z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet"

Transkript

1 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí Číselé charakteristiky áhodé veličiy Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p }. Jedou z možostí, jak tuto veličiu charakterizovat, je určit součet x p = x P(X = x ), ve kterém každou hodotu áhodé veličiy ásobíme pravděpodobostí, že áhodá veličia této hodoty abude (každou hodotu áhodé veličiy vážíme její šací ). Budou-li hodotami áhodé veličiy eje kladá, ale i záporá čísla, mohl by se teto součet (samozřejmě pouze při ekoečém počtu sčítaců) měit při změě idexováí hodot áhodé veličiy. Proto se v ásledujících defiicích požaduje absolutí kovergece příslušých řad. 1. Nechť X je diskrétí áhodá veličia s rozděleím {x }, {p }. Je-li x p = x P(X = x ) <, azveme součet řady x p = x P(X = x ), středí hodotou E(X) áhodé veličiy X. Pokud eí uvedeá podmíka splěa, řekeme, že áhodá veličia X emá středí hodotu. 2. Nechť ϕ(x) : R 1 R 1 je borelovská fukce. Je-li ϕ(x ) p = ϕ(x ) P(X = x ) <, azveme součet řady ϕ(x )p = ϕ(x )P(X = x ), středí hodotou E(ϕ(X)) áhodé veličiy ϕ(x). Pokud eí uvedeá podmíka splěa, řekeme, že áhodá veličia ϕ(x) emá středí hodotu. Pro spojitou áhodou veličiu vychází defiice středí hodoty ze stejých úvah, místo sčítáí itegrujeme. 1. Nechť X je spojitá áhodá veličia s hustotou f X (x). Je-li x f X (x)dx <, 3

2 4 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. azveme itegrál xf X (x)dx, středí hodotou E(X) áhodé veličiy X. Neí-li podmíka splěa, řekeme, že áhodá veličia X emá středí hodotu (její středí hodota eexistuje). 2. Nechť ϕ(x) : R 1 R 1 je borelovská fukce. Je-li azveme itegrál ϕ(x) f X (x)dx <, ϕ(x)f X (x)dx, středí hodotou E(ϕ(X)) áhodé veličiy ϕ(x). V opačém případě řekeme, že áhodá veličia ϕ(x) emá středí hodotu. Ozačeí. Symbolem L 1 (Ω, A, P) začíme možiu všech áhodých veliči defiovaých a uvedeém pravděpodobostím prostoru, které mají středí hodotu. Věta 1. Nechť X, Y jsou áhodé veličiy defiovaé a pravděpodobostím prostoru (Ω, A, P) a echť a, b jsou libovolá reálá čísla. Platí 1. X L 1 (Ω, A, P) = E(aX) = ae(x), 2. P(X 0) = 1 = E(X) 0, 3. X L 1, Y L 1 = E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), 4. X L 1, Y L 1, P(X Y ) = 1 = E(X) E(Y ), 5. P(X = a) = 1 = E(X) = a, Důkaz. Tvrzeí plyou z vlastostí číselých řad a z vlastostí itegrálu. Pozámka. 1. Středí hodota áhodé veličiy obecě emusí existovat. Např. má-li áhodá veličia X spojité rozděleí s hustotou f(x) =, x π(1+x 2 ) R1 (je to tzv. 1 Cauchyho rozděleí), je 1 x dx =, π(1 + x 2 ) tj. podle defiice středí hodota eexistuje. 2. Středí hodota je číselá charakteristika polohy hodot áhodé veličiy X a reálé ose. Záme-li E(X), víme, kde jsou hodoty áhodé veličiy kocetrováy, kde je můžeme s ejvětší pravděpodobostí očekávat. Proto se středí hodotě ve starší literatuře říkalo očekávaá hodota ebo také matematická aděje. Středí hodota je jedím z tzv. mometů áhodé veličiy. Defiice 1. Nechť X je áhodá veličia defiovaá a (Ω, A, P), r = 1, 2,... E(X r ) se azývá r-tý (počátečí ebo obecý) momet, E( X r ) se azývá r-tý absolutí (obecý) momet,

