Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií"

Transkript

1 Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií STATISTIKA pro TZP Modul : Pravděpodobnost a náhodné veličiny Prof Ing Bohumil Minařík, CSc Brno 009

2

3 Vysvětlení použitých symbolů Průvodce studiem objevuje se v úvodu a závěru modulu, zahajuje každou lekci, formuluje hlavní problémy, snaží se motivovat čtenáře, poukazuje na návaznosti v problematice Abecední rejstřík použitých pojmů v úvodní části každé lekce Rekapituluje všechny důležité odborné termíny zavedené v lekci Bleskové Σ otázky/úkoly v tetu Pokud jsou číslovány, čtenář nalezne v závěru lekce příslušné odpovědi Čtenář by se je měl snažit splnit dříve, než postoupí dál Souhrn problematiky lekce Následuje po tetu lekce Odpovědi na bleskové otázky v tetu lekce Cvičení k lekci Pokud je to účelné a možné, nalezne čtenář řešení úkolů na konci modulu Klíč ke cvičením ke všem lekcím v závěru modulu Struktura modulu titulní list, použité symboly, struktura modulu a lekcí, obsah modulu, průvodce studiem modulu úvod, jednotlivé lekce modulu, klíč ke cvičením ke všem lekcím, průvodce studiem modulu závěr Struktura lekce průvodce studiem lekce, abecední rejstřík pojmů, tet lekce proložený bleskovými otázkami a úkoly, souhrn lekce, odpovědi na bleskové otázky, cvičení k lekci 3

4 Obsah modulu Průvodce studiem modulu úvodní část Lekce Náhodné jevy a pravděpodobnost Náhodné jevy Klasická pravděpodobnost 3 Statistická pravděpodobnost 4 Počítání s pravděpodobnostmi 5 Opakované pokusy Lekce Diskrétní náhodná veličina Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Charakteristiky diskrétní náhodné veličiny 3 Některé zákony rozdělení diskrétních veličin Lekce 3 Spojitá náhodná veličina 3 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 3 Charakteristiky spojité náhodné veličiny 33 Některé zákony rozdělení spojitých náhodných veličin 34 Výpočty s normálním rozdělením Klíč ke cvičením Průvodce studiem závěrečná část

5 V našem životě, profesním, odborném i obecně lidském, se běžně stáváme svědky i přímými ú- častníky dějů, u nichž nelze s jistotou předpovědět jejich výsledek A co víc výsledek je nejistý, i když je vše zdánlivě pečlivě připraveno a pod kontrolou Kromě jiného je to např manažerské rozhodování, které jen výjimečně probíhá za jistoty (určité rozhodnutí přinese předem známý jistý výsledek), ale mnohem častěji za rizika (očekávaný výsledek se dostaví pouze s určitou pravděpodobností) Pojem pravděpodobnost, pravděpodobný, pravděpodobně jsou běžnou součástí hovorové řeči My ovšem s tímto pojmem musíme zacházet opatrněji a kvalifikovaněji, protože pravděpodobnost je současně metodou kvantifikace možnosti nastoupení (nebo naopak nenastoupení) očekávaných jevů O pravděpodobnosti se hovoří v souvislosti s náhodnými jevy a náhodnými veličinami, jejichž pravděpodobnostním chováním se hodláme v tomto modulu zabývat Vedle několika jiných definic pravděpodobnosti (zcela eaktně tento pojem definovat nebudeme), se budeme zabývat především rozdělením pravděpodobnosti náhodných veličin Pojem rozdělení jistě připomíná pojem rozdělení četností z prvního modulu Analogie je zřejmá, což je podtrženo tím, že rozdělení četností při bodovém třídění má svůj protějšek v rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny, zatímco intervalové rozdělení četností nachází svůj protějšek v rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Tento druhý modul se ve třech lekcích věnuje náhodným jevům, jejich pravděpodobnostem a počítání s nimi, rozdělením pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny, rozdělením pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 5

6 Lekce Náhodné jevy a pravděpodobnost Výklad pravděpodobnosti musí začít nevyhnutelně od základních pojmů Pravděpodobnost, velmi zjednodušeně řečeno, pojednává o náhodných jevech (slovně vyjádřených výsledcích náhodných pokusů) a o náhodných veličinách (výsledcích náhodných pokusů vyjádřených číselně) Tato první lekce zůstává na úrovni náhodných jevů Vedle náhodných jevů operujeme rovněž s jevy jistými a nemožnými a také s jevy, které se svými vlastnostmi těmto jevům maimálně blíží (jev prakticky jistý, jev prakticky nemožný) Náhodné jevy se nevyskytují jednotlivě, ale minimálně ve dvojicích nebo i větších skupinách Objevuje se tedy problém vztahů mezi jevy, který přináší množství pojmů, jako např sjednocení jevů, průnik jevů, neslučitelnost, opačné jevy a jiné Klíčovým pojmem první lekce bude pojem pravděpodobnosti, jako matematické veličiny, která kvantifikuje náhodu Seznámíme se s několika speciálními případy pravděpodobnosti a jejími vlastnostmi Univerzálně ovšem pojem pravděpodobnost zavádět nebudeme Poznáme, že vedle obyčejné pravděpodobnosti, která se vztahuje k jednomu náhodnému jevu, eistují i komplikovanější případy podmíněné a úplné pravděpodobnosti, stejně jako pravděpodobnosti apriorní a aposteriorní Poznáme jeden z klíčových vztahů ve dvojici nebo větší skupině náhodných jevů nezávislost jevů Vzhledem k tomu, že náhodné pokusy nejsou unikátní, neopakovatelné (sériová výroba, hromadná obsluha), budeme hovořit také o sériích za stejných podmínek vykonávaných pokusů opakovaných pokusech V této souvislosti se zmíníme také o výběru s opakováním a výběru bez opakování, které mají řadu praktických aplikací aposteriorní pravděpodobnost; apriorní pravděpodobnost; Bayesova pravděpodobnost; Bernoulliův vzorec; čtyřpolní tabulka; důsledek; elementární jev; jistý jev; klasická pravděpodobnost; náhodný jev; náhodný pokus; nemožný jev; neslučitelnost; nezávislé pokusy; nezávislost; opačné jevy; opakované pokusy; podmíněná pravděpodobnost; prakticky jistý jev; prakticky nemožný jev; průnik; sjednocení; statistická pravděpodobnost; úplná pravděpodobnost; úplná skupina; Vennův diagram; závislé pokusy Náhodné jevy Každý děj, jehož výsledek nelze bezezbytku předpovědět (vyroben může být dobrý nebo vadný výrobek, technické měření může ale nemusí být zatíženo hrubou chybou, v určitém časovém intervalu může ale nemusí dojít k poruše zařízení atd), nazýváme náhodný pokus Slovně vyjádřené výsledky náhodných pokusů nazýváme náhodné jevy a pro jejich značení využíváme velká písmena ze začátku abecedy, tj, A, B, C, Vedle náhodných jevů je vhodné zavést pojmy jistý jev (značíme I) a nemožný jev (značíme V) Význam těchto jevů je zřejmý z jejich názvů Najděte příklady náhodných pokusů, náhodných, jistých a nemožných jevů z Vašeho dosavadního studia či prae Je-li výsledkem náhodného pokusu nastoupení jevu A, jde o případ příznivý jevu A Každému náhodném pokusu přísluší množina možných případů elementárních jevů Možné případy mají tyto vlastnosti 6

7 jsou neslučitelné (disjunktní) nastane-li jeden, nemůže současně nastat jiný, tvoří úplnou skupinu nemůže nastat žádný jiný případ, jsou nerozložitelné každý z nich může nastat právě jedním způsobem Každý náhodný jev je buď elementárním jevem nebo jevem složeným z elementárních jevů Ukažte elementární jevy na případu hodu hrací kostkou! Pojmenujte jevy padnutí sudého čísla, padnutí nejméně trojky apod Příklad házení kostkou volíme proto, že jde o názorný a všeobecné známý případ náhodného pokusu Pro dvojici jevů A, B můžeme formulovat tyto vztahy Platí-li, že nastane-li jev A, nastane vždy současně i jev B, říkáme, že jev A je částí jevu B (nebo že jev B je důsledkem jevu A) a píšeme A B Pokud současně platí A B, B A, jsou jevy A, B totožné Eistuje jev, spočívající v tom, že nastane alespoň jeden z jevů A, B Tento jev je sjednocením jevů A, B Píšeme A B Platí A B = B A, A A = A, A I = I, A V = A Eistuje-li jev, spočívající ve společném nastoupení jevů A, B, je tento jev průnikem jevů A, B Píšeme A B Jsou-li jevy A, B neslučitelné, je jejich průnik jevem nemožným, a tedy A B = V Platí A B = B A, A A = A, A I = A, A V = V Jev, spočívající v nenastoupení jevu A, se nazývá jevem opačným k jevu A Opačný jev k jevu A označíme A Platí A A = I, A A = V Ukažte výše uvedené vztahy mezi jevy na případu házení hrací kostkou! Operace sjednocení a průniku lze zobecnit pro n-tici jevů Příklad Pomocí výše uvedených vztahů zapíšeme, že jevy jevů To, že jevy tvoří úplnou skupinu n i j i= A,, n n, A An :, i= i= A,, A i A i, A An tvoří úplnou skupinu neslučitelných A i = I, to, že jevy jsou po dvou neslučitelné A A V pro i j = Příklad Vyjádříme nastoupení jevu A při nenastoupení jevu B (jde o rozdíl jevů A B): A B = A B Jak vyjádříme, že nastal právě jeden (libovolný) z jevů A, B? ( ) Pro grafickou prezentaci vztahů mezi jevy se využívají všeobecně známé množinové Vennovy diagramy Pomáhejte si jimi vždy, když si eventuálně s úlohou nevíte rady, např pro úkol ( ) hledáme vybarvenou část diagramu 7

