Kapitola 5: Funkce více proměnných, jejich spojitost a limita

Transkript

1 Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 5: Funkce více proměnných, jejich spojitost a limita Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p./3

2 Funkce více proměnných, jejich spojitost a limita Definiční obor funkce více proměnných Graf funkce dvou proměnných Limita funkce dvou proměnných. p./3

3 Definiční obor funkce více proměnných Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku.. p.3/3

4 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená??. p.4/3

5 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Výsledek: D(f)={(x, y) Ê, x y x+} {(x, y) Ê, = rovnoběžník ABCD, A=[, ], B= x [ ] 3,, C=[,], D= 3 y x+ }= [ ] 3,. 3 H={(x, y) Ê, y= x, x, 3 } {(x, y) Ê, y=x, x 3, } {(x, y) Ê, y= x+, x 3, } {(x, y) Ê, y=x+, x, 3 }. D(f) je uzavřená, souvislá, konvexní a omezená množina, není otevřená. Funkce f(x, y) je na svém definičním oboru omezená.. p.4/3

6 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Návod: Využijeme znalosti definičního oboru cyklometrických funkcíarcsin aarccos. Obě tyto funkce jsou na svém definičním oboru omezené, tedy i jejich součet je funkce omezená na svém definičním oboru. Hranice D(f) patří do definičního oboru, je tedy D(f) uzavřená množina, není otevřená. Zbývá rozhodnout, zda libovolné dva body D(f) lze spojit úsečkou, která celá leží v D(f) (konvexnost) a zda pro libovolné dva body D(f) existuje lomená čára, která je spojuje a leží celá v D(f) (souvislost). Abychom dokázali omezenost, musíme najít číslo K >0, takové, že vzdálenost libovolného bodu D(f) od počátku je menší nebo rovna K.. p.4/3

7 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Řešení: Funkcearcsin(t) aarccos(t) jsou definovány pro t,, tedy musí být x y, x y. Nerovnosti vyřešíme a dostaneme D(f)={(x, y) Ê, x y x+} {(x, y) Ê, Jde o rovnoběžník ABCD, x y x+ }. A=[, ], B= [ 3, 3 ], C=[,], D= [ ] 3,. 3 Hranice definičního oboru je tvořena úsečkami AB, BC, CD a DA. Všechny tyto úsečky leží v definičním oboru, množina D(f) je tedy uzavřená a není otevřená. Další. p.4/3

8 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Řešení: Spojnice libovolných dvou bodů D(f) leží celá v D(f), D(f) je tedy konvexní, a protože libovolné dva body D(f) lze spojit lomenou čarou, která celá leží v D(f), D(f) je tedy souvislá. Protože nejvzdálenějšími body od počátku jsou body A a C a jejich vzdálenost od počátku je ρ(a,0)=ρ(c,0)=, kde0=[0,0] Ê je počátek souřadnic, je vzdálenost libovolného bodu D(f) od počátku menší nebo rovna. Položíme K=. Pak ρ(x,0) K X=[x, y] D(f), množina D(f) je tedy omezená. Protože obor hodnot funkce H(arcsin t)= π, π a obor hodnot funkce H(arccos t)= 0, π, jsou obě tyto funkce omezené a tedy i jejich součet je funkce omezená na svém definičním oboru.. p.4/3

9 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Maple: > with(plots): > f:=(x,y)->arcsin(*x-y)+arccos(x-*y); f:=(x, y) arcsin( x y)+arccos(x y) Pro představu si nakreslíme graf dané funkce. > plot3d(arcsin(*x-y)+arccos(x-*y), x= , y=-..,axes=normal,numpoints=400,orientation=[70,45]); y x 0.5 Pro definiční obor musí platit: <= x y <=, <= x y <=, Vypočteme souřadnice bodů A, B, C, D, kde bod A je průsečík přímek y=x+ a y=0.5(x ), bod B průsečík přímek y=x+ a y=0.5(x ), bod C průsečík přímek y=x a y=0.5(x+), bod D průsečík přímek y=x+ a y=0.5(x+). Další. p.4/3

