z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet"

Transkript

1 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí Číselé charakteristiky áhodé veličiy Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p }. Jedou z možostí, jak tuto veličiu charakterizovat, je určit součet x p = x P(X = x ), ve kterém každou hodotu áhodé veličiy ásobíme pravděpodobostí, že áhodá veličia této hodoty abude (každou hodotu áhodé veličiy vážíme její šací ). Budou-li hodotami áhodé veličiy eje kladá, ale i záporá čísla, mohl by se teto součet (samozřejmě pouze při ekoečém počtu sčítaců) měit při změě idexováí hodot áhodé veličiy. Proto se v ásledujících defiicích požaduje absolutí kovergece příslušých řad. 1. Nechť X je diskrétí áhodá veličia s rozděleím {x }, {p }. Je-li x p = x P(X = x ) <, azveme součet řady x p = x P(X = x ), středí hodotou E(X) áhodé veličiy X. Pokud eí uvedeá podmíka splěa, řekeme, že áhodá veličia X emá středí hodotu. 2. Nechť ϕ(x) : R 1 R 1 je borelovská fukce. Je-li ϕ(x ) p = ϕ(x ) P(X = x ) <, azveme součet řady ϕ(x )p = ϕ(x )P(X = x ), středí hodotou E(ϕ(X)) áhodé veličiy ϕ(x). Pokud eí uvedeá podmíka splěa, řekeme, že áhodá veličia ϕ(x) emá středí hodotu. Pro spojitou áhodou veličiu vychází defiice středí hodoty ze stejých úvah, místo sčítáí itegrujeme. 1. Nechť X je spojitá áhodá veličia s hustotou f X (x). Je-li x f X (x)dx <, 3

2 4 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. azveme itegrál xf X (x)dx, středí hodotou E(X) áhodé veličiy X. Neí-li podmíka splěa, řekeme, že áhodá veličia X emá středí hodotu (její středí hodota eexistuje). 2. Nechť ϕ(x) : R 1 R 1 je borelovská fukce. Je-li azveme itegrál ϕ(x) f X (x)dx <, ϕ(x)f X (x)dx, středí hodotou E(ϕ(X)) áhodé veličiy ϕ(x). V opačém případě řekeme, že áhodá veličia ϕ(x) emá středí hodotu. Ozačeí. Symbolem L 1 (Ω, A, P) začíme možiu všech áhodých veliči defiovaých a uvedeém pravděpodobostím prostoru, které mají středí hodotu. Věta 1. Nechť X, Y jsou áhodé veličiy defiovaé a pravděpodobostím prostoru (Ω, A, P) a echť a, b jsou libovolá reálá čísla. Platí 1. X L 1 (Ω, A, P) = E(aX) = ae(x), 2. P(X 0) = 1 = E(X) 0, 3. X L 1, Y L 1 = E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), 4. X L 1, Y L 1, P(X Y ) = 1 = E(X) E(Y ), 5. P(X = a) = 1 = E(X) = a, Důkaz. Tvrzeí plyou z vlastostí číselých řad a z vlastostí itegrálu. Pozámka. 1. Středí hodota áhodé veličiy obecě emusí existovat. Např. má-li áhodá veličia X spojité rozděleí s hustotou f(x) =, x π(1+x 2 ) R1 (je to tzv. 1 Cauchyho rozděleí), je 1 x dx =, π(1 + x 2 ) tj. podle defiice středí hodota eexistuje. 2. Středí hodota je číselá charakteristika polohy hodot áhodé veličiy X a reálé ose. Záme-li E(X), víme, kde jsou hodoty áhodé veličiy kocetrováy, kde je můžeme s ejvětší pravděpodobostí očekávat. Proto se středí hodotě ve starší literatuře říkalo očekávaá hodota ebo také matematická aděje. Středí hodota je jedím z tzv. mometů áhodé veličiy. Defiice 1. Nechť X je áhodá veličia defiovaá a (Ω, A, P), r = 1, 2,... E(X r ) se azývá r-tý (počátečí ebo obecý) momet, E( X r ) se azývá r-tý absolutí (obecý) momet,

