17. Statistické hypotézy parametrické testy

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "17. Statistické hypotézy parametrické testy"

Transkript

1 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé statistické itervalové odhady. 7. Testy o parametrech ormálího rozděleí V této části se budeme zabývat studiem případů, kdy testujeme základí parametry rozděleí N(m,s ). Kokrétě budeme kostruovat testy pro středí hodotu a rozptyl takovéto áhodé veličiy. 7.. Středí hodota m Na základě áhodého výběru = ( x,,x ), které pochází z populace popsaé rozděleím N(m,s ) budeme testovat hypotézu H : m = m, m je předem zadaé reálé číslo. Z kapitoly o itervalových odhadech víme, že základem všech kostrukcí odhadů středí hodoty bývá výběrový průměr X a jeho vlastosti. Právě z vlastostí výběrového průměru jsme kostruovali itervalové odhady a z těchto vlastostí yí odvodíme příslušé testové statistiky pro kokrétí alterativí statistické hypotézy H. Protože jsme při tvorbě itervalových odhadů rozlišovali případ zda je ám zám rozptyl rozděleí provedeme takovéto rozděleí i yí Parametr s je zám V tomto případě použijeme jako testovací statistiku rozděleí U X µ =., (7.) o kterém je zámo, že při platosti hypotézy H je typu N(,). Budeme li tedy vyšetřovat ejdříve případ pravostraé alterativí hypotézy tedy: H : m > m a hladiě výzamosti p získáme kritický obor = { u; u u -p }, kde u α je α % kvatil rozděleí N(,) a u je vypočteá hodota testové statistiky. V případě levostraé alterativí hypotézy H : m < m s použitím stejé testovací statistiky a hladiě výzamosti p získáme kritický obor = { u; u c u -p }. V posledím případě oboustraé alterativí hypotézy H : m π m, s použitím stejé testovací statistiky získáme a hladiě výzamosti p kritický obor = u; u u p, kde opět u α je α% kvatil rozděleí N(,) a u je opět vypočteá hodota - testové statistiky. Dále uvedeme ěkolik modelových příkladů k presetaci postupů a ke staoveí silofukce těchto hypotéz. Příklad 7. Byl provede áhodý výběr o rozsahu =5 prvků z populace N(m,). Testujme hypotézu H : m = 8 proti alterativí hypotéze H: m 8 a hladiě výzamosti 5%.

2 Pomocí áhodého výběru byl aleze výběrový průměr X = 8,8. Rozhoděte o platosti hypotézy H! Řešeí: Vzhledem k hladiě výzamosti, je staove kritický obor = { u; u,96 }. X µ 8,88 8 Staovíme hodotu testové statistiky pro áš případ u =. =. 5 =,984. Protože hodota testové statistiky eí v kritickém oboru emůžeme hypotézu H zamítout. Hodota silofukce je v tomto případě rova : µ µ µ µ -ß( µ ) = Φ. + up +Φ. + up. Pro jedotlivé hodoty m vypočteme hodotu β, v ásledující tabulce jsou tyto hodoty uvedey: µ β(µ ) 5, ,8995 7,99 8,95 9,99,8995,676958, ,9458 4,496 5,6776 Samozřejmě, že pro hodotu m = 8 je hodota β rova 95%, celkově je vidět, že hodoty chyby druhého druhu jsou pro stávající hodoty velmi epřízivé, s rostoucí vzdáleostí od testovaé hodoty β klesá. Jedozačým viíkem těchto výsledků je malý počet čleů výběru. Příklad 7. Výrobce tvrdí, že výrobek má rozměry 56, jedotky se směrodatou odchylkou, jedotky. Odběratel tvrdí, že rozměry jsou větší, proto echal přeměřit 7 áhodě vybraých výrobků a zjistil, že jejich průměrý rozměr byl 58,9 jedotek. Je tato hodota výběrového průměru, za předpokladu ormálího rozděleí a směrodaté odchylky rozměrů, jedotky, statisticky výzamě větší ež tvrdí výrobce? Řešeí prove dte a hladiě výzamosti %. Řešeí: Staovme ejdříve základí hypotézy: H : m c 56, a H : m > 56,. Testová statistika je i v tomto případě stejá, zjistíme tedy její hodoty 58,9 56,, 7 u =. 7 =.8,37=,7,, V tomto případě je kritický obor = { u; u,36 }, protože vypočítaá hodota se achází v kritickém oboru a hladiě výzamosti zamítáme hypotézu H, výrobky jsou tedy statisticky výzamě větší ež tvrdí výrobce.