10 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Maple: Definičním oborem fce f je rovnoběžník ABCD, hranice je tvořena úsečkami AB, BC, CD, DA a leží celá v definičním oboru f. > xa:=solve(*x+=0.5*(x-)); > ya:=*xa+; xa:=. > xb:=solve(*x-=0.5*(x-)); ya:=. > yb:=*xb-; xb:= > xc:=solve(*x-=0.5*(x+)); yb:= > yc:=*xc-; > xd:=solve(*x+=0.5*(x+)); xc:=. yc:=. Další xd:= p.4/3

11 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Maple: > yd:=*xd+; yd:= > a:=contourplot(arcsin(*x-y)+arccos(x-*y),x= , y=-..,axes=normal,grid=[50,50],filled=true, coloring=[yellow,green]): > a:=implicitplot(0.5*(x-)=y,x= , y=-..,axes=normal,grid=[50,50],color=black): > a3:=implicitplot(*x+=y,x= , y=-..,axes=normal,grid=[50,50],color=black): > a4:=implicitplot(*x-=y,x= , y=-..,axes=normal,grid=[50,50],color=black): > a5:=implicitplot(0.5*(x+)=y,x= , y=-..,axes=normal,grid=[50,50],color=black): > a6:=plot(points([-,-],[/3,-/3],[,],[-/3,/3], SYMBOL(BOX)), TEXT([-,-], A,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT), TEXT([/3,-/3], B,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT), TEXT([,], C,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT), TEXT([-/3,/3], D,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT)): > a7:=plot(curves([[-,-],[/3,-/3],[,],[-/3,/3], [-,-]],THICKNESS(4),COLOR(RGB,.5607,.737, 0.0))): Další. p.4/3

12 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Maple: Nakreslení celého definičního oboru: > display({a,a,a3,a4,a5,a6,a7}); y C D B x A. p.4/3

13 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Mathematica: f[x,y]=arcsin[x y]+arccos[x y]; Simplify[ <=x y] y +x << AlgebràÌnequalitySolvè` Algebrà`InequalitySolvè` Určení definičního oboru funkcearcsin(x y). InequalitySolve[ <=x y, y] +x y +x << Graphics`FilledPlot` g=filledplot[{ +x,+x}, {x,,}]; Další -3. p.4/3

14 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Mathematica: Určení definičního oboru funkcearccos(x y). InequalitySolve[ <=x y, y] + x y + x [{ g=filledplot + x,+ + x } ], {x,,},plotrange { 3,3} ; Určení definičního oboru funkce f(x, y). Solve [ +x== + x, x] Solve [ +x== + x, x] Další p.4/3

15 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Mathematica: Solve [ +x== + x, x] Solve [ +x== + x {{ }}, x] x 3 {{x }} {{ }} x 3 {{x }} Definiční obor je kosodélník A B C D { } B={x,+x}/. x 3 ; A={x,+x}/.{x }; { } D={x, +x}/. x 3 ; C={x, +x}/.{x }; lichob={a,b, B,C,D} { { {, }, 3, } { 3, {,}, 3, }} 3 r = Graphics[{RGBColor[0,, 0], Polygon[lichob]}]; Zakreslíme si množinu všech bodů definičního oboru: Další. p.4/3

16 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= arcsin(x y)+arccos(x y). Napište a zdůvodněte, které z následujících vlastností D(f) má a které nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvexní, omezená. Určete hranici D(f). Je funkce f(x, y) na svém definičním oboru omezená? Mathematica: Show[r, Axes True]; p.4/3

17 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,).?. p.5/3

18 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Výsledek: D(f)={(x, y) Ê, x 0, y <x}. H={(x, y) Ê, x=0, y <0} {(x, y) Ê, y=x}. Bodem A prochází0 vrstevnice y= x +x, x 0.. p.5/3

19 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Návod: Nejprve určíme přirozený definiční obor funkce. Využijeme to, že známe definiční obor přirozeného logaritmu. Vrstevnici najdeme tak, že nejprve vypočteme příslušnou z 0 souřadnici bodu A a pak dopočteme odpovídající z 0 vrstevnici.. p.5/3

