F10 HARMONICKÝ OSCILÁTOR

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "F10 HARMONICKÝ OSCILÁTOR"

Transkript

1 F1 HARMONICKÝ OSCILÁTOR Evropský sociální fond Praha & EU: Investujee do vaší budoucnosti

2 F1 HARMONICKÝ OSCILÁTOR V okolí inia potenciální energie ůžee vždy očekávat kity. Síla působí do inia potenciální energie, takže po vychýlení částice bude ít vždy vratný charakter. Nejednodušší tvare inia je parabolická závislost, která vede na tzv. haronické oscilace. Pokud á iniu energie obecnější tvar, ůžee ho alespoň v první přiblížení nahradit parabolickou závislostí, která je snadno řešitelná. Haronické oscilace přibližně vykonává těleso upevněné na pružině, těleso částečně ponořené do kapaliny nebo radiální vzdálenost Zeě od Slunce (osciluje ezi 147 a 151 iliony kiloetry). Za haronické oscilátory lze také považovat fotony kvanta elektroagnetického pole. Equation Chapter (Next) Section 1 Energie, síla a pohybová rovnice Představe si částici v poli potenciální energie s inie v bodě x a hodnotou inia W = W p (x ). Proveďe Taylorův rozvoj funkce W p (x) v okolí inia do druhého řádu: 1 Wp( x) Wp( x) Wp( x) ( xx) Wp( x) ( xx). (1.1) První člen je nepodstatnou konstantou jde jen o posunutí potenciální energie, které se neprojeví na průběhu síly, neboť derivace konstanty je nulová. Druhý člen je nulový, protože první derivace v iniu je nulová. Jediný podstatný člen je třetí člen, který je zodpovědný za parabolický průběh. Pokud počátek souřadnicové soustavy posunee do inia potenciální energie, dostanee 1 Wp( x) kx ; k Wp( x). (1.) Konstanta k určuje strost paraboly, u echanických soustav se jí říká tuhost oscilací. Je rovna druhé derivaci potenciální energie v iniu. Síla působící na těleso je rovna dwp F kx. (1.3) dx Síla je tedy přío úěrná výchylce a á opačný sěr (znaénko inus). Sestave nyní pohybovou rovnici a = F: x kx. (1.4) U diferenciálních rovnic bývá zvyke seřadit proěnné podle jejich klesající derivace a koeficient u nejvyšší derivace zvolit rovný jedné: F1-

3 k x x. (1.5) Jde o jednoduchou diferenciální rovnici druhého řádu s konstantníi koeficienty. Exponenciela a její příbuzní Před řešení rovnice (1.5) se usíe seznáit s exponenciální funkcí. Ze zápisu (1.4) je jasné, že řešení rovnice usí být funkce, jejíž druhá derivace je úěrná saotné funkci. Hledeje proto funkci, jejíž derivace je rovna funkci saotné. Pak i druhá, třetí a libovolná derivace bude rovna původní funkci. Zkrátka tato funkce bude iunní vzhlede k derivování. Hledeje takovou zvláštní funkci jako nekonečnou řadu Její derivaci provedee člen po členu: F f( x) c c xc x c x c x c x (1.6) f( x) c c x3c x 4c x 5 c x. (1.7) Pokud ají být obě poslední funkce stejné (funkce je rovna své první derivaci), usí platit: c c, c c, 3 c c, 4 c c, 5 c c, (1.8) Pokud zvolíe konstantu c, ůžee dopočítat všechny koeficienty rozvoje. Volba c = povede na nulovou funkci, jakékoli nenulové číslo ná vygeneruje nái hledanou funkci. Hodnota c je nepodstatná a bude jen násobící faktore této funkce. Proto zvolíe c = 1: c , c 1 1, c, 3, 4, 5. c 3 c 43 c 543 (1.9) Celke snadno odhadnee obecnou forulku: 1 c n. (1.1) n! Nalezená funkce se nazývá exponenciela a její rozvoj tedy je exp( x) 1 x. (1.11)! 3! 4! 5! Lze ukázat, že exponencielu je ožné zapsat také jako ocninnou funkci, tj x e 1 x. (1.1)! 3! 4! 5! Základ této funkce (Eulerovo číslo) snadno určíe, pokud položíe x = 1: e 1 1, (1.13)! 3! 4! 5! V ateatice je veli časté, že funkce jsou definovány za pooci nekonečných řad a většinou se z těchto řad i počítají jejich funkční hodnoty (například i ve vaší kalkulačce). Pokud z rozvoje exponencely vyberee jen sudé ocniny, dostanee hyperbolický kosinus (vzpoeňte si, že v nule á hodnotu 1 a je otočen vzhůru, podobně jako parabola). Pokud vyberee jen sudé ocniny a budee u nich střídat znaénka, dostanee obyčejný kosinus. Střídající se znaénka budou polynoy tvořící řadu otáčet střídavě dolů a nahoru, tí získáe periodickou funkci. Pokud vyberee liché ocniny, funkce se nazývá sinus hyperbolický a pokud vyberee liché ocniny a budee u nich střídat znaénka, získáe norální sinus.

