Úvod do metody MonteCarlo. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Transkript

1 Úvod do metody MoteCarlo Ig. Michal Dorda, Ph.D.

2 Metoda MoteCarlo Historicky rvím říkladem oužití riciu metody MoteCarloje tzv. Buffoovaúloha, jež je úlohou vztahující se ke geometrické ravděodobosti: V roviě jsou arýsováy rovoběžky, jejichž vzájemá vzdáleost je rova L. Zajímá ás ravděodobost, že áhodě vržeá jehla o délce l<lrote ěkterou římku. Ig. Michal Dorda, Ph.D.

3 Metoda MoteCarlo Uvažujme, že rovoběžky jsou rovoběžé s osou x. Ozačme dvzdáleost středu jehly od ejbližší rovoběžky a úhel, který svírá jehla s daou rovoběžkou (viz obrázek). Poloha jehly je tedy určea bodem o souřadicích L [d; ], kde 0 d a 0 π. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3

4 Metoda MoteCarlo d l L x l si x si l x l Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4

5 Metoda MoteCarlo Z obrázku je zřejmé, že jehla rote říslušou rovoběžku, okud bude latit: d l si. Hozeím jehly mohou astat dva říady: Jehla rote říslušou rovoběžku úsěch. Jehla erote říslušou rovoběžku eúsěch. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5

6 Metoda MoteCarlo L 0 π Oblast řízivých výsledků vymezeá erovostí d l si. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6

7 Metoda MoteCarlo Pravděodobost toho, že jehla rote rovoběžku, staovíme odle geometrické defiice ravděodobosti: [ ] ( ) cos si π π + l l d l Ig. Michal Dorda, Ph.D. 7 [ ] ( ). cos si 0 0 π π π π π + L l L l L l L d l P

8 Metoda MoteCarlo Tuto ravděodobost můžeme odhadout a základě zalosti Beroullihověty, která ám říká, že relativí četost ějakého jevu stochasticky koverguje k jeho ravděodobosti, můžeme tedy ro odhad ravděodobosti sát: P ˆ m, kde mzačí očet úsěšých okusů (jehla rotula rovoběžku) a začí očet všech realizovaých okusů. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8

9 Metoda MoteCarlo Můžeme tedy sát: l L π m, z čehož úravami získáme: π l. L m Realizujeme-li dostatečý očet okusů, lze výše uvedeý vztah využít k exerimetálímu staoveí hodoty Ludolfova čísla π. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9

10 Metoda MoteCarlo Exerimetátor Rok Počet realizovaých okusů Staoveý odhad hodoty π Volf ,596 Smith ,553 Fox ,49 Laccarii ,4599 π & 3, Ig. Michal Dorda, Ph.D. 0

11 Metoda MoteCarlo Samotá metoda MoteCarlobyla formulováa a rakticky oužita J. vo Neumaem a S. Ulamemři vývoji atomové bomby během. světové války. Při výzkumu chováí eutroů bylo třeba vyřešit roblém, jaké roceto eutroů v určité sršce roike ějakou řekážkou, ař. ádrží vody určitých rozměrů. Ig. Michal Dorda, Ph.D.

12 Metoda MoteCarlo Při řešeí tohoto roblému ředovědi života eutrou byla oužita techika kola rulety, odtud lye i ázev metody. Nař. je zámo, že ři srážce eutrou a atomu vodíku je eutro ohlce růměrě v jedom ze sta říadů. Při staoveí toho, zda bude eutro ohlce či ikoliv, je možo oužít kolo rulety rozděleé a 00 dílků, řičemž ozačeý dílek bude zameat ohlceí eutrou. Ig. Michal Dorda, Ph.D.

