Termodynamika ideálního plynu

Transkript

1 Přednáška 5 Termodynamika ideálního lynu 5.1 Základní vztahy ro ideální lyn nitřní energie ideálního lynu Alikujme nyní oznatky získané v ředchozím textu na nejjednodužší termodynamickou soustavu ideální lyn. Mezi vlastnostmi ideálního lynu, které se uvádějí v kinetické teorii je, že molekuly ideálního lynu na sebe navzájem silově neůsobí, kromě nekonečně krátkých okamžiků vzájemných srážek. Je li silové ůsobení mezi molekulami ideálního lynu ři libovolné vzdálenosti molekul nulové (kromě srážek), ak také celková otenciální energie molekul lynu bude nulová, bez ohledu na to v jakém objemu je lyn uzavřen. nitřní energie ideálního lynu tedy nebude záviset na jeho objemu, ale ouze na telotě, která jak uvidíme ozději souvisí s kinetickou energií molekul lynu. Protože k tomuto záveru nelze dojít čistě termodynamickými úvahami, zavádí se v termodynamice následující definice ideálního lynu: Definice 17 (Termodynamická definice ideálního lynu) nitřní energie ideálního lynu je ouze funkcí teloty U=U(T) a nezávisí na objemu lynu. Důležitý důsledek této definice, který budeme dále často oužívat lze shrnout do následující věty: 5 1

2 Michal arady Přednáška 5: Termodynamika ideálního lynu ěta 5 Při libovolném termodynamickém ději lze ro změnu vnitřní energie ideálního lynu v souladu s rovnicí (4.6) a definicí molární teelné kaacity sát: U = c vm n dt = c vm n T = c vm n(t 2 T 1 ) [J], (5.1) kde c vm je molární teelná kaacita lynu ři konstantním tlaku, n je látkové množství lynu a T 1, T 2 jsou teloty na začátku a konci uvažovaného termodynamického děje. Poznámka: Hodnota hodnota vnitřní energie soustavy U v daném stavu nemá velký raktický význam, rotože ři raktických alikacích je důležitý ouze řírůstek nebo úbytek vnitřní energie soustavy U Stavová rovnice ideálního lynu Protože termodynamika neumí určit stavovou rovnici ideálního lynu, uvedeme ji zde zatím bez odvození, které necháme do kaitoly věnované kinetické teorii. Bez kinetické teorie bychom museli stavou rovnici ideálního lynu určit exerimentálně. Stavovou rovnicí ideálního lynu nazýváme následující důležitý vztah: = nrt 1 1 T 1 = 2 2 T 2 =... K K T K = Rn, (5.2) kde je tlak, objem, T telota a n látkové množství lynu. R je molární lynová konstanta, která je ro všechny lyny stejná a je R =8, 314Jmol 1 K 1. ztah na ravé straně (5.2) vyjadřuje, že během libovolného vratného termodynamického děje musí být v každém okamžiku součin jeho tlaku a objemu vydělený telotou lynu konstantní Mayerův vzorec S oužitím stavové rovnice ideálního lynu a vztahu ro C C v (4.8) [( ) ]( ) U d C C v = + [JK 1 ], dt T 5 2

3 Základní vztahy ro ideální lyn Michal arady odvod me nyní rozdíl teelných kaacit ideálního lynu ři stálém tlaku a objemu, tedy takzvaný Mayerův vzorec. První člen obecného vztahu ro rozdíl teelných kaacit je ( ) U =0, T rotože vnitřní energie ideálního lynu nezávisí na objemu. Druhý člen na ravé straně je tlak ideálního lynu a oslední derivaci získáme takto ( ) [ ( )] d d nrt = = nr, dt dt kde za jsme dosadili ze stavové rovnice = RnT/ a ři derivování jsme využili skutečnosti, že n, R a 1 jsou konstantní. Dosadíme li nyní jednotlivé výsledky ro ideální lyn do rovnice (4.8) dostaneme: C C v =(0+) nr = nr [JK 1 ], a tedy ro rozdíl molárních teelných kaacit ideálního lynu dostaneme důležitý výsledek, který budeme často oužívat v dalším textu takzvaný Mayerův vzorec. c m c vm = R [Jmol 1 K 1 ], (5.3) Znaménková konvence Dříve než si ukážeme výočet ráce a tela ro několik základních dějů s ideálním lynem, řiomeneme si zvolenou znaménkovou konvenci ro ráci: W>0 otom zkoumaný systém koná ráci na okolních tělesech W<0 otom vnější síly konají ráci na zkoumaném systému, tedy systém ráci řijímá a ro telo: 1 Derivujeme ři konstaním tlaku. 5 3