3 7... Parametr s je ezámý Při praktických úlohách se ve většiě případů setkáváme spíše s případem, kdy hodoty parametru s ejsou zámy a můžeme z aměřeých údajů je odhadovat jeho skutečou hodotu. V tomto případě ( již a základě ašich zalostí z části bodového odhadu ) se jako testová statistika volí áhodá veličia t X µ s =. (7.) o které již z dřívějších kapitol víme, že je typu studetova rozděleí s - stupi volosti. Takováto veličia se v souladu s tradicí ozačuje písmekem t. Výraz s je klasická hodota statistického rozptylu. Vypišme yí kritické obory pro jedotlivé případy jedostraých resp. oboustraých hypotéz: Pravostraá alterativí hypotéza m > m = { tt ; t p}, hodota t -p je rova (-p)% kvatilu studetova rozděleí s (-) stupi volosti. Levostraá alterativí hypotéza m < m = tt t, při stejém ozačeí. { ; p} Oboustraá alterativí hypotéza m π m = t; t t p, začeí jako v předchozím. Pozameejme, že stejě jako v prví části je jedím z podstatých předpokladů to, že daá data jsou získáváa z populace ormálí a způsob výběru je áhodý! Příklad 7.3 Na základě áhodého měřeí jsme zjistili ásledující hodoty 6;9;; ;;;;3;4;4;4;4;5;6;6;7. Zjistěte, zda můžeme a hladiě výzamosti 5% rozhodout o tom, že středí hodota populace erová 5. Řešeí: Staovíme ejdříve hypotézy H : m =5 a H : m π 5. Protože z daých dat vyplývají ásledující údaje : = 6; X =,65; s=,849. Můžeme dále zjistit kritický obor pomocí áhodé veličiy studetova rozděleí s 5 stupi volosti = { t; t,95}, dosadíme tedy do testové statistiky (7.) a získáme ásledující, 65 5,375 hodoty t =. 6 =.4= 3,33, protože tato hodota -3,33 leží v kritickém,849,849 oboru přijímáme alterativí hypotézu H.. Pokud bychom hledali tzv. p hodotu ( p-value ) těchto dat ( jde o hodotu hladiy výzamosti při které bude poprvé přijata hypotéza H ), získali bychom v tomto případě p=,45, tato hodota je více ež polovičí ež byla uvedea úvodí testovaá hladia výzamosti.

4 Příklad 7.4 Po staoveí měřeí hodot vzdáleostí mezi dvěma sazeicemi a záhoě jsme získali ásledující hodoty : Ověřte a hladiě výzamosti 5% zda vzdáleosti mezi jedotlivými sazeicemi jsou vzdáleé ejvýše jedotek. Řešeí: Nejdříve staovíme opět testovaou a alterativí hypotézu. Zřejmě tedy bude H : m c a H : m>. V ašem případě máme tedy staoveou pravostraou alterativí = tt ; t = tt ;,74. hypotézu, kritický obor je tedy staove jako { } { } Z uvedeých hodot získáme opět základí hodoty = 8; X =,; s= 3,63. Pro další postup je uté vypočítat hodotu testové statistiky pro tato čísla, její velikost je rova t=-,8. Pro staoveí odpovědi a aší otázku yí ověříme, zda hodota vypočteé testové statistiky patří či epatří do kritického oboru. Vypočteá hodota epatří do kritického oboru, emůžeme tedy a hraici výzamosti 5% zamítout možost, že mezi sazeicemi je vzdáleost ejvýše jedotek. Pokud bychom hledali p-hodotu zjistili bychom, že je a úrovi čísla, Směrodatá odchylka s Směrodatá odchylka má pro ormálí rozděleí stejý výzam jako středí hodota. Oba tyto parametry sice ovlivňují hodoty ormálího rozděleí každý jiak, ale celkově je toto rozděleí dvouparametrické, potřebujeme proto zát oba parametry stejě dobře Při zámém parametru m V kapitole o bodovém odhadu směrodaté odchylky populace popsaé pomocí ormálího rozděleí jsme rozlišovali zda záme středí hodotu ormálího rozděleí či zda je ezáma. Chceme tedy testovat a základě áhodého výběru o prvcích z populace hypotézu H : s = s Jestliže byla středí hodota m populace záma potom vybíráme jako testovací statistiku áhodou veličiu,95 χ ( X µ )., i = (7.3) která má při platosti hypotézy H rozděleí c ( chi kvadrát ) s stupi volosti. Podobě jako v předchozích případech můžeme staovovat kritické obory v závislosti a hodotách alterativí hypotézy. Pravostraá alterativí hypotéza s > s. = χ ; χ χ ( p; ) p% kvatilu rozděleí chi kvadrát s stupi volosti. Je zřejmé, že kritický obor je pak dá { } Levostraá alterativí hypotéza s < s. = χ ; χ χ ( p; ) Kritickým oborem v tomto případě je { }, kde c (p;) je rove