13 Metoda MoteCarlo V říadě, že edojde k záiku eutrou, se omocí dalšího kola rulety áhodě staoví trajektorie eutrou do další srážky. Takto se ostuuje do té doby, ež dojde k záiku eutrou ebo k jeho růchodu řekážkou. Je zřejmé, že realizovat teto exerimet omocí skutečých kol rulet by bylo rakticky erealizovatelé. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3

14 Metoda MoteCarlo V té době byl však již k disozici očítač, omocí kterého bylo možo teto exerimet realizovat. Metoda MoteCarloje umerickou metodou založeou a vztahu mezi ravděodobostími charakteristikami růzých áhodých rocesů a veličiami, které jsou řešeím studovaých úloh. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4

15 Metoda MoteCarlo Prici metody tedy sočívá v ásledujících bodech: ) Formulace ové úlohy mající áhodý charakter, jejíž řešeí se shoduje s řešeím ůvodí úlohy. ) Řešeí ové úlohy omocí statistických exerimetů. Metodu MoteCarlolze oužít ař. ři řešeí určitých itegrálů (zejméa vícerozměrých) ebo ři řešeí soustav rovic. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5

16 Metoda MoteCarlo Existují dva možé řístuy ři řešeí úloh metodou Mote Carlo: ) Geometrická metoda založeá a geometrické ravděodobosti. ) Výočet založeý a odhadu středí hodoty áhodé roměé. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6

17 Metoda MoteCarlo ad ) S geometrický řístuem jsme se již setkali v rámci Buffoovyúlohy. Nyí si a dvou jedoduchých říkladech ukážeme, jakým jiým zůsobem lze exerimetálě staovit hodotu πa jak lze řešit jedoduchý určitý itegrál. Při řešeí využijeme geerátor seudoáhodých čísel software Microsoft Excel (fukce NÁHČÍSLO). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 7

18 Metoda MoteCarlo Př. : Je dá jedotkový čtverec, ve kterém je vesáa kruhová výseč (viz obrázek). Geometrickým řístuem exerimetálě staovte hodotu Ludolfova čísla π. y r 0 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8 x

19 Metoda MoteCarlo Defiujme jev A áhodě vybraý bod jedotkového čtverce leží v kruhové výseči. Je zřejmé, že a základě geometrické ravděodobosti můžeme ro ravděodobost jevu A sát: P π r r π 4 ( A) 4. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9

20 Metoda MoteCarlo Nyí je třeba rovést sérii áhodých okusů výběr áhodého bodu X z jedotkového čtverce. Bod X je urče dvěma ezávislými rovoměrě rozděleými souřadicemi x a y, kde 0 x a 0 y. Kokrétí realizace souřadic x a y lze získat v Excelu omocí fukce NÁHČÍSLO, jež geeruje rovoměrě rozděleá áhodá čísla z itervalu 0; ). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 0

21 Metoda MoteCarlo Máme-li vygeerováy dvojice souřadic x a y, můžeme řistouit k rozhodutí, zda astal úsěch (bod leží v kruhové výseči) či eúsěch. Je zřejmé, že ro vzdáleost dbodu X [x; y]od očátku souřadicového systému latí: d x + y. Úsěch tedy astae tehdy, bude-li ro i-týbod latit: x i y + i, eboť oloměr výseče je rove. Ig. Michal Dorda, Ph.D.

22 Metoda MoteCarlo Nastae-li v okusech músěchů, kde m, můžeme ro ravděodobost jevu A sát: P m ( A). Dostáváme tedy: m π m π 4. 4 Ig. Michal Dorda, Ph.D.

23 Metoda MoteCarlo Počet realizovaých okusů Počet úsěšých okusů Staoveý odhad hodoty π 00 74, , ,4369 π & 3, Je třeba ovšem amatovat a to, že ve všech říadech se jedá o bodový odhad hodoty π. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3

24 Metoda MoteCarlo Př. : Geometrickou metodou vyřešte určitý 5 iegrál x. dx Itegrál ejdříve sočítáme aalyticky: 5 x dx 3 x & 4,33. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4

25 Metoda MoteCarlo Víme, že itegrál fukce f(x) je rove loše, která je vymezea růběhem fukce f(x) a osou x. Zakresleme si áš říad. 5 y y x 5 x Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5

26 Metoda MoteCarlo Defiujme si oět jev A áhodě vybraý bod X [x; y]ade do vyšrafovaé oblasti, kde x 5 a 0 y 5. Na základě defiice geometrické ravděodobosti můžeme ro ravděodobost jevu A sát: ( A) P 5 x dx ( 5 ) ( 5 0) I. 00 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6