20 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Řešení: Definiční obor: Argument logaritmu musí být kladné číslo, zlomek je kladný, je-li čitatel i jmenovatel kladný nebo záporný. Protože v čitateli je x a x 0 x Ê, musíme vyloučit x=0 a požadovat, abyx y >0. Tedy x x y >0 x 0 y <x = D(f)={(x, y) Ê, x 0, y <x}. Hranice definičního oboru je tvořena přímkou y=x a zápornou částí osy y: H={(x, y) Ê, x=0, y <0} {(x, y) Ê, y=x}. Obrázek je nakreslen v části Maple. Vrstevnice: Vrstevnice grafu funkce je křivka v rovině xy, kterou dostaneme tak, že provedeme řez grafu funkce rovinou z= z 0 a křivku, kterou tak dostaneme, promítneme do roviny xy. Známe-li bod na vrstevnici, musíme nejprve spočítat na jaké vrstevnici daný bod leží, tj. jakou má zetovou souřadnici z 0. V našem případě dostaneme: Další A=(,): z 0 =ln = z 0 =0.. p.5/3

21 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Řešení: Nyní pro z 0 =0 najdeme rovnici vrstevnice, které odpovídá toto z 0 : ln x x y =0 x x y = y= x +x. Vrstevnice je tedy parabola y= (x ) +. Pozor, nesmíme zapomenout, že bod (0,0), který leží na této parabole, nepatří do definičního oboru a musíme ho proto vynechat. Nulová vrstevnice K A, která prochází bodem A, je tedy K A = {(x, y) Ê, y= x +x, x 0}. Je nakreslena v části Maple.. p.5/3

22 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Maple: > with(plots): > f:=(x,y)->ln(xˆ/(*x-y)); f:=(x, y) ln( x y ) Pro představu si nakreslíme graf dané funkce. > plot3d(ln(xˆ/(*x-y)), x=-3..3, y=-0..5,axes=normal,numpoints=000,orientation=[0,30]); x 3 y 4 x Další. p.5/3

23 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Maple: Vypočteme z-souřadnici bodu A > f(,); 0 Bod A leží na 0-vrstevnici (Maple vypočte tuto křivku v parametrickém tvaru): > solve(ln(xˆ/(*x-y))=0); {y= x + x, x=x} Nyní si nakreslíme definiční obor dané funkce. Silněji je znázorněna 0-vrstevnice. Hranici definičního oboru tvoří přímka y=x a polopřímka x=0, y <=0. Hranice do definičního oboru nepatří. > a:=contourplot(ln(xˆ/(*x-y)),x=-3..0,y=-0..0,axes=normal, grid=[60,60],filled=true,coloring=[yellow,green]): > a:=contourplot(ln(xˆ/(*x-y)),x=0..3,y=-0..5,axes=normal, grid=[60,60],filled=true,coloring=[yellow,green]): > a3:=contourplot(ln(xˆ/(*x-y)),x=-3..0,y=-0..5,axes=normal, grid=[00,00],contours=[0],thickness=3,color=blue): > a4:=contourplot(ln(xˆ/(*x-y)),x=0..3,y=-0..5,axes=normal, grid=[00,00],contours=[0],thickness=3,color=blue): Další. p.5/3

24 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Maple: > a5:=implicitplot(x=0,x=-3..3,y=-0..0,axes=normal,thickness=, color=red): > a6:=implicitplot(y=*x,x=-3..3,y=-0..5,axes=normal,grid=[50,50], thickness=5,color=red): > a7:=plot(points([,],symbol(circle)), TEXT([,], A,ALIGNBELOW,ALIGNLEFT,FONT(SYMBOL,0))): > display({a,a,a3,a4,a5,a6,a7}); 4 3 x 0 Α 3 y Další > b:=plot(-xˆ+*x,x=-3..3,y=-4..4,color=blue):. p.5/3

25 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Maple: > b:=plot(points([0,0],symbol(box))): > b3:=plot(points([,],symbol(box)), TEXT([,], A,ALIGNBELOW,ALIGNLEFT,FONT(SYMBOL,5))): > display({b,b,b3}); 4 3 y x 3 4 Α. p.5/3

26 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Mathematica: f[x,y]=log[(x )/(x y)] ] Log [ x x y Určíme a nakreslíme definiční obor funkce: InequalitySolve[(x y) > 0, y] y <x g = FilledPlot[{x, 9999}, {x,, }, PlotRange { 4, 4}]; Další. p.5/3

27 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Mathematica: Určíme z tovou souřadnici vrstevnice: za=f[,] 0 Vypočteme předpis pro vrstevnici a zakreslíme ji do definičního oboru: Solve[f[x, y]== za, y] {{ y x x }} g=plot[x x, {x,,},plotstyle {Thickness[0.008]}]; Další. p.5/3

