jklzxcvbnmqwertyuiop dfghjklzxcvbnmqwerty iopasdfghjklzxcvbnmqw tyuiopasdfghjklzxcvbn

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "jklzxcvbnmqwertyuiop dfghjklzxcvbnmqwerty iopasdfghjklzxcvbnmqw tyuiopasdfghjklzxcvbn"

Transkript

1 qwertyuiopasdfghjklzxc nmqwertyuiopasdfghjk xcvbnmqwertyuiopasdf Mikroekonomická jklzxcvbnmqwertyuiop analýza dfghjklzxcvbnmqwerty Jindřich Soukup iopasdfghjklzxcvbnmqw 2012 tyuiopasdfghjklzxcvbn qwertyuiopasdfghjklzxc nmqwertyuiopasdfghjk xcvbnmqwertyuiopasdf jklzxcvbnmqwertyuiop dfghjklzxcvbnmqwerty iopasdfghjklzxcvbnmqw

2 E-knihy M I K R O E K O N O M I C K Á A N A L Ý Z A Jindřich Soukup 2012

3 Vydalo nakladatelství a vydavatelství E-knihy V roce 2012, vydání čtvrté, v nakladatelství a vydavatelství E-knihy první Sazba: E-knihy Informace pro čtenáře: velikost publikace je znaků včetně mezer, což odpovídá 282,8 normovaným stranám textu. Kromě textu publikace obsahuje dále 79 grafů a 10 tabulek. Součástí publikace je rejstřík a seznam literatury. Recenze: Ing. Tomáš Pavelka, Ph.D. Jindřich Soukup, 1999, 2001, 2003, 2012 Edition Melandrium, Slaný 1999, 2001, 2003 Edition Ecola, Praha 2012 ISBN (online: mobi) ISBN (online: e-pub) ISBN (online: pdf)

4 OBSAH Předmluva ODDÍL I. ANALÝZA POPTÁVKY Kapitola 1 Od maximalizace užitku k poptávce 7 Kapitola 2 Od minimalizace výdajů k poptávce 20 Kapitola 3 Další přístupy k teorii spotřebitele 33 ODDÍL II. ANALÝZA NABÍDKY Kapitola 4 Volba optimální technologie 51 Kapitola 5 Minimalizace nákladů 62 Kapitola 6 Maximalizace zisku 73 Kapitola 7 Tvorba cen více komodit jednou firmou 84 Kapitola 8 Alternativní teorie firmy 100 ODDÍL III. TRŽNÍ ROVNOVÁHA A TRŽNÍ SELHÁNÍ Kapitola 9 Dílčí konkurenční rovnováha 115 Kapitola 10 Množstevní konkurence v modelech duopolu 128 Kapitola 11 Cenová konkurence v modelech duopolu 140 Kapitola 12 Externality 149 Kapitola 13 Veřejné statky 165 ODDÍL IV. VŠEOBECNÁ ROVNOVÁHA A EKONOMIE BLAHOBYTU Kapitola 14 Všeobecná rovnováha 182 Kapitola 15 Všeobecná rovnováha z pohledu ekonomie blahobytu 199 ODDÍL V. EKONOMIE INFORMACÍ Kapitola 16 Nepříznivý výběr 217 Kapitola 17 Morální hazard a možná řešení problému asymetrické informace 229 Dodatek 242 Řešení optimalizačních úloh 242 Literatura 243

5 Předmluva Výuka mikroekonomie je na ekonomických fakultách zemí Evropské unie obvykle organizována ve třech kursech. Dva kursy, základní a pokračovací, jsou součástí bakalářského studia. Třetí, pokročilý kurs mikroekonomie, se vyučuje standardně v magisterském studiu. Učebnici, kterou jste právě otevřeli, obsahuje problematiku, jenž se v převážné míře objevuje v pokročilých kursech. Jako základní literatura se v anglosaském světě používají k výuce pokročilého kursu mikroekonomie učebnice Mikroekonomie H. Gravella nebo R. Reese, Mikroekonomická teorie A. Mass-Collela a M. D. Whinstona, Krepsův Kurs mikroekonomické teorie nebo Varianova Mikroekonomická analýza. Přitom jde o velice podrobné a rozsáhlé učebnice; délka jejich často velice formalizovaného textu se pohybuje od 500 až k 1000 stranám. I když byl Gravellův a Reesův text přeložen do českého jazyka již před řadou let, dosud žádné nakladatelství standardní učebnici pokročilé mikroekonomické analýzy nevydalo. Přetrvává tak dluhodobě určitá mezera na trhu odborné ekonomické literatury, kterou se pokouší tato učebnice alespoň částečně zacelit. Výklad se v učebnici soustřeďuje na problematiku dokonale konkurenčních trhů. Čtenář nalezne ve třech kapitolách prvního oddílu analýzu poptávky, ve druhém oddílu pak rozbor nabídkové strany tržního mechanismu. Lze se přitom seznámit jak se klasickým výkladem problematiky, tak i s alternativními přístupy k poptávce i nabídce. Třetí oddíl učebnice je věnován otázkám dílčí konkurenční rovnováhy a tržních selhání (tj. nedokonalé konkurenci, externalitám a veřejným statkům). Kniha je zakončena dvěma kapitolami čtvrtého oddílu, které jsou věnovány problematice analýze všeobecné rovnováhy a ekonomii blahobytu. Učebnice navazuje na vydání z let 1999, 2001 a 2003, která vyšla péčí nakladatelství Melandrium. Učebnice obsahuje již osvědčený pomocný aparát s cílem usnadnit studentovi práci s textem. Na konci každé kapitoly je uveden přehled klíčových pojmů a shrnutí látky, která se v ní nově vykládá. Dále je zde uvedeno vždy několik úkolů a příkladů včetně jejich výsledků. Student by měl nalézt vyhovující cestu od zadání k výsledku úlohy a ověřit si tak, zda správně pochopil látku příslušné kapitoly. Kniha může pomoci i zájemcům o další, podrobnější studium mikroekonomie. Za každou její kapitolou čtenář nalezne reference na další literaturu, která se zabývá řešenou problematikou. Odkazy tak v sobě skrývají možnost přístupu k mnoha dalším studijním pramenům, neboť v referencích uvedení autoři uvádějí odvolávky na další rozsáhlou odbornou literaturu, která se týká zkoumané problematiky. Na zvolené úrovni výkladu nebylo možné se vyhnout formalizovanému řešení některých problémů. Čtenář proto nalezne v učebnici dodatek, který uvádí přehled základního matematického aparátu, jehož znalost je potřebná k pohodlnému čtení mikroekonomického textu. Pro čtenáře bude výhodné, jestliže před vlastním studiem mikroekonomických problémů nahlédne do tohoto dodatku a bude s ním konfrontovat své matematické znalosti.