5 Oboustraá alterativí hypotéza s π s. Kritický obor je v tomto případě složitější, jde o dva disjuktí itervaly p p ; χ ; = χ ; ; Příklad 7.5 Při kotrolím měřeí byly zjištěy ásledující hodoty,6;,64;,57;,6;,59;,57;,6;,59 za platosti, že středí hodota je rova,5. Rozhoděte, zda je platá : a) H : s =,3 proti H : s π,3 b) H : s =,3 proti H : s <,3. Ověřeí proveďte a hladiě výzamosti 5%. Řešeí: Nejdříve staovíme základí hodoty = 8; X =, 65; s=, 539; s =, 64. Část a) je případem oboustraé hypotézy, staovíme tedy kritický obor pro teto případ. = ; χ p χ p; = ( ;,8) ( 7,535; ). Dále musíme ještě zjistit hodotu testovací statistiky (7.3), po dosazeí vychází c = 3,64. Protože se eachází v kritickém oboru emůžeme hypotézu H zamítout. V případě části b) staovíme opět kritický obor = { χ ; χ χ ( p; ) } = (;.733). Protože hodota testovací statistiky leží i v tomto případě mimo kritický obor emůžeme ai yí hypotézu H zamítout Při ezámém parametru m Při práci s ezámou populací většiou její středí hodotu m ezáme, proto je více reálý případ, který budeme vyšetřovat v této části. Podle kapitoly 8., v íž jsme probírali bodové odhady je áhodá veličia ( Xi X) χ = ( )., (7.4) typu c s (-) stupi volosti. Podobě jako v předchozí podkapitole tohoto tvrzeí využijeme ke kostrukci vhodé testovací statistiky. Chceme tedy testovat a základě áhodého výběru o prvcích z populace hypotézu H : s = s Jestliže byla středí hodota m populace záma potom vybíráme jako testovací statistiku áhodou veličiu ( Xi X) χ = ( )., (7.5) která má při platosti hypotézy H rozděleí c ( chi kvadrát ) s (-) stupi volosti. Proti předchozí části tedy získáváme statistiku stejého typu, ale protože musíme z dat získávat avíc iformaci o odhadu parametru m je počet stupňů volosti o jede meší.

6 Podobě jako v předchozích případech můžeme staovovat kritické obory v závislosti a hodotách alterativí hypotézy. Pravostraá alterativí hypotéza s > s. = χ ; χ χ ( p ; ) rove p% kvatilu rozděleí chi kvadrát s (-) stupi volosti. Je zřejmé, že kritický obor je pak dá { } Levostraá alterativí hypotéza s < s. = χ ; χ χ ( p ; ) Kritickým oborem v tomto případě je { } Oboustraá alterativí hypotéza s π s. Kritický obor je v tomto případě složitější, jde o dva disjuktí itervaly p p ; χ ; = χ ; ;, kde c (p;-) je Příklad 7.6 Měřeím jistého výrobku jsme získali ásledující hodoty: 5,5; 5,; 5,4; 5,4; 5,. Předpokládejme, že výsledky těchto měřeí jsou áhodé veličiy N(m,s ). Testujme ásledující případy : a) H : s =,3 a H : s <,3 b) H : s =,3 a H : s π,3 Řešeí: a) Alterativí hypotéza je levostraá, tedy jejím kritickým oborem je = { χ ; χ χ ( p ; ) } = (;,7). Musíme yí zjistit hodotu testovací statistiky z výrazu uvedeém v (7.5). Po dosazeí aměřeých hodot ( Xi X), 96 získáváme χ = ( ). = 7. = 4,5733. Protože tato hodota,3 eleží v kritickém oboru hypotézu H emůžeme zamítout. b) Alterativí hypotéza v tomto případě je oboustraá, kritický obor sestrojíme podle výše uvedeých pravidel. = ( ;,69) ( 6,3; ). Protože ai v tomto případě eleží hodota testovací statistiky v kritickém oboru hypotézu H ezamítáme. V další části se budeme zabývat srováváím dvou áhodých veliči typu N(m,s ). Osvojíme si metody, které se obecě azývají t-test a F-test. V rámci ich jsou velmi výzamým faktorem rozděleí studetovo a Fischer Sedecorovo Testy pro podíl rozptylů Nechť a jsou áhodé výběry z rozděleí N(m ;s ) a N(m ;s ) s počtem čleů výběru resp.. Chceme zjistit itervalový odhad pro podíl rozptylů áhodých veliči