8 Klasická pravděpodobnost Předpokládáme náhodný pokus s konečným počtem stejně možných případů n Počet případů příznivých jevu A označíme m Klasická pravděpodobnost jevu A je dána jako P ( A) = = p Vzhle- m n dem k vlastnostem m, n je 0 p Počet možných a příznivých případů je často značný Proto k jejich vyčíslení využíváme kombinatorických výpočtů Příklad 3 V krabici je 0 žárovek, z nichž tři jsou vadné Z krabice je odebráno pět žárovek Jaká je pravděpodobnost, že dvě z nich jsou vadné? 0 0! Počet způsobů, kterými lze vybrat pět žárovek z 0: = = (0 5)!5! Počet způsobů, kterými lze ze 7 dobrých žárovek odebrat tři a současně ze zbývajících tří vadných 7 3 7! 3! vybrat dvě: = = = (7 3)!3! (3 )!! 040 Pravděpodobnost jevu je tedy P ( A) = = 0, Jakou pravděpodobnost mají v příkladu 3 jevy, že (a) výběr bude obsahovat všechny tři vadné žárovky, (b) žádná žárovka ve výběru nebude vadná ( ) Klasická pravděpodobnost je založena na logickém rozboru možných výsledků pokusu (který není třeba vykonávat) a vyžaduje konečný počet stejně možných případů 3 Statistická pravděpodobnost Za stejných podmínek vykonáváme určitý náhodný pokus a zaznamenáváme jeho výsledky Vždy po vykonání určitého počtu pokusů vyčíslíme relativní četnost příznivých případů (např hodíme-li 0krát mincí, přičemž padlo líců a 8 rubů a příznivým případem je padnutí líce, je relativní četnost padnutí líce = 0, 6 ) Pozorujeme-li, že relativní četnost se po vykonání určitého počtu pokusů stabilizovala a další vykonané pokusy její hodnotu prakticky nemění, vyhlásíme tuto stabilizovanou rela- 0 tivní četnost za statistickou pravděpodobnost Z vlastností relativní četnosti opět plyne 0 p Příklad 4 Při kontrole jakosti byla po vyšetření 0 výrobků zjištěna nulová relativní četnost vadných výrobků Po vyšetření 50 výrobků byla zjištěna relativní četnost vadných výrobků 0,04 Po vyšetření 00 výrobků byla zjištěna relativní četnost vadných výrobků 0,03 Po vyšetření 00 a 300 výrobků byla shodně určena relativní četnost vadných výrobků 0,0 Pokus ukončíme s tím, že relativní četnost považujeme za stabilizovanou na hodnotě pravděpodobnosti P ( A) = 0, 0 Znázorněte průběh pokusu graficky Na vodorovnou osu vyneste počet pokusů a na svislou osu relativní četnost Statistická pravděpodobnost je založena na vykonání natolik početné série náhodných pokusů, která umožní stabilizovanou relativní četnost příznivých případů prohlásit za pravděpodobnost jevu 8

9 Vlastnosti pravděpodobnosti formulujeme zobecněním vlastností klasické a statistické pravděpodobnosti Pravděpodobnost je nezáporná a nabývá maimální hodnoty jedna, 0 P ( A) Pravděpodobnost jistého jevu je rovna jedné, P ( I ) = Pravděpodobnost nemožného jevu je rovna nule, P ( V ) = 0 Pravděpodobnost nastoupení alespoň jednoho z n tice neslučitelných jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností (aditivita): n A ) A ) i= i = n i= Jestliže jev B je důsledkem jevu A, platí A) B) Pravděpodobnost opačného jevu je doplňkem pravděpodobnosti původního jevu do jedné, A) = A) Vedle uvedené klasické a statistické pravděpodobnosti eistují další koncepty pravděpodobnosti pravděpodobnost geometrická pravděpodobnost je prezentována jako míra (délka, plocha, objem) geometrického útvaru (hodí se např při grafické prezentaci jevů pomocí Vennových diagramů) nebo pravděpodobnost subjektivní (odborně nebo laicky odhadovaná, např pravděpodobnost zvýšení pojistného v závislosti na vývoji na pojistném trhu) Nejdůležitějším případem pravděpodobnosti bude pro nás rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny v dalších lekcích Všechny tyto koncepty jsou zvláštními případy tzv aiomatické definice pravděpodobnosti, která je společně zastřešuje 4 Počítání s pravděpodobnostmi Jsou dány obecné (slučitelné) jevy A, B se známými pravděpodobnostmi P ( A), B) Pak pravděpodobnost jejich sjednocení je rovna A B) = A) + B) A B), přičemž pravděpodobnost jejich průniku nelze z pouhé znalosti pravděpodobností P ( A), B) dovodit Pravděpodobnost průniku A B) vyplyne z rekapitulace pravděpodobností všech možných kombinací nastoupení jevů A, A, B, B ve čtyřpolní tabulce Jev B B Součet A P ( A B) A B ) P (A) A A B) A B) P (A) Součet P (B) P (B) P (I ) Všimněme si v této chvíli, že např platí A) = A B) + A B) a podobně i pro P (A), P ( B), B) Tyto vztahy za chvíli využijeme Příklad 5 Při přejímací kontrole bylo nalezeno 5 % výrobků s funkční vadou (jev A) a 8 % výrobků se vzhledovou vadou (jev B) Obě vady současně mělo % výrobků Považujme tyto podíly za stabilizované a sestavme čtyřpolní tabulku pravděpodobností Jev B B Součet A 0,0 0,03 0,05 A 0,06 0,89 0,95 Součet 0,08 0,9,00 i 9

10 Vyjádřete slovně jev, který má v tabulce pravděpodobnost 0,89 Najděte pravděpodobnost nalezení výrobku, který má jen vzhledovou vadu Příklad 6 Najdeme nyní pravděpodobnosti nalezení výrobku se vzhledovou vadou mezi výrobky, které mají/nemají funkční vadu (víme, že tato pravděpodobnost mezi všemi výrobky je rovna 0,08) Hledané pravděpodobnosti označíme P ( B A), B A) a stanovíme jako A B) 0,0 P ( B A) = = = 0,40 (hodnoty bereme z prvního řádku tabulky), A) 0,05 A B) 0,06 P ( B A) = = = 0,063 (hodnoty bereme z druhého řádku tabulky) A) 0,95 Z výsledků vyplývá, že je mnohem pravděpodobnější (0,40) najít výrobek se vzhledovou vadou mezi výrobky, které mají funkční vadu, než mezi výrobky, které funkční vadu nemají (0,063) Jaký vztah je mezi všemi třemi pravděpodobnostmi? B) = A B) + A B) = B A) A) + B A) A) = = 0,0 + 0,06 = 0,40 0,05 + 0,063 0,95 = 0,08 Podmíněná, úplná a aposteriorní pravděpodobnost, nezávislost A H ) Jsou dány jevy A, H ( H V ) Pravděpodobnost A H ) = se nazývá podmíněná pravděpodobnost jevu A za podmínky H H ) Pravděpodobnost P ( A) = A H ) H ) + A H ) H ) se nazývá úplná pravděpodobnost jevu A Pravděpodobnost průniku jevů A, H stanovíme jako P ( A H ) = A H ) H ) Podmíněná pravděpodobnost A H ) se rovná úplné pravděpodobnosti P (A), pokud P ( A H ) = A) H ) Vztah mezi jevy A, H v tomto posledním případě se nazývá nezávislost A H ) Pravděpodobnost H A) = se nazývá aposteriorní (Bayesovskou) pravděpodobností jevu H A) Všechny uvedené pravděpodobnosti využijeme v následujícím příkladu Příklad 7 Odběratel odebírá součástky od dvou výrobců První výrobce dodává % vadných součástek a druhý 8 % Od prvního dodavatele pochází 60 % dodaných součástek Označíme jev H, H ) = 0, 6, že součástka pochází od prvního a H, H ) = 0, 4, že součástka pochází od druhého výrobce Podmíněná pravděpodobnost nalezení vadné součástky mezi součástkami od prvního výrobce je P ( A H ) = 0, 0, mezi součástkami druhého výrobce P ( A H ) = 0, 08 Vidíme, že zadány jsou podmíněné pravděpodobnosti Vypočteme úplnou pravděpodobnost nalezení vadné součástky bez ohledu na to, od kterého výrobce pochází P ( A) = 0,0 0,6 + 0,08 0,4 = 0, 044 0