28 Příklad 5.. Určete a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)=ln x x y, určete jeho hranici a nakreslete vrstevnici, která prochází bodem A=(,). Mathematica: Show[{g,g}]; g}]; p.5/3

29 Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku.?. p.6/3

30 Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku. Výsledek: D(f)={(x, y) Ê, x y, y 0}. Bodem A prochází0 vrstevnice y=x, x 0; body B a C prochází vrstevnice y=(x 4), x 4.. p.6/3

31 Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku. Návod: Nejprve určíme přirozený definiční obor funkce. Využijeme to, že známe definiční obor odmocniny. Vrstevnice najdeme tak, že nejprve vypočteme příslušnou z 0 souřadnici každého bodu a pak dopočteme odpovídající z 0 vrstevnici.. p.6/3

32 Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku. Řešení: Definiční obor: Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, tj. y 0 x y 0 = D(f)={(x, y) Ê, x y, y 0}. Obrázek je nakreslen v části Maple. Vrstevnice: Vrstevnice grafu funkce je křivka v rovině xy, kterou dostaneme tak, že provedeme řez grafu funkce rovinou z= z 0 a křivku, kterou tak dostaneme, promítneme do roviny xy. Známe-li bod na vrstevnici, musíme nejprve spočítat na jaké vrstevnici daný bod leží, tj. jakou má zetovou souřadnici z 0. V našem případě dostaneme: Bod A=(,): z 0 = Bod B=(5,): z 0 = Bod C=(4,0): z 0 = = z 0 =0 5 = z 0 = 4 0 = z 0 = Další. p.6/3

33 Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku. Řešení: Nyní pro vypočtená z 0 najdeme rovnici křivky = vrstevnice, které odpovídá toto z 0. z 0 =0: 0= x y x y=0 0 y=x y=x, x 0 K A = {(x, y) Ê, y=x x 0} z 0 =: = x y x y=4 0 y=x 4 y=(x 4), x 4 K B,C = {(x, y) Ê, y=(x 4) x 4} Nulová vrstevnice K A, která prochází bodem A, i vrstevnice K B,C, která prochází body B, C jsou zakresleny do obrázku v části Maple.. p.6/3

34 Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku. Maple: > with(plots): > f:=(x,y)->sqrt(x-sqrt(y)); f:=(x, y) x y Pro představu si nakreslíme graf dané funkce. > plot3d(sqrt(x-sqrt(y)), x=0..0, y=0..5,axes=normal,numpoints=000,orientation=[40,60]); y x 8 0 Vypočteme z-souřadnice bodů A,B,C Další. p.6/3

35 Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku. Maple: > f(,); > f(5,); > f(4,0); 0 Bod A leží na 0-vrstevnici (Maple vypočte tuto křivku v parametrickém tvaru): > solve(sqrt(x-sqrt(y))=0); {y=y, x= y} Body B,C leží na -vrstevnici (opět v parametrickém tvaru): > solve(sqrt(x-sqrt(y))=); {y=(x 4), x=x} Nyní si nakreslíme definiční obor dané funkce. Silněji jsou znázorněny obě vrstevnice. Nulová vrstevnice a kladná část osy x tvoří hranici definičního oboru a patří do něj. > a:=contourplot(sqrt(x-sqrt(y)),x=0..8,y=0..5,axes=boxed,grid=[50,50],filled=true,coloring=[yellow,green]): Další. p.6/3

36 Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku. Maple: > a:=contourplot(sqrt(x-sqrt(y)),x=0..8,y=0..5,axes=boxed,grid=[50,50],contours=[],thickness=,color=black): > a3:=implicitplot(x=sqrt(y),x=0..8,y=0..5,axes=boxed,grid=[50,50],thic kness=3,color=black): > a4:=implicitplot(y=0,x=0..8,y=0..5,axes=boxed,thickness=,color=red): > a5:=implicitplot(x=sqrt(y),x=0..8,y=0..5,axes=boxed,grid=[50,50],thic kness=5,color=red): > a6:=plot(points([,],[5,],[4,0],symbol(box)), TEXT([,], A,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT), TEXT([5,], B,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT), TEXT([4,0], C,ALIGNBELOW,ALIGNRIGHT)): > display({a,a,a3,a4,a5,a6}); 5 4 y 3 A B 0 C x. p.6/3