3 5 Je-li X L 1 (Ω, A, P), E(X E(X)) r E( X E(X) r ) se azývá r-tý cetrálí momet, se azývá r-tý cetrálí absolutí momet. Ozačeí. Existuje-li r-tý momet áhodé veličiy X, píšeme X L r (Ω, A, P). Pozámka. 1. Při výpočtu mometů áhodé veličiy vycházíme z defiic, tj. apř. E(X r ) = x r f X (x)dx, pro X spojitou, E(X E(X)) r = [x E(X)] r p pro X diskrétí, E( X E(X) r ) = x E(X) r f X (x) dx pro X spojitou. 2. Protože v R 1 platí erovost x k 1 + x r pro 0 < k < r, platí tvrzeí E( X r ) < = E( X k ) <, k r, a tedy X L r (Ω, A, P) X L k (Ω, A, P), k r. Jiými slovy: Z toho, že áhodá veličia X má určitý momet plye, že má všechy momety meších stupňů. 3. Při výpočtech lze užít vztah (který dokážeme pomocí biomické věty) E[X E(X)] = ( ) ( 1) j E[(X) j ][E(X)] j, j j=0 tj. má-li X momet E(X ), má také cetrálí momet E[X E(X)], N. Defiice 2. Druhý cetrálí momet áhodé veličiy X se azývá rozptyl (variace, disperse) áhodé veličiy X. Obvykle se ozačuje var(x) = E[X E(X)] 2. Druhá odmocia z rozptylu var(x) se azývá směrodatá (stadardí, středí kvadratická) odchylka áhodé veličiy X. Pozámka. Je zřejmé, že existece středí hodoty E(X) je utou podmíkou existece rozptylu. Rozptyl je druhá ejdůležitější číselá charakteristika áhodé veličiy. Ukazuje, zda jsou hodoty áhodé veličiy více ebo méě kocetrováy kolem středí hodoty E(X), je to míra variability hodot áhodé veličiy kolem E(X). Patří mezi tzv. škálové charakteristiky ebo charakteristiky měřítka. Věta 2 (Čebyševova erovost). Nechť X L 2 (Ω, A, P). Pro libovolé ε > 0 platí P( X E(X) ε) var(x) ε 2.

4 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. Důkaz. Dokážeme apř. pro spojitou áhodou veličiu. Zvolme libovolé ε > 0. var(x) = E[X E(X)] 2 = [x E(X)] 2 f X (x)dx [x E(X)] 2 f X (x)dx ε 2 {x: x E(X) ε} {x: x E(X) ε} f X (x)dx = ε 2 P( X E(X) ε). Tvrzeí věty dostaeme úpravou erovosti. Věta 3. Nechť X má druhý momet, tj. echť X L 2 (Ω, A, P). Platí 1. var(x) 0, 2. var(a + bx) = b 2 var(x), 3. var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2, 4. P(X = c) = 1 var(x) = 0. Důkaz. 1. plye z defiice rozptylu a z vlastostí středí hodoty, 2. var(a + bx) = E[a + bx E(a + bx)] 2 = b 2 E[X E(X)] 2 = b 2 var(x), 3. var(x) = E[X E(X)] 2 = E{X 2 2XE(X) + [E(X)] 2 } = E(X 2 ) [E(X)] 2, Příklad. Vypočtěte rozptyl áhodé veličiy X, která má diskrétí rovoměré rozděleí, tj. která abývá hodot k = 0, 1,..., M 1 s pravděpodobostmi P(X = k) = 1 M, k = 0, 1,..., M 1. Řešeí: E(X) = M 1 k=0 M 1 E(X 2 ) = k 2 1 M = 1 M k=0 var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = k 1 M = 1 M ( [M 1]) = 1 M M(M 1)(2M 1) 6 (M 1)(2M 1) 6. M(M 1) 2 (M 1)2 4 = M 1 2 = M Příklad. Nechť X má středí hodotu a eulový rozptyl. Uvažujme áhodou veličiu Y = X E(X) var(x).., Potom platí E(Y ) = 1 var(x) E[X E(X)] = 0, ( ) 2 1 var(y ) = var[x E(X)] = 1. var(x)

