ()) (4) Když rozvineme nelineární fnkce na ravých sranách (4) v okolí racovního bod (!) v jejich Taylorovy řady, dosaneme x () + x() = fx ( (), ()) + x() + () + ( x, ) ( x, ) y() + y() = hx ( (), ()) + x() + () + ( x, ) ( x, ) (5) kde ečky nahrazjí členy vyšších řádů. Zde Lineární aroximace

5 x x =, = ( x, ) ( x, ) = ( x, ) x= x = x= x =,, x= x =,, = ( x, ) x= x =, 5 (6) jso obecně Jacobiho maice vyčíslené v racovním bodě x (), (), y (). V říadě SISO sysém, kdy jso veličiny y () = y () a () = () skaláry, zůsává ( x, ) je slocový vekor, Vyžiím () se (5) zjednodší na ( x, ) je řádkový vekor a ( x, ) ( x, ) ( x, ) ( x, ) ( x, ) ( x, ) x () = x() + () + je skalár. čvercovo maicí, ale y() = x() + () + (7) Zde nezáleží na om, zda racovní bod je nebo není ekvilibriem a dále oba vzahy laí řesně. K aroximaci dojde až nyní ím, že v (7) zanedbáme v obo rovnosech všechny členy řádů vyšších než. Tím dosaneme řibližné, ale lineární vzahy x () x() + () ( x, ) ( x, ) y() x() + () ( x, ) ( x, ) (8) keré aroximjí ůvodní nelineární rovnice (). Označíme-li Jacobiho maice v (8) obvyklými ísmeny f, f, C h = = =, D= h A B ( x, ) ( x, ) ( x, ) ( x, ) (9) dosáváme konečně namíso nelineárního model () jeho lineární odchylkovo aroximaci Lineární aroximace

6 x () = A x() + B () y() = C x() + D () 6 (0) Pozor: Tao aroximace je vždy vzažena k rčiém racovním bod (nominálním řešení) x (), (), y () a laí jen ro malé odchylky od něj. Přirozeně laí ím řesněji, čím jso odchylky menší a aké čím jso ůvodní nelineární fnkce v racovním bodě odobnější lineárním. Lineární aroximace

7 Nelineární model vs-výs a jeho řibližná linearizace 7 Podobně můžeme vyjí z nelineárního model vs-výs Dy ( ( ),, y( ), y( )) = N ( ( ),, ( ), ( )) () Oě vybereme nějaké nominální řešení (rajekorii), neboli racovní bod, ve kerém chceme sysém rovozova. Označíme-li ho y (),, y (), (),, (), ak oě laí Dy ( ( ),, y ( ), y ( )) = N ( ( ),, ( ), ( )) () neboť je o řešení rovnic nelineárního model jako každé jiné. Vyjádřeme hodnoy veličin a jejich derivací v okolí racovního bod omocí odchylek jako y() = y () + y() ( n) ( n) ( n) y () = y () + y () () = () + () () = () + () ( m) ( m) ( m) (3) a dosaďme je do nelineárních rovnic (). Tím dosaneme ( n) ( n) D( y () + y (),, y() + y(), y() + y()) = ( m) ( m) = N( () + (),, () + (), () + ()) (4) Když rozvineme nelineární fnkce na levé a ravé sraně (4) v okolí racovního bod (!) v jejich Taylorovy řady, dosaneme D D D D y y y ( n) ( n) y y y N N N N ( m) = ( m) (5) kde ečky zasjí členy vyšších řádů. Zde Lineární aroximace