6 I tak se však předpokládá, že čtenář již získal znalosti na úrovni středně pokročilého kursu mikroekonomie. Aby byla tato návaznost zdůrazněna, jsou uváděny na řadě míst této knihy odkazy na učebnici Hořejší, B. - Soukupová, J. - Macáková, L. - Soukup, J.: Mikroekonomie, jenž pokrývá látku středně pokročilého kursu. Odborný text je vždy živým textem v tom smyslu, že jej lze neustále zlepšovat na základě interakce čtenářů s autorem, resp. studentů s učitelem. Autor bude proto vděčný za zaslání připomínek a námětů na připojenou elektronickou adresu. Na závěr nezbývá nic jiného, než si přát, aby čas, který autor věnoval přípravě této učebnice, umožnil efektivnější studium mikroekonomie jejím čtenářům. Jindřich Soukup P.S. Mé poděkování za pomoc při přípravě učebního textu patří Janu Coufalovi z katedry matematiky VŠE v Praze za vypracování matematického dodatku a zejména pak mé manželce Janě Soukupové za odbornou pomoc a diskuse při přípravě samotné mikroekonomické problematiky. Praha, říjen 2000 Předmluva k 1. elektronickému ( celkem 4. vydání) Když autor psal v roce 2000 svou předmluvu k prvnímu vydání této knihy, netušil, jak rychle se budou rozvíjet elektronická média a jak je budou čtenáři široce využívat. Před 10 let nebyly notebooky, tablety či čtečky elektronických knih naprosto běžné jako dnes či vůbec neexistovaly. V reakci na jejich rozvoj vzniklo tato první elektronická verze učebnice mikroekonomie. Je zpracována tak, aby si ji mohli čtenáři bez poblému stáhnout do svých přístrojů, od chytrých telefonů po notebooky. Zvolená forma publikace dovoluje, aby se díky ní stal odborný text naprosto interaktivním (či slovy prvního vydání živým ) a mohl být průběžně vylepšován na základě komunikace čtenářů s autorem, resp. studentů s učitelem. Autor bude proto vděčný za zaslání připomínek a námětů na připojenou elektronickou adresu a zcela určitě je bude průběžně promítat do textu učebnice. Jindřich Soukup

7 ODDÍL I. ANALÝZA POPTÁVKY Kapitola 1 Od maximalizace užitku k poptávce V kapitole se budeme zabývat otázkou, za jakých podmínek lze nalézt jediné řešení problému spotřebitele, který maximalizuje svůj užitek. Z optima spotřebitele odvodíme soustavu Marshallových individuálních poptávek. 1.1 Existence jediného řešení Model, který se zabývá optimalizačním problémem, tvoří dvě složky: cílová (kriteriální, účelová) funkce a množina přípustných řešení. Při formulaci optimalizačního problému musíme nejdříve vymezit účelovou funkci. Funkce se skládá ze závisle proměnné, která představuje objekt maximalizace či minimalizace, a z množiny nezávisle proměnných, která označuje objekty, jejichž velikost může ekonomický subjekt volit s ohledem na optimalizaci. Někdy se proto nezávisle proměnné označují jako volitelné. Množina přípustných řešení zahrnuje všechny alternativy, které jsou dostupné subjektu při jeho rozhodování. Podmínky, za nichž lze nalézt řešení optimalizačního problému, vymezují učebnice matematiky viz např. učebnici [5, s. 206]. Pro naše potřeby je proto pouze vyjmenujeme. Řešení existuje, pokud: * účelová funkce je spojitá, * množina přípustných řešení je a) neprázdná, b) uzavřená, c) ohraničená. Pokud řešení existuje, je možné si však položit otázku, zda uvedené řešení je lokálním nebo globálním extrémem. Lokální extrém je současně extrémem globálním, pokud: * účelová funkce je kvasikonkávní, * množina přípustných je řešení je konvexní. Přitom lokální extrém se může stát globálním extrémem, i když uvedené podmínky nejsou splněny. Opět pouze uvádíme požadavky, které jsou kladené na globální extrém, a ponecháme na čtenáři, aby se v případě potřeby podrobnějšího výkladu vrátil k učebnicím matematiky, např. k [6, s. 244]. Mohou však existovat funkce, které mají více globálních extrémů. Zformulujeme nyní podmínky, za nichž lze nalézt jediné řešení optimalizačního problému. Opět pouze tyto podmínky vyjmenujeme a pro potřeby podrobnějšího výkladu se odvoláme na již uvedené učebnice matematiky. Jediné řešení lze nalézt, pokud * je buď účelová funkce ryze kvasikonkávní, * nebo je množina přípustných řešení ryze konvexní, * nebo platí obojí současně. Pro potřeby ekonomického výkladu je třeba si dále uvědomit, že ryze kvasikonkávní funkce vykazuje ryze konvexní vrstevnice funkce. Vrstevnice

8 funkce chápeme jako množinu hodnot nezávisle proměnných příslušné funkce, kterým odpovídá konstantní hodnota závisle proměnné. 1.2 Preference spotřebitele a funkce užitku V předcházejícím bodě jsme vymezili matematické podmínky, za nichž lze nalézt jediné řešení optimalizačního problému. Předmětem našeho zájmu je však analýza chování spotřebitele a poptávky. V dalším kroku výkladu proto zformulujeme předpoklady, kterým musí chování spotřebitele vyhovovat, abychom mohli nalézt jediný (a optimální) koš statků, který bude spotřebitel nakupovat. Budeme se tudíž zabývat axiómy chování spotřebitele. 1. Úplnost srovnání Označme spotřební koše vektory A, B, C, D atd. Každý z těchto košů se skládá z určitého množství statků x i pro = 1,..., n, kde n udává počet statků, které koš obsahuje. Pro jednoduchost také předpokládáme, že není možné, aby množství spotřebovávaných statků, které obsahují jednotlivé koše, bylo záporné (Xi 0 pro všechna i). Axióm úplnosti srovnání lze potom zformulovat takto: pro každou dvojici technicky přípustných spotřebních košů, označených vektory A a B, musí být pravdivé jedno a právě jedno z následujících tvrzení: A se preferuje před B B se preferuje před A A a B jsou stejně žádoucí Axióm tudíž předpokládá, že spotřebitel je schopen porovnat kterékoliv dostupné dva koše statků. 2. Tranzitivita Pro kteroukoliv trojici technicky dostupných spotřebních košů, označených vektory A, B a C, musí platit: pokud spotřebitel preferuje A před B a B preferuje před C, potom musí preferovat také A před C. Axióm tranzitivity zajišťuje, že se indiferenční křivky jednoho racionálního spotřebitele neprotínají. 3. Reflexivita Pro kterýkoliv spotřební koš (např. pro koš A) platí: A A, tj. koš A má vyšší nebo stejný užitek jako on sám. Jde o matematickou podmínku pro existenci funkce užitku, která je však zjevně triviální. Uvedené tři axiómy umožňují uspořádat preference. Pokud předpokládáme např. existenci čtyř košů, může je některý spotřebitel uspořádat do pořadí A = B > C > D. To však zatím neznamená, že jsme schopni přiřadit takto uspořádaným preferencím funkci užitku. Příkladem preferencí, které vyhovují