7 tedy. Při staoveí tohoto itervalového odhadu budeme vycházet z kapitoly 3 ze vztahu (3.). Dále je uto rozlišovat dva růzé případy: Potom je áhodá veličia Středí hodoty m a m jsou zámé F = ( X µ ) i. i ( X µ ). je Fischer Sedecorovo rozděleí s ( ; ) stupi volosti. V tomto případě je proto oboustraý (-p) % iterval spolehlivosti rove: ( X i µ ) ( X i µ ).. p Fp ( Xi µ ) ( X i µ ) F < <, (7.6) kde hodoty F p jsou příslušé kvatily rozděleí F( ; ). Z těchto tvrzeí vyjdeme ve staoveí základích hypotéz. Staovujeme hypotézu H : s = s., alterativí hypotézu H staovujeme jako s π s. Za předpokladu, že platí hypotéza H je zřejmě podíl ( X µ ) i i ( X µ ) itervalu Fp; F p. Tedy kritickým oborem je v tomto případě sjedoceí itervalů: W = ; Fp F p;. prvkem

8 7..3. Středí hodoty m a m jsou ezámé Při tvorbě takového itervalu spolehlivosti vycházíme opět z vlastostí F- rozděleí. Náhodá veličia F = ( X X ) i ( ). s i ( X X ) ( ). s je potom Fischer Sedecorovo rozděleí s ( -; -) stupi volosti. Kostrukce oboustraého ( p )% itervalu spolehlivosti v tomto případě je velmi podobá kostrukci uvedeé v předchozí části : ( X i X) ( X i X) s s.. =. p p p p ( X ) ( i X X i X) =. < < (7.7), F F s F F s kde hodoty F p jsou kvatily F rozděleí s ( -; - ) stupi volosti. Podobě jako v předchozí části staovujeme hypotézu H : s = s., alterativí hypotézu H staovujeme jako s π s. Za předpokladu, že platí hypotéza H je zřejmě podíl ( X X ) i = s i X ( X ) s prvkem itervalu Fp; F p. Tedy kritickým oborem je i v tomto případě sjedoceí itervalů: W = ; Fp F p;. Oba případy se liší použitím áhodých veliči F- rozděleí o růzých stupích volosti. Práce s oběma předchozími hypotézami se obecě azývá F test. Rozhodujeme v ěm o tom, zda můžeme přijmout či vyvrátit rovost s = s a daé hladiě výzamosti. Teto test se užívá velmi často v regresí aalýze, v t testu a v aalýze rozptylu ( ANOVA ). Velmi důležitými parametrickými testy jsou tzv. t testy, pomocí ichž zjišťujeme, zda dvě áhodé veličiy mají stejé středí hodoty Testy o shodě středích hodot dvou ormálích rozděleí Jak už jsme uvedli dříve budeme v této části testovat základí hypotézu H :m = m. Jako alterativí hypotézu můžeme volit buď jedostraé ebo oboustraé hypotézy.