11 Vypočteme pravděpodobnost, že nalezená vadná součástka (mezi všemi) pochází od prvního výrobce P ( A H ) = 0,0 0,6 = 0,0 Vypočteme, jaká by byla tato pravděpodobnost, pokud by pravděpodobnost nalezení vadné součástky nezávisela na výrobci P ( A H ) = 0,044 0,6 = 0, 064 Konečně vypočteme pravděpodobnost, že součástka pochází od prvního výrobce, pokud je vadná 0,0 P ( H A) = = 0,73 Vidíme, že po zjištění, že součástka je vadná, se původní pravděpodobnost, že pochází od prvního výrobce (0,60) snížila na 0,73 0,044 Jaká by v příkladu 5 byla pravděpodobnost, že výrobek nemá žádnou vadu/má současně obě vady, pokud by výskyt vzhledové a funkční vady byly nezávislé jevy? ( 3) Z výše uvedených vztahů upozorníme na to, že jsme našli metodu stanovení pravděpodobnosti průniku dvojice jevů ve zcela obecném případě a kromě toho jsme zavedli pojem nezávislé jevy K nezávislosti dvojice jevů stačí, aby pravděpodobnost jejich průniku byla rovna součinu jejich pravděpodobností Aposteriorní pravděpodobnost předpokládá, že původní (apriorní) pravděpodobnost jevu lze korigovat na základě známého výsledku náhodného pokusu Nezávislost můžeme zobecnit na n tici jevů A A,, A n Pokud jsou tyto jevy vzájemně nezávislé, musí (ovšem kromě jiného!) splňovat i Ai ) = Ai ) Při tom 5 Opakované pokusy n i= n i= je symbol součinu Nezávislé opakované pokusy Jsou-li výsledky opakovaných pokusů nezávislé jevy, využijeme poznatky o nezávislosti z předešlého odstavce Jev, jehož pravděpodobnost v jediném pokusu je p, má pravděpodobnost, že 3 nastane ve dvou nezávislých pokusech p p = p, ve třech p atd Principem je stanovit pravděpodobnost, že bude dosaženo určitého počtu () úspěchů (tj nastoupení jevu A) v sérii n ( n ) pokusů, je-li známa pravděpodobnost nastoupení jevu A v jediném pokusu P ( A) = p Pravděpodobnost, že jev nastane právě krát, je rovna p, pravděpodobnost, že ve zbývajících n pokusech nenastane, je rovna n n ( p) Mají-li oba jevy nastoupit společně, musí být p ( p) Nejde však o úspěch v určitých pokusech, nýbrž v libovolných pokusech, bez ohledu na pořadí Je tedy třeba ještě zjistit, kolika možnými způsoby se úspěchy a n neúspěchy mohou v daném případě prostřídat Tento počet je dán kombinačním číslem Pravděpodobnost, že mezi n nezávislými opakovanými pokusy se vyskytne právě úspěchů, je n n n; p; ) = p ( p) Tento vzorec je známý pod označením Bernoulliův vzorec Příklad 8 Kontrola vrací k opravě nebo doplnění 5 technických výkresů ze sta Určíme pravděpodobnost, že z pěti výkresů (a) nebude vrácen žádný, (b) budou vráceny dva, (c) budou vráceny všechny 5 Vrácení výkresu je jev A s pravděpodobností P ( A) = = 0,5; n = 5; = 0;; 5 00

12 a) P ( 5; 0, 5; 0) = 0, 5 0, 85 = 0, 444, b) P (5;0,5;) = 0,5 0,85 = 0, 38, c) P ( 5; 0, 5; 5) = 0, 5 0, 85 = Vypočtěte Zvláštní pozornost věnujme nyní výsledku c) pravděpodobnosti pro všechny zbývající v úvahu přicházející hodnoty počtu vrácených z pěti výkresů Tyto pravděpodobnosti budete později potřebovat Jevy, které sice nejsou (absolutně) nemožné/jisté, ale jejich pravděpodobnost je etrémně blízká nule/jedné, označujeme jako jevy prakticky nemožné/prakticky jisté Kalkulujeme s tím, že v jednom pokuse jev prakticky jistý nastane, zatímco jev prakticky nemožný nenastane Pravděpodobnost, že očekávaný výsledek nenastane, je nízká a nazývá se riziko Význam právě takových jevů s očekávatelným chováním už v jediném pokusu, je v mnoha úvahách zcela zásadní Závislé opakované pokusy Formulujme tuto situaci: Z konečného souboru N jednotek, z nichž M (M < N) má nějakou vlastnost, je současně (jedním tahem) odebráno n (n < N) jednotek, z nichž u předem neznámého počtu ( ma{ 0; M N + n} min{ n; M }) se rovněž objeví daná vlastnost Úkolem je určit pravděpodobnost pro zadaná N, M, n, kterou označíme jako N;M;n;) Při tom M N M n P ( N; M ; n; ) = N n Pokud jde o příklad, odkazujeme zcela na příklad 3 v odstavci Vzhledem k tomu, že v technických aplikacích opakované pokusy často souvisí s vybíráním, je třeba uvést, že zatímco výsledky výběru s opakováním (vracením) představují nezávislé opakované pokusy, jde u výběru bez opakování (vracení) o závislé opakované pokusy Rozdíl mezi oběma výběry se stírá tím více, čím menší je podíl vybíraných jednotek z jejich celkového počtu Při výběru s opakováním se každá prošetřená jednotka před dalším tahem vrací mezi ostatní Odpovězte na otázky kolikrát se určitá jednotka může objevit ve výběru, jak se změní množina ze které vybíráme po provedení např k tahů, jaký je maimální počet tahů, který lze provést a jak rozsáhlý výběr (alespoň teoreticky) lze tudíž pořídit ( 4) Na stejné otázky odpovězte, pokud vybranou jednotku nevracíme

13 Σ ( ) Mnoho dějů různého charakteru, které můžeme kolem sebe pozorovat, má charakter náhodných pokusů Jejich slovně vyjádřené výsledky se nazývají náhodné jevy Každý náhodný pokus má svoji množinu možných případů elementárních jevů 3 Pro dvojici (někdy i pro větší skupinu) jevů můžeme formulovat vztahy jako důsledek, sjednocení, průnik, rozdíl 4 Dva jevy, které tvoří úplnou skupinu neslučitelných jevů, se nazývají jevy opačné 5 Konečný počet stejně možných případů vede ke klasické pravděpodobnosti 6 Stabilizace relativních četností s rostoucím počtem pokusů vede ke statistické pravděpodobnosti 7 Pravděpodobnost jako matematická veličina má řadu vlastností 8 Snaha o stanovení pravděpodobnosti sjednocení a průniku jevů nás dovede k podmíněné a úplné pravděpodobnosti 9 Speciální vlastností pro dvojici nebo větší skupinu jevů je jejich (vzájemná) nezávislost 0 Aposteriorní pravděpodobnost předpokládá, že apriorní pravděpodobnost jevu lze korigovat na základě známého výsledku vykonaného pokusu Bernoulliův vzorec popisuje pravděpodobnost, že v řadě nezávislých pokusů zaznamenáme právě určitý počet úspěchů Tuto pravděpodobnost lze rovněž stanovit pro řadu závislých pokusů 3 Modelovým případem nezávislých pokusů je výběr s opakováním Modelovým případem závislých pokusů je výběr bez opakování 4 Ve výkladu jsme narazili na pojmy prakticky jistý a prakticky nemožný jev Tyto jevy společně s pojmem riziko mají v řadě aplikací klíčový význam Jde o sjednocení ( A B) ( B A) = A B A B ( ) Pro = 0 to bude 6 5 0, pro = 5 to bude 0, 399 ( 3) P ( A B) = A) B) = 0, 874; A B) = 0, 004 ( 4) Libovolněkrát, množina je identická, není omezený, nekonečně rozsáhlý Nakreslete Vennovy diagramy pro A B; A B; A B; A B; A, A Odběratel provádí při přejímce suroviny kontrolu, která označí produkt jako kvalitní, pokud skutečně takový je, s pravděpodobností 0,995 Naopak za nekvalitní označí produkt (pokud skutečně nekvalitní je) s pravděpodobností 0,98 (žádná kontrolní metoda není 00% spolehlivá!) Dodavatel je schopen dodávat produkt, který splňuje pod- 3