9 uvedeným třem axiómům, a přesto nemají odpovídající funkci užitku, jsou tzv. lexikografické preference. Lexikografické preference V případě lexikografických preferencí jsou spotřební koše uspořádané způsobem, který připomíná uspořádání hesel ve slovníku (lexikonu). Ve slovníku má kterékoliv heslo, jehož název začíná písmenem D, přednost před heslem začínajícím na E, bez ohledu na to, které písmeno po písmenu D následuje. Teprve v případě, že máme dvě hesla, která začínají na D, rozhoduje druhé písmeno v názvu hesla o jejich pořadí. Obdobně mohou být uspořádány preference spotřebitele. Předpokládejme, že se spotřební koše skládají ze dvou statků X a Y. Pokud určitý koš obsahuje více statku X než jiné koše, potom jej spotřebitel preferuje před ostatními koši, bez ohledu na to, kolik koše obsahují statku Y. Teprve v případě, jestliže koše obsahují stejný objem statku X, bude spotřebitel preferovat ten koš, který obsahuje více komodity Y. V případě lexikografických preferencí každou indiferenční křivku tvoří jediný bod. K vysvětlení použijeme graf 1-1. Zvolme si libovolný koš komodit A = [x 1, y 1 ]. Koše statků X a Y, kterým odpovídají body v ploše označené AA (včetně plné čáry), spotřebitel preferuje před košem A, protože body vpravo od plné čáry obsahují více statku X a body na plné čáře sice obsahují stejné množství statku X jako koš A, ale zahrnují více statku Y než koš A. Spotřebitel naproti tomu preferuje koš A proti všem košům komodit X a Y, které zobrazuje plocha BB (včetně čárkované čáry), neboť koš A obsahuje více zboží X než koše vlevo od čárkované čáry a body na čárkované čáře sice obsahují stejné množství statku X jako koš A, ale zahrnují méně statku Y. Platí tudíž, že spotřebitel preferuje všechny koše AA před košem A a koš A před všemi koši BB. Neexistují tudíž koše, které jsou indiferentní ke koši A. Indiferenční množina se skládá z jediného bodu. Při výkladu jsme vycházeli z libovolně určeného bodu; stejné tvrzení platí tudíž i pro všechny ostatní body: každá indiferenční množina se skládá z jediného bodu. Nelze proto získat spojitou funkci užitku, i když lexikografické preference vyhovují všem dosud uvedeným axiómům chování spotřebitele.. Náš výklad musíme proto rozšířit o další axióm chování spotřebitele, o axióm spojitosti. Graf 1-1 Lexikografické preference

10 4. Spojitost Nový axióm předpokládá, že spotřebitel požaduje zvýšení spotřeby statku Y při libovolně malém snížení spotřeby statku X. Tento předpoklad nám zajistí, že účelová funkce je spojitá. Funkce užitku Teprve uvedené čtyři axiómy jsou dostatečnou podmínkou pro to, abychom mohli vyjádřit uspořádané preference spotřebitele pomocí funkce užitku. Funkci užitku získáme z uspořádaných preferencí podle jednoduchého pravidla: * přiřadíme stejné reálné číslo všem košům statků, které jsou pro spotřebitele stejně žádoucí, * pokud preferuje spotřebitel jeden koš před druhým košem, přiřadíme více preferovanému koši vyšší reálné číslo. Stejnou skutečnost můžeme vyjádřit formálně jako: u (A) > u (B) pokud a jenom pokud A je preferováno proti B u (A) = u (B) pokud a jenom pokud A je stejně významné s B Funkce užitku odráží uspořádaní jednotlivých spotřebních košů, jde proto o ordinální funkci. Významné je znaménko (ne)rovnosti, nikoliv vlastní velikost změny číselné hodnoty mezi dvěma koši. Protože můžeme přiřadit v podstatě libovolné číselné hodnoty (vyhovující uvedenému pravidlu), můžeme pro uspořádané preference

11 vytvořit nekonečně mnoho funkcí užitku. 1 Následující tabulka uvádí 3 příklady, kdy 4 košům uspořádaným do pořadí A = B > C > D jsou přiřazeny tři odlišné číselné řady a tudíž funkce užitku. Každý koš se přitom skládá z různého množství dvou komodit, X a Y. Tabulka 1-1 Různé funkce užitku lze přiřadit stejným preferencím Koš Komodity Funkce užitku X Y U = XY V = XY + 3 W = X 3 Y 3 A B C D Z funkce užitku odvodíme její vrstevnici. V teorii spotřebitele známe vrstevnice funkce užitku pod názvem indiferenční křivky 2. Existence funkce užitku nám ještě nezajišťuje, že lze nalézt jediné řešení při hledání optima spotřebitele, který maximalizuje užitek. Naše předpoklady o chování spotřebitele musíme proto rozšířit o další dva axiómy. 5. Axióm nepřesycení (dominace) Nechť máme dva spotřební koše (A a B) a nechť se každý z těchto košů skládá z určitého množství dvou statků: A = (x 0,y 0 ) a B = (x 1,y 1 ). Spotřebitel bude preferovat koš A před košem B, pokud platí: buď: x 0 > x 1 a zároveň y 0 y 1 nebo: y 0 > y 1 a zároveň x 0 x 1 Axióm vylučuje existenci statků s negativními preferencemi viz [1, s. 58]. Axióm nepřesycení dále zajišťuje, že indiferenční křivky mají zápornou směrnici a že v grafickém zobrazení nejsou indiferenční křivky širší ("tlustší") než jeden bod. 6. Preference průměru před extrémy Předpokládáme, že racionální spotřebitel preferuje ve své spotřebě kombinace různých komodit před spotřebou, kdy je zastoupen ve značném rozsahu (nebo dokonce výlučně) pouze jeden statek. Např. spotřebitel dává přednost denní spotřebě dvou šálků kávy a 2 kostek cukru před spotřebou pouze 4 kostek cukru. 1 2 Vzájemnou transformaci jednotlivých funkcí užitku lze provádět pomocí pozitivní monotónní transformace funkce. Její popis a vliv na mezní míru substituce ve spotřebě - viz např. [3], s. 56. Mezní míře substituce ve spotřebě MRS C odpovídá směrnice indiferenční křivky. Analýzou MRS C se zde nebudeme zabývat - lze ji nalézt např. v učebnici [1, s. 56]

12 Preference průměru před extrémy zajišťuje ryze konvexní tvar indiferenčních křivek. Toto tvrzení lze vyjádřit i formálně. Pro každé dva koše A a B, které přinášejí spotřebiteli stejný užitek u, platí: U [t A + (1 - t) B] > u (A) + u (B) pro kterékoliv t (0 < t < 1). Připomeňme si naše matematické znalosti: ryze konvexní indiferenční křivky (tj. vrstevnice funkce užitku) souvisejí s ryze kvasikonkávní funkcí užitku. Shrneme si náš dosavadní výklad. Existence uvedených axiómů o chování spotřebitele je ekvivalentní s existencí kvasikonkávní funkce užitku. Z hlediska účelové funkce lze tudíž jediné řešení nalézt. Je však nutné provést ještě analýzu množiny přípustných řešení. 1.3 Množina spotřebních možností Množina přípustných řešení vystupuje v teorii spotřebitele jako množina spotřebních možností. Definujeme ji za předpokladu, že spotřebitel nakupuje pouze dva statky (X a Y) za ceny P X a P Y vyšší než nula a při určitém příjmu I. Množinu vymezíme pomocí podmínek nezápornosti a rozpočtového omezení. Předpokládáme, že spotřeba komodit je nezáporná, tj. že X 0 a také Y 0. Rozpočtové omezení má potom tvar P X X + P Y Y I. Připomeňme si, že množina přípustných řešení musí být neprázdná, omezená, uzavřená a konvexní, abychom našli řešení našeho optimalizačního problému. Díky podmínkám nezápornosti je množina spotřebních možností neprázdná; i když spotřebitel nic nekoupí, nacházíme se v grafu v bodě (0,0), který je součástí množiny spotřebních možností. Množina spotřebních možností je omezená: zespodu podmínkami nezápornosti a seshora rozpočtovým omezením. Stejně tak je množina spotřebních možností uzavřená: kterýkoliv koš na rozpočtovém omezení nebo na odpovídající části jedné z obou os je dostupný. Množina spotřebních možností je konvexní. Spojíme-li přímkou kterékoliv dva koše statků, které jsou součástí množiny, leží tato přímka buď uvnitř množiny spotřebních možností nebo na některé její hranici. Spojnice dvou košů může ležet na hranici množiny spotřebních možností. Množina je tudíž konvexní, není však ryze konvexní. Díky axiómům o chování spotřebitele víme, že funkce užitku je ryze kvasikonkávní. Není tudíž nutné, aby množina spotřebních možností byla ryze konvexní, abychom získali jediné globální optimum. Dostatečnou podmínkou je konvexnost množiny. 1.4 Optimum spotřebitele maximalizujícího užitek Spotřebitel maximalizuje svůj užitek. Obrazně řečeno, spotřebitel se snaží vystoupit na co nejvyšší bod "hory užitku", musí se však pohybovat podél "plotu", který mu zde představuje rozpočtové omezení.