37 Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku. Mathematica: f[x,y]=sqrt[x Sqrt[y]] x y Určení a nakreslení definičního oboru: InequalitySolve[x Sqrt[y]>=0, x] x y InequalitySolve [ (x) ( ) y, y ] y x g=filledplot[{x,0}, {x,0,6},plotrange {,36}]; Další. p.6/3

38 Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku. Mathematica: Určení a nakreslení vrstevnic: za=f[,] 0 Solve[f[x, y]== za, y] {{ y x }} g=plot[x, {x,0,6}, PlotStyle {Thickness[0.0], RGBColor[, 0, 0]}]; zb=f[5,] Další p.6/3

39 Příklad 5..3 Najděte a nakreslete definiční obor funkce f(x, y)= x y. Které vrstevnice procházejí body A =(, ), B =(5, ), C =(4, 0)? Nakreslete je do obrázku. Mathematica: Solve[f[x, y]== zb, y] {{ y 6 8x+x }} g3=plot[6 8x+x, {x,,3}, PlotStyle {Thickness[0.0], RGBColor[0, 0, ]}]; Show[{g,g,g3}]; g,g3}]; p.6/3

40 Graf funkce dvou proměnných Příklad 5.. Vyšetřete graf funkce metodou řezu. f(x, y)= x + y, Příklad 5.. Určete vrstevnice funkce f(x, y)= x +y + pro dané z 0=, 5.. p.7/3

41 Příklad 5.. Vyšetřete graf funkce f(x, y)= x + y, metodou řezu.?. p.8/3

42 Příklad 5.. Vyšetřete graf funkce f(x, y)= x + y, metodou řezu. Výsledek: p.8/3

43 Příklad 5.. Vyšetřete graf funkce f(x, y)= x + y, metodou řezu. Návod: Nakreslíme si postupně řezy rovinami z= z 0, y=y 0, x=x 0, pro různé hodnoty konstant x 0, x 0, z 0.. p.8/3

44 Příklad 5.. Vyšetřete graf funkce f(x, y)= x + y, metodou řezu. Řešení: Nakreslíme si nejdříve řezy rovinami z= z 0 pro z 0 =0.5,.0,.5,.0. V rovině z 0 =0.5 dostanu kružnici popsanou rovnicí x + y =0.5. V rovině z 0 =.0 dostanu kružnici popsanou rovnicí x + y =.0. V rovině z 0 =.5 dostanu kružnici popsanou rovnicí x + y =.5. V rovině z 0 =0.5 dostanu kružnici popsanou rovnicí x + y =4. Všechny řezy si zakreslíme p.8/3

45 Příklad 5.. Vyšetřete graf funkce f(x, y)= x + y, metodou řezu. Maple: Graf nebudeme vyšetřovat metodou řezu, ale nakreslíme si ho přímo. > plot3d(sqrt(xˆ+yˆ),x=-..,y=-..,axes= boxed,orientation=[45,75] ); y 0 x. p.8/3

46 Příklad 5.. Vyšetřete graf funkce f(x, y)= x + y, metodou řezu. Mathematica: Graf nebudeme vyšetřovat metodou řezu, ale nakreslíme si ho přímo. Plot3D[Sqrt[x +y ], {x,,}, {y,,},boxratios {,,},ViewPoint->{.5, },.8,.0}]; p.8/3

47 Příklad 5.. Určete vrstevnice funkce f(x, y)= x +y + pro dané z 0=, 5.?. p.9/3

48 Příklad 5.. Určete vrstevnice funkce f(x, y)= x +y + pro dané z 0=, 5. Výsledek: D(f)=Ê, z 0 z 0 5. p.9/3

49 Příklad 5.. Určete vrstevnice funkce f(x, y)= x +y + pro dané z 0=, 5. Návod: Nakreslete křivky, jejíž body splňují rovnici: a) = x + y + b) 5 = x + y +.. p.9/3

50 Příklad 5.. Určete vrstevnice funkce f(x, y)= x +y + pro dané z 0=, 5. Řešení: Nakreslíme křivky, jejíž body splnůjí rovnici: a) = x + y + x + y = b) 5 = x + y + x + y =4. Vrstevnice jsou tedy kružnice o poloměrua. z 0 z 0 5. p.9/3