9 Nechť tedy podobě jako v předchozí části jsou a áhodé výběry z rozděleí N(m ;s ) a N(m ;s ) s počtem čleů výběru resp.. V celé této části budeme vyšetřovat hypotézy a hladiě výzamosti p. V dalším musíme rozlišovat ěkolik růzých případů Rozptyly populací s a s jsou zámé Již z předchozích kapitol je zámo, testové kritérium U = X X + (7.8), je typu N(;). Odtud můžeme odvodit kritické obory pro případy jedotlivých alterativích hypotéz :. H : m > m. W = < u p ; ). H : m < m. W = ( ; u p > 3. H : m m. W = ( ; u > < u ; ) p p Ovšem případy, kdy jsou zámy rozptyly populací jsou velmi řídké, proto větší uplatěí mají testy, kdy příslušé hodoty rozptylů populací ejsou zámy. Příklad 7.7 Rozhoděme a hladiě výzamosti, zda výsledky testů v jedé škole jsou ižší ež výsledky testů ve škole druhé. Provedli jsme áhodý výběr 5 studetů v prví škole a 4 studetů ve škole druhé. Průměré výsledky testů studetů prví školy byly 75 bodů a druhé školy 8 bodů. Z dřívějších testů jsou zámy rozptyly obou škol s = 48 a. Řešeí: Testovaá statistika H : m = m a zřejmě H : m < m. Dosadíme tedy do (7.8) a 75 8 u = = 3,549. Podle předchozího je pro teto případ alterativí hypotézy kritický obor W = ( ;,645 >. Hodota testové statistiky patří tedy do kritického oboru, takže zamítáme testovaou hypotézu H a přijímáme hypotézu alterativí tj. výsledky druhé školy mají větší bodové ohodoceí. Příklad 7.8 Rozhoděte a hladiě výzamosti %, zda jsou shodé vzdáleosti dojezdu dvou typů peumatik. Prví typ jsme testovali v 5 kusech a průměrá vzdáleost dojezdu čiila 5 km ; druhý typ jsme testovali 5 kusů s průměrým dojezdem 3 km. Rozptyl dojezdu prví peumatik s = 4 km a druhých peumatik s = 56 km.

10 Řešeí: Testovaá statistika H : m = m a zřejmě H : m πm. Opět dosadíme do vztahu 5 (7.8) u = = 95,85. Vzhledem k oboustraému testu je hodota 99,5% kvatilu N(,) rova,58. Tedy hodota leží v kritickém oboru ( leží v kritickém oboru i pro případ jedostraého testu, kdy m < m ). Proto hypotézu H zamítáme a přijímáme hypotézu H Rozptyly populací jsou ezámé, ale jsou si rovy V tomto případě použijeme opět metodu vedoucí a testovou statistiku: t = X X S ( x). + (7.9) Následující hodota S(x) se azývá společý výběrový rozptyl a je vážeým průměrem výběrových rozptylů S (x) a S (x) s vahami a -, tedy jeho hodota je rova ( ). S ( x) + ( ). S ( x) S( x) = (7.). + Náhodá veličia (7.9) je při platosti H studetovo rozděleí s + stupi volosti. Nyí již tedy můžeme určit kritické obory pro růzé formulace alterativích hypotéz H.. H : m > m. W = <t ; ) + ; p. H : m < m. 3. H : m m. W = ( ; t + p > ; W = ( ; t > < t ; ) p p + ; + ; K tomu abychom mohli rozhodout, že ezámé rozptyly s a s si jsou rovy musíme použít v tomto případě F test viz Uvedeme opět ěkolik příkladů pro tuto situaci. Příklad 7.9 Ve dvou prodejách jsme zjišťovali cey určitého typu produktu, získali jsme ásledující výsledky: = 8, x = 4, 74, s = 55,4 = 3, x = 7,97, s = 789,83 Předpokládáme ormalitu uvedeých dat, ověřte shodu středích hodot ce v obou prodejách. Řešeí:

11 Nejdříve použijeme F test a ověřeí shody rozptylů ce v obou prodejách. Hodota testovací statistiky pro F test je v ašem případě rova 55,4 F = =, ,83 Tato hodota eleží v kritickém oboru F testu. Na hladiě,5 jsme tedy eprokázali to, že by se rozptyly ce v obou prodejách lišily. Nyí tedy využijeme statistiku (7.9) ke staoveí rozdílu mezi středími hodotami. 4,74 7,97 t = =, , Kritické hodota pro oboustraý test je rova,3697. Tedy test eprokázal a hladiě výzamosti,5 mezi ceami žádý rozdíl. Příklad 7. V podiku byly zkoumáy dva odlišé techologické postupy. Máme a hladiě výzamosti,5 zjistit, zda se od sebe liší! Dále ásledují celkem tuy výroby prvím a druhým postupem vždy za jedu směu:.. techologický techologický postup postup 6,3 6,5 5,8 6, 4,9 6,7 5,3 5,8 6 4,5 5,7 5,6 5,4 4,8 6,3 5 5,8 4,9 4,8 4,6 6,7 3,8 5,6 6,3 Řešeí: Prvím krokem bude porováí rozptylů obou techologických postupů. Z daých hodot zjistíme, že s =,5744, = 4; s =, 658, =. Hodota testové,5744 statistiky je proto rova F = =, Tato hodota eleží opět v kritickém, 658 oboru F testu, emůžeme tedy zamítou hypotézu H o rovosti obou rozptylů. Postupujeme jako v předchozím případě, zjistíme hodotu testové statistiky t =,555. Ověříme si kritické hodoty studetova rozděleí s stupi volosti ( jde o oboustraý test ) :,7388. Z těchto hodot vyplývá, že a hladiě výzamosti,5 elze zamítout hypotézu o shodých výsledcích obou techologických postupů.