3 5 Je-li X L 1 (Ω, A, P), E(X E(X)) r E( X E(X) r ) se azývá r-tý cetrálí momet, se azývá r-tý cetrálí absolutí momet. Ozačeí. Existuje-li r-tý momet áhodé veličiy X, píšeme X L r (Ω, A, P). Pozámka. 1. Při výpočtu mometů áhodé veličiy vycházíme z defiic, tj. apř. E(X r ) = x r f X (x)dx, pro X spojitou, E(X E(X)) r = [x E(X)] r p pro X diskrétí, E( X E(X) r ) = x E(X) r f X (x) dx pro X spojitou. 2. Protože v R 1 platí erovost x k 1 + x r pro 0 < k < r, platí tvrzeí E( X r ) < = E( X k ) <, k r, a tedy X L r (Ω, A, P) X L k (Ω, A, P), k r. Jiými slovy: Z toho, že áhodá veličia X má určitý momet plye, že má všechy momety meších stupňů. 3. Při výpočtech lze užít vztah (který dokážeme pomocí biomické věty) E[X E(X)] = ( ) ( 1) j E[(X) j ][E(X)] j, j j=0 tj. má-li X momet E(X ), má také cetrálí momet E[X E(X)], N. Defiice 2. Druhý cetrálí momet áhodé veličiy X se azývá rozptyl (variace, disperse) áhodé veličiy X. Obvykle se ozačuje var(x) = E[X E(X)] 2. Druhá odmocia z rozptylu var(x) se azývá směrodatá (stadardí, středí kvadratická) odchylka áhodé veličiy X. Pozámka. Je zřejmé, že existece středí hodoty E(X) je utou podmíkou existece rozptylu. Rozptyl je druhá ejdůležitější číselá charakteristika áhodé veličiy. Ukazuje, zda jsou hodoty áhodé veličiy více ebo méě kocetrováy kolem středí hodoty E(X), je to míra variability hodot áhodé veličiy kolem E(X). Patří mezi tzv. škálové charakteristiky ebo charakteristiky měřítka. Věta 2 (Čebyševova erovost). Nechť X L 2 (Ω, A, P). Pro libovolé ε > 0 platí P( X E(X) ε) var(x) ε 2.

4 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. Důkaz. Dokážeme apř. pro spojitou áhodou veličiu. Zvolme libovolé ε > 0. var(x) = E[X E(X)] 2 = [x E(X)] 2 f X (x)dx [x E(X)] 2 f X (x)dx ε 2 {x: x E(X) ε} {x: x E(X) ε} f X (x)dx = ε 2 P( X E(X) ε). Tvrzeí věty dostaeme úpravou erovosti. Věta 3. Nechť X má druhý momet, tj. echť X L 2 (Ω, A, P). Platí 1. var(x) 0, 2. var(a + bx) = b 2 var(x), 3. var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2, 4. P(X = c) = 1 var(x) = 0. Důkaz. 1. plye z defiice rozptylu a z vlastostí středí hodoty, 2. var(a + bx) = E[a + bx E(a + bx)] 2 = b 2 E[X E(X)] 2 = b 2 var(x), 3. var(x) = E[X E(X)] 2 = E{X 2 2XE(X) + [E(X)] 2 } = E(X 2 ) [E(X)] 2, Příklad. Vypočtěte rozptyl áhodé veličiy X, která má diskrétí rovoměré rozděleí, tj. která abývá hodot k = 0, 1,..., M 1 s pravděpodobostmi P(X = k) = 1 M, k = 0, 1,..., M 1. Řešeí: E(X) = M 1 k=0 M 1 E(X 2 ) = k 2 1 M = 1 M k=0 var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = k 1 M = 1 M ( [M 1]) = 1 M M(M 1)(2M 1) 6 (M 1)(2M 1) 6. M(M 1) 2 (M 1)2 4 = M 1 2 = M Příklad. Nechť X má středí hodotu a eulový rozptyl. Uvažujme áhodou veličiu Y = X E(X) var(x).., Potom platí E(Y ) = 1 var(x) E[X E(X)] = 0, ( ) 2 1 var(y ) = var[x E(X)] = 1. var(x)