14 mínky kvality, s pravděpodobností 0,97 (žádný produkt není 00% kvalitní!) Uvozovkami rozlišujeme skutečný stav produktu (kvalitní, nekvalitní) a výsledek kontroly ( kvalitní, nekvalitní ), což jsou dvě různé kategorie Označíme-li jako jev H to, že produkt je kvalitní, je P ( H ) = 0,97( H ) = 0,03), označíme-li jev A, že produkt prošel kontrolou jako kvalitní, za podmínky, že takový skutečně byl, je P ( A H ) = 0, 995 a že nekvalitní produkt byl označen jako nekvalitní P ( A H ) = 0, 98 Naproti tomu pravděpodobnost, že výrobek projde kontrolou jako kvalitní (ať už kvalitní je nebo není) je úplná pravděpodobnost P (A) a naopak, že výrobek bez ohledu na kvalitu neprojde kontrolou, je P (A) Je zřejmé, že výsledek kontroly není stoprocentně v souladu se skutečností a eistují dva druhy chybných výsledků kontroly: Nekvalitní produkt je označen jako kvalitní Tímto výsledkem je poškozen odběratel Pravděpodobnost, že tato situace nastane, se nazývá riziko odběratele Kvalitní výrobek je označen jako nekvalitní a je odběratelem odmítnut Tímto výsledkem je poškozen dodavatel Pravděpodobnost této situace se nazývá riziko dodavatele Stanovíme obě rizika a současně pravděpodobnosti správných rozhodnutí a sestavíme je do čtyřpolní tabulky Skutečnost kvalitní nekvalitní Součet (jev H) (jev H ) kvalitní Výsledek (jev A) kontroly nekvalitní (jev A ) Součet 0, ,03000, Ve stejné tabulce jako v předchozím příkladě vyplňte pravděpodobnosti za předpokladu, že výsledek kontroly by byl nezávislý na skutečné kvalitě produktu 4 Pro příklad 7 vypočtete pravděpodobnost, že součástka pochází od prvního výrobce, pokud není vadná 5 Kolik nezávislých pokusů je třeba vykonat, aby jev, jehož pravděpodobnost v jednom pokusu je rovna p, nastal s pravděpodobností π alespoň jednou n Nápověda: Hledáme P ( X > 0 ) = X = 0) = ( p) = π 6 Vypočtěte úlohu 5 pro π = 0,99; p = 0, 5 7 Pro závislé opakované pokusy je N = 0, n =, M = 4( M = 7) Určete interval možných hodnot pro obě varianty čísla M 4

15 Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné veličiny Např při hodu kostkou můžeme hovořit buď o padnutí šestky nebo můžeme říci, že náhodná veličina X, kterou je počet ok na kostce, se realizovala v hodnotě = 6 Žádnou preciznější definici náhodné veličiny nebudeme uvádět Pro diskrétní náhodnou veličinu je klíčová izolovanost jejích hodnot a počet možných realizací, který je buď konečný nebo nejvýše spočetně nekonečný Na věci nic nemění, že diskrétní náhodná veličina často nabývá celočíselných hodnot, mnohdy navíc pouze nezáporných (počet poruch za jednotku času, počet požadavků na obsluhu, počet měření zatížených hrubou chybou apod) alternativní rozdělení; binomické rozdělení; diskrétní veličina; distribuční funkce; hypergeometrické rozdělení; konečnostní násobitel; kovariance; nezávislost; parametry; Poissonovo rozdělení; pravděpodobnostní funkce; rozdělení pravděpodobnosti; rozptyl; směrodatná odchylka; sdružená distribuční funkce; sdružená pravděpodobnostní funkce; střední hodnota; úroveň; variabilita; variační koeficient; zákon rozdělení Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Klíčovým pojmem pro diskrétní náhodnou veličinu je pravděpodobnostní funkce Tato funkce udává pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina X se realizuje v hodnotě, P ( ) = X = ) Funkce může být vyjádřena tabulkou hodnot, vzorcem nebo graficky Příklad Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, která se může realizovat v hodnotách =, 0,, vyjádřené pravděpodobnostní funkcí je uvedeno v tabulce Tab Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny - 0 Součet P () 0,400 0,333 0,67,000 Grafické znázornění pravděpodobnostní funkce úsečkovým (hůlkovým) grafem je na obrázku Obr Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny ) 5

16 Pravděpodobnostní funkci lze vyjádřit vzorcem 5 pro =, 0, P ( ) = 5 0 jinak Pravděpodobnostní funkce je nezáporná a normovaná, 0 ), ) = Další funkcí pomocí níž lze popsat rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je distribuční funkce Distribuční funkce je definována jako pravděpodobnost, že náhodná veličina X nepřesáhne hodnotu, F( ) = X ) Příklad pokračování Rozdělení pravděpodobnosti popíšeme pomocí distribuční funkce, kterou vyjádříme tabulkou (tab ), graficky (obr ) a vzorcem Tab Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny - 0 Součet F () 0,400 0,733,000 Obr Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny F() Distribuční funkci lze rovněž vyjádřit vzorcem 0 pro < [ ] 5 t F( ) = pro, t= 5 pro > kde [ ] je celá část čísla Zápis distribuční funkce vzorcem je poměrně obtížný, takže autoři se mu zpravidla vyhýbají Srovnejte Srovnejte, jaké hodnoty nabývá pravděpodobnostní a distribuční funkce v příkladu pro realizace náhodné veličiny = 5 ; 0, 5;, 5; 0 rozdělení relativních a kumulativních četností při bodovém třídění v Modulu a rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Zejména si všimněte pojmu četnostní funkce Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny může být popsáno pomocí pravděpodobnostní nebo distribuční funkce, které mohou být vyjádřeny tabulkou, graficky nebo vzorcem 6

17 Charakteristiky diskrétní náhodné veličiny Klíčovými vlastnostmi každé náhodné veličiny je její úroveň a variabilita Charakteristikou úrovně náhodné veličiny je střední hodnota, která pro diskrétní náhodnou veličinu X je definována jako E ( X ) = ) Charakteristikou variability náhodné veličiny je rozptyl, který je pro diskrétní náhodnou veličinu X D ( X ) = E E( X ) E( X ) ) Alternativně lze rozptyl vyjádřit po definován jako [ ] = [ ] úpravě jako ( X ) E ( X ) = ) ) E Druhou odmocninou rozptylu je směrodatná odchylka D (X ) Bezrozměrnou charakteristikou variability je variační koeficient V ( X ) = D( X ) E( X ) Srovnejte charakteristiky úrovně a variability datového souboru z Modulu a právě uvedené charakteristiky diskrétní náhodné veličiny Zejména si všimněte způsobu výpočtu z relativních četností Pro diskrétní náhodnou veličinu z odstavce vypočteme hodnoty charakteristik Příklad Charakteristiky diskrétní náhodné veličiny Střední hodnota E ( X ) = 0, , ,67 = 0, 33 Rozptyl (po úpravě vzorce) D ( X ) = ( 0, , ,67) ( 0,33) = 0, 6493 Směrodatná odchylka D ( X ) = 0,6493 = 0, 8058 Hodnotu variačního koeficientu nebudeme v tomto případě určovat Úroveň a variabilitu náhodné veličiny měříme pomocí střední hodnoty a rozptylu, případně od něj odvozených charakteristik směrodatné odchylky a variačního koeficientu Vlastnosti střední hodnoty a rozptylu X, Y jsou náhodné veličiny, přičemž platí Y = kx + c, kde k, c jsou konstanty Mezi středními hodnotami a rozptyly platí E ( Y ) = ke( X ) + c, D ( Y ) = k D ( X ), W = X ± Y jsou náhodné veličiny, přičemž E ( W ) = E( X ) ± E( Y ), D ( W ) = D ( X ) + + D ( Y ) ± COV ( X, Y ) Jsou-li veličiny X, Y nezávislé, je kovariance COV ( X, Y ) = 0 Nezávislost diskrétních náhodných veličin V případě dvojice diskrétních náhodných veličin X, Y je jejich společné rozdělení popsáno pravděpodobnostní a distribuční funkcí, které jsou funkcemi dvou proměnných:, y), F(, y) a nazývají se sdružené Platí-li P (, y) = ) y) a F (, y) = F( ) F( y), jsou X, Y nezávislé náhodné veličiny Sdružená 5y y pravděpodobnostní funkce, y) =, kde X je náhodná veličina z Jaký 50 tvar má funkce P ( y), pokud nezávislá veličina Y se realizuje v hodnotách, 4, 5? ( ) 7