27 Metoda MoteCarlo Nyí musíme geerovat rovoměrě rozděleé souřadice bodů ležících v itervalech ; 5 a 0; 5. Je zřejmé, že ři geerováí musíme užít ěkterou z metod trasformace, oužijeme metodu iverzí trasformace: x i + (5 ) NÁHČÍSLO(), y 0 + (5 0) NÁHČÍSLO(). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 7

28 Metoda MoteCarlo Máme-li vygeerováy souřadice bodů, musíme rozhodout o tom, zda astal úsěch či eúsěch. Je zřejmé, že áhodě vybraý bod atří do vyšrafovaé oblasti, je-li ro i-tý bod slěa odmíka: yi x i. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 8

29 Metoda MoteCarlo Nastae-li v okusech músěchů, kde m, můžeme ro ravděodobost jevu A sát: P m ( A). Dostáváme tedy: m I m I Ig. Michal Dorda, Ph.D. 9

30 Metoda MoteCarlo Počet realizovaých okusů Počet úsěšých okusů Staoveý odhad hodoty π , , ,3569 I & 4,33 Je třeba ovšem amatovat a to, že ve všech říadech se jedá o bodový odhad hodoty itegrálu. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 30

31 Metoda MoteCarlo ad ) Teto řístu se dá využít ař. ři výočtu itegrálů. Nechť je ξsojitá áhodá veličia defiovaá a itervalu (a; b) hustotou ravděodobosti f(x). Vyšetřujme sojitou fukci η g(ξ). Nechť existuje koečá středí hodota fukce g(ξ) defiovaá vztahem: b E[ g( ξ )] g( x) f ( x) dx. a Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3

32 Metoda MoteCarlo Provedeme-li realizací x,, x, je možo hodotu itegrálu Ibrát jako aritmetický růměr hodot g(x i ): I i g( ). x i Úkolem je tedy vyočítat určitý itegrál Zvolme sojité rozděleí defiovaé a itervalu (a; b) osaé hustotou ravděodobosti f(x) tak, aby latilo: b a f ( x) dx. I b a g ( x) dx. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 3

33 Metoda MoteCarlo Uravme určovaý itegrál do odoby: b b g( x) * I f ( x) dx ( ) ( ). ( ) g x f x dx f x a a Teto itegrál jsme již schoi staovit. Postu je ásledující: ) Geerujeme hodoty x,, x z rozděleí defiovaého hustotou f(x). ) Sočítáme hodoty g * ( x i ), čímž dostáváme realizace áhodých roměých se stejým rozděleím. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 33

34 Metoda MoteCarlo 3) Při dostatečě velkém očtu okusů lze za odhad hodoty itegrálu ovažovat aritmetický růměr hodot : I i g * ( ). x i g * ( ) x i oz. Využíváme Záko velkých čísel, který ám říká, že jsou-li X, X,, X ezávislé áhodé roměé se stejými středími hodotami EX EX X μ, otom X stochasticky koverguje k μ. X i i Ig. Michal Dorda, Ph.D. 34

35 Metoda MoteCarlo Př. 3: Odhaděte metodou Mote Carlo hodotu evlastího itegrálu I dx. + x Vyočítejme ejdříve itegrál aalyticky: I + x 0 lim a dx lim a ( arctg a arctg 0) + x π π 0 &, a 0 dx lim [ arctg x] lim arctg a lim arctg 0 a a a Ig. Michal Dorda, Ph.D a 0

36 Metoda MoteCarlo Nyí musíme vybrat vhodé rozděleí ravděodobosti defiovaé a itervalu (0; ). Na tomto itervalu je ař. defiováo exoeciálí rozděleí s arametrem μ, ro hustotu ravděodobosti tedy latí: f f ( ) x x e ro ( x) 0 jide. x > 0, Ig. Michal Dorda, Ph.D. 36

37 Metoda MoteCarlo Uravme itegrál do tvaru: I 0 + x e e x x dx * kde g ( x ) x e 0 e ( + x ). x ( + x ) e x dx, Ig. Michal Dorda, Ph.D. 37