4 Zapaatujte si: exp x1 x,! 3! 4! 5! cosh x 1,! 4! 6! 8! cos x 1,! 4! 6! 8! (1.14) sinh x x, 3! 5! 7! 9! sin x x 3! 5! 7! 9! Mezi takto definovanýi funkcei je řada zajíavých vztahů, k nejznáější patří Eulerův vztah. Zkuse nalézt exponencielu s ryze iaginární arguente (za pooci její řady): (i x) (i x) (i x) (i x) exp (i x) 1 (i x)! 3! 4! 5! ix i i! 3! 4! 5! i x i i.! 4! 3! 5! V první závorce je řada pro kosinus, ve druhé řada pro sinus. Celkově tedy platí: ix e cosx isin x. (1.15) Eulerův vztah je nesírně užitečný při vyjadřování koplexních čísel, která ůžee chápat jako uspořádanou dvojici čísel v kartézské (Gaussově) rovině, ale ůžee je také přepsat za pooci aplitudy a fáze do gonioetrického tvaru: i z ( x, y) xiy AcosiAsin A cosxisinx Ae. (1.16) x Obdobných užitečných vztahů ezi gonioetrickýi a hypergeoetrickýi funkcei je celá řada a lze je dokázat přío z definice těchto funkcí za pooci řad nebo z již dokázaného Eulerova vztahu. F1-4

5 Zapaatujte si: ix e cosxisinx e e e e cosh x, sinh x, ix ix ix ix e e e e cos x, sin x, i cos( x) cos x, sin( x) sin x (1.17) Řešení pohybové rovnice pro haronický oscilátor Z tvaru rovnice (1.4) už víe, že řešení usí být funkce, jejíž všechny derivace jsou úěrné původní funkci. Také víe, že takovou funkcí je exponenciela, proto hledeje řešení ve tvaru: F1-5 xt () e ; xt () e ; t t t xt () e. Po dosazení výrazů do rovnice (1.5) dostanee rovnici pro λ (exponenciely se saozřejě zkrátí, neboť všechny derivace exponeniely jsou si vzájeně úěrné): k k k 1 i ; i. Nalezli jse tedy dvě řešení naší pohybové rovnice: x i kt / i kt / 1 x e ; e. (1.18) Snadno zjistíe, že násobek každého z řešení je opět řešení, stejně tak jejich součet, rozdíl nebo jakákoli lineární kobinace (řešení tvoří tzv. lineární vektorový prostor, tj. chovají se stejně jako vektory a ůžee je také tak skládat). Obecné řešení proto bude ít tvar: Fáze pohybu bude narůstat lineárně s čase: i kt / i kt / 1 xt () c e c e. (1.19) () t k/ t. (1.) Zavedee-li úhlovou frekvenci pohybu d k, (1.1) dt ůžee řešení napsat jako i t 1 i t xt () c e c e. (1.) Snadno ukážee, že toto řešení lze také zapsat jako lineární kobinaci sinů a kosinů nebo jako posunutý kosinus či jako posunutý sinus.

6 Zapaatujte si: Řešení rovnice pro haronický oscilátor lze zapsat v libovolné z těchto tvarů: i t 1 i t xt () c e c e, x() t acos( t) bsin( t), xt () a cos( t ), xt () b sin( t ). (1.3) Frekvence pohybu je svázána s tuhostí oscilací jednoduchý vztahe k k (1.4) Všechny zápisy (1.3) jsou ekvivalentní pokud u posledních dvou vyjádření použijee součtové vzorce, dostanee okažitě lineární kobinaci kosinu a sinu. Pokud u prvního vyjádření použijee Eulerův vztah, dostanee opět lineární kobinaci kosinu a sinu: Haronické oscilace i t 1 i t xt () c e c e cos( ) isin( ) cos( ) isin( ) c t t c t t 1 ( c c )cos( t) (ic i c )sin( t) 1 1 acos( t) bsin( t). 1. Mají parabolický průběh potenciální energie W p = kx /.. Síla je úěrná výchylce a á opačný sěr F = kx. 3. Pohybová rovnice á tvar x x, kde ω je úhlová frekvence oscilací. 4. Řešení jsou kosinové a sinové kity x(t) = a cos ωt + b sin ωt. Kdykoli narazíe na rovnici ve tvaru x x, už ji nebudee uset řešit. Budee vědět, že řešení je lineární kobinace kosinu a sinu frekvence ω! Příklad 1.1: Nalezněte integrační konstanty pro případ, že je oscilátor spuštěn s počáteční výchylkou A (x() = A, v() = ) a poté pro situaci, že je spuštěn s počáteční rychlostí v (x() =, v() = v. Řešení: Poloha a rychlost jsou dány vztahy: xt () acos( t) bsin( t), v() t x asin( t) bcos( t). (1.5) Do obou rovnic dosadíe nulový čas a počáteční podínky. Pro první případ (nenulová výchylka) vyjde kosinové řešení a pro druhý případ (nenulová rychlost) sinové řešení: x1() t Acos( t), x() t v sin( t). (1.6) F1-6

