Fourierovy řady. EO2 Přednáška 1. X31EO2 - Pavel Máša - Fourierovy řady. X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1

Transkript

1 Fourierovy řady EO2 Přednáška Pavel Máša

2 Filtr RLC defibrilátor MOTIVACE CO ZATÍM NEUMÍME VYSVĚTLIT Napětí zdroje obdélníkový časový průběh Napětí na rezistoru harmonický časový průběh

3 MOTIVACE MATEMATICKÁ ZÁKLADNÍ FYZIKÁLNÍ POPIS, TRANSFORMACE Fyzikální podstatu základních pasivních prvků elektrického obvodu popisují integro diferenciální rovnice Univerzální matematický popis Poměrně komplikované řešení zjednodušení pomocí transformace Co rozumíme transformací? Nahrazení složitějších matematických operací (zde integrálů a derivací) jednoduššími

4 Jaké transformace již známe? SUS jedná se o specielní případ, neboť proud i napětí jsou konstantní, a derivace konstanty je nulová Kapacitor: při libovolném napětí je protékající proud nulový nahradíme ho rozpojeným obvodem Induktor: při libovolném proudu je napětí nulové induktor nahradíme zkratem HUS buzení sinusovými průběhy Co rozhoduje při volbě transformace? Časový průběh napětí / proudu! fázory

5 Co zatím neumíme? Periodické ale neharmonické průběhy Osamocené impulsy Popsat, co se děje při zapnutí / vypnutí obvodu Musíme do analýzy elektrických obvodů zavést nové matematické prostředky a transformace, které to umožní Fourierovy řady (nejsou skutečnou transformací, ale z ní lze odvodit Fourierovu transformaci; periodické neharmonické průběhy) Fourierova transformace (pouze neharmonické impulsy) Laplaceova transformace (univerzální, všechny časové průběhy, včetně dějů při zapnutí / vypnutí obvodu)

6 HARMONICKÁ SYNTÉZA Pokud obvod může změnit obdélníkový průběh na harmonický, logicky se nabízí, že obdélníkový průběh musí tuto sinusovku obsahovat Nejdříve zkusíme opačný postup co se stane, pokud sečteme několik sinusovek dohromady?. Stejná frekvence pokud sečteme 2 sinusovky se stejnou frekvencí, změní se amplituda, fáze, ale nezmění se tvar v časové oblasti kde sin(6.28 t) + 5 cos(6.28 t) nebo s pomocí fázorů

7 2. Různé frekvence součet není harmonickou funkcí, může být periodický, ale nemusí platí společná perioda příklad: T =.4 s -, T 2 =.6 s - T = 3.4 = 2.6 =.2 s - zvláštní případ: mějme určitou frekvenci ω, všechny ostatní frekvence jsou celočíselným násobkem, ω = kω k = T/2 T 3T/2 2T 5T/2 3T T/2 T 3T/2 2T 5T/2 3T Periodickou funkci můžeme (za splnění určitých podmínek) rozvinout v řadu harmonických funkcí k = 3

8 FOURIEROVY ŘADY Rozvoj harmonických funkcí v řadu můžeme zapsat spektrální tvar Jak určit koeficienty řady? Přímo to nelze trigonometrický tvar ω základní harmonická kω vyšší harmonické Je matematická střední hodnota (stejnosměrná složka) Jak ale určit a k, b k? odbočka ortogonalita

9 Pravoúhlost původně, v geometrii kolmost, zobecněno na vektorové prostory (dva vektory jsou ortogonální, pokud jejich skalární součin je nulový, a na funkce Funkce jsou ortogonální, pokud je splněna podmínka Nás zajímají funkce sinus a kosinus jsou to ortogonální funkce?. Násobení konstantou 2. Funkce sin ORTOGONALITA Funkce cos

10 4. Sin a cos Komplexní exponencielní funkce (fázor) Víme, co je to ortogonalita jak nám to pomůže při výpočtu koeficientů Fourierovy řady? Periodickou funkci aproximujeme řadou Pokud tuto řadu vynásobíme funkcí sin lω t a integrujeme přes periodu, pak, díky ortogonálním vlastnostem funkcí sin a cos vynulujeme všechny členy řady, kromě l té harmonické, tedy koeficientu b l. Obdobně, násobením funkcí cos lω t a integrací přes periodu získáme koeficienty a l.