8 D = Dy ( ( ),, y ( ), y ( )), N = N ( ( ),, ( ), ( )) 8 D y d d d d y y y y D = d d, = d d, y y y y ) ( n ) y y= y y= y ( n) ( n) ( n y = y y = y = = m = ( m) ( m) = ( ) ( m) N n n n n N = n n, = n n, ( n) ( n) ( n) ( n) = = y= y y= y y y y y = = ( m) ( m) ( m) ( m) = = (6) jso obecně Jacobiho maice vyčíslené v racovním bodě y y. (),, (), (),, () V říadě SISO sysém, kdy jso všechny veličiny y ( m) ( m) () = (),, () = () ( n) ( n) () = y(),, y () = y () a skaláry, aké fnkce D= d, N = n a jejich arciální derivace skalární. Vyžiím () se (5) zjednodší na D D D N N N y+ y + + y + = y y y (7) Zde oě nezáleží na om, zda racovní bod je nebo není ekvilibriem a dále oba vzahy laí řesně. K aroximaci dojde až nyní ím, že v (7) zanedbáme v obo rovnosech všechny členy řádů vyšších než. Tím dosaneme řibližné, ale lineární vzahy D D D N N N y+ y + + y y y y (8) keré aroximjí ůvodní nelineární rovnice (). Označíme-li Jacobiho maice v (8) obvyklými ísmeny D D D N N N a =, a =,, a =, b =, b =,, b = 0 n ( n) 0 m ( m) y y y (9) Lineární aroximace

9 dosáváme konečně namíso nelineárního model () jeho lineární odchylkovo aroximaci a y+ a y + + a y = b + b + + b 0 n 0 m 9 (0) Pozor: Tao aroximace je vždy vzažena k rčiém racovním bod (nominálním řešení) y y a laí jen ro malé odchylky od něj. Přirozeně laí ím řesněji, (),, (), (),, () čím jso odchylky menší a aké čím jso ůvodní nelineární fnkce v racovním bodě odobnější lineárním. Lineární aroximace

10 Nelineární model vs-výs jednodchého kyvadla a jeho řibližné linearizace 0 Pro idealizované kyvadlo řízené momenem obr. vychází z. Newonova zákona ro roaci ohybová rovnice J ϕ = = M Flsinϕ c = M mgl sinϕ c M g () Dosadíme-li za momen servačnosi J = ml, dosaneme o několika úravách nelineární model vs-výs ve var + sin = ml ϕ mgl ϕ M c () Označíme-li y = ϕ, = Mc, dosaneme z oho nelineární model vs-výs + = ml y mgl sin y (3) Porovnáním s obecným modelem () vidíme, že jso všechny veličiny a fnkce skalární a že D( y ( ), y ( ), y ( )) = ml y+ mglsin y N( ( )) = (4) Působíme-li na ěleso momenem síly, oáčí se s úhlovým zrychlením, keré je odle. Newonova zákona ro roaci úměrné celkovém momen a neřímo úměrné momen servačnosi. Srovnej se známějším. Newonovým zákonem ro ranslaci, kerý říká, že ůsobíme-li na ěleso silo, ohybje se se zrychlením úměrným velikosi síly a neřímo úměrným své hmonosi. Momen servačnosi je fyzikální veličina, kerá vyjadřje mír servačnosi ělesa ři oáčivém ohyb. Její velikos závisí na rozložení hmoy v ělese vzhledem k ose oáčení. Body (čási) ělesa s věší hmonosí a mísěné dál od osy mají věší momen servačnosi. Jednoka SI je Jednoka SI: kilogram krá mer na drho, značka jednoky: kg.m. Pro říad hmoného bod hmonosi m na evném nehmoném závěs délky l laí ožiý vzah J = ml. Lineární aroximace

11 Rovnici můžeme linearizova v okolí obecného racovního bod y (), y (), y (), () os osaného v ředchozí kaiole. Jacobiho maice v (6) jso zřejmě skaláry ožiím D D D = mgl cos y, = 0, = ml y y y N = (5) Po dosazení do (8) a řerovnání ak dosáváme lineární aroximaci v (zaím obecném) racovním bodě y (), y (), y (), () ve var cos ml y + mgl y y = (6) Teď vyžijeme vzah (6) abychom našli konkréní lineární aroximace ve řech významných racovních bodech.. Linearizace v dolní oloze Jako rvní říklad najdeme lineární aroximaci v okolí dolního ekvilibria y = ϕ = 0, y = ϕ = 0, y = ϕ = 0, = M = 0, kdy kyvadlo visí v klid v dolní oloze a žádný momen na něj neůsobí. c Nejrve dosazením do (3) ověříme, že jde skečně o řešení nelineární rovnice sysémů. Skečně ml 0 + mgl sin 0 = 0 (7) Dále dosadíme hodnoy racovního bod do (6) a dosaneme ml y + mgl y = (8) Což je hledaná lineární odchylková aroximace nelineárního model (6) v okolí dolního ekvilibria. Lineární aroximace