13 Problém se tak redukuje na dosažení co nejvyšší vrstevnice (indiferenční křivky) funkce užitku při daném rozpočtovém omezení vyjádřeném rovnicí směny. Problém spotřebitele lze tak formálně zapsat ve tvaru: max U = f (X, Y) při omezení: P X X + P Y Y = I X 0, Y 0 Problém budeme řešit pomocí Lagrangeovy funkce: L = U (X,Y) λ (Px X + Py Y I) Při řešení budeme předpokládat, že existuje vnitřní řešení 1. Vypočteme nejdříve první parciální derivace Lagrangeovy funkce: δ L / δ X = δ U / δ X λ Px δ L / δ Y = δ U / δ Y λ Py δ L / δ λ = - Px X Py Y + I Parciální derivace položíme rovné nule a vypočteme podmínky prvního řádu pro vnitřní řešení. Při výpočtu současně eliminujeme z prvních dvou derivací pomocnou proměnnou: (δ U / δ X) : (δ U / δ Y) = Px : Py I = P X X + P Y Y První rovnice nám udává podmínku optima spotřebitele, tj. rovnost mezní míry substituce ve spotřebě (levá strana rovnice) a mezní míry substituce ve směně (pravá strana rovnice). Druhá rovnice nám pouze říká, že spotřebitel vynaložil celý příjem na nákup obou statků. Zajímat nás bude také ekonomická interpretace pomocné proměnné. Jejím osamostatněním (např. z první z uvedených parciálních derivací) získáme vztah: λ = ( δ U / δ X ) : Px Pomocnou proměnnou lze chápat jako stínovou cenu kolik dodatečného (mezního) užitku získá spotřebitel za dodatečnou vynaloženou korunu svého příjmu. V bodě optima je přitom hodnota pomocné proměnné pro všechny statky stejná. 1.5 Marshallovy poptávky Systém parciálních derivací poskytl řešení jednoho dílčího problému. Určili jsme optimální nákup statků X a Y jedince, který maximalizuje svůj užitek při určitých cenách komodit a příjmu. Nás však může zajímat, jak bude reagovat poptávané množství X a Y, pokud se budou měnit ceny statků a příjem spotřebitele. 1 Rozdíl mezi vnitřním a rohovým řešením - viz [1, s. 64]. Podmínky prvního řádu pro rohové řešení lze získat s pomocí Kuhn - Tuckerovy věty. Tuto větu lze též aplikovat na vnitřní řešení.

14 Řešení optimalizačního problému záviselo pouze na cenách, příjmu a funkci užitku. Můžeme tudíž z prvních dvou vypočtených parciálních derivací odvodit poptávkové funkce (při dané funkci užitku): X = f 1 (I, P X, P Y ) Y = f 2 (I, P X, P Y ) Funkce, kdy nakupované množství statku závisí na příjmu spotřebitele a cenách komodit (při daných preferencích), se označují jako Marshallovy funkce poptávky. V uvedené situaci spotřebitel nakupoval dvě komodity. Mohli jsme proto odvodit soustavu pouze dvou individuálních poptávek 1. Podmínka druhého řádu při maximalizaci užitku požaduje ryze kvasikonkávnost funkce užitku (spotřebitel nakupuje dva statky, determinant ohraničené Hessovy matice proto musí být kladný). Podmínku jsme však zajistili pomocí šestého předpokladu o chování spotřebitele, podle něhož spotřebitel preferuje průměr před extrémy. Z hlediska ekonomické interpretace již nejsou druhé parciální derivace zajímavé a nebudeme se jimi zabývat. Z předpokladů, které umožnily odvodit soustavu Marshallových funkcí poptávky, plyne, jaké vlastnosti musí splňovat tyto funkce, aby mělo smysl je považovat za uplatnitelné v empirickém výzkumu. Dříve, než se tímto problémem budeme moci zabývat, musíme odvodit další funkce, které plynou z maximalizace užitku spotřebitelem. Odložíme proto otázku vlastností poptávkových funkcí až do následující kapitoly. 1.6 Nepřímá funkce užitku Funkce užitku vyjadřuje vztah mezi celkovým užitkem spotřebitele a množstvím statků, které jedinec spotřebovává. Je však často obtížné sledovat na trhu množství komodit, které spotřebitel nakupuje. V teorii, ale i v empirické analýza, je často pohodlnější nahradit množství spotřebovávaných statků jejich cenami a pracovat s tzv. nepřímou funkcí užitku. Název funkce vyplývá ze způsobu jejího odvození. Nejdříve vypočteme Marshallovy funkce poptávky (pomocí maximalizace užitku spotřebitele) a tyto funkce dosadíme zpět do funkce užitku. Užitek spotřebitele tak závisí nepřímo, prostřednictvím maximalizačního procesu, na příjmu spotřebitele a na cenách statků. Pokud předpokládáme, že spotřebitel nakupuje pouze dva statky, má jeho funkce užitku tvar U = f (X,Y). Prostřednictvím maximalizačního procesu vypočteme Marshallovy individuální poptávky pro obě komodity: X = f 1 (I, P X, P Y ) Y = f 2 (I, P X, P Y ) 1 Grafické odvození Marshallovy poptávky z optima spotřebitele, který maximalizuje užitek, lze nalézt v učebnici [1], s. 82 až 86.