4 Michal arady Přednáška 5: Termodynamika ideálního lynu Q>0 otom zkoumaný systém (lyn) řijímá telo z okolí Q<0 otom zkoumaný systém telo do okolí odevzdává Počáteční stav systému budeme značit a konečný stav. Budeme li systém sledovat ve více než dvou stavech budeme je značit dalšími čísly v závorkách, v ořadí ve kterém systém jednotlivými sledovanými stavy rochází. 5.2 Děje s ideálními lyny Izochorický děj Izochorický děj robíhá s konstantním množstvím lynu (n = konst) ři konstantním objemu, tedy = konst, d = 0. Uravíme li stavovou rovnici ideálního lynu tak, že všechny konstanty řevedeme na ravou stranu rovnice dostaneme Charlesův zákon ( T = konst = nr ) 1 T 1 = 2 T 2 = = K T K, (5.4) tedy ři izochorickém ději je ve všech stavech kterými lyn rochází oměr tlaku a teloty konstantní. Zobrazíme li izochorický děj v diagramu dostaneme izochoru. Z diagramu je atrné, že ráce vykonaná ři tomto ději je nulová, tedy W = d =0. S ohledem na tuto skutečnost můžeme I. termodynamický zákon ro izochorický děj zasat ve tvaru d Q = du o integraci Q = U = c vm n(t 2 T 1 ), (5.5) tedy telo řijaté či odevzdané lynem ři izochorickém ději je rovno řírůstku či úbytku vnitřní energie lynu. 5 4

5 Děje s ideálními lyny Michal arady Izochora Izobara 2 0 W Obrázek 5.1: Zobrazení izochorického a izobarického děje v diagramu Izobarický děj Izobarický děj robíhá s konstantním množstvím lynu (n = konst) ři konstantním tlaku, tedy = konst, d = 0. Uravíme li stavovou rovnici ideálního lynu odobně jako v ředchozím říadě dostaneme Gay Lussacův zákon T = konst ( = nr ) 1 T 1 = 2 T 2 = = K T K. (5.6) Zobrazíme li izobarický děj v diagramu dostaneme izobaru. Práce vykonaná ři tomto ději je nenulová a je dána vztahem W = d = = ( 2 1 ). Integrací I. termodynamického zákona ro izochorický děj dostaneme vztah ro výočet tela, které lyn řijme nebo odevzdá během děje Q = U + = c vm n(t 2 T 1 )+( 2 1 ). S ohledem na stavovou rovnici ideálního lynu latí ( 2 1 )=Rn(T 2 T 1 ), a tedy vztah ro telo ři izobarickém ději můžeme řesat jako Q = U + =(c vm + R)n(T 2 T 1 )=c m n(t 2 T 1 ), (5.7) 5 5

6 Michal arady Přednáška 5: Termodynamika ideálního lynu 1 Izoterma 1 Adiabata 2 W W Obrázek 5.2: Zobrazení izotermického a adiabatického děje v diagramu. kde jsme využili Mayerův vzorec c m c vm = R. Samozřejmě telo ři izobarickém ději můžeme očítat římočařeji ze vztahu Q = c m n dt = c m n(t 2 T 1 ). (5.8) Je zřejmé, že ohříváme li izobaricky lyn, část dodaného tela se sotřebuje na zvýšení teloty lynu, tedy na nárůst vnitřní energie a část na konání ráce Izotermický děj Izotermický děj robíhá s konstantním množstvím lynu (n = konst) ři konstantní telotě, tedy T = konst, dt = 0. Ze stavové rovnice ideálního lynu ihned dostaneme Boyle Marriotteův zákon = konst (= nrt ) 1 1 = 2 2 = = K K. (5.9) Zobrazíme li izotermický dějv diagramu dostaneme izotermu. Matematicky se jedná o rovnoosou hyerbolu. Práce vykonaná ři tomto ději je nenulová a je dána vztahem W = d = RnT d = RnT ln