12 . Linearizace v horní oloze Jako drhý říklad najdeme lineární aroximaci v okolí horního ekvilibria y = ϕ =, y = ϕ = 0, y = ϕ = 0, = M = 0, kdy je kyvadlo vzyčeno v klid v horní oloze a žádný momen na něj c neůsobí. Nejrve dosazením do (3) ověříme, že jde skečně o řešení nelineární rovnice sysémů. Skečně ml 0 + mgl sinπ = 0 (9) Dále dosadíme hodnoy racovního bod do (6) a dosaneme ml y mgl y = (30) Což je hledaná lineární odchylková aroximace nelineárního model (6) v okolí dolního ekvilibria.3. Linearizace ve vodorovné oloze Nakonec najdeme lineární aroximaci v okolí vodorovné olohy y = ϕ = a y = ϕ = 0. Aby byl eno bod řešením, msí bý slněna rovnice (3). Po dosazení vybraných hodno dosaneme ml y + mgl = (3) To je slněno bď ro y = ϕ = 0, = M c = mgl, kdy konsanním řídicím momenem držjeme nlové zrychlení, anebo naoak ro y = ϕ = gl, = M = 0, kdy je v racovním bodě řídicí momen nlový a roo je nenlové zrychlení odovídající graviačním. c Lineární aroximace

13 3 (3) Pro oba racovní body dosaneme dosazením do (6) sejno lineární aroximaci ml y = Což je hledaná lineární odchylková aroximace nelineárního model (6) v okolí ohoo racovního bod. Lineární aroximace

14 Nelineární savový model jednodchého kyvadla a jeho řibližné linearizace 4 Vyjdeme z nelineárního model vs-výs kyvadla () ve var (33) ml ϕ+ mgl sinϕ = M c nebo, ři označení y = ϕ, = Mc z model ve var + sin =. (34) ml y mgl y Přirozeno a obvyklo volbo savových veličin je x = ϕ = yx, = ϕ = y, = Mc, což vede na savový nelineární model var nebo zasáno maicově x = x g x = sin x+ (35) l ml y = x x x x f( x, x, ), g x = f x = = f( x, x, ) sin x + l ml x y = h, = h( x, x, ) = x x. (36) V okolí obecného racovního bod x,, x,, můžeme savový model řibližně linearizova osem osaným v ředchozí kaiole. Jacobiho maice (6), (9) jso v omo říadě 0 0 x x g A= = =, B= = = (, ) f f cos x, 0 (, ) f x x l ml x= x, = x= x, = C= = = [ 0], = = D x x = x, = ( x, ) x= x, = ( x, ) = 0 akže lineární odchylková aroximace (0) je (37) Lineární aroximace

15 0 0 x x g () x = cos x, 0 x + l ml x [ ] y () = 0 x 5 (38) neboli x = x g x = cos x, x + ( ) (39) l ml y () = x Teď vyžijeme vzah (39) abychom našli konkréní lineární aroximace ve řech významných racovních bodech.. Linearizace v dolní oloze Jako rvní říklad najdeme lineární aroximaci v okolí dolního ekvilibria x, = y = ϕ = 0,, = = = 0 x y ϕ, y = ϕ = 0, = M = 0, kdy kyvadlo visí v klid v dolní oloze a žádný c momen na něj neůsobí. Když dosadíme hodnoy racovního bod do (39), dosaneme x = x g x = x+ () (40) l ml y () = x Lineární aroximace