5 Náhodá veličia Y se azývá ormovaá ebo také stadardizovaá áhodá veličia. 7 Dalšími důležitými číselými charakteristikami áhodé veličiy jsou tzv. kvatily. Užívají se zejméa v matematické statistice. Defiice 3. Nechť α (0, 1). α-kvatil áhodé veličiy X je takové reálé číslo x α, pro které platí P(X x α ) α a současě P(X x α ) 1 α. Pozámka. 1. Obecě eí α-kvatil jedozačě urče. Může dokoce existovat ohraičeý iterval hodot x α splňujících podmíky požadovaé v defiici. 2. x α je takové reálé číslo, které splňuje vztahy F X (x α 0) α F X (x α ). 3. Je-li distribučí fukce F X áhodé veličiy X spojitá a rostoucí všude tam, kde 0 < F X (x) < 1, je α-kvatil x α jedozačě urče vztahem F X (x α ) = α. Některé kvatily mají speciálí ázvy: x 0,5 se azývá mediá, x 0,25 dolí kvartil, x 0,75 horí kvartil. x k, k = 1, 2,..., 9, je tzv. k-tý decil, 10, k = 1, 2,..., 99, je tzv. k-tý percetil (procetil). x k 100 Příklad. Nechť X je spojitá áhodá veličia s hustotou { 0, x 0, π f(x) =, 2 cos x, x 0, π 2 její distribučí fukce je rova 0, pro x 0, x F X (x) = cos t dt = si x, pro 0 < x < π, 0 2 1, pro x π, 2 viz obr. 12. Mediá x 1 2 vypočteme z rovice si x = 1 2, tedy x 1 2 = π 6. Příklad. Nechť X je rova počtu bodů, které padou při jedom hodu pravidelou hrací kostkou. P(X = k) = 1, k = 1,..., 6. E(X) = 6 6 k=1 k 1 = 3, 5. Mediá x 6 0,5 je každé číslo z itervalu 3, 4, protože P(X 3) = 1, P(X 4) =

6 8 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí Modus Pro diskrétí a spojité áhodé veličiy lze defiovat ještě jedu číselou charakteristiku azývaou modus, oz. ˆx ebo Mo. Je-li X diskrétí, je ˆx její ejpravděpodobější hodota, je-li X spojitá, je ˆx bod, ve kterém má hustota f X lokálí maximum. Je zřejmé, že modus emusí existovat a eí urče jedozačě. Podle počtu modálích hodot se rozděleí pravděpodobostí azývá uimodálí, bimodálí ebo multimodálí. Má-li áhodá veličia X distribučí fukci F (x), pak áhodá veličia Y = X + a má distribučí fukci G(x) = P(Y x) = P(X + a x) = P(X x a) = F (x a). Graf distribučí fukce G(x) áhodé veličiy Y získáme z grafu distribučí fukce F (x) áhodé veličiy X posuutím o hodotu a. Říkáme, že rozděleí těchto dvou áhodých veliči se od sebe liší je polohou. Charakteristikou polohy azýváme takovou charakteristiku ξ(x), pro iž platí ξ(x + a) = ξ(x) + a, a R 1. Tuto vlastost má apř. středí hodota, α-kvatil ebo modus Variace Charakteristikou variability rozděleí pravděpodobostí áhodé veličiy X je taková charakteristika η(x), pro iž platí η(a + bx) = b 2 η(x), ebo η(a + bx) = b η(x), a, b R 1. Je vidět, že změou polohy zůstává charakteristika variability ezměěa, protože η(x + a) = η(x). Nejužívaější charakteristiky variability jsou rozptyl, směrodatá odchylka, mezikvartilové rozpětí x 0,75 x 0,25, mezidecilové rozpětí x 0,99 x 0,01 ebo středí odchylka E( X µ ), kde se za µ volí buď středí hodota EX ebo mediá. V dalším budeme užívat pojem symetrické rozděleí. Defiice 4. Řekeme, že diskrétí áhodá veličia X má rozděleí symetrické podle bodu µ, platí-li P(X = x ) = P(X = 2µ x ) pro všechy její hodoty x. Řekeme, že spojitá áhodá veličia X má rozděleí symetrické podle bodu µ, jestliže pro její hustotu platí f(µ x) = f(µ + x), x R 1. Pro áhodou veličiu X, která má rozděleí symetrické podle bodu µ platí E(X) = µ, E[(X µ) k ] = 0, k = 1, 3, 5,... tj. všechy její liché cetrálí momety jsou ulové. Příklad. Normálí rozděleí N(µ, σ 2 ) je rozděleí symetrické podle bodu µ = EX. Příklad.