7 Děje s ideálními lyny Michal arady Protože dt =0 T =0, je odle vztahu (5.1) také U =0a I. termodynamický zákon můžeme sát ve tvaru d Q = d W o integraci Q = W, (5.10) tedy veškeré telo dodané či odevzdané lynem se řemění na ráci vykonanou lynem nebo vnějšími silami Adiabatický děj Adiabatický děj je děj který robíhá s konstantním množstvím lynu (n = konst) ři němž zároveň nedochází k teelné výměně, tedy dq =0, Q =0. ztahy mezi jednotlivými stavovými veličinami jsou dány Poissonovým zákonem κ = konst 1 κ 1 = 2 κ 2 = = K κ K, (5.11) kde Poissonova konstanta κ je rovna odílu teelných kaacit lynu ři stálém tlaku a objemu κ = C C v = c m c vm, κ > 1 (5.12) a je tedy vždy větší než jedna. Odvození Poissonova zákona není tak triviální jako v ředchozích říadech, roto ho necháme do studia termodynamiky. Abychom dostali Poissonův zákon ve stavových roměnných T a P T oužijeme stavovou rovnici ideálního lynu (říadně stavovou rovnici umocněnou na κ) a vydělíme jí Poissonův zákon ve stavových roměnných.tím dostaneme κ 1 T = konst 1 κ T κ = konst. (5.13) Zobrazíme li adiabatický děj v diagramu dostaneme adiabatu. Adiabata je odobná izotermě, ale díky tomu, že objem je umocněn na κ klesá rychleji. Práce vykonaná či řijatá lynem ři tomto ději lze určit bud římou integrací Poissonova zákona nebo jednodušeji z I. termodynamického zákona. zhledem k tomu, že Q =0latí W = U = c vm n(t 2 T 1 ). (5.14) Při adiabatickém ději se tedy ráce koná výhradně na úkor vnitřní energie. 5 7

8 Michal arady Přednáška 5: Termodynamika ideálního lynu 0 Obrázek 5.3: Množina olytro leží v diagramu v rostoru mezi izotermou a adiabatou. Adiabata klesá rychleji než izoterma Polytroický děj Zatímco ři adiabatickém ději ředokládáme dokonalou teelnou izolaci lynu od okolí aby nedocházelo k teelné výměně, ři izotermickém naoak ředokládáme dokonalý styk lynu s ohřívačem nebo chladičem. U reálných dějů, je rakticky nemožné obě tyto krajní alternativy realizovat a ulatňují se takzvané děje olytroické, ři nichž dochází k omezené teelné výměně s okolím lynu. Tuto teelnou výměnu lze charakterizovat teelnou kaacitou C o níž ři olytroických dějích ředokládáme že je konstantní, tedy C = konst (také množství lynu je během děje konstantní n = konst). Relace mezi jednotlivými stavovými veličinami jsou dány vztahem odobným Poissonovu zákonu γ = konst 1 γ 1 = 2 γ 2 = = K γ K, (5.15) kde konstanta γ je rovna γ = C C C v C, kde γ (1,κ). (5.16) 5 8

9 Děje s ideálními lyny Michal arady Odvození výše uvedených vztahů oět necháme do studia termodynamiky. Souvislost mezi stavovými roměnnými T a P T dostaneme obdobně jako ři ději adiabatickém γ 1 T = konst 1 γ T γ = konst. (5.17) e shodě s ředešlým výkladem je vidět, že ro C 0 řechází děj olytroický v adiabatický, rotože s nulovou teelnou kaacitou systému je i telo ři teelné výměně nulové, kdežto ro C, tedy ři dokonalé teelné výměně, je γ = 1 a dostáváme Boyle Marriotteův zákon a tedy izotermický děj. Zobrazíme li olytroický děj v diagramu dostaneme olytrou. zhledem ke vztahům (5.15), (5.16) množina olytro leží mezi izotermou a adiabatou ro daný lyn. Práci vykonanou či řijatou lynem ři tomto ději určíme římou integrací rovnice (5.15) W = d = konst γ d, (5.18) kde konstantou je součin tlaku a objemu umocněného na γ v libovolném okamžiku v růběhu olytroického děje. Telo řijaté nebo odevzdané lynem ři olytroickém ději dostaneme z I. termodynamického zákona Q = U + W = c vm n(t 2 T 1 )+W. (5.19) 5 9

10 Michal arady Přednáška 5: Termodynamika ideálního lynu 5 10