38 Metoda MoteCarlo Nyí ostuujeme ásledujícím zůsobem: ) Geerujeme hodoty x i exoeciálího rozděleí s arametrem μ. Můžeme ař. oužít vztah získaý metodou iverzí trasformace: x i l ri µ l r i, kde r i je áhodé číslo rovoměrě rozděleé v itervalu (0; ) (fukce NÁHČÍSLO). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 38

39 Metoda MoteCarlo ) Vyočítáme hodoty. g * ( x i ) ( ) 3) Sočítáme aritmetický růměr hodot g * x i, eboť latí: I * g i ( ). x i Počet realizovaých okusů Staoveý odhad hodoty π 00, ,65984 I &, ,47983 Ig. Michal Dorda, Ph.D. 39

40 Metoda MoteCarlo Sezámili jsme se se základími riciy metody MoteCarlo, yí ás bude zajímat, jaká je řesost odhadu metodou Mote Carlo. Uvažujme řístu založeý a geometrické ravděodobosti. Při tomto řístuu realizujeme áhodý okus, ři kterém může astat buď úsěch ebo eúsěch. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 40

41 Metoda MoteCarlo Jedá se tedy o Beroullihookusy (ezávislé okusy mající ouze dva možé výsledky úsěch a eúsěch, ravděodobost úsěchu v každém okusu je kostatí), kdy ezáme ravděodobost úsěchu, ale chceme ji a základě exerimetu staovit. Zaveďme roměou δ i, která v říadě úsěchu abude hodoty a v říadě eúsěchu hodoty 0. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4

42 Metoda MoteCarlo Defiujme roměou M: i M δ i, kde je očet realizovaých okusů. Proměá M se řídí biomickým rozděleím; ro ravděodobost, že v okusech astae rávě m úsěchů, latí: m m P( M m) ( ), m kde 0 < <je ravděodobost úsěchu. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 4

43 Metoda MoteCarlo Pro středí hodotu a roztyl biomické áhodé roměé latí: Uvažujme yí roměou Z vlastostí ( )., DM EM. M Uvažujme yí roměou Z vlastostí středí hodoty a roztylu lye: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 43. M ( ) ( )., DM M D EM M E

44 Metoda MoteCarlo Při dalším odvozováí oužijeme Čebyševovu erovost: Nechť X je áhodá roměá s libovolým, obecě ezámým rozděleím, s koečou středí hodotou EX a roztylem DX. Potom ro libovolě malé ε>0 latí: P DX ε ( X EX < ε ). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 44

45 Metoda MoteCarlo Položme a dosaďme do Čebyševovy erovosti odvozeé vztahy ro a M X M E : M D ( ), ε ε < M P tato erovost je azýváa Beroulliho erovost. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 45, ε ε < P

46 Metoda MoteCarlo Beroullihoerovost můžeme zjedodušit a základě skutečosti, že: 4 ( ), otom dostaeme: P M < ε 4ε Z tohoto vztahu lye, že ro se M veličia (tedy relativí četost úsěchu) blíží ravděodobosti úsěchu.. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 46

47 Metoda MoteCarlo Ozačme yí ravděodobost, že absolutí M odchylka veličiy od ravděodobosti úsěchu bude meší ež ředem staoveá maximálě říustá chyba εjako solehlivost odhadu, tedy: P M < ε. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 47

48 Metoda MoteCarlo Potom můžeme sát: 4ε, kde je hladia výzamosti. Tato erovost vyjadřuje vztah mezi očtem okusů, maximálě říustou chybou εa solehlivostí odhadu. Ze vztahu lye, že chceme-li docílit ři odhadu ravděodobosti omocí relativí četosti co ejmeší chyby a co ejvětší solehlivosti odhadu, musíme očet okusů zvyšovat. M Ig. Michal Dorda, Ph.D. 48

49 Metoda MoteCarlo Pro kokrétí hodoty a εotom ro horí hraici očtu okusů dostáváme: 4ε. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 49

50 Metoda MoteCarlo Př. 4: Staovte horí hraici očtu okusů ři odhadu hodoty πgeometrickou metodou ro hladiu výzamosti 0,05 a maximálí říustou chybu ε 0,, res. ε 0,0. 40, 0,05 40,0 0,05 500, Ig. Michal Dorda, Ph.D. 50