18 3 Některé zákony rozdělení diskrétních veličin Binomické rozdělení Diskrétní náhodná veličina X, jejíž realizace ( = 0,,,, n ) udává počet nastoupení jevu A v n nezávislých opakovaných pokusech, má binomické rozdělení Bi [ n;θ ], kde θ je pravděpodobnost jevu A v jednom pokusu Konstanty n, θ jsou parametry binomického rozdělení V hodnotách parametrů se binomicky rozdělené náhodné veličiny mohou vzájemně více či méně shodovat nebo lišit Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení je pro hodnoty = 0,,,, n dána Bernoulliovým vzorcem Ze známých parametrů n, θ lze určit střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení E ( X ) = nθ, D ( X ) = nθ ( θ ) Použití binomického rozdělení je zřejmé z definice veličiny X Příklad 3 Vypočítáme střední hodnotu počtu správně vyřešených úkolů v testu odborné způsobilosti s 0 nezávislými úkoly, jestliže plný počet splněných úkolů mělo z 80 uchazečů pět Pro stanovení střední hodnoty potřebujeme znát n a θ, přičemž ze zadání vyplývá, že n = 0 Parametr θ určíme ze vztahu θ ( θ ) = = 0,065, z čehož θ = 0, E ( X ) = 0 0,758 = 7,6 (správných odpovědí) Mimochodem slabým místem úlohy je předpoklad, že všichni respondenti jsou stejně připraveni a všechny úkoly jsou stejně obtížné (konstantní pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu) Nejpravděpodobnější (typickou, modální) hodnotu binomického rozdělení najdeme s použitím vztahu E ( X ) ( θ ) ˆ E( X ) + θ Jakou hodnotu má modus počtu správně vyřešených úkolů v příkladu 3? ( ) Alternativní rozdělení Zvláštním případem binomického rozdělení je rozdělení pro n =, Bi [ ; θ ] Jde o rozdělení nulajedničkové náhodné veličiny a nazývá se rozdělení alternativní Po vzoru binomického rozdělení jsou jeho charakteristiky E ( X ) = θ, D ( X ) = θ ( θ ) Alternativní rozdělení je nejjednodušším myslitelným případem rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny λ e λ s pravděpodobnostní funkcí ) = pro! = 0,,, S rostoucím hodnota pravděpodobnostní funkce rychle klesá k nule, takže prakticky Poissonovo rozdělení Zvláštním případem binomického rozdělení pro n, θ 0, je-li při tom n θ = λ > 0, je rozdělení vzácných jevů Poissonovo rozdělení Po[ λ] stačí vzít v úvahu jen několik málo prvních hodnot Parametr λ má současně význam střední hodnoty i rozptylu, takže E ( X ) = D ( X ) = λ Poissonovo rozdělení má zvláštní význam a řídí se jím množství diskrétních náhodných veličin Poissonovo rozdělení má tzv Poissonovský proud jevů, kterým se modeluje např počet požadavků na obsluhu za jednotku času u mnoha obslužných zařízení (telefonní ústředny, čerpací stanice, servisní dílny, myčky vozidel apod) Je-li střední hodnota (tzv intenzita) Poissonovského proudu jevů rovna λ, má za časový interval délky t střední hodnotu t λ Součet n nezávislých náhodných veličin se stejným parametrem λ má střední hodnotu n λ 8

19 Příklad 4 Pobočka pojišťovny uzavírá pojistné smlouvy, přičemž očekávaná (tj střední) hodnota počtu uzavřených smluv pro běžný pracovní den je λ = 3 smlouvy Určíme pravděpodobnost, že v náhodně vybraném (a) běžném pracovním dni, (b) pětidenním pracovním týdnu, nebude uzavřena žádná smlouva 3 0 e 3 Řešení: (a) P (0) = = 0, 0498 (b) 0! P (0) = e 5 0! 5 0 = S jakou pravděpodobností během běžného pracovního dne uzavřou tři pobočky pojišťovny (se stejným parametrem λ = 3 ) takový počet smluv, který právě odpovídá parametru lambda rozdělení počtu jimi společně uzavřených smluv? ( 3) Hypergeometrické rozdělení Diskrétní náhodná veličina X, jejíž realizace udává počet nastoupení jevu A v n závislých opakovaných pokusech, má tříparametrické hypergeometrické rozdělení H [ N; M ; n] Parametry opět souvisejí s charakteristikami úrovně a variability, neboť E ( X ) = n a D ( X ) = n( ) M M N n N N N N n Výraz N < je konečnostní násobitel Hypergeometrické rozdělení proto má za jinak srovnatelných podmínek menší rozptyl, než rozdělení binomické, což vyplyne z příkladu 5 Příklad 5 Zadané veličiny jsou binomická veličina s n = 3, θ = 0, 5, hypergeometrická s N = 0, M = 5, n = 3, M (tj také = 0, 5 ) a veličina s Poissonovým rozdělením s parametrem λ = 3 0,5 =, 5 N Vypočteme střední hodnoty a rozptyly těchto tří diskrétních veličin Tab 3 Přehled charakteristik tří diskrétních veličin Rozdělení Binomické Hypergeometrické Poissonovo Realizace 0,,, 3 0,,, 3 0,,, Střední hodnota,5,5,5 Rozptyl 0,75 0,5833,5 Vidíme, že střední hodnoty se zcela shodují, nejmenší rozptyl 0 3 0,75 = 0, 5833 má hypergeometrické 0 rozdělení Nápadně vyšší hodnota rozptylu Poissonova rozdělení je způsobena podstatně širším oborem možných realizací náhodné veličiny ( P ( X > 3) je větší než 0,3) Zkontrolujte (přesným výpočtem) předešlé tvrzení o P ( X > 3) Σ Diskrétní náhodná veličina se vyznačuje izolovaností hodnot, kterých je nejvýše spočetně nekonečný počet Často jde o nezáporné celočíselné hodnoty, není to však podmínkou Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny může být popsáno pomocí pravděpodobnostní funkce, která pro každou hodnotu náhodné veličiny stanoví pravidlo, že se náhodná veličina realizuje 9

20 právě v této hodnotě 3 Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny může být rovněž popsáno pomocí distribuční funkce, která pro každou hodnotu náhodné veličiny stanoví pravidlo, že se náhodná veličina realizuje nejvýše v této hodnotě 4 Klíčovými vlastnostmi náhodné veličiny je její úroveň a variabilita 5 Úroveň náhodné veličiny měří její střední hodnota 6 Variabilitu náhodné veličiny měří rozptyl a z něj odvozené charakteristiky směrodatná odchylka a variační koeficient 7 Náhodné veličiny mohou být ve dvojici závislé nebo nezávislé 8 Poznali jsme binomické, alternativní, Poissonovo a hypergeometrické rozdělení jako příklady rozdělení diskrétních náhodných veličin 9 Každé rozdělení má určitý počet parametrů, které jsou v určitých vztazích s jeho charakteristikami ( ) y P ( y) = pro =,4, 5 0 ( ) ˆ = 8 y ( 3) P (9) = = 0, 3 9! e X je náhodná veličina z příkladu 8 Popište její rozdělení pravděpodobnosti pomocí pravděpodobnostní a distribuční funkce, které vyjádříte vzorcem, tabulkou a graficky Sestavte tabulku, ve které vyjádříte P ( X = 0) pro náhodnou veličinu s Poissonovým rozdělením pro parametry λ = 0,5;;,5; ; 3; 5 Hranice prakticky nemožného jevu je stanovena na 0,0 Lze pro některé zadané hodnoty λ tvrdit, že je prakticky nemožné, aby došlo k realizaci = 0? 3 Porovnejte graficky distribuční funkce binomického a hypergeometrického rozdělení z úlohy 5 4 Pro jakou hodnotu parametru θ má veličina Bi [ ;θ ] největší rozptyl? 5 Jaká část vozidel odjíždí neobsloužena z ruční myčky za těchto podmínek: Proud požadavků má [ 3] Po hod - Kapacita myčky je vozidla hod - Pokud není myčka volná, vozidlo nečeká a odjíždí Jaká je střední hodnota počtu obsloužených vozidel za minutu (můžete pomocí ní stanovit využití kapacity linky)? 6 Podívejte se na předchozí příklad z pohledu řidiče a vypočtěte pravděpodobnost, že uspěje u myčky až na třetí pokus 7 Určete střední hodnotu, modus, rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient pro náhodnou veličinu z úlohy tohoto cvičení 8 Kterou charakteristiku binomického rozdělení lze vyjádřit jako θ nθ? 0

21 9 Určete střední hodnotu a rozptyl rozdílu nezávislých náhodných veličin X Y, pokud 0 Operace 5 ) = pro = ;0; 5 E ( U ), D ( U ) a y P ( y) = pro = ;4; 5 0 y X E( X ) U =, kde X je náhodná veličina, se nazývá normování Určete D( X )