5 Náhodá veličia Y se azývá ormovaá ebo také stadardizovaá áhodá veličia. 7 Dalšími důležitými číselými charakteristikami áhodé veličiy jsou tzv. kvatily. Užívají se zejméa v matematické statistice. Defiice 3. Nechť α (0, 1). α-kvatil áhodé veličiy X je takové reálé číslo x α, pro které platí P(X x α ) α a současě P(X x α ) 1 α. Pozámka. 1. Obecě eí α-kvatil jedozačě urče. Může dokoce existovat ohraičeý iterval hodot x α splňujících podmíky požadovaé v defiici. 2. x α je takové reálé číslo, které splňuje vztahy F X (x α 0) α F X (x α ). 3. Je-li distribučí fukce F X áhodé veličiy X spojitá a rostoucí všude tam, kde 0 < F X (x) < 1, je α-kvatil x α jedozačě urče vztahem F X (x α ) = α. Některé kvatily mají speciálí ázvy: x 0,5 se azývá mediá, x 0,25 dolí kvartil, x 0,75 horí kvartil. x k, k = 1, 2,..., 9, je tzv. k-tý decil, 10, k = 1, 2,..., 99, je tzv. k-tý percetil (procetil). x k 100 Příklad. Nechť X je spojitá áhodá veličia s hustotou { 0, x 0, π f(x) =, 2 cos x, x 0, π 2 její distribučí fukce je rova 0, pro x 0, x F X (x) = cos t dt = si x, pro 0 < x < π, 0 2 1, pro x π, 2 viz obr. 12. Mediá x 1 2 vypočteme z rovice si x = 1 2, tedy x 1 2 = π 6. Příklad. Nechť X je rova počtu bodů, které padou při jedom hodu pravidelou hrací kostkou. P(X = k) = 1, k = 1,..., 6. E(X) = 6 6 k=1 k 1 = 3, 5. Mediá x 6 0,5 je každé číslo z itervalu 3, 4, protože P(X 3) = 1, P(X 4) =

6 8 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí Modus Pro diskrétí a spojité áhodé veličiy lze defiovat ještě jedu číselou charakteristiku azývaou modus, oz. ˆx ebo Mo. Je-li X diskrétí, je ˆx její ejpravděpodobější hodota, je-li X spojitá, je ˆx bod, ve kterém má hustota f X lokálí maximum. Je zřejmé, že modus emusí existovat a eí urče jedozačě. Podle počtu modálích hodot se rozděleí pravděpodobostí azývá uimodálí, bimodálí ebo multimodálí. Má-li áhodá veličia X distribučí fukci F (x), pak áhodá veličia Y = X + a má distribučí fukci G(x) = P(Y x) = P(X + a x) = P(X x a) = F (x a). Graf distribučí fukce G(x) áhodé veličiy Y získáme z grafu distribučí fukce F (x) áhodé veličiy X posuutím o hodotu a. Říkáme, že rozděleí těchto dvou áhodých veliči se od sebe liší je polohou. Charakteristikou polohy azýváme takovou charakteristiku ξ(x), pro iž platí ξ(x + a) = ξ(x) + a, a R 1. Tuto vlastost má apř. středí hodota, α-kvatil ebo modus Variace Charakteristikou variability rozděleí pravděpodobostí áhodé veličiy X je taková charakteristika η(x), pro iž platí η(a + bx) = b 2 η(x), ebo η(a + bx) = b η(x), a, b R 1. Je vidět, že změou polohy zůstává charakteristika variability ezměěa, protože η(x + a) = η(x). Nejužívaější charakteristiky variability jsou rozptyl, směrodatá odchylka, mezikvartilové rozpětí x 0,75 x 0,25, mezidecilové rozpětí x 0,99 x 0,01 ebo středí odchylka E( X µ ), kde se za µ volí buď středí hodota EX ebo mediá. V dalším budeme užívat pojem symetrické rozděleí. Defiice 4. Řekeme, že diskrétí áhodá veličia X má rozděleí symetrické podle bodu µ, platí-li P(X = x ) = P(X = 2µ x ) pro všechy její hodoty x. Řekeme, že spojitá áhodá veličia X má rozděleí symetrické podle bodu µ, jestliže pro její hustotu platí f(µ x) = f(µ + x), x R 1. Pro áhodou veličiu X, která má rozděleí symetrické podle bodu µ platí E(X) = µ, E[(X µ) k ] = 0, k = 1, 3, 5,... tj. všechy její liché cetrálí momety jsou ulové. Příklad. Normálí rozděleí N(µ, σ 2 ) je rozděleí symetrické podle bodu µ = EX. Příklad.