15 a dosadíme je zpět do funkce užitku. Získáme tak nepřímou funkci užitku: U = v (I, P X, P Y ). Získali jsme tak nepřímou funkci užitku, kde je užitek spotřebitele funkcí jeho příjmu a cen statků. Nyní budeme analyzovat vlastnosti, které vykazuje spojitá nepřímá funkce užitku. Předpokládáme nejdříve, že dochází k neproporcionální změně nezávisle proměnných, které jsou obsažené v této funkci. Neproporcionální změnu cen a příjmu lze převést do situace, kdy se mění pouze jedna z proměnných. Budeme se proto nejdříve zabývat změnou velikosti příjmu při neměnné výši cen komodit a potom budeme zkoumat účinky změny ceny jedné komodity při neměnné výši ostatních cen a při konstantní výši příjmu jedince. Uvažujeme nejdříve změnu příjmu. S růstem příjmu (a při neměnné výši cen) se celkový užitek jedince zvyšuje. Tato vlastnost nepřímé funkce užitku je spojena s jedním z axiómů o chování spotřebitele, s axiomem nenasycení. Nepřímá funkce užitku je tudíž rostoucí se zvyšujícím se příjmem. Dále předpokládejme, že se bude měnit pouze jedna z cen komodit, které jedinec nakupuje. S růstem této ceny bude užitek jedince buď klesat nebo (v nejlepším případě) se nezmění. Nepřímá funkce užitku je tudíž nerostoucí s růstem cen. Musíme též analyzovat situaci, kdy dochází k proporcionální změně nezávisle proměnných, které jsou obsažené v nepřímé funkci užitku. Pokud vzrostou všechny ceny a příjem proporcionálně (např. zvýší se dvakrát), celkový užitek jedince se nezmění. Nepřímá funkce užitku je tak homogenní stupně nula v cenách a v příjmu. Z nepřímé funkce užitku můžeme též odvodit tzv. cenové indiferenční křivky. Cenové indiferenční křivky udávají kombinace cen, které přinášejí při dané úrovni příjmu jedinci stejný celkový užitek. Průběh cenových indiferenčních křivek má obvyklý tvar: křivky jsou klesající a konvexní. Cenové indiferenční křivky pro ceny dvou komodit zobrazuje graf 1-2. Pokud se zvýší cena jedné komodity (např. cena P X ) musí se snížit cena jiného zboží (tj. cena P Y ), aby jedinec dosahoval konstantní úrovně užitku. Pokud se však zvýší ceny obou komodit, užitek jedince se sníží. Z této skutečnosti ovšem plyne, že cenové indiferenční křivky, které jsou vzdálenější od počátku, odpovídají nižší úrovni celkového užitku. Na grafu 1-2 máme uvedené dvě cenové indiferenční křivky (V 1, V 2 ). Cenová indiferenční křivka V 2 se nachází ve větší vzdálenosti od počátku; odpovídá tak nižšímu celkovému užitku jedince, než který vyjadřuje cenová indiferenční křivka V 1. Graf 1-2 Cenové indiferenční křivky

16 P Y V 1 V 2 Shrnutí P X 1. Řešení existuje, pokud účelová funkce je spojitá a množina přípustných řešení je neprázdná, uzavřená a ohraničená. 2. Lokální extrém je současně extrémem globálním, pokud je účelová funkce kvasikonkávní a množina přípustných je řešení je konvexní. 3. Jediné řešení lze nalézt, pokud je buď účelová funkce ryze kvasikonkávní nebo je množina přípustných řešení ryze konvexní nebo platí obojí současně. Ryze kvasikonkávní funkce přitom vykazuje ryze konvexní vrstevnice funkce. 4. Axiómy úplnosti srovnání, tranzitivity a reflexivity umožňují uspořádat preference jednoho spotřebitele. 5. Spojitou funkci užitku získáme, pokud jedinec požaduje při platnosti axiómů uvedených v předcházejícím bodě shrnutí zvýšení spotřeby jednoho statku při libovolně malém snížení spotřeby jiného statku. Ve funkci užitku celkový užitek jedince závisí na množství spotřebovávaných komodit. 6. Indiferenční křivky jsou vrstevnice funkce užitku. Indiferenční křivky jsou ryze konvexní, pokud chování jedince vyhovuje kromě dříve uvedených axiómů ještě axiómům nepřesycení a preference průměru před extrémy. 7. Pokud jsou indiferenční křivky ryze konvexní, stačí k nalezení jediného řešení optima spotřebitele maximalizujícího užitek, aby byla množina spotřebních možností konvexní. 8. Řešením úlohy spotřebitele, který maximalizuje užitek, lze odvodit Marshallovy funkce poptávky. V těchto funkcích závisí nakupované množství statku na příjmu spotřebitele a na cenách komodit (při daných preferencích). 9. Dosazením Marshallových funkcí poptávky zpět do funkce užitku získáme nepřímou funkci užitku. Užitek spotřebitele v této funkci závisí nepřímo, prostřednictvím maximalizačního procesu, na příjmu spotřebitele a na cenách statků (opět při daných preferencích).

17 Důležité pojmy axióm úplnosti srovnání axióm nepřesycení tranzitivita funkce užitku reflexivita množina spotřebních možností lexikografické preference stínová cena Marshallova funkce poptávky nepřímá funkce užitku Příklady a úlohy 1. Globální extrém. Předpokládejme, že chování jedince lze popsat funkcí užitku U = X * Y. Ve funkci U je celkový užitek, který jedinci plyne ze spotřeby obou komodit, X a Y udávají spotřebovávaná množství obou komodit. Funkce užitku je spojitou funkcí. Úkol: Určete, zda pro tuto funkci existuje globální extrém, pokud je množina spotřebních možností konvexní množinou. Výsledek: Ano (mezní užitky jsou kladná čísla, vrstevnice funkce jsou ryze konvexní). 2. Vlastnosti omezení. Během druhé světové války musel zákazník zaplatit cenu zboží a odevzdat při jeho nákupu určitý počet bodů. Předpokládejme, že spotřebitel měl funkci užitku U = X * Y, ceny výrobků byly P X = 1 koruna a P Y = 2 koruny, za komoditu X musel zákazník odevzdat 2 body a za komoditu Y platil 1 bod. Spotřebitel vynakládal na nákup statků X a Y celkem 160 korun týdně a měl k dispozici 200 bodů. Úkol: Určete, zda množina spotřebních možností splňuje podmínky, při nichž by jedinec maximalizoval svůj užitek. Výsledek: Ano, omezení vyhovuje všem třem požadavkům (omezení je neprázdná, uzavřená a omezená množina). 3. Určení optima (maximalizace užitku spotřebitelem). Spotřebitel vynakládá na nákup statků X a Y celkem 160 Kč týdně. Funkce jeho užitku je U = X * Y, ceny výrobků jsou P X = 4 Kč a P Y = 10 Kč. Úkol: a) Vypočtěte, kolik jednotek statku X a kolik jednotek statku Y spotřebitel nakoupí. K výpočtu použijte substituční metodu. b) Ke stejnému výpočtu využijte Lagrangeovu funkci. c) Ke stejnému výpočtu použijte mezní míry substituce ve spotřebě a ve směně. Výsledek: X = 20, Y = 8 4. Odvození Marshallových funkcí poptávky. Jedinec maximalizuje svůj užitek ze spotřeby dvou komodit (X a Y). Spotřební chování tohoto jedince charakterizuje

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq Mikroekonomická analýza wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Cvičebnice

Více

Obsah. Poptávka spotřebitele - 1 - Petr Voborník

Obsah. Poptávka spotřebitele - 1 - Petr Voborník Obsah Obsah... Poptávka spotřebitele.... ndividuální poptávka (po statku ).... Vliv změny důchodu spotřebitele na poptávku..... Důchodová spotřební křivka..... Druhy statků... 3 CC, kde je určitým druhem

Více

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy

Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 1. Firmy působí: a) na trhu výrobních faktorů b) na trhu statků a služeb c) na žádném z těchto trhů d) na obou těchto trzích Kvízové otázky Obecná ekonomie I. Teorie firmy 2. Firma na trhu statků a služeb

Více

Studijní opora. Téma Chování spotřebitele a formování poptávky je přednášeno ve dvou po sobě navazujících přednáškách.