12 7..5 Rozptyly ejsou zámé a ejsou si rovy V tomto případě pro malé hodoty a použijeme ásledující postup. Místo předchozího dvouvýběrového t testu používáme jedé z alterativ :. Cochra Coxův test - vypočteme: s s S = +, dále * X Y T = a koečě t S H zamíteme, jestliže T * * s s. ( ). ( α) t α + t * = s s + t ( v tomto případě jde o oboustraý test ).. Hypotézu. Welchův test: Nejdříve určíme aproximaci stupňů volosti s s + NW =, toto číslo většiou zaokrouhlujeme dolu a ejbližší celé kladé s s + číslo. Vypočteme opět * T jako v předchozím způsobu a porováme s N W ( ) t α. 3. Satterthwaiteův test. Opět určíme aproximaci stupňů volosti s s + NS =. Výsledek opět zaokrouhlíme dolu a ejbližší celé kladé s s číslo. Vypočteme opět * T jako v předchozím způsobu a porováme s N S ( ) Hladia každého z těchto tří testů je přibližě rova a. t α. Příklad 7. Pole stejých rozměrů byla upravea dvěma růzými způsoby. Výsledé parametry sklizí jsou ásledující = 3, x = 3, s =, 78; = 59, x = 8,3, s =,56. Zjistěte, zda obě úpravy pole vedou ke stejým výsledkům! Řešeí : Nejdříve určíme hodotu F testu, číselě je rova, Pro daé stupě volosti leží toto číslo v kritickém oboru F testu. Tedy zamítáme hypotézu H o stejých rozptylech. ( p value =,35 ). Budeme tedy určovat hodotu statistiky T* = -78,545. Hodoty jedotlivých t* jsou postupě pro metodu.,95 ; pro metodu.,989 a koečě pro metodu 3.,988. Pokud bychom tedy zvolili libovolou z výše uvedeých metod, dospěli bychom k zamítutí možosti o stejých výsledcích.

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

MSI LS 2006/2007 Ing. Pavla Hošková, Ph.D., 2. test

MSI LS 2006/2007 Ing. Pavla Hošková, Ph.D., 2. test c 2007 Kompost 1 MSI LS 2006/2007 Ing. Pavla Hošková, Ph.D., 2. test Jestliže při testování výsledek (hodnota testového kritéria) padne do kritického oboru: a) musíme nově formulovat nulovou hypotézu,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímí učebí text (srpe 01) Miloslav Sucháek 1. Základí pojmy Při hodoceí aalytických metod a výsledků ebo při formulaci fyzikálě-chemických modelů popisujících vztahy mezi

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

12. TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

12. TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1. TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ Průvodce studiem Navážeme na předchozí kapitolu 11 a vysvětlíme některé statistické testy. Předpokládané znalosti Pojmy z předchozích kapitol. Cíle Cílem této kapitoly

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

cenný papír, jehož koupí si investor zajistí předem definované peněžní toky, které obdrží v budoucnosti

cenný papír, jehož koupí si investor zajistí předem definované peněžní toky, které obdrží v budoucnosti DLUHOPISY ceý papír, jehož koupí si ivestor zajistí předem defiovaé peěží toky, které obdrží v budoucosti podle doby splatosti ~ 1 rok dlouhodobé dluhopisy Pokladičí poukázky

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určté předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ HYPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