7 Nechť X je rova součtu bodů, které padou při jedom hodu dvěma symetrickými hracími kostkami. Tato áhodá veličia abývá hodot 9 x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 s pravděpodobostmi p = 1 36, 2 36, 3 36, 4 36, 5 36, 6 36, 5 36, 4 36, 3 36, 2 36, Její rozděleí je symetrické podle bodu µ = 7 = E(X) Šikmost a špičatost Další třída charakteristik se týká symetrie (šikmosti) rozděleí pravděpodobostí áhodé veličiy. Nejčastěji užívaou charakteristikou asymetrie je tzv. (mometový) koeficiet šikmosti α 3 (X) = E[(X E(X))3 ] ( var(x)) 3. Je-li rozděleí symetrické, je α 3 = 0. Je-li rozděleí protáhlejší směrem apravo ež směrem alevo, je α 3 > 0. Je-li rozděleí protáhlejší směrem alevo ež směrem apravo, je α 3 < 0. Jako charakteristika špičatosti (plochosti) rozděleí se užívá tzv. (mometový) koeficiet špičatosti α 4 (X) = E[(X E(X))4 ] ( var(x)) 4 3. Má-li áhodá veličia X symetrické rozděleí a je-li α 4 (X) > 0, (α 4 (X) < 0) zameá to, že a svých kocích je pravděpodobostí fukce P(X = x ) ebo hustota f(x) této áhodé veličiy větší (meší) ež hustota ormálího rozděleí se stejou středí hodotou a stejým rozptylem. Koeficiet špičatosti se užívá i pro esymetrická rozděleí.

8 10 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí Nejdůležitější diskrétí distribučí fukce

9 11 Alterativí (ula jedičkové) rozděleí Alterativí (ula jedičkové) rozděleí s parametrem p má áhodá veličia X, která abývá pouze dvou hodot x 1 = 0, x 2 = 1 s pravděpodobostmi p 1 = P(X = 0) = 1 p, p 2 = P(X = 1) = p, kde p (0, 1) je parametr tohoto rozděleí. Krátce ozačujeme X Alt(p) a čteme áhodá veličia X má alterativí rozděleí s parametrem p. Distribučí fukce

10 12 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. je rova 0, pro x < 0, F (x) = 1 p, pro 0 x < 1, 1, pro x 1. E(X) = 0 (1 p) + 1 p = p, var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = [0 2 (1 p) p] p 2 = p(1 p). Model: uvažujeme áhodý pokus, ve kterém může astat jev A (úspěch) s pravděpodobostí p (0, 1); X je rova počtu úspěchů, které astaou v pokuse. Biomické rozděleí Předpokládejme, že jsme provedli celkem ezávislých pokusů takových, že v každém z ich mohl astat jev A (úspěch) se stejou pravděpodobostí p (0, 1). Možia Ω všech výsledků tohoto pokusu je možia celkem 2 uspořádaých -tic vytvořeých ze dvou symbolů (apř. + ozačíme úspěch, ozačíme eúspěch). A echť je třída všech podmoži Ω, P klasická pravděpodobost. Náhodá veličia X(ω) echť je rova počtu úspěchů v ω. Obor hodot této áhodé veličiy je možia M = {0, 1,..., } a pravděpodobostí fukce P(X = k) = ( k ) p k (1 p) k, k = 0, 1,...,. (1) Tuto áhodou veličiu ozačujeme ázvem biomické rozděleí s parametry, p a zapisujeme krátce X Bi(, p). Distribučí fukce této áhodé veličiy je 0, ( pro x < 0, F (x) = k x k) p k (1 p) k, pro 0 x <, 1, pro x. Příklad. Určete středí hodotu áhodé veličiy X, která má biomické rozděleí s parametry, p.