Studijní opora. Téma Chování spotřebitele a formování poptávky je přednášeno ve dvou po sobě navazujících přednáškách. Studijní opora Název předmětu: Ekonomie I Zpracoval: Ing. Lenka Brizgalová, Ph.D. Téma: Chování spotřebitele a formování poptávky Vzdělávací cíl: Téma Chování spotřebitele a formování poptávky je přednášeno

Více

3 Elasticita nabídky. 3.1 Základní pojmy. 3.2 Grafy. 3.3 Příklady

3 Elasticita nabídky. 3.1 Základní pojmy. 3.2 Grafy. 3.3 Příklady 3 Elasticita nabídky 3.1 Základní pojmy Vysvětlete následující pojmy: 1. cenová elasticita nabídky, 2. cenově elastická nabídka, 3. cenově neelastická nabídka, 4. jednotkově elastická nabídka, 5. dokonale

Více

Tak je možno sestavit poptávkovou funkci, která tuto závislost vyjadřuje, a zabývat se vlivem jednotlivých faktorů. X 2 = f 2 (P 1, P 2,, P n, I)

Tak je možno sestavit poptávkovou funkci, která tuto závislost vyjadřuje, a zabývat se vlivem jednotlivých faktorů. X 2 = f 2 (P 1, P 2,, P n, I) 3 Poptávka 3.1 Individuální poptávka V předcházející kapitole jsme se zabývali rozhodováním spotřebitele, který maximalizuje užitek při daném rozpočtovém omezení. Určením optimální kombinace statků jsme

Více

1. Podstata všeobecné rovnováhy 2. Rovnováha ve výrobě 3. Rovnováha ve spotřebě 4. Všeobecná rovnováha a její nastolování 5.

1. Podstata všeobecné rovnováhy 2. Rovnováha ve výrobě 3. Rovnováha ve spotřebě 4. Všeobecná rovnováha a její nastolování 5. Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 10 Všeobecná rovnováha Obsah 1. Podstata všeobecné rovnováhy 2. Rovnováha ve výrobě 3. Rovnováha ve spotřebě

Více

Edgeworthův diagram směny. Přínosy plynoucí ze směny

Edgeworthův diagram směny. Přínosy plynoucí ze směny Mařenčino množství jídla Mařenčino množství jídla Mikroekonomie a chování JEB060 Přednáška 10 PhDr. Jiří KAMENÍČEK, CSc. Edgeworthův diagram směny Obrázek 1 130 75 25 R S 70 Bod R vyjadřuje původní vybavení

Více

Obsah. KAPITOLA I: Předmět, základní pojmy a metody národohospodářské teorie... 17. KAPITOLA II: Základní principy ekonomického rozhodování..

Obsah. KAPITOLA I: Předmět, základní pojmy a metody národohospodářské teorie... 17. KAPITOLA II: Základní principy ekonomického rozhodování.. Obsah Úvodem.................................................. 15 KAPITOLA I: Předmět, základní pojmy a metody národohospodářské teorie.................... 17 1 Předmět a základní pojmy národohospodářské

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

13 Specifika formování poptávky firem po práci a kapitálu

13 Specifika formování poptávky firem po práci a kapitálu 13 Specifika formování poptávky firem po práci a kapitálu Na rozdíl od trhu finálních statků, kde stranu poptávky tvořili jednotlivci (domácnosti) a stranu nabídky firmy, na trhu vstupů vytvářejí jednotlivci

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Makroekonomie I. Co je podstatné z Mikroekonomie - co již známe obecně. Nabídka a poptávka mikroekonomické kategorie

Makroekonomie I. Co je podstatné z Mikroekonomie - co již známe obecně. Nabídka a poptávka mikroekonomické kategorie Model AS - AD Makroekonomie I Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky Osnova: Agregátní poptávka a agregátní nabídka : Agregátní poptávka a její změny Agregátní nabídka krátkodobá a dlouhodobá Rovnováha

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Rozlišení zisku. Mikroekonomie. Účetní zisk = Ekonomický zisk. Normální zisk. Zisk firmy. Co je důležité pro členění zisku

Rozlišení zisku. Mikroekonomie. Účetní zisk = Ekonomický zisk. Normální zisk. Zisk firmy. Co je důležité pro členění zisku Zisk firmy Mikroekonomie Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU Zisk (π) je rozdíl mezi celkovými příjmy a celkovými náklady. Π = TR - TC Je také vynásobený objem produkce rozdílem průměrného

Více

15 Poptávka na nedokonale konkurenčním trhu práce

15 Poptávka na nedokonale konkurenčním trhu práce 15 Poptávka na nedokonale konkurenčním trhu práce Existuje-li na trhu výstupu omezený počet firem nabízejících svou produkci, hovoříme o nedokonalé konkurenci, jejíž jednotlivé formy (monopol, oligopol

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Využití ekonomie informací v teorii firmy. Morální hazard. Agency teorie. Nepříznivý výběr. Signalizační chování a filtrování (screening).

Využití ekonomie informací v teorii firmy. Morální hazard. Agency teorie. Nepříznivý výběr. Signalizační chování a filtrování (screening). Využití ekonomie informací v teorii firmy. Morální hazard. Agency teorie. Nepříznivý výběr. Signalizační chování a filtrování (screening). Teorie firmy Asymetrická informace Jedna strana ekonomického vztahu

Více

0 z 25 b. Ekonomia: 0 z 25 b.

0 z 25 b. Ekonomia: 0 z 25 b. Ekonomia: 1. Roste-li mzdová sazba,: nabízené množství práce se nemění nabízené množství práce může růst i klesat nabízené množství práce roste nabízené množství práce klesá Zvýšení peněžní zásoby vede

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

14 Poptávka na dokonale konkurenčním trhu práce

14 Poptávka na dokonale konkurenčním trhu práce 14 Poptávka na dokonale konkurenčním trhu práce Z podkapitoly 13.1 již známe podmínku maximalizace zisku firmy přicházející kupovat výrobní faktory na jejich trh jako rovnost příjmů z mezního produktu

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

5. kapitola: Agregátní poptávka, agregátní nabídka. Studijní cíle: V této kapitole se seznámíte:

5. kapitola: Agregátní poptávka, agregátní nabídka. Studijní cíle: V této kapitole se seznámíte: 5. kapitola: Agregátní poptávka, agregátní nabídka Studijní cíle: V této kapitole se seznámíte: s vymezením agregátní poptávky (AD) s příčinami změn AD (tzv. poptávkové šoky) s pojetím agregátní nabídky

Více

Seminární práce ze Základů firemních financí

Seminární práce ze Základů firemních financí Seminární práce ze Základů firemních financí Téma: Analýza vývoje zisku Zpracovaly: Veronika Kmoníčková Jana Petrčková Dominika Sedláčková Datum prezentace: 24.3. 2004...... V Brně dne...... P o d p i

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Dříve než se jimi budeme zabývat, je třeba upozornit na skutečnost, že ekonomové používají pojem kapitál odlišně v různých souvislostech.