7 Pro jednoduchost budee v celé této kapitole používat jen kosinové řešení (s nenulovou počáteční výchylkou). Není to na úju obecnosti, neboť víe, že obecná kobinace sinu a kosinu je jen fázově posunutý kosinus, viz (1.3). Zákon zachování energie Předpokládeje haronické oscilace ve tvaru Sestave nyní výraz pro celkovou energii x() t A cos( t), v() t A sin( t). (1.7) E v kx A cos ( t) ka sin ( t) (1.8) V první výrazu je ω = k, tedy áe E ka cos ( t) ka sin ( t) ka. (1.9) Celková energie se zachovává, přelévá se ezi kinetickou a potenciální složkou. V krajní výchylce je veškerá energie v potenciální složce (1/ ka ), v rovnovážné poloze je veškerá energie v kinetické složce. Zapaatujte si Celková energie haronického oscilátoru se zachovává (E = W k +W p = 1/ ka ) a přelévá se ezi kinetickou a potenciální složkou. Hybnost oscilátoru se nezachovává (v krajní poloze je nulová, v rovnovážné poloze je nenulová). Fázový portrét Fázový portréte nazýváe graf trajektorie systéu, v něž je na vodorovné ose poloha a na svislé ose hybnost. Pro polohu a hybnost áe: xt () A cos( t), (1.3) p() t v Asin( t). Na pravé straně rovnic ponecháe jen časové závislosti, ostatní výrazy převedee nalevo: x A cos( t), p sin( t). A Obě rovnice nyní uocníe na druhou a sečtee: (1.31) F1-7 x p A A 1. (1.3) Jde o rovnici elipsy s poloosai A a A ω. Oscilátor si ůžee představit jako alou kuličku pohybující se po obvodu elipsy. Vodorovný průět pohybu kuličky odpovídá její poloze a svislý průět její hybnosti.

8 Funguje ale i opačná konstrukce. Představte si, že pohyb oscilátoru sníají dvě čidla. Jedno ěří polohu a druhé rychlost a tí i hybnost. Signál z prvního čidla přivedee na vodorovnou osu osciloskopu (kosinový průběh) a signál z druhého čidla na svislou osu osciloskopu (sinový průběh). Výsledný obraz bude saozřejě nái odvozená elipsa. Z hlediska ateatiky skládáe dva kolé kity stejných frekvencí posunuté ve fázi o 9. Tluené oscilace Předpokládeje, že na oscilátor nyní působí ještě tluení. Těleso zavěšené na pružině kitá například v kádince s vodou. Tluící síla je úěrná rychlosti a á opačný sěr, na pravé straně rovnice tedy budou dvě síly, haronická a tluicí: x kx x. (1.33) V rovnici nyní uspořádáe členy podle klesajících derivací a koeficient u nejvyšší derivace upravíe tak, aby byl roven jedné: k x x x. (1.34) Koeficient u první derivace popisuje velikost tluení, označíe ho δ (jde jen o označení, ukáže se, že s faktore bude výsledný vztah jednodušší). Koeficient u druhé derivace je druhou ocninou frekvence netlueného oscilátoru, označíe ji ω. Máe tedy řešit jednoduchou rovnici xx x; (1.35) k. Jde o lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantníi koeficienty. Má-li rovnice platit, usí být hledaná funkce úěrná své první i druhé derivaci. Jediná funkce s takovou vlastností je exponenciela, proto předpokládeje, že řešení á tvar: t xt () e, t xt () e, (1.36) t xt () e. Po dosazení do pohybové rovnice (1.35) a následné zkrácení exponenciel áe rovnici která á řešení, (1.37) 1,. (1.38) F1-8

9 Pro velká δ > ω áe dvě reálná řešení a žádné oscilace se nekonají. Hovoříe o tzv. přetluené (aperiodické) kitu. Tluení je natolik veliké, že se oscilátor bez kitů vrátí do rovnovážné polohy. Naopak pro slabé tluení δ < ω áe dvě koplexní řešení 1, i. (1.39) Poloha oscilátoru bude dána lineární kobinací obou nalezených řešení, tj. 1t t t i t i t xt () c1e ce =e c1e ce. Superpozici kitajících exponenciel ůžee opět napsat jako superpozici kosinu a sinu t x() t e acos t bsin t. Předpokládeje kit s počáteční nulovou rychlostí a nenulovou výchylkou A : Aplituda, fáze kitů a úhlová frekvence budou t (1.4) (1.41) x() t A e cos t. (1.4) At () Ae, t () t t, (1.43) d dt Aplituda kitů klesá exponenciálně s čase. Koeficiente u času je paraetr δ zavedený výše. Fáze kitů roste lineárně s čase. Úhlová frekvence je nižší než u netluených kitů. Časový vývoj bude dát exponenciálně tluený kosine. Fázový portrét bude spirála:. Často používanou veličinou je logaritický dekreent útluu. Jde o přirozený logaritus podílu aplitudy v nějaké čase a aplitudy v čase o periodu pozdější: t Ae ( tt) At () T ln ln ln e T. At ( T) A e Energie oscilací je úěrná druhé ocnině aplitudy, proto á tvar (1.44) t Et () Ee. (1.45) F1-9