51 Příklad 5.. Určete vrstevnice funkce f(x, y)= x +y + pro dané z 0=, 5. Maple: Nakreslíme přímo vrstevnice pro z 0 = a z 0= 5. > plots[contourplot](/(xˆ+yˆ+),x=-..,y=-..,contours = [/,/5],scaling=constrained); y 0 x. p.9/3

52 Příklad 5.. Určete vrstevnice funkce f(x, y)= x +y + pro dané z 0=, 5. Mathematica: Nakreslíme přímo vrstevnice pro z 0 = a z 0= 5. ContourPlot[/(x +y +), {x,,}, {y,,}, Contours {/, /5}, ContourShading False]; p.9/3

53 Limita funkce dvou proměnných Příklad 5.3. Vypočtěte lim (x,y) (0,0) x y+4 x y. Příklad 5.3. Vypočtěte lim (x,y) (,) x 4 y 4 x y. Příklad Vypočtěte Příklad Vypočtěte lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) x y(x+y) x + y. y x y.. p.0/3

54 Příklad 5.3. Vypočtěte lim (x,y) (0,0) x y+4 x y.?. p./3

55 Příklad 5.3. Vypočtěte lim (x,y) (0,0) x y+4 x y. Výsledek: 4.. p./3

56 Příklad 5.3. Vypočtěte lim (x,y) (0,0) x y+4 x y. Návod: Limita je typu 0 0. Rozšíříme funkci výrazem+ x y+4, upravíme a pak limitu vypočteme.. p./3

57 Příklad 5.3. Vypočtěte lim (x,y) (0,0) x y+4 x y. Řešení: Limita je typu 0 0. Rozšíříme funkci výrazem+ x y+4. lim (x,y) (0,0) x y+4 x y = lim (x,y) (0,0) x y x y(+ x y+4) = lim (x,y) (0,0) + x y+4 = 4.. p./3

58 Příklad 5.3. Vypočtěte Maple: lim (x,y) (0,0) x y+4 x y S limitami to je v MAPLE horší. Často nám limitu nespočte. > limit((-sqrt(x*y+4))/(x*y),{x=0,y=0});. limit( x y+4, {y=0, x=0}) x y > limit(expand((-sqrt(x*y+4))*(+sqrt(x*y+4)))/(x*y*(+sqrt(x*y+4))), {x=0,y=0}); limit( +, {y=0, x=0}) x y+4 Zda limita existuje zjistíme z obrázku. Potom můžeme vypočítat limity postupně podle x a potom podle y. > plot3d(expand((-sqrt(x*y+4))*(+sqrt(x*y+4)))/(x*y*(+sqrt(x*y+4))), x=-..,y=-..,axes=box); y x 0.5 Další. p./3

59 Příklad 5.3. Vypočtěte lim (x,y) (0,0) x y+4 x y. Maple: > limit(limit((-sqrt(x*y+4))/(x*y),x=0),y=0); 4. p./3

60 Příklad 5.3. Vypočtěte lim (x,y) (0,0) x y+4 x y. Mathematica: Nejdříve funkci upravíme: Expand[( Sqrt[xy+4])(+Sqrt[xy+4])]/(xy(+Sqrt[x (xy(+sqrt[x y+4])) + 4+xy f[x,y]= /(+(xy+4) (/)) + 4+xy Ověříme si, zda limita existuje Plot3D[f[x, y], {x,,}, {y,,}]; Další. p./3

61 Příklad 5.3. Vypočtěte lim (x,y) (0,0) x y+4 x y. Mathematica: Vypočteme limity postupně podle x a potom podle y. Limit[Limit[f[x, y], x 0], y 0] 4. p./3

62 Příklad 5.3. Vypočtěte lim (x,y) (,) x 4 y 4 x y.?. p./3

63 Příklad 5.3. Vypočtěte Výsledek: 8. lim (x,y) (,) x 4 y 4 x y.. p./3

64 Příklad 5.3. Vypočtěte Návod: lim (x,y) (,) x 4 y 4 x y. Limita je typu 0 0. Pokrátíme zlomek výrazem x y.. p./3

65 Příklad 5.3. Vypočtěte Řešení: lim (x,y) (,) x 4 y 4 x y. Limita je typu 0 0. Pokrátíme zlomek výrazem x y. lim (x,y) (,) x 4 y 4 x y = lim (x,y) (,) (x y )(x + y ) x y = lim (x,y) (,) x + y =8.. p./3