Dříve než se jimi budeme zabývat, je třeba upozornit na skutečnost, že ekonomové používají pojem kapitál odlišně v různých souvislostech. 17 Trh kapitálu 17.1 Kapitál Pro trh kapitálu platí obecné principy utváření cen na trhu výrobních faktorů, se kterými jsme se seznámili ve 13. kapitole. Na druhé straně však trh kapitálu vykazuje řadu

Více

Mikroekonomie. Minulá přednáška - podstatné. Náklady firmy v krátkém a dlouhém období. Důležité vzorce. Náklady v krátkém období - graficky

Mikroekonomie. Minulá přednáška - podstatné. Náklady firmy v krátkém a dlouhém období. Důležité vzorce. Náklady v krátkém období - graficky Minulá přednáška - podstatné Mikroekonomie Ing. Jaroslav ŠETEK, Ph.D. Katedra ekonomiky, JČU Typologie nákladů firmy Náklady v krátkém období Náklady v dlouhém období Důležité vzorce TC = FC + VC AC =

Více

Příjmové veličiny na trhu VF

Příjmové veličiny na trhu VF Trh práce Vysvětlivky: SR = short run = krátké období, množství kapitálových statků je fixní R = long run = dlouhé období, množství kapitálových statků je variabilni Příjmové veličiny na trhu VF Příjem

Více

Obvyklý tvar produkční funkce v krátkém období

Obvyklý tvar produkční funkce v krátkém období Produkční analýza firmy základní východiska analýzy firmy krátkodobá produkční funkce výroba v dlouhém období, optimum firmy optimum firmy při různých úrovních nákladů a při změnách cen VF výnosy z rozsahu

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Investiční výdaje (I)

Investiční výdaje (I) Investiční výdaje Investiční výdaje (I) Zkoumáme, co ovlivňuje kolísání I. I = výdaje (firem) na kapitálové statky (stroje, budovy) a změna stavu zásob. Firmy si kupují (pronajímají) kapitálové statky.

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

4. kapitola: Dvousektorový model - spotřeba a investice. Studijní cíle: V této kapitole se seznámíte:

4. kapitola: Dvousektorový model - spotřeba a investice. Studijní cíle: V této kapitole se seznámíte: 4. kapitola: Dvousektorový model - spotřeba a investice Studijní cíle: V této kapitole se seznámíte: se spotřební a úsporou funkcí s mezním sklonem ke spotřebě a s mezním sklonem k úsporám s pojetím investic

Více

1.2 ZÁKLADNÍ EKONOMICKÉ POJMY A PRINCIPY

1.2 ZÁKLADNÍ EKONOMICKÉ POJMY A PRINCIPY 5 1 ÚVOD DO EKONOMIE 17 1.1 EKONOMICKÝ STYL MYŠLENÍ 17 1.1.1 Úvod 17 1.1.2 Motivy emotivní a racionální 18 1.1.3 Principy ekonomického uvažování 18 1.1.4 Podstata a role ekonomických modelů 21 1.1.5 Model

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Kapitálový trh (finanční trh)

Kapitálový trh (finanční trh) Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 9 Kapitálový trh (finanční trh) Obsah 1. Podstata kapitálového trhu 2. Volba mezi současnou a budoucí

Více

1 Nástroje používané v mikroekonomii

1 Nástroje používané v mikroekonomii 1 Nástroje používané v mikroekonomii 1.1 Předmět zkoumání Ekonomie se podle tradiční definice zabývá zkoumáním alokace vzácných zdrojů mezi různá alternativní užití tak, aby byly uspokojeny lidské potřeby.

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

8 Volba výstupu dokonale konkurenční firmou

8 Volba výstupu dokonale konkurenční firmou 8 Volba výstupu dokonale konkurenční firmou 8.1 Obecná východiska určení výstupu, při němž firma maximalizuje zisk Firma maximalizující zisk podřizuje volbu vstupů i výstupů dosažení maximálního ekonomického

Více

1 18.1 Efektivnost ve výrobě

1 18.1 Efektivnost ve výrobě 1 18.1 Efektivnost ve výrobě V ekonomice se vyrábí nesčetné množství rozmanitého zboží, přičemž neexistuje způsob, jak tyto statky (jablka, auta, boty) sečíst a součet nazvat celkovým výstupem. Poznámka:

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

3. Cena cenová kalkulace, poptávka a nabídka

3. Cena cenová kalkulace, poptávka a nabídka 3. Cena cenová kalkulace, poptávka a nabídka Klíčová slova: Cena, kalkulace, kalkulační vzorec, trh, poptávka, nabídka. Anotace textu: Cílem modulu je objasnění ceny jako ekonomické kategorie a způsobů

Více

Předpokládané znalosti

Předpokládané znalosti Předpokládané znalosti Před zahájením navazujícího magisterského studia Vám doporučujeme zopakovat si učivo v rozsahu bakalářského studia. V další části najdete tématické okruhy a doporučenou literaturu

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Otázky a odpovědi z Mikroekonomie I

Otázky a odpovědi z Mikroekonomie I Otázky a odpovědi z Mikroekonomie I 8. června 2005 1 Vztah ekonomiky a ekonomie 2 Ekonomické větve Matematická větev prosazuje názor, že kritériem pravdivosti a vědeckosti v ekonomické teorii je možnost

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Krátkodobá rovnováha na trhu peněz

Krátkodobá rovnováha na trhu peněz Makroekonomická analýza přednáška 9 1 Krátkodobá rovnováha na trhu peněz Funkce poptávky po penězích Poptávka po penězích je úměrná cenové hladině (poptávka po penězích je poptávka po reálných penězích).

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Ekonomická podstata různých forem cenové diskriminace

Ekonomická podstata různých forem cenové diskriminace Bankovní institut vysoká škola Praha Katedra finančnictví a ekonomických disciplín Ekonomická podstata různých forem cenové diskriminace Diplomová práce Autor: Bc. Vladimíra Nešporová, DiS. EKMAN FIN,

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

VEŘEJNÁ EKONOMIKA Poslání, struktura a příčiny existence veřejného sektoru I

VEŘEJNÁ EKONOMIKA Poslání, struktura a příčiny existence veřejného sektoru I VEŘEJNÁ EKONOMIKA Poslání, struktura a příčiny existence veřejného Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Téma č. 2: Trh, nabídka, poptávka

Téma č. 2: Trh, nabídka, poptávka Téma č. 2: Trh, nabídka, poptávka Obsah 1. Dělba práce 2. Směna, peníze 3. Trh 4. Cena a směnná hodnota 5. Nabídka 6. Poptávka 7. Tržní rovnováha 8. Konkurence Dělba práce Dělba práce Jednotliví lidé se

Více

Základy ekonomie. Petr Musil: petrmusil1977@gmail.com

Základy ekonomie. Petr Musil: petrmusil1977@gmail.com Základy ekonomie Téma č. 2: Trh, nabídka, poptávka Petr Musil: petrmusil1977@gmail.com Obsah 1. Dělba práce 2. Směna, peníze 3. Trh 4. Cena 5. Nabídka 6. Poptávka 7. Tržní rovnováha 8. Konkurence Dělba

Více

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14 Funkce Definiční obor funkce, obor hodnot funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-14 Obsah 1 Definiční obor funkce příklady na určení oboru hodnot funkce

Více

Optimalizace úvěrových nabídek. EmbedIT 7.11.2013 Tomáš Hanžl

Optimalizace úvěrových nabídek. EmbedIT 7.11.2013 Tomáš Hanžl Optimalizace úvěrových nabídek EmbedIT 7.11.2013 Tomáš Hanžl Obsah Spotřebitelský úvěr Popis produktu Produktová definice v HC Kalkulace úvěru Úloha nalezení optimálního produktu Shrnutí Spotřebitelský