10 Zapaatujte si Tluené oscilace ají tvar: x(t) = A(t) cos (ωt). Frekvence je dána vztahe: ω = (ω δ ) 1/. Tluení sníží frekvenci. Aplituda exponenciálně klesá: A(t)=A exp( δt). Energie klesá s kvadráte aplitudy: E(t)=E exp( δt). Logaritus podílu aplitud po jedné periodě (dekreent útluu) je Λ = δt. Fázový portréte tluených oscilací je spirála. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru Na závěr určee klasickou hustotu pravděpodobnosti w ( x ) výskytu částice ezi krajníi polohai A, A. Pro pravděpodobnost, že se částice nachází v okolí Δx bodu x platí: Δt Δ x v( x) P Δ x, T v( x) (1.46) kde T je perioda pohybu a Δt je doba, po kterou částice pobývá v okolí bodu x. Okolí prolétá za periodu T částice dvakrát (ta a zpět), proto je v čitateli Δt. Hustota pravděpodobnosti je dp wx ( ). (1.47) d x v ( x) Závislost v (x) určíe ze zákona zachování energie Konečný vztah á tvar v x A v ( x) A x. (1.48) 1 wx ( ). A x (1.49) Hustota pravděpodobnosti výskytu tělesa je nejvyšší v bodech obratu A, A a nejnižší v ístě inia potenciální energie. Nelekejte se nekonečné hodnoty hustoty pravděpodobnosti v krajních bodech. Skutečný sysl á jen pravděpodobnost výskytu tělesa v intervalu <a, b> daná vztahe: b Pab (, ) wx ( )d x. (1.5) Celková pravděpodobnost výskytu částice v oblasti ( A, A ) je rovna jedné: A A A a A 1 1 x wx ( )dx dx arcsin 1. A x A A (1.51) A F1-1

11 Zapaatujte si Pravděpodobnost výskytu oscilátoru je nejvyšší v ístech krajní výchylky. Hustota pravděpodobnosti je zde nekonečná, nicéně pravděpodobnost v každé konečné intervalu je konečná. Nejnižší pravděpodobnost výskytu je v rovnovážné poloze, kde á oscilátor nejvyšší rychlost Součet (integrál) všech pravděpodobností je roven 1. V závěrečné části si spočtee některé jednoduché příklady na haronické oscilace. Zkuavka ve vodě Příklad 1.: Zkuavka zatížená broky se pohupuje na vodní hladině. Určete frekvenci a periodu kitů. Průřez zkuavky je S = 1 c, hotnost zkuavky s broky = 4 g, hustota vody 1 g/c 3 a tíhové zrychlení předpokládejte 1 /s. Předpokládejte, že kity zkuavky neovlivní výšku hladiny v kádince. Řešení: Předpokládeje, že na začátku je zkuavka v klidu, tj. tíhová síla je právě kopenzována vztlakovou silou. Na zkuavce si uděláe rysku nebo nakreslíe značku, která je přesně v počátku souřadnic spojených s kádinku. Poté do zkuavky strčíe. Naše ryska se začne spolu se zkuavkou vychylovat tu na jednu a tu na druhou stranu od počátku souřadnicového systéu (v rovnovážné poloze je ryska v počátku souřadnic pevných vzhlede k okolí). Porušíe-li rovnováhu, objeví se vratná vztlaková síla a kity zkuavky ůžee popsat pohybovou rovnicí: F1-11

12 y ps y g y S. (1.5) Tuto rovnici uvedee na standardní tvar gs y y. (1.53) Jde o rovnici haronických kitů, koeficient u nulté derivace je druhou ocninou úhlové frekvence, tj. gs. (1.54) Periodu nyní snadno určíe ze vztahu ω = π/t: T. (1.55) gs Po dosazení číselných hodnot (nezapoeňte je převést do soustavy jednotek SI!) dostanee úhlovou frekvenci kitů zkuavky ω = 5 s 1 a periodu T 1,6 s. Tunel skrze Zei Příklad 1.3: Představte si, že napříč Zeí je vystavěn tunel, do kterého vhodíe nějaký předět. Jaký pohyb bude vykonávat? Vrátí se někdy zpět? Jestliže ano, kdy? Předpokládejte, že Zei půjde provrtat a vnitřní teplo a tlak tunel nezničí. Těleso se při průletu neroztaví. Hustota Zeě je konstantní. Poloěr Zeě je R = 6 4 k a hotnost M = kg. Řešení: Lze ukázat (ateatiku k tou zatí neznáte), že na předět o hotnosti působí gravitačně jen část Zeě uvnitř poloěru r(t), na které se právě těleso nachází. Vliv vnějších částí se přesně vyruší. Podíl hotnosti vnitřní části ku hotnosti celé Zeě bude roven podílu příslušných objeů, tj r M 3 M () r M () r M R R. (1.56) Nyní již snadno sestavíe pohybovou rovnici letícího tělesa F1-1