51 Metoda MoteCarlo Vztah ro výočet horí hraice očtu okusů získaý a základě Čebyševovyerovosti ovšem dává začě vysoké hodoty očtu okusů. Pokusme se yí vyjádřit řesější odhad ro očet okusů založeém a cetrálí limití větě. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5

52 Metoda MoteCarlo Defiovali jsme si áhodou roměou M, která vyjadřuje očet úsěšých okusů ři realizacích. Řekli jsme, že tato roměá se řídí biomickým rozděleím a ro její středí hodotu a roztyl latí: EM, DM ( ), kde a jsou arametry rozděleí. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 5

53 Metoda MoteCarlo Zaveďme si yí áhodou roměou η defiovaou vztahem: η M EM DM M ( ). Pro tuto veličiu bylo dokázáo (Moivreova- Lalaceovavěta), že ro latí: η M ( ) N ( 0;). Veličia ηmá tedy asymtoticky ormovaé ormálí rozděleí. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 53

54 Metoda MoteCarlo f(x) x z z 0 z Ig. Michal Dorda, Ph.D. 54

55 Metoda MoteCarlo Na základě obrázku můžeme sát: ( ) φ φ + < < z z z M z P kde zozačuje kvatil ormovaého rozděleí ravděodobosti, je hladia výzamosti a symbol Фvyjadřuje distribučí fukci ormovaého rozděleí. Ig. Michal Dorda, Ph.D

56 Metoda MoteCarlo Uravme dále levou část výrazu: ( ) ( ) < < < < z M z P z M z P Ig. Michal Dorda, Ph.D. 56 ( ) ( ) ( ). < < < z M P z M P z M P

57 Metoda MoteCarlo M Výraz ozačme jako εa vyjadřuje maximálí říustou chybu. Potom můžeme sát: ( ) ε < z z čehož úravami získáme: ( ) < z, res. < z ε 4ε,. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 57

58 Metoda MoteCarlo Př. 5: Staovte horí hraici očtu okusů ři odhadu hodoty πgeometrickou metodou ro hladiu výzamosti 0,05 a maximálí říustou chybu ε 0,, res. ε 0,0. Nejdříve musíme staovit hodotu říslušého kvatilu. Z tabulek dostaeme: z z 0,975 &,96. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 58

59 Metoda MoteCarlo Nyí již můžeme řistouit k výočtu odhadu horí hraice očtu otřebých okusů: <,96 & 40, <,96 40,0 96, Srováme-li dosažeé výsledky, tak vidíme, že dostáváme mohem ižší horí hraice očtu okusů ež ři výočtu omocí Čebyševovy erovosti. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 59

60 Metoda MoteCarlo V říadě, že staovujeme odhad omocí středí hodoty, lze ke staoveí horí hraice očtu okusů oužít ásledující ostu. Uvedli jsme si, že v tomto říadě staovujeme odhad hledaé hodoty jako aritmetický růměr realizací ezávislých áhodých roměých X,, X majících stejé rozděleí se středí hodotou EX EX μa roztylem DX DX σ. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 60

61 Metoda MoteCarlo Z cetrálí limití věty lye, že veličia X má ro asymtoticky ormálí rozděleí, tedy: X X i i σ N µ ;. Potom musí zřejmě latit (stadardizace ormálího rozděleí): X µ σ N ( 0;). Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6

62 Metoda MoteCarlo Musí tedy aalogicky jako v ředchozím říadě latit:. φ φ σ µ < < z z z X z P Uravme aalogicky ravou strau výrazu: Ig. Michal Dorda, Ph.D. 6 σ. < < < < σ µ σ µ σ µ z X P z X P z X z P

63 Metoda MoteCarlo Položíme-li X µ ε, otom dostaeme: σ ε < z, z čehož úravami získáme: σ < z ε. Jelikož v raxi zravidla roztyl ezáme, roto ho ahradíme jeho odhadem výběrovým roztylem s : s < z ε. Ig. Michal Dorda, Ph.D. 63