7 Nechť X je rova součtu bodů, které padou při jedom hodu dvěma symetrickými hracími kostkami. Tato áhodá veličia abývá hodot 9 x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 s pravděpodobostmi p = 1 36, 2 36, 3 36, 4 36, 5 36, 6 36, 5 36, 4 36, 3 36, 2 36, Její rozděleí je symetrické podle bodu µ = 7 = E(X) Šikmost a špičatost Další třída charakteristik se týká symetrie (šikmosti) rozděleí pravděpodobostí áhodé veličiy. Nejčastěji užívaou charakteristikou asymetrie je tzv. (mometový) koeficiet šikmosti α 3 (X) = E[(X E(X))3 ] ( var(x)) 3. Je-li rozděleí symetrické, je α 3 = 0. Je-li rozděleí protáhlejší směrem apravo ež směrem alevo, je α 3 > 0. Je-li rozděleí protáhlejší směrem alevo ež směrem apravo, je α 3 < 0. Jako charakteristika špičatosti (plochosti) rozděleí se užívá tzv. (mometový) koeficiet špičatosti α 4 (X) = E[(X E(X))4 ] ( var(x)) 4 3. Má-li áhodá veličia X symetrické rozděleí a je-li α 4 (X) > 0, (α 4 (X) < 0) zameá to, že a svých kocích je pravděpodobostí fukce P(X = x ) ebo hustota f(x) této áhodé veličiy větší (meší) ež hustota ormálího rozděleí se stejou středí hodotou a stejým rozptylem. Koeficiet špičatosti se užívá i pro esymetrická rozděleí.

8 10 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí Nejdůležitější diskrétí distribučí fukce

9 11 Alterativí (ula jedičkové) rozděleí Alterativí (ula jedičkové) rozděleí s parametrem p má áhodá veličia X, která abývá pouze dvou hodot x 1 = 0, x 2 = 1 s pravděpodobostmi p 1 = P(X = 0) = 1 p, p 2 = P(X = 1) = p, kde p (0, 1) je parametr tohoto rozděleí. Krátce ozačujeme X Alt(p) a čteme áhodá veličia X má alterativí rozděleí s parametrem p. Distribučí fukce

10 12 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. je rova 0, pro x < 0, F (x) = 1 p, pro 0 x < 1, 1, pro x 1. E(X) = 0 (1 p) + 1 p = p, var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = [0 2 (1 p) p] p 2 = p(1 p). Model: uvažujeme áhodý pokus, ve kterém může astat jev A (úspěch) s pravděpodobostí p (0, 1); X je rova počtu úspěchů, které astaou v pokuse. Biomické rozděleí Předpokládejme, že jsme provedli celkem ezávislých pokusů takových, že v každém z ich mohl astat jev A (úspěch) se stejou pravděpodobostí p (0, 1). Možia Ω všech výsledků tohoto pokusu je možia celkem 2 uspořádaých -tic vytvořeých ze dvou symbolů (apř. + ozačíme úspěch, ozačíme eúspěch). A echť je třída všech podmoži Ω, P klasická pravděpodobost. Náhodá veličia X(ω) echť je rova počtu úspěchů v ω. Obor hodot této áhodé veličiy je možia M = {0, 1,..., } a pravděpodobostí fukce P(X = k) = ( k ) p k (1 p) k, k = 0, 1,...,. (1) Tuto áhodou veličiu ozačujeme ázvem biomické rozděleí s parametry, p a zapisujeme krátce X Bi(, p). Distribučí fukce této áhodé veličiy je 0, ( pro x < 0, F (x) = k x k) p k (1 p) k, pro 0 x <, 1, pro x. Příklad. Určete středí hodotu áhodé veličiy X, která má biomické rozděleí s parametry, p.