22 Lekce 3 Spojitá náhodná veličina Případ spojité náhodné veličiny je komplikovanější, než je tomu u veličiny diskrétní Je to dáno především tím, že jednotková pravděpodobnost jistého jevu se rozkládá mezi nekonečně mnoho realizací spojité náhodné veličiny (každý interval reálné osy obsahuje nekonečně mnoho reálných čísel) To neumožňuje použít pravděpodobnostní funkci, která sloužila jako jeden z prostředků popisu rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Pravděpodobnostní funkce byla analogií četnostní funkce při bodovém třídění datového souboru Alternativou četnostní funkce při intervalovém třídění datového souboru byla četnostní hustota V souvislosti se spojitou náhodnou veličinou budeme hovořit o hustotě pravděpodobnosti Vedle hustoty pravděpodobnosti lze k popisu rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny využít také distribuční funkci, jejíž definice je na typu náhodné veličiny nezávislá distribuční funkce; eponenciální rozdělení; Gaussova křivka; hustota pravděpodobnosti; medián; nezávislost; normální rozdělení; normované normální rozdělení; normování; p kvantil; pravděpodobnostní element; parametry; rovnoměrné rozdělení; rozdělení pravděpodobnosti; spojitá veličina; směrodatná odchylka; střední hodnota; variační koeficient; zákon rozdělení pravděpodobnosti 3 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny U spojitých náhodných veličin přejdeme od pravděpodobnosti k hustotě pravděpodobnosti, což je množství pravděpodobnosti připadající na jednu (určitou) jednotku šířky intervalu možných hodnot spojité náhodné veličiny Hustota pravděpodobnosti je ovšem spojitou veličinou, takže její jednotkovou hodnotu (příslušející jistému jevu) vyjadřujeme jako určitý integrál Hustota pravděpodobnosti nemá vlastnosti pravděpodobnosti Označíme-li hustotu pravděpodobnosti jako f (), platí f ( ) 0 (hustota tedy může nabýt i hodnoty větší než jedna, což uvidíme později) Pomocí hustoty pravděpodobnosti může být rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny vyjádřeno vzorcem nebo graficky Příklad 3 Dobu trvání výrobní operace považujeme za konstantní s délkou trvání 5 minut Pozorovatel přichází v náhodně zvoleném okamžiku Spojitou náhodnou veličinou X je doba, která uplyne od příchodu pozorovatele do skončení operace Náhodná veličina se může realizovat v intervalu (0;5) a její výskyt na celém intervalu je všude stejně možný Pravděpodobnost, připadající na jednotku intervalu čekací doby, je konstantní a je rovna 5 Hustota pravděpodobnosti pro0 < < 5 f ( ) = 5 a její grafické znázornění je na obr 3 0 jinak Všimněme si ještě hranic intervalu pro spojitou náhodnou veličinu Nezáleží na tom, zda jedna či obě krajní hodnoty do intervalu patří či nepatří, takže pro spojitou (ale výhradně pro spojitou!) náhodnou veličinu jsou zápisy X ) a P ( < X < ) naprosto ekvivalentní Co můžeme říci o náhodné veličině, pro kterou P ( X 3) > < X < 3) (3 )

23 Obr 3 Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny f() Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je (analogicky jako pro diskrétní veličinu) definována jako pravděpodobnost F( ) = X ), tentokrát ovšem pro < < + Doplníme nyní příklad 3 o distribuční funkci, která (podobně jako hustota) pro spojitou náhodnou veličinu se vyskytuje v podobě vzorce nebo grafu Příklad 3 pokračování Distribuční funkce na intervalu ( 0;5) lineárně roste, zatímco pro 0 nabývá nulové hodnoty a pro 0 pro 0 5 hodnoty jedna, tj F ( ) = pro0 < < 5 5 pro 5 Obr 3 Distribuční funkce spojité náhodné veličiny F() Vlastnosti distribuční funkce (společné pro df diskrétní i spojité nv) Distribuční funkce je pravděpodobnost, z čehož plyne 0 F ( ) Distribuční funkce je neklesající (pravděpodobnost je nezáporná) a tudíž pro > je F( ) F( ) Z toho plyne užitečný vztah: P < X ) = F( ) F( ) ( V bodech plus a mínus nekonečno je distribuční funkce F ( ) = 0, F( + ) =, i když z našich příkladů vidíme, že je běžné, že těchto hodnot distribuční funkce nabývá podstatně dříve, než v nekonečnu Pokud je na nějakém intervalu náhodná veličina X spojitá, je spojitá i distribuční funkce Na grafu distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny vidíme, že do libovolných bodů na distribuční funkci lze dospět z jejich pravého (nikoli již levého) okolí Z toho plyne formulace, že distribuční funkce je vždy alespoň zprava spojitá 3

24 Nyní zbývá zabývat se vztahem distribuční funkce a hustoty spojité náhodné veličiny Je-li distribuční funkce F() spojitá, tudíž k ní eistuje derivace Derivací F () je hustota pravděpodobnosti df( ) f ( ) = A opačně distribuční funkce je primitivní funkcí k hustotě Mezi oběma funkcemi d je tedy vzájemně jednoznačný vztah a F ( t) = f ( ) d t Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti Hustota je derivace neklesající funkce, nemůže tedy být záporná a f ( ) 0 Shora není hodnota hustoty pravděpodobnosti nijak omezena + f ( ) d = Jde o pravděpodobnost jistého jevu, která odpovídá jednotkové ploše pod křivkou hustoty pravděpodobnosti P ( X ) = f ( ) d Pravděpodobnost realizace spojité náhodné veličiny na intervalu ( ) ; nebo ; je určitým integrálem v hranicích, Plochu pod křivkou hustoty pravděpodobnosti lze interpretovat jako součet ploch elementárních obdélníků, tzv pravděpodobnostních elementů f ( ) d f ( ), kde 0 je délka vodorovné strany obdélníku 3 Charakteristiky spojité náhodné veličiny Klíčovými vlastnostmi každé náhodné veličiny je její úroveň a variabilita Charakteristikou úrovně náhodné veličiny je střední hodnota, která pro spojitou náhodnou veličinu X je definována jako + E ( X ) = f ( ) d Charakteristikou variability náhodné veličiny je rozptyl, který je pro spojitou náhodnou veličinu X definován jako ( X ) E[ E( X )] = [ E( X )] po úpravě jako + D = f ( ) d Alternativně lze rozptyl vyjádřit + + E ( X ) E ( X ) = f ( ) d f ( ) d Druhou odmocninou rozptylu je směrodatná odchylka D (X ) Bezrozměrnou charakteristikou variability je variační koeficient V ( X ) = D( X ) E( X ) Pro spojitou náhodnou veličinu z odstavce 3 vypočteme hodnoty charakteristik Příklad 3 Charakteristiky spojité náhodné veličiny + 5 Střední hodnota E ( X ) = f ( ) d = d = =,

25 5 3 Rozptyl (po úpravě vzorce) D ( X ) = d,5 =,5 =, Směrodatná odchylka D ( X ) =,0833 =, 4434 Čemu je roven variační koeficient z náhodné veličiny z příkladu 3? (3 ) Úroveň a variabilitu náhodné veličiny měříme pomocí střední hodnoty a rozptylu, případně od něj odvozených charakteristik směrodatné odchylky a variačního koeficientu 5 O Vlastnosti střední hodnoty a rozptylu Tyto jsou pro spojitou náhodnou veličinu identické s vlastnostmi charakteristik diskrétní náhodné veličiny Kvantily spojitých náhodných veličin Pojem kvantilu je nám nepochybně znám (včetně pojmů jako medián, dolní kvartil, prostřední decil, horní percentil apod) Omezíme se pouze na kvantily spojitých náhodných veličin (pro diskrétní náhodné veličiny kvantily eistují také, ale my je nebudeme v žádné souvislosti používat) S kvantily některých spojitých náhodných veličin budeme naopak později pracovat zcela běžně p kvantil (nebo také 00p% kvantil) spojité náhodné veličiny X je číslo, které dělí obor možných hodnot této veličiny na dvě části, z nichž do levé padá tato veličina s pravděpodobností p a do pravé s pravděpodobností p, tj X ) = p, X ) = p Přitom pravděpodobnost p můžeme chápat jako plochu pod p p křivkou hustoty pravděpodobnosti nebo jako bod na křivce distribuční funkce Situace je znázorněna na obr 33, kde má součastně průběh hustoty pravděpodobnosti a jí odpovídající distribuční funkce reálnou podobu (my jsme se ovšem s podobným rozdělením zatím nesetkali) Obr 33 p kvantil spojité náhodné veličiny p f () F ( ) p p p p p Situaci na obr 33 můžeme současně vyjádřit: Pomocí hustoty pravděpodobnosti Pomocí distribuční funkce p P X p ) = f ( ) d ( = p p ) = F( p = X ) p 5