13 M () r r G r. (1.57) Po dosazení za M a úpravě rovnice na standardní tvar (tj. převedee všechny členy na jednu stranu a upravíe tak, aby koeficient u nejvyšší derivace byl roven jedné) dostanee rovnici haronických kitů M r G r. (1.58) 3 R Koeficient u nulté derivace je opět druhou ocninou úhlové frekvence, tj. Periodu určíe ze vztahu ω = π/t: M G. (1.59) R 3 T 3 R. (1.6) GM Po dosazení zjistíe, že předět hozený do tunelu se vrátí za 1,4 hodiny. Vibrující olekula Příklad 1.4: Předpokládejte, že dvojatoová olekula á potenciální energii danou jednoduchý potenciále Wp W 1exp ( rr). (1.61) Proěnná r označuje vzdálenost atoů v olekule. Nakreslete průběh potenciální energie, diskutujte oblast přitažlivých a odpudivých sil. Nalezněte úhlovou frekvenci oscilací. Řešení: Z fyzikálního hlediska je vzdálenost r nezáporná, pro vyšetření průběhu ůžee ale využít celý definiční obor, tj. reálnou osu. V krajních bodech definičního oboru platí li W ( r) W. (1.6) r p Pro určení průběhu naleznee první a druhou derivaci zadané funkce: d W dr dwp W( rr)exp ( rr) ; dr. (1.63) exp ( ) 4 ( ) exp ( ). p W rr W rr rr Položíe-li první derivaci rovnou nule, získáe body podezřelé z extréu. Jediný řešení je hodnota r r, (1.64) ve které á saotná funkce nulovou hodnotu (tedy usí jít o iniu: F1-13

14 Jde o průběh potenciální energie s inie v r. Pro r < r je síla odpudivá a pro r > r je síla přitažlivá (íří vždy k iniu potenciální energie). Výsledný pohybe proto budou kity. Potenciál nahradíe poocí Taylorova rozvoje parabolickou závislostí 1 Wp() r k( rr) ; k Wp( r) W,. (1.65) Nezapoeňte, že pro určení tuhosti oscilací usíe do druhé derivace dosadit iniu, tedy r. Standardní způsobe nyní určíe úhlovou frekvenci kitů olekuly: k W. (1.66) Zeě jako haronický oscilátor Příklad 1.5: Zeě obíhá kole Slunce po elipse s alou excentricitou. Vzdálenost od Slunce proto periodicky kolísá. Určete frekvenci a periodu těchto oscilací ze znalosti průběhu efektivní potenciální energie (součtu potenciální a rotační energie). Předpokládejte, že oent hybnosti Zeě je b =,7 1 4 kg s 1, hotnost Zeě = kg, hotnost Slunce M = 1 3 kg a gravitační konstanta G = 6, N kg. Řešení: Při odvození eliptické dráhy planety jse odvodili energii obíhající planety (8.9): 1 b E r G r M. (1.67) r Druhý člen je závislý pouze na poloze a ůžee ho proto přiřadit k potenciální energii. Interpretace členu jako kinetického nebo potenciálního je relativní a závisí na úhlu našeho pohledu. Zaveďe tzv. efektivní potenciální energii: 1 E r Weff (); r Weff r G r b M (). r Z první rovnice snadno určíe radiální rychlost tělesa (1.68) r EWeff () r (1.69) F1-14

15 Je zjevné, že pohyb se ůže konat jedině v takových oblastech efektivní potenciální energie, kde je arguent odocniny nezáporný, tj. platí E W eff () r. (1.7) Průběh efektivní potenciální energie je znázorněn na obrázku. Z něho je patrné, že pro E > je pohyb neoezený, r <r in, ), pohyb se koná po hyperbole. Naopak pro E < je pohyb oezený, r <r in, r ax > a pohyb se koná po elipse. Liitníi případy jsou E = (pohyb po parabole) a E = E in (pohyb po kružnici r = r ). Bílou oblastí je označen vázaný pohyb. Pohyb Zeě kole Slunce lze tedy chápat jako pohyb v efektivní potenciální energii v okolí inia. Takový pohyb je přibližně haronický radiální vzdálenost Zeě od Slunce nepatrně periodicky kolísá, v přísluní je Zeě blíže ke Slunci, v odsluní dále. Potenciální energii lze v okolí inia nahradit parabolickou závislostí. Standardní postupe určíe iniu efektivní potenciální energie a tuhost oscilací. Z tuhosti pak již snadno naleznee periodu pohybu: r b k ; G M G M k Weff ( r ) ; 6 b (1.71) T b 365 dní k / G M / b G M 3 Hodně štěstí u zkoušek, Petr Kulhánek, 1. března 13 F1-15

3.1.2 Harmonický pohyb

3.1.2 Harmonický pohyb 3.1.2 Haronický pohyb Předpoklady: 3101 Graf závislosti výchylky koštěte na čase: Poloha na čase 200 10 100 poloha [c] 0 0 0 10 20 30 40 0 60 70 80 90 100-0 -100-10 -200 čas [s] U některých periodických

Více

3.2.2 Rovnice postupného vlnění

3.2.2 Rovnice postupného vlnění 3.. Rovnice postupného vlnění Předpoklady: 310, 301 Chcee najít rovnici, která bude udávat výšku vlny v libovolné okažiku i libovolné bodě (v jedno okažiku je v různých ístech různá výška vlny). Veličiny

Více

Řešení: Odmocninu lze vždy vyjádřit jako mocninu se zlomkovým exponentem. A pro práci s mocninami = = = 2 0 = 1.