16 . Linearizace v horní oloze 6 Jako drhý říklad najdeme lineární aroximaci v okolí horního ekvilibria x, = y = ϕ =, x y ϕ, y = ϕ = 0, = M = 0, kdy je kyvadlo vzyčeno v klid v horní oloze a, = = = 0 c žádný momen na něj neůsobí. Když dosadíme hodnoy racovního bod do (39) a dosaneme x = x g x = x+ () (4) l ml y () = x 3. Linearizace ve vodorovné oloze Nakonec najdeme lineární aroximaci v okolí vodorovné olohy x, = y = ϕ = a x y ϕ, = = = 0. Když dosadíme hodnoy racovního bod do (39), dosaneme x = x x = () (4) ml y () = x Lineární aroximace

17 Troch obecnější nelineární model vs-výs a jeho řibližná linearizace 7 Podobně můžeme vyjí z nelineárního model vs-výs Gy ( ( ),, y( ), y( ), ( ),, ( ), ( )) = 0 (43) Teno model je o roch obecnější než (), neboť zahrnje i říady, kdy vs a výs a/nebo jejich derivace jso neoddělielně sojeny a G nelze rozděli na výsní čás D a vsní čás N. I zde oě vybereme nějaké nominální řešení (rajekorii), neboli racovní bod, ve kerém chceme sysém rovozova. Označíme-li ho y (),, y (), (),, (), ak oě laí Gy ( ( ),, y ( ), y ( ), ( ),, ( ), ( )) = 0 (44) neboť je o řešení rovnic nelineárního model jako každé jiné. Vyjádřeme hodnoy veličin a jejich derivací v okolí racovního bod omocí odchylek jako y() = y () + y() ( n) ( n) ( n) y () = y () + y () () = () + () () = () + () ( m) ( m) ( m) (45) a dosaďme je do nelineární rovnice (43). Tím dosaneme ( n) n ( m) ( ) ( m) G( y () + y (),, y() + y(), y() + y(), () + (),, () + (), () + ()) = 0 Když rozvineme nelineární fnkci G na levé sraně (46) v okolí racovního bod (!) v její Taylorov řad, dosaneme G G G G G G G + y+ y + + y = 0 y y y kde ečky nejvíce vravo řed rovníkem zasjí členy vyšších řádů. Zde a (46) (47) G = Gy ( ( ),, y ( ), y( ), ( ),, ( ), ( )) (48) Lineární aroximace

18 G y G g g g g y y y y G = g g, = g g, y y y y ( n) ( n) ( n) ( n) = = y y= y y= y y y y y = = ( m) ( m) ( m) ( m) = = g g g g G = g g, = g g, = y y y= y y = y y = y = = = = ( n) ( n) ( n) ( n) ( m) ( m) ( m) ( m) 8 (49) jso obecně Jacobiho maice vyčíslené v racovním bodě y y. (),, (), (),, () V říadě SISO sysém, kdy jso všechny veličiny y ( m) ( m) () = (),, () = () Vyžiím (44) se (47) zjednodší na ( n) ( n) () = y(),, y () = y () a skaláry, aké fnkce G a její arciální jso derivace skalární. G G G G G G y+ y + + y = 0 y y y Zde oě nezáleží na om, zda racovní bod je nebo není ekvilibriem a rovnos laí řesně. K aroximaci dojde až nyní ím, že v (50) zanedbáme členy řádů vyšších než. Tím dosaneme řibližné, ale lineární vzahy (50) G y+ G y + + G y + G + G + + G 0 y y y (5) keré aroximjí ůvodní nelineární rovnice (). Označíme-li Jacobiho maice v (5) obvyklými ísmeny (ozor na znaménka!) G G D G G G a =, a =,, a =, b =, b =,, b = 0 n ( n) 0 m ( m) y y y (5) dosáváme konečně namíso nelineárního model (43) jeho lineární odchylkovo aroximaci sejno jako (0), j. Lineární aroximace

19 a y+ a y + + a y = b + b + + b 0 n 0 m 9 (53) Pozor: Tao aroximace je vždy vzažena k rčiém racovním bod (nominálním řešení) (),, (), (),, () y y a laí jen ro malé odchylky od něj. Přirozeně laí ím řesněji, čím jso odchylky menší a aké čím jso ůvodní nelineární fnkce v racovním bodě odobnější lineárním. Lineární aroximace