26 Příklad 33 Vypočteme libovolný p kvantil spojité náhodné veličiny z odst 3 (zatím žádnou jinou k dispozici 0, 5 nemáme) Zvolíme-li např p = 0,5 (tj určíme 5% kvantil dolní kvartil), bude d = 0,5 5 0,5 Z toho = 0, 5 a nakonec 5 0,5 =, 5 0 Pro příklad 33 určete 90% kvantil Zatímco medián ( 0, 50 ) může být vhodnou charakteristikou úrovně, tak krajní kvantily mohou sloužit k vymezení intervalu, kam náhodná veličina padá prakticky jistě (např % a 99% kvantil společně vymezí interval, kam náhodná veličina padá s pravděpodobností 0,98 pro představu si to ukažte na obr 33) Pokud je pravděpodobnost 0,98 pro daný případ stanovenou pravděpodobností prakticky jistého jevu, můžeme předpokládat, že jev padnutí náhodné veličiny mimo interval vymezený oběma kvantily je jevem prakticky nemožným a nekalkulujeme, že skutečně nastane, i když je např X +, a náhodná veličina může ve skutečnosti (ovšem velmi vzácně) nabýt jakkoli velké záporné či kladné hodnoty Tento trik s náhodnou veličinou budeme využívat později Nezávislost spojitých náhodných veličin V případě dvojice spojitých náhodných veličin X, Y je jejich společné rozdělení popsáno hustotou pravděpodobnosti a distribuční funkcí, funkcemi dvou proměnných f (, y), F(, y), které se opět nazývají sdružené Platí-li f (, y) = f ( ) f ( y) a F (, y) = F( ) F( y), jsou X, Y nezávislé náhodné veličiny 0 33 Některé zákony rozdělení spojitých náhodných veličin Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení jsme již poznali, protože nám posloužilo jako modelový případ spojité náhodné veličiny v odst 3 Nabývá-li spojitá náhodná veličina X hodnot z intervalu α; β a její výskyt na tomto intervalu je všude stejně možný, má rovnoměrné rozdělení s hustotou pravděpodobnosti proα β f ( ) = β α Čísla α, β, kterými se jednotlivé rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny vzájemně liší, jsou parametry Rovnoměrné rozdělení označíme R [ α;β ] Řekli jsme 0 jinak sice, že se používá např při stanovení doby čekání na v pravidelných intervalech se opakující jevy nebo že si jím vypomáháme za situace, kdy skutečný tvar rozdělení spojité veličiny není znám, ale jeho význam je hlavně metodický, protože je nejjednodušším spojitým rozdělením Z tohoto titulu není obtížné na něm ukázat např výpočet charakteristik pomocí integrálů (příklad 3) Tento výpočet není ovšem nutné provádět, protože jeho charakteristiky lze snadno určit z parametrů: α + β ( β α) E ( X ) =, D ( X ) = vztahu p = α + p( β α) p kvantil rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny určíme ze 6

27 Jaká je pravděpodobnost, že rovnoměrně rozdělená náhodná veličina R[ 0;00 ] E ( X ) ± D( X )? (3 3) padne do intervalu Eponenciální rozdělení Podobně jako Poissonovo rozdělení, má i eponenciální rozdělení význam především pro technické jevy Tak jako diskrétní Poissonovský proud jevů charakterizuje toky událostí pokud jde o četnost jejich výskytů (počet poruch za jednotku času, počet požadavků na obsluhu, počet průjezdů vozidel, počet vad na výrobcích), eponenciální rozdělení spojité náhodné veličiny X ( > 0) charakterizuje dobu (případně vzdálenost), která uplyne mezi výskyty těchto událostí (doba mezi dvěma poruchami, doba od objevení do odstranění poruchy, doba mezi průjezdy vozidel, ale také vzdálenost sousedních vad na pásu tkaniny apod) Za eponenciálně rozdělenou můžeme za jistých okolností považovat i životnost součástí a výrobků (zejména pokud k ukončení života výrobku dojde v důsledku náhodné události typicky žárovky, akumulátory automobilů a další elektrické součástky, k jejichž smrti dochází v důsledku zkratu, přepětí elektrické sítě apod) Hustota pravděpodobnosti eponenciálního rozdělení je monotónní klesající funkce ( ) = e δ f pro > 0, kde δ > 0 je jediný parametr tohoto rozdělení Jeho význam je δ 0 jinak E ( X ) = δ, D ( X ) = δ Distribuční funkcí eponenciálního rozdělení je funkce 0 pro 0 F( ) = e δ pro > 0 Příklad 34 Pojišťovna registruje při určitém typu pojištění u 50 % pojistníků, v okamžiku dosažení doby pojištění 36 měsíců, bezeškodní průběh Doba bezeškodního průběhu pojištění je náhodná veličina s eponenciálním rozdělením U jaké části pojistníků dojde k pojistné události až po uplynutí dvou let bezeškodního průběhu pojištění? Při řešení místo určitých integrálů hustoty pravděpodobnosti využijeme rovnou dosazení do vzorce distribuční funkce: 36 4 F (36) = e δ = 0,50, z čehož δ = 5 a F (4) = e 5 = 0, 6303 Hranici dvou let bezeškodního průběhu pojištění překoná jen 63 % pojistníků (37 % pojistníků zaznamená pojistnou událost před uplynutím 4 měsíců)jakou střední hodnotu by musela náhodná veličina mít, aby hranici dvou let bezeškodního průběhu překonalo 90 % pojistníků? δ = Obr 34 Distribuční funkce dvou eponenciálních rozdělení 4 F (4) = 0,90 = e δ F(), z čehož získáme δ = 8 měsíců, což je 9 let 075 δ = 5 Obě eponenciální rozdělení (skutečné a ideální) viz obr 34, kde je pro první rozdělení vyznačena hodnota F ( 36) = 0, 50 a pro druhé F ( 4) = 0, 0 Funkce X > ) = F( ), kde F () je distribuční funkce některé náhodné veličiny, se nazývá funkce přežití Tato funkce má značný význam při modelování procesů dožívání, ať již předmětů nebo živých organizmů, včetně lidí 7

28 Znázorněte graficky hustoty pravděpodobností náhodných veličin, jejichž distribuční funkce jsou na obr 34! Normální rozdělení Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení ve zcela obecném případě je dána jako funkce ( µ ) ( ) = e σ f, pro < < + Funkce má symetrický zvonovitý tvar se dvěma infleními body a jmenuje se Gaussova křivka (viz obr 35) Konstanty ve vzorci hustoty pravděpo- σ π dobnosti, tj čísla µ,σ, jsou parametry normálního rozdělení Jejich geometrický význam je patrný z obr 35 a jejich vztah k charakteristikám rozdělení je jednoduchý: Obr 35 Normální rozdělení N[ ; ], N[0;], N[;0,5 ] E ( X ) = µ, D ( X ) = σ f() F() 075 σ = µ = První z parametrů tedy reprezentuje střední hodnotu (parametr polohy) a druhý je rozptyl Je zřejmé, že σ = D(X ) (parametr měřítka, vzdálenost souřadnice infleního bodu od souřadnice vrcholu křivky) je směrodatnou odchylkou Obecné normální rozdělení zapisujeme jako N [ µ ; σ ] Vzorec distribuční funkce (vyjadřuje plochu pod křivkou hustoty), která je pravidelnou esovitou křivkou s inflením bodem o souřadnici [µ;0,5] (viz obr 35), neuvádíme (i když tabelované hodnoty této funkce budeme často využívat) Z grafů hustot i distribučních funkcí na obr 35 vyplývá, že pravděpodobnost odlehlých hodnot je skutečně zanedbatelná a za odlehlou můžeme např prohlásit už hodnotu, která je od střední hodnoty vzdálena více než ± σ > Normované normální rozdělení Je zřejmé, že obecných normálních rozdělení je nekonečně mnoho, protože každé kombinaci parametrů µ a σ 0 vyhovuje nějaké normální rozdělení Při normování zavedeme normovanou veličinu U = =, která má (pokud veličina X má obecné normální rozdělení) normované X E( X ) X µ D( X ) σ normální rozdělení N [0; ] Prostřední z normálních rozdělení na obr 35 je současně normovaným normálním rozdělením Jeho hustotu pravděpodobnosti (kterou označujeme φ (u) ) znázorníme samostatně na obr 36 Distribuční funkci normovaného normálního rozdělení budeme označovat Φ (u) Z obr 36 znovu vyplývá, že za odlehlé (a tudíž zanedbatelné) je možno prohlásit např už i hodnoty, které se od střední hodnoty liší o více než ± (když budeme hodně přísní, tak ± 3) Smysl 8

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná

Více

Teoretická rozdělení

Teoretická rozdělení Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické

Více

Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny

Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Ing. Jana Šenkapoulová VODÁRENSKÁ AKCIOVÁ SPOLEČNOST, a.s. Brno, Soběšická 156, 638 1 Brno ÚVOD Každé rekonstrukci

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Alternativní rozdělení Příklad Střelec vystřelí do terče, pravděpodobnost zásahu je 0,8. Náhodná veličina X udává, jestli trefil: položíme X = 1, jestliže ano, a X = 0, jestliže ne. Alternativní rozdělení

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Úvod do teorie pravděpodobnosti Náhoda a pravděpodobnost, náhodný jev, náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot Rozdělení Náhodná veličina Náhodná veličina je vyjádření výsledku náhodného pokusu číselnou hodnotou. Jde o reálnou funkci definovanou na množině. Rozdělení náhodné veličiny udává jakých hodnot a s jakou

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Kombinatorický předpis

Kombinatorický předpis Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Cvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost

Více

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady

Více

Pracovní list číslo 01

Pracovní list číslo 01 Matematika v jiných předmětech Pracovní list číslo 01 1. Ze vzorce pro výpočet kinetické energie tělesa E = mv. Při tepelné výměně mezi dvěma tělesy platí kalorimetrická rovnice: c 1 m 1 (t 1 -t) = c m

Více

MEZINÁRODNÍ AUDITORSKÝ STANDARD ISA 530 VÝBĚR VZORKŮ

MEZINÁRODNÍ AUDITORSKÝ STANDARD ISA 530 VÝBĚR VZORKŮ MEZINÁRODNÍ AUDITORSKÝ STANDARD VÝBĚR VZORKŮ (Účinný pro audity účetních závěrek sestavených za období počínající 15. prosincem 2009 nebo po tomto datu) OBSAH Odstavec Úvod Předmět standardu... 1 2 Datum

Více

a) Základní informace o souboru Statistika: Základní statistika a tabulky: Popisné statistiky: Detaily

a) Základní informace o souboru Statistika: Základní statistika a tabulky: Popisné statistiky: Detaily Testování hypotéz Testování hypotéz jsou klasické statistické úsudky založené na nějakém apriorním předpokladu. Vyslovíme-li předpoklad o hodnotě neznámého parametru nebo o zákonu rozdělení sledované náhodné

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA. Charakteristiky variability. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M4r0120

KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA. Charakteristiky variability. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M4r0120 KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Charakteristiky variability Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M4r0120 CHARAKTERISTIKY VARIABILITY Charakteristika variability se určuje pouze u kvantitativních znaků.