Řešení: Odmocninu lze vždy vyjádřit jako mocninu se zlomkovým exponentem. A pro práci s mocninami = = = 2 0 = 1. Varianta A Př.. Zloek 3 3 je roven číslu: a), b) 3, c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Odocninu lze vždy vyjádřit jako ocninu se zlokový exponente. A pro práci s ocninai již áe jednoduchá

Více

Tento text se snaží být takovým atlasem elementárních funkcí podobně jako atlas hub, ptáků či květin.

Tento text se snaží být takovým atlasem elementárních funkcí podobně jako atlas hub, ptáků či květin. A T L A S F U N K C Í Každý absolvent(ka) gynázia či střední odborné školy zaěřené na techniku by si ěl(a) do života po aturitě odnést povědoí o eleentárních funkcích, jejich seznau a vlastností jednotlivých

Více

1. Pohyby nabitých částic

1. Pohyby nabitých částic 1. Pohyby nabitých částic 16 Pohyby nabitých částic V celé první kapitole budee počítat pohyby částic ve vnějších přede znáých (zadaných) polích. Předpokládáe že 1. částice vzájeně neinteragují. vlastní

Více

Řešení testu 1b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021. 19. listopadu 2015

Řešení testu 1b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021. 19. listopadu 2015 Řešení testu b Fyzika I (Mechanika a olekulová fyzika) NOFY0 9. listopadu 05 Příklad Zadání: Kulička byla vystřelena vodorovně rychlostí 0 /s do válcové roury o průěru a koná pohyb naznačený na obrázku.

Více

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu

3.1.3 Rychlost a zrychlení harmonického pohybu 3.1.3 Rychlost a zrychlení haronického pohybu Předpoklady: 312 Kroě dráhy (výchylky) popisujee pohyb i poocí dalších dvou veličin: rychlosti a zrychlení. Jak budou vypadat jejich rovnice? Společný graf

Více

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy

Více

Srovnání klasického a kvantového oscilátoru. Ondřej Kučera

Srovnání klasického a kvantového oscilátoru. Ondřej Kučera Srovnání klasického a kvantového oscilátoru Ondřej Kučera Seestrální projekt 010 Obsah 1. Úvod... 3. Teorie k probleatice... 4.1. Mechanika... 4.1.1. Klasická echanika... 4.1.1.1. Klasický oscilátor...

Více

Pohyb soustavy hmotných bodů

Pohyb soustavy hmotných bodů Pohyb soustavy hotných bodů Tato kapitola se zabývá úlohai, kdy není ožné těleso nahradit jední hotný bode, předevší při otáčení tělesa. Těžiště soustavy hotných bodů a tělesa Při hodu nějaký složitější

Více

3.1.8 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru

3.1.8 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 3..8 Přeěny energie v echanické oscilátoru Předoklady: 0050, 03007 Pedagogická oznáka: Odvození zákona zachování energie rovádí na vodorovné ružině, rotože je říočařejší. Pro zájece je uvedeno na konci

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

ÚLOHA Závaží pružin kmitá harmonicky amplituda = 2 cm, doba kmitu = 0,5 s. = 0 s rovnovážnou polohou vzh ru. Úkoly l :

ÚLOHA Závaží pružin kmitá harmonicky amplituda = 2 cm, doba kmitu = 0,5 s. = 0 s rovnovážnou polohou vzh ru. Úkoly l : ÚLOHA Závažíčko zavěšené na pružině kitá haronick tak, že: aplituda výchlk je 2 c, doba kitu je T 0,5 s. Předpokládáe, že včase t 0 s prochází závažíčko rovnovážnou polohou a sěřuje vzhůru. Úkol: a) Zjistíe

Více

Praktikum I Mechanika a molekulová fyzika

Praktikum I Mechanika a molekulová fyzika Oddělení fzikálních praktik při Kabinetu výuk obecné fzik MFF UK Praktiku I Mechanika a olekulová fzika Úloha č. II Název: Studiu haronických kitů echanického oscilátoru Pracoval: Matáš Řehák stud.sk.:

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY ABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jéno: Petr Česák Datu ěření: 7.. Studijní rok: 999-, Ročník: Datu odevzdání:.5. Studijní skupina: 5 aboratorní skupina: Klasifikace:

Více

MECHANICKÉ KMITÁNÍ POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A

MECHANICKÉ KMITÁNÍ POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Jitka Novosadová MGV_F_SS_3S3_D19_Z_OPAK_KV_Mechanicke_kmitani_T Člověk a příroda Fyzika Mechanické kmitání Opakování

Více

FYZIKA 3. ROČNÍK. Vlastní kmitání oscilátoru. Kmitavý pohyb. Kinematika kmitavého pohybu. y m

FYZIKA 3. ROČNÍK. Vlastní kmitání oscilátoru. Kmitavý pohyb. Kinematika kmitavého pohybu. y m Vlastní itání oscilátoru Kitavý pohb Kitání periodicý děj zařízení oná opaovaně stejný pohb a periodic se vrací do určitého stavu. oscilátor zařízení, teré ůže volně itat (závaží na pružině, vadlo) it