11 KOEFICIENTY FOURIEROVY ŘADY Stejnosměrná složka Kosinové členy Sinové členy Spektrální tvar Nutno normovat výsledek integrování, viz ortogonalita, je Podmínky existence Fourierovy řady Dirichletovy podmínky:. funkce f(t) je v průběhu jedné periody omezená 2. funkce má konečně mnoho extrémů a bodů nespojitosti. druhu

12 Zatímco výše je uveden spektrální tvar, SIN, NEBO COS? V učebnici je uveden amplitudový tvar Jaký je mezi nimi rozdíl? Jde o rozdílnou definici fázoru Výpočty jsou naprosto ekvivalentní, vzhledem k tomu, že cos je fázově posunutý sin ale zatímco

13 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI VÝPOČET Sudá funkce může obsahovat pouze sudé členy: cos Lichá funkce může obsahovat pouze liché členy: sin Antiperiodická funkce má pouze liché koeficienty Pokud lze periodu funkce rozdělit na několik (2, 4) částí se stejnou plochou, můžeme koeficienty počítat pouze na jedné části periody (musíme ale odpovídajícím způsobem upravit normování) obdélník, trojúhelník,... Fourierova řada je aproximací, časový průběh nemusí být identický s originálem Gibbsův jev v bodech nespojitosti dochází při libovolném počtu harmonických k překmitu oproti původní funkci o 8.95 %, s rostoucím počtem harmonických pouze klesá šířka překmitu 2.5 k = T/2 T 3T/2 2T 5T/2 3T.5 k = 25 2 k = 5.5 T/2 T 3T/2 2T 5T/2 3T.5 T/2 T 3T/2 2T 5T/2 3T

14 Sudá, nebo lichá? Matematická podmínka: Lichá funkce Sudá funkce Antiperiodická funkce Zde platí, že u(t) = u(-t) funkce je sudá, rozvoj tedy obsahuje pouze kosinové členy a stejnosměrnou složku Zde ale u(t) -u(-t) funkce dle definice není ani sudá, ani lichá, přesto rozvoj obsahuje pouze sinové členy a stejnosměrnou složku V obou případech navíc rozvoj obsahuje pouze liché členy, ačkoliv funkce nesplňují podmínku antiperiodické funkce Před rozhodnutím, zda je funkce lichá / antiperiodická je nutné funkci usměrnit odečíst stejnosměrnou složku

15 FÁZOROVÁ REPREZENTACE Není dalším tvarem Fourierovy řady, je úpravou spektrálního tvaru S jednotlivými fázory B mk pak můžeme počítat při analýze obvodů samostatně Souvislost s trigonometrickým tvarem

16 Najít aproximaci funkce Fourierovou řadou ve fázorové reprezentaci je stále poměrně pracné je možné postup zjednodušit? Je možné reálnou funkci nahradit komplexní funkcí? Eulerův vzorec KOMPLEXNÍ TVAR FOURIEROVY ŘADY Funkci cos lze reprezentovat dvěma proti sobě se otáčejícími fázory poloviční velikosti Čárové spektrum

17 Stejně tak i funkci sin lze reprezentovat dvěma proti sobě se otáčejícími fázory poloviční velikosti, které jsou oproti funkci cos posunuty o 9 To ale není reálná funkce? Fázor, součást koeficientů budoucího komplexního tvaru řady

18 S využitím funkce sin, vyjádřené ze dvou proti sobě rotujících fázorů nyní vyjádříme spektrální tvar Fourierovy řady Zde máme definovaný vztah mezi koeficienty trigonometrického a komplexního tvaru řady X f(t) = k= A k e jk! t A k = T Z T f(t)e jk! t dt Pozor na sumační meze Koeficienty jsou nyní fázory, A je stejnosměrná složka

19 PŘÍKLAD u(t) [V] 3 Najděte Fourierův rozvoj obdélníkového časového průběhu na obrázku. Perioda T =. s. Stejnosměrná složka Po odečtení stejnosměrné složky dostaneme funkci lichou antiperiodickou t [s] T Sinové koeficienty funkce má stejnou plochu nad i pod osou stačí počítat pouze v první půlperiodě Výsledná řada

20 ČÁROVÉ SPEKTRUM a k b k Koeficienty řady vynášíme jako body, zvýrazněné svislou čarou na ose x jsou vyneseny indexy k na ose y je vynesena amplituda koeficientů (nultý) koeficient a je stejnosměrná složka hovoříme o diskrétním spektru harmonické mají pouze určité frekvence

21 Fourierův rozvoj v komplexním tvaru pro uvedený obdélníkový průběh bude Stejnosměrná složka Koeficienty, vyjádřené z trigonometrického tvaru Fourierova řada

22 POSUN V ČASE a k.7 A k b k arg(a k ) A k posun v čase znamená otočení všech fázorů o různý úhel různá rychlost otáčení!!!

23 VLASTNOSTI Linearita Časová reverse Posunutí v čase Změna časového měřítka Derivace Integrál modulace

24 Nyní již umíme vysvětlit první motivační příklad Obdélníkový průběh lichý, U m = V, T =.25 ms Víme, že obdélníkový průběh napětí zdroje můžeme aproximovat řadou resp. ZPĚT K MOTIVAČNÍMU PŘÍKLADU Napětí na rezistoru můžeme v HUS vyjádřit Napětí musíme počítat pro každou harmonickou samostatně!!! k = 5.7 menší k = menší k = menší Amplituda napětí na rezistoru rychle klesá významná je první harmonická Co se stane, pokud zmenšíme / zvětšíme periodu?

25 Přechodný děj Detail časového průběhu Zvětšeno v ose y!!!

26 Frekvenční charakteristika filtru