11 13 Řešeí: X abývá hodot k = 0, 1,..., s pravděpodobostmi ( ) P(X = k) = p k (1 p) k, k E(X) = ( k k k=0 ) p k (1 p) k = p k=1 ( ) 1 k 1 k=1! (k 1)!( k)! pk (1 p) k = p k 1 (1 p) k = 1 ( ) 1 = p p j (1 p) 1 j = p[p + (1 p)] 1 = p. j j=0 Poissoovo rozděleí Poissoovo rozděleí s parametrem λ má áhodá veličia X, která abývá hodot k = 0, 1,... s pravděpodobostmi P(X = k) = λk k! e λ, λ > 0. Ozačujeme krátce X Po(λ). { 0, pro x < 0, F (x) = λ k k x k! e λ, pro x 0. E(X) = k=0 k λk k! e λ = λe λ k=1 λ k 1 (k 1)! = λe λ j=0 λ j j! = λ. var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = E[X(X 1)] + E(X) [E(X)] 2. Vypočteme ejprve E[X(X 1)] = k(k 1) λk k! e λ = λ 2 e λ k=0 k=2 λ k 2 (k 2)! = λ2 e λ j=0 λ j j! = λ2 P (X=k) P (X=k 1) a tedy var(x) = λ 2 + λ λ 2 = λ, tj. středí hodota a rozptyl Poissoova rozděleí jsou stejé a rovají se parametru. Pro modus ˆx rozděleí Po(λ) platí λ 1 ˆx λ. To určíme stejě jako u biomického rozděleí vyšetřeím podílu. Je-li λ přirozeé číslo, je rozděleí bimodálí: ˆx 1 = λ 1, ˆx 2 = λ. Pro λ < 1 má rozděleí modus ˆx = 0. Pozámka. Lze odvodit, že za určitých předpokladů se Poissoovým rozděleím řídí áhodé veličiy: počet sigálů, které dojdou do telefoí ústředy během itervalu délky t; počet elektroů emitovaých rozžhaveou katodou elektroky během itervalu délky t; počet jedobuěčých orgaizmů a ploše velikosti t v zorém poli mikroskopu, atd.

12 14 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. Rovoměré rozděleí a itervalu (a, b), < a < b <, má áhodá veličia X, která má hustotu f X (x) = { 1, pro x (a, b) b a 0, pro x (a, b). Toto je ejjedodušší hustota rozděleí pravděpodobostí áhodé veličiy. Ozačujeme: X Ro(a, b), a, b jsou parametry tohoto rozděleí. Příslušá distribučí fukce potom je 0 pro x a, x 1 x a F (x) = dt =, pro a x < b, a b a b a 1 pro x b. Vypočteme číselé charakteristiky a tedy E(X) = E(X 2 ) = b a b a x 1 b a dx = b2 a 2 2(b a) = a + b, 2 x 2 1 b a dx = b3 a 3 3(b a) = b2 + ab + a 2 3 var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = b2 + ab + a 2 3 (a + b)2 4 = (b a)2 12 Pozámka. 1. Rovoměré rozděleí Ro(0,1) je zvláštím případem tzv. beta-rozděleí. Náhodá veličia X má tzv. B-rozděleí s parametry a > 0, b > 0, má-li hustotu { 0, x / (0, 1), f(x) = 1 B(a,b) xa 1 (1 x) b 1, x (0, 1). Píšeme X B(a, b). 2. S rovoměrým rozděleím se často setkáváme v praxi, toto rozděleí má apř. chyba ze zaokrouhleí a k desetiých míst při umerických výpočtech (áhodá veličia s rovoměrým rozděleím a itervalu ( 5 5, )), 10 k+1 10 k+1 chyba při odečítáí údajů z těch měřicích přístrojů, jejichž stupice eumožňuje iterpolaci, apř. rozdíl skutečého času a času, který ukazují digitálí hodiy, zde (a, b) = (0, 60), chyba při staoveí času z digitálích hodi. Normálí rozděleí (Gaussovo) s parametry µ, σ má áhodá veličia X, která má hustotu f X (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x R 1, µ R 1, σ > 0. Normálí rozděleí s parametry µ, σ ozačíme N(µ, σ 2 ). Je zřejmé, že f X (µ + x) = f X (µ x), x > 0. Tvar hustoty závisí a parametru σ 2..