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. 5. GRAVITAČNÍ POLE 5.1. NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. Newtonův gravitační zákon Znění: Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami

Více

Řešení úloh celostátního kola 47. ročníku fyzikální olympiády. Autor úloh: P. Šedivý. x l F G

Řešení úloh celostátního kola 47. ročníku fyzikální olympiády. Autor úloh: P. Šedivý. x l F G Řešení úloh celostátního kola 47 ročníku fyzikální olypiády Autor úloh: P Šedivý 1 a) Úlohu budee řešit z hlediska pozorovatele ve vztažné soustavě otáčející se spolu s vychýlenou tyčí okolo svislé osy

Více

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

2 Odvození pomocí rovnováhy sil Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

Tlumené kmity. Obr

Tlumené kmity. Obr 1.7.. Tluené kiy 1. Uě vysvěli podsau lueného kiavého pohybu.. Vysvěli význa luící síly. 3. Zná rovnici okažié výchylky lueného kiavého pohybu. 4. Uě popsa apliudu luených kiů. 5. Zná konsany charakerizující

Více

Vznik a vlastnosti střídavých proudů

Vznik a vlastnosti střídavých proudů 3. Střídavé proudy. Naučit se odvození vztahu pro okažitý a průěrný výkon střídavého proudu, znát fyzikální význa účiníku.. ět použít fázorový diagra na vysvětlení vztahu ezi napětí a proude u jednoduchých

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Název: Studium harmonických kmitů mechanického oscilátoru

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Název: Studium harmonických kmitů mechanického oscilátoru Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. II Název: Studiu haronických kitů echanického oscilátoru Pracoval: Lukáš Vejelka stud. skup. FMUZV (73) dne 2.2.23

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

KMITÁNÍ PRUŽINY. Pomůcky: Postup: Jaroslav Reichl, LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině

KMITÁNÍ PRUŽINY. Pomůcky: Postup: Jaroslav Reichl, LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině KMITÁNÍ PRUŽINY Pomůcky: LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině Postup: Těleso zavěsíme na pružinu a tu zavěsíme na pevně upevněný siloměr (viz obr. ). Sondu připojíme k LabQuestu a nastavíme

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

Popis fyzikálního chování látek

Popis fyzikálního chování látek Popis fyzikálního chování látek pro vysvětlení noha fyzikálních jevů již nevystačíe s pouhý echanický popise Terodynaika oblast fyziky, která kroě echaniky zkouá vlastnosti akroskopických systéů, zejéna

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

Testovací příklady MEC2

Testovací příklady MEC2 Testovací příklady MEC2 1. Určete, jak velká práce se vykoná při stlačení pružiny nárazníku železničního vagónu o w = 5 mm, když na její stlačení o w =15 mm 1 je zapotřebí síla F = 3 kn. 2. Jaké musí být

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Fyzika - Kvinta, 1. ročník

Fyzika - Kvinta, 1. ročník - Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální

Více

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A Kinematika kmitavého pohybu Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení Rovnovážná poloha Výchylka Kinematika kmitavého pohybu Veličiny charakterizující

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Zadání programu z předmětu Dynamika I pro posluchače kombinovaného studia v Ostravě a Uherském Brodu vyučuje Ing. Zdeněk Poruba, Ph.D.

Zadání programu z předmětu Dynamika I pro posluchače kombinovaného studia v Ostravě a Uherském Brodu vyučuje Ing. Zdeněk Poruba, Ph.D. Zadání programu z předmětu Dynamika I pro posluchače kombinovaného studia v Ostravě a Uherském Brodu vyučuje Ing. Zdeněk Poruba, Ph.D. Ze zadaných třinácti příkladů vypracuje každý posluchač samostatně

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice

Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška Derivace a tečny aneb matematika libovolně malých změn Nejen velké,

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

KMS cvičení 6. Ondřej Marek

KMS cvičení 6. Ondřej Marek KMS cvičení 6 Ondřej Marek NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

Praktikum 1. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Úloha č...xvi... Název: Studium Brownova pohybu

Praktikum 1. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Úloha č...xvi... Název: Studium Brownova pohybu Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktiku 1 Úloha č...xvi... Název: Studiu Brownova pohybu Pracoval: Jan Kotek stud.sk.: 17 dne: 7.3.2012 Odevzdal dne:... ožný počet

Více

Mechanické kmitání a vlnění

Mechanické kmitání a vlnění Mechanické kmitání a vlnění Pohyb tělesa, který se v určitém časovém intervalu pravidelně opakuje periodický pohyb S kmitavým pohybem se setkáváme např.: Zařízení, které volně kmitá, nazýváme mechanický

Více

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou

Více

Gravitační pole. a nepřímo úměrná čtverci vzdáleností r. r r

Gravitační pole. a nepřímo úměrná čtverci vzdáleností r. r r Newtonův avitační zákon: Gavitační pole ezi dvěa tělesy o hotnostech 1 a, kteé jsou od sebe vzdáleny o, působí stejně velké síly vzájené přitažlivosti, jejichž velikost je přío úěná součinu hotností 1