11 13 Řešeí: X abývá hodot k = 0, 1,..., s pravděpodobostmi ( ) P(X = k) = p k (1 p) k, k E(X) = ( k k k=0 ) p k (1 p) k = p k=1 ( ) 1 k 1 k=1! (k 1)!( k)! pk (1 p) k = p k 1 (1 p) k = 1 ( ) 1 = p p j (1 p) 1 j = p[p + (1 p)] 1 = p. j j=0 Poissoovo rozděleí Poissoovo rozděleí s parametrem λ má áhodá veličia X, která abývá hodot k = 0, 1,... s pravděpodobostmi P(X = k) = λk k! e λ, λ > 0. Ozačujeme krátce X Po(λ). { 0, pro x < 0, F (x) = λ k k x k! e λ, pro x 0. E(X) = k=0 k λk k! e λ = λe λ k=1 λ k 1 (k 1)! = λe λ j=0 λ j j! = λ. var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = E[X(X 1)] + E(X) [E(X)] 2. Vypočteme ejprve E[X(X 1)] = k(k 1) λk k! e λ = λ 2 e λ k=0 k=2 λ k 2 (k 2)! = λ2 e λ j=0 λ j j! = λ2 P (X=k) P (X=k 1) a tedy var(x) = λ 2 + λ λ 2 = λ, tj. středí hodota a rozptyl Poissoova rozděleí jsou stejé a rovají se parametru. Pro modus ˆx rozděleí Po(λ) platí λ 1 ˆx λ. To určíme stejě jako u biomického rozděleí vyšetřeím podílu. Je-li λ přirozeé číslo, je rozděleí bimodálí: ˆx 1 = λ 1, ˆx 2 = λ. Pro λ < 1 má rozděleí modus ˆx = 0. Pozámka. Lze odvodit, že za určitých předpokladů se Poissoovým rozděleím řídí áhodé veličiy: počet sigálů, které dojdou do telefoí ústředy během itervalu délky t; počet elektroů emitovaých rozžhaveou katodou elektroky během itervalu délky t; počet jedobuěčých orgaizmů a ploše velikosti t v zorém poli mikroskopu, atd.

12 14 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. Rovoměré rozděleí a itervalu (a, b), < a < b <, má áhodá veličia X, která má hustotu f X (x) = { 1, pro x (a, b) b a 0, pro x (a, b). Toto je ejjedodušší hustota rozděleí pravděpodobostí áhodé veličiy. Ozačujeme: X Ro(a, b), a, b jsou parametry tohoto rozděleí. Příslušá distribučí fukce potom je 0 pro x a, x 1 x a F (x) = dt =, pro a x < b, a b a b a 1 pro x b. Vypočteme číselé charakteristiky a tedy E(X) = E(X 2 ) = b a b a x 1 b a dx = b2 a 2 2(b a) = a + b, 2 x 2 1 b a dx = b3 a 3 3(b a) = b2 + ab + a 2 3 var(x) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = b2 + ab + a 2 3 (a + b)2 4 = (b a)2 12 Pozámka. 1. Rovoměré rozděleí Ro(0,1) je zvláštím případem tzv. beta-rozděleí. Náhodá veličia X má tzv. B-rozděleí s parametry a > 0, b > 0, má-li hustotu { 0, x / (0, 1), f(x) = 1 B(a,b) xa 1 (1 x) b 1, x (0, 1). Píšeme X B(a, b). 2. S rovoměrým rozděleím se často setkáváme v praxi, toto rozděleí má apř. chyba ze zaokrouhleí a k desetiých míst při umerických výpočtech (áhodá veličia s rovoměrým rozděleím a itervalu ( 5 5, )), 10 k+1 10 k+1 chyba při odečítáí údajů z těch měřicích přístrojů, jejichž stupice eumožňuje iterpolaci, apř. rozdíl skutečého času a času, který ukazují digitálí hodiy, zde (a, b) = (0, 60), chyba při staoveí času z digitálích hodi. Normálí rozděleí (Gaussovo) s parametry µ, σ má áhodá veličia X, která má hustotu f X (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x R 1, µ R 1, σ > 0. Normálí rozděleí s parametry µ, σ ozačíme N(µ, σ 2 ). Je zřejmé, že f X (µ + x) = f X (µ x), x > 0. Tvar hustoty závisí a parametru σ 2..