13 Velmi důležitým případem ormálího rozděleí je rozděleí N(0, 1). Toto rozděleí se azývá ormovaé, ěkdy též stadardizovaé ormálí rozděleí. Má-li áhodá veličia U rozděleí N(0, 1), je její hustota ϕ(u) = 1 2π e u2 2, < u <. 15 Zřejmě ϕ(u) = ϕ( u), < u <, stačí proto tabelovat hodoty ϕ(u) pro kladé argumety.

14 16 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. Má-li áhodá veličia X rozděleí N(µ, σ 2 ), pak áhodá veličia U = X µ σ má rozděleí N(0, 1). *) Normovaému ormálímu rozděleí přísluší distribučí fukce Φ(u) = 1 u e t2 2 dt, < u <. 2π Hodoty této fukce jsou tabelovaé, existují také algoritmy pro jejich vyčísleí. Hustota ϕ(x) je sudá fukce, stačí proto tabelovat její hodoty pro x 0. Protože Φ(x) = 1 Φ( x), x R 1, jsou tabelováy pouze kvatily x α pro α > 0, 5. *) Důkaz tohoto tvrzeí uvedeme v odstavci Rozděleí fukce jedé áhodé veličiy.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Úvod do teorie pravděpodobnosti Náhoda a pravděpodobnost, náhodný jev, náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti

Více

Přehled pravděpodobnostních rozdělení

Přehled pravděpodobnostních rozdělení NSTP097Statistika Zima009 Přehled pravděpodobnostních rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní(Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení X Alt(p) p (0, ) X {0,} Hustota: P[X= j]=p j ( p) j, j {0,} Středníhodnota:

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D. 16. března 2009 Literatura [1] J. Anděl: Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 [2] V. Dupač, M. Hušková: Pravděpodobnost a matematická

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímí učebí text (srpe 01) Miloslav Sucháek 1. Základí pojmy Při hodoceí aalytických metod a výsledků ebo při formulaci fyzikálě-chemických modelů popisujících vztahy mezi

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a

Více

Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny

Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Ing. Jana Šenkapoulová VODÁRENSKÁ AKCIOVÁ SPOLEČNOST, a.s. Brno, Soběšická 156, 638 1 Brno ÚVOD Každé rekonstrukci

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

alternativní rozdělení Statistika binomické rozdělení bi(n, π)(2)

alternativní rozdělení Statistika binomické rozdělení bi(n, π)(2) Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara 5. listopadu 2007 1(178) binomické rozdělení Poissonovo rozdělení normální rozdělení

Více

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot Rozdělení Náhodná veličina Náhodná veličina je vyjádření výsledku náhodného pokusu číselnou hodnotou. Jde o reálnou funkci definovanou na množině. Rozdělení náhodné veličiny udává jakých hodnot a s jakou

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k Do školí jídely přišla skupia 35 žáků. Určete kolika způsoby se mohli seřadit do froty u výdeje obědů. Řešeí: Počet možostí je 1 2... 35=35! (Permutace bez opakováí) Permutací bez opakováí z -prvkové možiy

Více

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY Záš pojmy A. Popiš aspoň jede fyzikálí experimet měřeí rychlosti světla. - viz apříklad Michelsoův, Fizeaův, Roemerův pokus. Defiuj a popiš fyzikálí veličiu idex lomu. - je to bezrozměrá fyzikálí veličia

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.

A NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2. A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic:

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely KABELY Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodé vláko): metalické kabely optické kabely Metalické kabely: osou veličiou je elektrické apětí ebo proud obvykle se jedá o vysokofrekvečí přeos

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů Číslicová filtrace Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu MĚŘENÍ INDEXU LOMU REFRAKTOMETREM Jedou z charakteristických optických veliči daé látky je absolutím idexu lomu. Je to podíl rychlosti světla ve vakuu c a v daém prostředí v: c (1) v Průchod světla rozhraím

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více