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Nezaměstnaný je ten, kdo nemá práci a aktivně

Nezaměstnaný je ten, kdo nemá práci a aktivně Nezaměstnanost Definice nezaměstnanosti Nezaměstnaný je ten, kdo nemá práci a aktivně ji hledá Co je to aktivní hledání? Stačí registrace na Úřadu práce? Jakákoliv definice aktivního hledání je arbitrární

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Metodický list pro čtvrté soustředění kombinovaného Bc. studia předmětu B_MiE_B, Mikroekonomie B Název tematického celku: Mikroekonomie B čtvrtý blok

Metodický list pro čtvrté soustředění kombinovaného Bc. studia předmětu B_MiE_B, Mikroekonomie B Název tematického celku: Mikroekonomie B čtvrtý blok Cíl tématického celku: pochopit problematiku nedokonalé konkurence včetně jednotlivých forem nedokonalé konkurence (monopolistická konkurence, oligopol, monopol), pochopit formování křivky poptávky výrobních

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Studijní opora. Téma Trhy výrobních faktorů je přednášeno ve dvou na sobě navazujících přednáškách.

Studijní opora. Téma Trhy výrobních faktorů je přednášeno ve dvou na sobě navazujících přednáškách. Studijní opora Název předmětu: Ekonomie I Zpracoval: Ing. Lenka Brizgalová, Ph.D. Téma: Trhy výrobních faktorů. Vzdělávací cíl: Téma Trhy výrobních faktorů je přednášeno ve dvou na sobě navazujících přednáškách.

Více

Obsah ODDÍL A ZÁKLADNÍ SOUVISLOSTI MAKROEKONOMICKÉ ANALÝZY 3 ODDÍL B: ANALÝZA VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY 63. Úvod 1

Obsah ODDÍL A ZÁKLADNÍ SOUVISLOSTI MAKROEKONOMICKÉ ANALÝZY 3 ODDÍL B: ANALÝZA VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ EKONOMICKÉ ROVNOVÁHY 63. Úvod 1 iv Úvod 1 ODDÍL A ZÁKLADNÍ SOUVISLOSTI MAKROEKONOMICKÉ ANALÝZY 3 1. Ekonomický systém, ekonomický model a makroekonomická analýza 5 1.1 Ekonomické modelování a makroekonomická analýza 6 1.1.1 Nástin historického

Více

Vývoj ekonomického myšlení

Vývoj ekonomického myšlení Ústav stavební ekonomiky a řízení Fakulta stavební VUT Vývoj ekonomického myšlení Ing. Dagmar Palatová dagmar@mail.muni.cz Neoklasická ekonomie Rakouská psychologická škola Lausannská matematická škola

Více

Ekonomika III. ročník. 008_Zákony trhu_nabídka + Poptávka

Ekonomika III. ročník. 008_Zákony trhu_nabídka + Poptávka Ekonomika III. ročník 008_Zákony trhu_nabídka + Poptávka Hospodářský proces Chování tržních subjektů (firmy, výrobci, nakupující zákazníci, vláda, instituce) je ovlivněno zákony trhu. Chování spotřebitele,

Více

4. Tržní rovnováha a efektivnost

4. Tržní rovnováha a efektivnost 4. Tržní rovnováha a efektivnost 4.1 Tržní rovnováha a její dosahování Na trhu statku se obvykle střetává mnoho kupujících a mnoho prodávajících. Naleznou všichni prodávající pro své zboží odbyt? Dostane

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

EKONOMIE. Podklady pro výuku. Bakalářské studium. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti

EKONOMIE. Podklady pro výuku. Bakalářské studium. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti EKONOMIE Podklady pro výuku Bakalářské studium 2014 Kapitola 1: Ekonomické principy, základní kategorie Ekonomie Ekonomie se zabývá hospodářským životem společnosti. Za oblasti tohoto hospodářského života

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Pednáška mikro 07 : Teorie chování spotebitele 2

Pednáška mikro 07 : Teorie chování spotebitele 2 Pednáška mikro 07 : Teorie chování spotebitele 2 1. ngelova kivka x poptávka po statku, M- dchod x luxusní komodita ( w >1) standardní komodita (0< w 1) podadná komodita ( w < 0) 2. Dchodový a substituní

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Firma je obvykle charakterizována jako subjekt specializující se na výrobu, tj. na přeměnu zdrojů (vstupů) ve statky (výstup).

Firma je obvykle charakterizována jako subjekt specializující se na výrobu, tj. na přeměnu zdrojů (vstupů) ve statky (výstup). 5 Volba technologie 5.1 Základní východiska analýzy firmy V předcházejících kapitolách jsme soustředili pozornost na spotřebitele na trhu výrobků a služeb tedy na formování poptávky na tomto trhu. Nyní

Více

Abstrakt. Klíčová slova. Obsah. Úvod

Abstrakt. Klíčová slova. Obsah. Úvod Abstrakt Zdravý životní styl je téma, které je v poslední době velmi často zmiňované, a to s mnoha tématy. Jsou to například rizika spojená s kouřením, s obezitou, s nádorovými chorobami a s dalšími závažnými

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Aplikace matematiky v ekonomii

Aplikace matematiky v ekonomii KMA/SZZAE Aplikace matematiky v ekonomii Matematické modely v ekonomii 1. Klasifikace prostředků matematického modelování v ekonomii. 2. Modely síťové analýzy: metody CPM a PERT. 3. Modely hromadné obsluhy:

Více

Vyhláška č. 9DV/2011 děkana FEK ZČU v Plzni Přijímání ke studiu na Fakultu ekonomickou ZČU v Plzni pro akademický rok 2012/2013

Vyhláška č. 9DV/2011 děkana FEK ZČU v Plzni Přijímání ke studiu na Fakultu ekonomickou ZČU v Plzni pro akademický rok 2012/2013 Vyhláška č. 9DV/2011 děkana FEK ZČU v Plzni Přijímání ke studiu na Fakultu ekonomickou ZČU v Plzni pro akademický rok 2012/2013 podle zákona o vysokých školách č. 111/1998 Sb. v platném znění, 48 a 49

Více

Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích. Institute of Technology And Business In České Budějovice

Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích. Institute of Technology And Business In České Budějovice MAKROEKONOMIE VNĚJŠÍ EKONOMICKÁ ROVNOVÁHA, PLATEBNÍ BILANCE Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Institute of Technology And Business In České Budějovice Tento učební materiál vznikl

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne: 20. března 2009 Odevzdal dne: Možný

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Matematika a statistika

Matematika a statistika KMA/SZZMS Matematika a statistika Matematika 1. Číselné posloupnosti: Definice, vlastnosti, operace s posloupnostmi; limita posloupnosti a její vlastnosti, operace s limitami 2. Limita funkce jedné proměnné:

Více

E-učebnice Ekonomika snadno a rychle ZÁKLADNÍ EKONOMICKÉ POJMY

E-učebnice Ekonomika snadno a rychle ZÁKLADNÍ EKONOMICKÉ POJMY E-učebnice Ekonomika snadno a rychle ZÁKLADNÍ EKONOMICKÉ POJMY PŘEDMĚT EKONOMIE ekonomie je věda, která se zabývá společenskou realitou zvanou ekonomika, je to společenská věda, nelze oddělovat ekonomickou

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo: CZ.1.07/1. 5.00/34.0084 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Sada:

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více