HODNOCENÍ PŘÍSTROJŮ PRO MĚŘENÍ JAKOSTI ZIMNÍCH KAPALIN DO OSTŘIKOVAČŮ V PROVOZU

HODNOCENÍ PŘÍSTROJŮ PRO MĚŘENÍ JAKOSTI ZIMNÍCH KAPALIN DO OSTŘIKOVAČŮ V PROVOZU HODNOCENÍ PŘÍSTROJŮ PRO MĚŘENÍ JAKOSTI ZIMNÍCH KAPALIN DO OSTŘIKOVAČŮ V PROVOZU Ja SKOLIL 1*, Štefa ČORŇÁK 2*, Ja ULMAN 3 1* Velvaa, a.s., 273 24 Velvary, Česká republika 2,3 Uiverzita obray v Brě, Kouicova

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

ij m, velikosti n je tvořen (n m) rozměr-ným polem dat x 11 ... x 12 ... x 22 x n1 ... x n2 7.1 Druhy korelačních koeficientů

ij m, velikosti n je tvořen (n m) rozměr-ným polem dat x 11 ... x 12 ... x 22 x n1 ... x n2 7.1 Druhy korelačních koeficientů 1 7 KORELACE Pro vyádřeí itezity vztahů ezi složkai ξ ξ -rozěrého áhodého vektoru 1 ξ se používá korelačích koeficietů Data tvoří áhodý výběr z -rozěrého rozděleí áhodého vektoru ξ Neuvažue se obyčeě a

Více

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely

KABELY. Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodné vlákno): metalické kabely optické kabely KABELY Pro drátové okruhy (za drát se považuje i světlovodé vláko): metalické kabely optické kabely Metalické kabely: osou veličiou je elektrické apětí ebo proud obvykle se jedá o vysokofrekvečí přeos

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

20. Kontingenční tabulky

20. Kontingenční tabulky 0. Kotigečí tabulky 0.1 Úvodí ifomace V axi e velmi častá situace, kdy vyšetřueme aedou dva statistické zaky, kteé sou svou ovahou diskétí kvatitativí( maí řesě staoveý koečý očet všech možostí ); soité

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

NEPARAMETRICKÉ TESTY

NEPARAMETRICKÉ TESTY NEPARAMETRICKÉ TESTY Výhodou neparametrických testů je jejich použitelnost bez ohledu na typ rozdělení, z něhož výběr pochází. K testování se nepoužívají parametry výběru (např.: aritmetický průměr či

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

a) Základní informace o souboru Statistika: Základní statistika a tabulky: Popisné statistiky: Detaily

a) Základní informace o souboru Statistika: Základní statistika a tabulky: Popisné statistiky: Detaily Testování hypotéz Testování hypotéz jsou klasické statistické úsudky založené na nějakém apriorním předpokladu. Vyslovíme-li předpoklad o hodnotě neznámého parametru nebo o zákonu rozdělení sledované náhodné

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

Měření na trojfázovém transformátoru naprázdno a nakrátko.

Měření na trojfázovém transformátoru naprázdno a nakrátko. Úol: Měřeí a trojfázovém trasformátoru aprázdo a aráto. 1. Změřte a areslete charateristiy aprázdo trojfázového trasformátoru 2,, P, cos = f ( 1) v rozmezí 4-1 V. Zdůvoděte průběh charateristi 2 = f (

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

VÝMĚNA VZDUCHU A INTERIÉROVÁ POHODA PROSTŘEDÍ

VÝMĚNA VZDUCHU A INTERIÉROVÁ POHODA PROSTŘEDÍ ÝMĚNA ZDUCHU A INTERIÉROÁ POHODA PROSTŘEDÍ AERKA J. Fakulta architektury UT v Brě, Poříčí 5, 639 00 Bro Úvod Jedím ze základích požadavků k zabezpečeí hygieicky vyhovujícího stavu vitřího prostředí je

Více

Úkol měření. Použité přístroje a pomůcky. Tabulky a výpočty

Úkol měření. Použité přístroje a pomůcky. Tabulky a výpočty Úkol měřeí ) Na základě vějšího fotoelektrického pole staovte velikost Plackovy kostaty h. ) Určete mezí kmitočet a výstupí práci materiálu fotokatody použité fotoky. Porovejte tuto hodotu s výstupími

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu

2. Definice plazmatu, základní charakteristiky plazmatu 2. efiice plazmatu, základí charakteristiky plazmatu efiice plazmatu Plazma bývá obyčejě ozačováo za čtvrté skupeství hmoty. Pokud zahříváme pevou látku, dojde k jejímu roztaveí, při dalším zahříváí se

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více