13 Velmi důležitým případem ormálího rozděleí je rozděleí N(0, 1). Toto rozděleí se azývá ormovaé, ěkdy též stadardizovaé ormálí rozděleí. Má-li áhodá veličia U rozděleí N(0, 1), je její hustota ϕ(u) = 1 2π e u2 2, < u <. 15 Zřejmě ϕ(u) = ϕ( u), < u <, stačí proto tabelovat hodoty ϕ(u) pro kladé argumety.

14 16 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. Má-li áhodá veličia X rozděleí N(µ, σ 2 ), pak áhodá veličia U = X µ σ má rozděleí N(0, 1). *) Normovaému ormálímu rozděleí přísluší distribučí fukce Φ(u) = 1 u e t2 2 dt, < u <. 2π Hodoty této fukce jsou tabelovaé, existují také algoritmy pro jejich vyčísleí. Hustota ϕ(x) je sudá fukce, stačí proto tabelovat její hodoty pro x 0. Protože Φ(x) = 1 Φ( x), x R 1, jsou tabelováy pouze kvatily x α pro α > 0, 5. *) Důkaz tohoto tvrzeí uvedeme v odstavci Rozděleí fukce jedé áhodé veličiy.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Úvod do teorie pravděpodobnosti Náhoda a pravděpodobnost, náhodný jev, náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti

Více

Přehled pravděpodobnostních rozdělení

Přehled pravděpodobnostních rozdělení NSTP097Statistika Zima009 Přehled pravděpodobnostních rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní(Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení X Alt(p) p (0, ) X {0,} Hustota: P[X= j]=p j ( p) j, j {0,} Středníhodnota:

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D. 16. března 2009 Literatura [1] J. Anděl: Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 [2] V. Dupač, M. Hušková: Pravděpodobnost a matematická

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny

Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Ing. Jana Šenkapoulová VODÁRENSKÁ AKCIOVÁ SPOLEČNOST, a.s. Brno, Soběšická 156, 638 1 Brno ÚVOD Každé rekonstrukci

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímí učebí text (srpe 01) Miloslav Sucháek 1. Základí pojmy Při hodoceí aalytických metod a výsledků ebo při formulaci fyzikálě-chemických modelů popisujících vztahy mezi

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže

Základní princip regulace U v ES si ukážeme na definici statických charakteristik zátěže Regulace apětí v ES Základí pricip regulace v ES si ukážeme a defiici statických charakteristik zátěže Je zřejmé, že výko odebíraý spotřebitelem je závislý a frekveci a apětí a přípojicích spotřebitelů.

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

alternativní rozdělení Statistika binomické rozdělení bi(n, π)(2)

alternativní rozdělení Statistika binomické rozdělení bi(n, π)(2) Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara 5. listopadu 2007 1(178) binomické rozdělení Poissonovo rozdělení normální rozdělení

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY

ZÁKLADNÍ POJMY OPTIKY Záš pojmy A. Popiš aspoň jede fyzikálí experimet měřeí rychlosti světla. - viz apříklad Michelsoův, Fizeaův, Roemerův pokus. Defiuj a popiš fyzikálí veličiu idex lomu. - je to bezrozměrá fyzikálí veličia

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna

Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot Rozdělení Náhodná veličina Náhodná veličina je vyjádření výsledku náhodného pokusu číselnou hodnotou. Jde o reálnou funkci definovanou na množině. Rozdělení náhodné veličiny udává jakých hodnot a s jakou

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více