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Vznik střídavého proudu Obvod střídavého proudu Výkon Střídavý proud v energetice

Vznik střídavého proudu Obvod střídavého proudu Výkon Střídavý proud v energetice Střídavý proud Vznik střídavého proudu Obvod střídavého proudu Výkon Střídavý proud v energetice Vznik střídavého proudu Výroba střídavého napětí:. indukční - při otáčivé pohybu cívky v agnetické poli

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

FYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy

FYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy FYZIKA II Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy Osnova přednášky Energie magnetického pole v cívce Vzájemná indukčnost Kvazistacionární

Více

VY_32_INOVACE_06_III./1._OBVOD STŘÍDAVÉHO PROUDU

VY_32_INOVACE_06_III./1._OBVOD STŘÍDAVÉHO PROUDU VY_32_INOVACE_06_III./1._OBVOD STŘÍDAVÉHO PROUDU Střídavý proud Vznik střídavého napětí a proudu Fyzikální veličiny popisující jevy v obvodu se střídavý proude Střídavý obvod, paraetry obvodu Střídavý

Více

MECHANIKA - DYNAMIKA Teorie Vysvětlete následující pojmy: Setrvačnost:

MECHANIKA - DYNAMIKA Teorie Vysvětlete následující pojmy: Setrvačnost: Projekt Efektivní Učení Reforou oblastí gynaziálního vzdělávání je spolufinancován Evropský sociální fonde a státní rozpočte České republiky. MECHANIKA - DYNAMIKA Teorie Vysvětlete následující pojy: Setrvačnost:

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Podívejte se na časový průběh harmonického napětí

Podívejte se na časový průběh harmonického napětí Střídavý proud Doteď jse se zabývali pouze proude, který obvode prochází stále stejný sěre (stejnosěrný proud). V praxi se ukázalo, že tento proud je značně nevýhodný. kázalo se, že zdroje napětí ůže být

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr VIII. KOTLÁŘSKÁ 23. DUBNA 2014

Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr VIII. KOTLÁŘSKÁ 23. DUBNA 2014 F40 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr 03-04 VIII. Vibrace víceatomových molekul cvičení KOTLÁŘSKÁ 3. DUBNA 04 Úvodem capsule o maticích a jejich diagonalisaci definice "vibračních módů"

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli

1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli Klasická mechanika analytická řešení pohybu částic a těles 1. Pohyb v odporujícím prostředí 1.1 Odporující síla je úměrná rychlosti pohybujícího se tělesa 1.2 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

PLOŠNÉ INTEGRÁLY PLOCHY

PLOŠNÉ INTEGRÁLY PLOCHY LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). LOCHY lochy v prostoru, které byly zatí hlavně používány, byly

Více

Magnetické pole drátu ve tvaru V

Magnetické pole drátu ve tvaru V Magnetické pole drátu ve tvaru V K prvním úspěchům získaným Ampèrem při využívání magnetických jevů patří výpočet indukce magnetického pole B, vytvořeného elektrickým proudem procházejícím vodiči. Srovnáme

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2 Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu nabité částice v konfiguraci rovnoběžného konstantního vnějšího elektromagnetického pole 1 Popis problému Uvažujme pohyb nabité částice v E 3 v takové

Více

Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie

Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie Kinetická teorie plynu, která prní poloině 9.století dokázala úspěšně spojit klasickou fenoenologickou terodynaiku s echanikou, poažuje plyn za soustau

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU

MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU MĚŘENÍ NA ASYNCHRONNÍM MOTORU Základní úkole ěření je seznáit posluchače s vlastnosti asynchronního otoru v různých provozních stavech a s ožnosti využití provozu otoru v generátorické chodu a v režiu

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

1. Mechanika - úvod. [ X ] - měřící jednotka. { X } - označuje kvantitu (množství)

1. Mechanika - úvod. [ X ] - měřící jednotka. { X } - označuje kvantitu (množství) . Mechanika - úvod. Základní pojy V echanice se zabýváe základníi vlastnosti a pohybe hotných těles. Chcee-li přeístit těleso (echanický pohyb), potřebujee k tou znát tyto tři veličiny: hota, prostor,

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

Pohyby HB v některých význačných silových polích

Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB Gravitační pole Gravitační pole v blízkém okolí Země tíhové pole Pohyb v gravitačním silovém poli Keplerova úloha (podrobné řešení na semináři)

Více

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z 5. Práce a energie 5.1. Základní poznatky Práce W jestliže se hmotný bod pohybuje po trajektorii mezi body (1) a (), je práce definována křivkovým integrálem W = () () () F dr = Fx dx + Fy dy + (1) r r

Více

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje);

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); Newtonovy pohybové zákony: Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Kinematika hmotného bodu Kinematika = obor fyziky zabývající se pohybem bez ohledu na jeho příčiny Hmotný bod - zastupuje

Více

Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus II

Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus II .. Grafy funkcí odvozených z funkcí sinus a cosinus II Předpoklady: 0 Pedagogická poznámka: Pokud máte málo času můžete z této hodiny vyřešit pouze první tři příklady a ve zbývajících 5 minutách projít

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více