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

TECHNICKÉ ZNALECTVÍ. Metody soudně znalecké analýzy. Prof. Ing. Jan Mareček, DrSc. ÚZPET

TECHNICKÉ ZNALECTVÍ. Metody soudně znalecké analýzy. Prof. Ing. Jan Mareček, DrSc. ÚZPET TECHNICKÉ ZNALECTVÍ Metody soudně znalecké analýzy ÚZPET Prof. Ing. Jan Mareček, DrSc. Osnova tématu 1.Výpočty ve znaleckém posudku 2. Vybrané metody soudně znalecké analýzy 1.Výpočty ve znaleckém posudku

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a

Více

Charakteristiky kategoriálních veličin. Absolutní četnosti (FREQUENCY)

Charakteristiky kategoriálních veličin. Absolutní četnosti (FREQUENCY) Charakteristiky kategoriálních veličin Absolutní četnosti (FREQUENCY) Charakteristiky kategoriálních veličin Relativní četnosti Charakteristiky kategoriálních veličin Relativní četnosti Charakteristiky

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Přednáška 5. Výběrová šetření, Exploratorní analýza

Přednáška 5. Výběrová šetření, Exploratorní analýza Přednáška 5 Výběrová šetření, Exploratorní analýza Pravděpodobnost vs. statistika Výběrová šetření aneb jak získat výběrový soubor Exploratorní statistika aneb jak popsat výběrový soubor Typy proměnných

Více

Semestrální projekt. do předmětu Statistika. Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36. Oponenti: Patrik Novotný 2-36. Jakub Nováček 2-36. Click here to buy 2

Semestrální projekt. do předmětu Statistika. Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36. Oponenti: Patrik Novotný 2-36. Jakub Nováček 2-36. Click here to buy 2 Semestrální projekt do předmětu Statistika Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36 Oponenti: Patrik Novotný 2-36 Jakub Nováček 2-36 Úvod Pro vypracování projektu do předmětu statistika jsem si zvolil průzkum kvality

Více

Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.)

Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.) Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Masarykova univerzita Brno Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.) doc. RNDr. PhMr. Karel

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@niax.cz Pravděodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, tyy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

StatSoft Odkud tak asi je?

StatSoft Odkud tak asi je? StatSoft Odkud tak asi je? Ukážeme si, jak bychom mohli vypočítat pravděpodobnosti, na které jsme se ptali v minulém newsletteru Úkolem bylo zjistit, z kterého kraje nejpravděpodobněji pochází náš výherce

Více

Fyzikální praktikum 1

Fyzikální praktikum 1 Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #9 Základní experimenty akustiky Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 3.11.014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) V domácí přípravě spočítejte,

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení. Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika?

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika? Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika 2012 2013 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hudecova@karlin.mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 11 Název: Dynamická zkouška deformace látek v tlaku

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 11 Název: Dynamická zkouška deformace látek v tlaku Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 11 Název: Dynamická zkouška deformace látek v tlaku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne:. dubna 009 Odevzdal

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A

P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A 04-ŠVP-Matematika-P,S,T,K strana 1 (celkem 11) 1. 9. 2014 P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A Charakteristika předmětu: Matematika vytváří postupným osvojováním matematických pojmů, útvarů, algoritmů a

Více

7) Intervaly konvexnosti a konkávnosti. 8) Inflexe, inflexní body grafu funkce. 9) Asymptoty grafu funkce. 10) Sestrojení grafu funkce.

7) Intervaly konvexnosti a konkávnosti. 8) Inflexe, inflexní body grafu funkce. 9) Asymptoty grafu funkce. 10) Sestrojení grafu funkce. Přednáška č. 12 Vyšetřování průběhu funkce a užití extrémů funkcí Jiří Fišer 11. prosince 2009 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 12 11. prosince 2009 1 / 18 Průběh funkce O vyšetřování

Více

Únosnosti stanovené níže jsou uvedeny na samostatné stránce pro každý profil.

Únosnosti stanovené níže jsou uvedeny na samostatné stránce pro každý profil. Směrnice Obsah Tato část se zabývá polyesterovými a vinylesterovými konstrukčními profily vyztuženými skleněnými vlákny. Profily splňují požadavky na kvalitu dle ČSN EN 13706. GDP KORAL s.r.o. může dodávat

Více

Clemův motor vs. zákon zachování energie

Clemův motor vs. zákon zachování energie Clemův motor vs. zákon zachování energie (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2009 V učebnicích fyziky se traduje, že energii nelze ani získat z ničeho, ani ji zničit, pouze ji lze přeměnit na jiný druh. Z této

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Jaroslav Michálek A STATISTIKA

Jaroslav Michálek A STATISTIKA VUT BRNO FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Jaroslav Michálek PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA BRNO 2006 preprint Kapitola 1 Úvod Prudký rozvoj výpočetní techniky, jehož jsme v posledních desetiletích svědky, podstatně

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Zpracování a vyhodnocování analytických dat

Zpracování a vyhodnocování analytických dat Zpracování a vyhodnocování analytických dat naměřená data Zpracování a statistická analýza dat analytické výsledky Naměř ěřená data jedna hodnota 5,00 mg (bod 1D) navážka, odměřený objem řada dat 15,8;

Více

Sborníky technické harmonizace 2009

Sborníky technické harmonizace 2009 Sborníky technické harmonizace 2009 HOTOVĚ BALENÉ ZBOŽÍ V KOSTCE (aktualizované znění)g. Stanislav Zajíc, Ing. Jindřich Pošvář Ing. Stanislav Zajíc Ing. Jindřich Pošvář Hotově balené zboží v kostce HOTOVĚ

Více

Kapacita. Gaussův zákon elektrostatiky

Kapacita. Gaussův zákon elektrostatiky Kapacita Dosud jsme se zabývali vztahy mezi náboji ve vakuu. Prostředí mezi náboji jsme charakterizovali permitivitou ε a uvedli jsme, že ve vakuu je ε = 8,854.1-1 C.V -1.m -1. V této kapitole se budeme

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Materiály charakteristiky potř ebné pro navrhování

Materiály charakteristiky potř ebné pro navrhování 2 Materiály charakteristiky potřebné pro navrhování 2.1 Úvod Zdivo je vzhledem k velkému množství druhů a tvarů zdicích prvků (cihel, tvárnic) velmi různorodý stavební materiál s rozdílnými užitnými vlastnostmi,

Více

PROPUSTNOST ŽELEZNIČNÍ DOPRAVY

PROPUSTNOST ŽELEZNIČNÍ DOPRAVY PROPUSTNOST ŽELEZNIČNÍ DOPRAVY Studijní opora Ing. Josef Bulíček, Ph.D. 2011 Propustnost železniční dopravy OBSAH SEZNAM SYMBOLŮ A ZNAČEK... 4 1 ZÁKLADNÍ DEFINICE A TERMINOLOGIE... 6 1.1 Charakteristika

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 19.3.2011 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 2 Hodina: Po 7:30 Spolupracovníci: Viktor Polák Hodnocení: Ohniskové vzdálenosti a vady čoček a zvětšení

Více

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech 3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech V předchozích dvou kapitolách jsme zjistili, jak se zobrazují tělesa ve středovém promítání a hlavně v lineární perspektivě, a jak pomocí těchto promítání vytvořit

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI EKONOMICKÁ FAKULTA. VZOR PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY DO NAVAZUJÍCÍHO STUDIA Obor: Manažerská informatika

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI EKONOMICKÁ FAKULTA. VZOR PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY DO NAVAZUJÍCÍHO STUDIA Obor: Manažerská informatika TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI EKONOMICKÁ FAKULTA VZOR PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY DO NAVAZUJÍCÍHO STUDIA Obor: Manažerská informatika UPOZORNĚNÍ: Všechny potřebné výpočty se provádějí do zadání, používání kalkulaček

Více