66 Příklad 5.3. Vypočtěte Maple: lim (x,y) (,) x 4 y 4 x y. > limit((xˆ4-yˆ4)/(xˆ-yˆ),{x=,y=}); 8. p./3

67 Příklad 5.3. Vypočtěte lim (x,y) (,) Mathematica: Nejdříve funkci upravíme: x 4 y 4 x y. f[x,y]=simplify[(x 4 y 4)/(x y )] x + y Ověříme si, zda limita existuje Plot3D[f[x, y], {x,,3}, {y,,3}]; Vypočteme limity postupně podle x a potom podle y. Limit[Limit[f[x, y], x ], y ] 8. p./3

68 Příklad Vypočtěte lim (x,y) (0,0) x y(x+y) x + y.?. p.3/3

69 Příklad Vypočtěte Výsledek: 0. lim (x,y) (0,0) x y(x+y) x + y.. p.3/3

70 Příklad Vypočtěte Návod: lim (x,y) (0,0) x y(x+y) x + y. Při výpočtu limity přejdeme k polárním souřadnicím x = rcos t y = rsin t r 0,, t 0, π.. p.3/3

71 Příklad Vypočtěte Řešení: lim (x,y) (0,0) x y(x+y) x + y. Při výpočtu limity přejdeme k polárním souřadnicím x = rcos t y = rsin t r 0,, t 0, π. lim (x,y) (0,0) x y(x+y) x + y = lim (r,t) (0,t) rcos t rsin t(rcos t+ rsin t) r = = lim rcos tsin t(cos t+sin t)=0. (r,t) (0,t). p.3/3

72 Příklad Vypočtěte lim (x,y) (0,0) x y(x+y) x + y. Maple: > > limit(x*y*(x+y)/(xˆ+yˆ),{x=0,y=0}); limit( x y(x+y), {y=0, x=0}) x + y Opět musíme zjistit, zda limita existuje a pak vypočítat limity postupně podle x a potom podle y. > plot3d(x*y*(x+y)/(xˆ+yˆ),x=-..,y=-..,axes=box); y x 0.5 > limit(limit(x*y*(x+y)/(xˆ+yˆ),x=0),y=0); 0. p.3/3

73 Příklad Vypočtěte lim (x,y) (0,0) Mathematica: Nejdříve definujeme funkci: x y(x+y) x + y. f[x,y]=xy(x+y)/(x +y ) xy(x+y) x +y Ověříme si, zda limita existuje Plot3D[f[x, y], {x,,}, {y,,}], Vypočteme limity postupně podle x a potom podle y. Limit[Limit[f[x, y], x 0], y 0] 0. p.3/3

74 Příklad Vypočtěte lim (x,y) (0,0) y x y.?. p.4/3

75 Příklad Vypočtěte Výsledek: lim (x,y) (0,0) Limita neexistuje. y x y.. p.4/3

76 Příklad Vypočtěte Návod: lim (x,y) (0,0) y x y. Při výpočtu limity přejdeme k polárním souřadnicím x = rcos t y = rsin t r 0,, t 0, π.. p.4/3

77 Příklad Vypočtěte Řešení: lim (x,y) (0,0) y x y. Při výpočtu limity přejdeme k polárním souřadnicím x = rcos t y = rsin t r 0,, t 0, π. lim (x,y) (0,0) y x y = lim (r,t) (0,t) rsin t rcos t rcos t = lim (r,t) (0,t) Limita závisí na t, je pro každé t jiná. Limita neexistuje. sin t cos t cos t = sin t cos t cos t. p.4/3

78 Příklad Vypočtěte Maple: lim (x,y) (0,0) y x y. > limit(y/(x-y),{x=0,y=0}); undefined. p.4/3

79 Příklad Vypočtěte lim (x,y) (0,0) Mathematica: y x y. Nejdříve definujeme funkci: f[x,y]=y/(x y) y x y Spočteme limity podle x a y, potom podle y a x. Limit[Limit[f[x, y], x 0], y 0]==Limit[Limit[f[x, y], y 0], x 0] False Limity jsou různé, původní limita tedy neexistuje.. p.4/3