( ) BRUNO DE FINETTI A FILOSOFIE PRAVDĚPODOBOSTI. 31. mezinárodní konference Historie matematiky. Velké Meziříčí, 21.
|
|
- Eduard Beneš
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 BRUNO DE FINETTI ( ) A FILOSOFIE PRAVDĚPODOBOSTI 31. mezinárodní konference Historie matematiky Velké Meziříčí, 21. srpna 2010 Magdalena Hykšová
2 BRUNO DE FINETTI ( ) * v Innsbrucku základní škola a gymnázium v Trentu polytechnika univerzita (3. roč., MF) v Miláně Dr.: afinní geometrie Probability and My Life, 1982: první setkání s pravd. za studií článek biologa Carlo Foà o Mendelových zákonech poslal C.F. rukopis svého článku zaujat, ukázal Corradu Gini, prezidentu ISTAT publikace v čas. Metron, nabízí místo po absolutoriu 1927 Instituto Centrale di Statistica (ISTAT) v Římě 1930 habiliace pro mat. analýzu na univerzitě v Římě soukromý docent
3 pojišťovna Generali v Terstu (otcovo rodiště) Terst, Padova: univerzitní před. MA, FPM, PP prof. na univerzitě v Terstu (FM a statistika) 1950 cesta do USA, čtvrt roku na hostující prof. na univerzitě v Chicagu (pozvání a spolupráce: L. Jimmie Savage) pozornost anglicky mluvící vědecké komunity prof. na univerzitě v Římě (EF, 1961 PřF profesor teorie pravděpodobnosti) * v Římě
4 DÍLO BRUNA DE FINETTI teorie pravděpodobnosti statistika matematická analýza ekonomie teorie rozhodování radikální politické názory (v mládí stoupencem fašismu vítal nacionalistický charakter hnutí a kolektivistické sklony, později vítá možnost rozvodů a interrupce, pacifista), kritika liberální myšlenky, že sledování osobních zisků vede k rovnováze; jak docílit sociální spravedlnosti?
5 FILOSOFIE PRAVDĚPODOBNOSTI Problemi Determinati e Indeterminati nel Calcolo della Probabilità, 1930 Sul significato soggettivo della probabilità, 1931 [angl.: On the Subjective Meaning of Probability, 1992] Probabilismo. Saggio critico sulla teoria della probabilità e sul valore della scienza, 1931 [angl.: Probabilism..., 1989] Funzione caratteristica di un fenomeno aleatorio. In: Atti del Congr. Internaz. dei Matematici Bologna, 1932, (1928) La prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives, 1937 Probability, Induction and Statistics, 1972 (Mura A, ed.): Philosophical Lectures on Probability, 2008 [Filosofia della probabilità, 1995]
6 KRITIKA RŮZNÝCH PŘÍSTUPŮ K PSTI Klasická definice: pravděpodobnost určitého jevu = podíl počtu příznivých a všech možných, stejně pravděpodobných případů jedná se o definici kruhem, která je založená na pojmu stejně pravděpodobný nebo stejně možný, jehož nezávislá definice není nikde dána
7 Četnostní definice: pravděpodobnost = limita relativní četnosti výskytu daného jevu v opakovaných pokusech splňujících určité podmínky Myšlenka nekonečné posloupnosti pokusů je nesmyslná: vynecháme-li v posloupnosti libovolný konečný počet členů, její limita se nezmění. My jsme však opakováním pokusu schopni zjistit právě jen tyto zbytečné členy, protože náš život i celý vesmír trvá jen konečně dlouho. Často nás zajímá pravděpodobnost nějakého konkrétního neopakovatelného jevu de Finetti využívá četností k vyhodnocování pstí, ale zdůrazňuje, že je třeba rozlišovat mezi definicí a vyhodnocováním
8 Kolmogorovova axiomatická definice (1933):
9 Jak přeložit do jazyka teorie množin například větu: Kolega, jehož očekávám, pravděpodobně přijde. Máme hovořit o množině všech možných světů a rozlišovat světy, v nichž kolega dorazí, od těch, ve kterých nedorazí? = zbytečná komplikace U pravděpodobnosti nemohou být axiomy zvoleny zcela libovolně, jen aby vznikla hezká teorie musí odpovídat praktickému významu pojmu psti s odkazem na (alespoň myšlenkové) experimenty týkající se chování jedinců za nejistoty podmínky koherence nutné a postačující k tomu, aby jedince ochránily před jistou ztrátou
10 Jediné východisko (dle B.F.): Subjektivní interpretace pravděpodobnosti: pravděpodobnost = míra osobního přesvědčení
11 SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE VÁCLAV ŠIMERKA ( ), 1882 Frank Plumpton Ramsey ( ), 1926 (publ. 1931) Bruno de Finetti ( ), 1930, 1937 Leonard Jimmie Savage ( ), 1954 pravděpodobnost = stupeň osobního přesvědčení nebo víry ve výskyt určitého jevu či události Reálný přístup pracuje s reálnými pojmy, subjektivním přijímáním či odmítáním hypotéz... každodenní pravděpodobnostní uvažování
12 Stanovení pravděpodobnosti P(E) přiřazené jevu E: Spravedlivá sázka: vyšetřovaná osoba = bookmaker; má stanovit kurz sázky p: kolik musí sázející zaplatit, aby v případě, že nastane E, dostal 1 Kč (aby dostal S, musí zaplatit ps) Musí přijmout jakoukoli sázku S, kladnou i zápornou E nenastane zisk sázejícího: E nastane zisk sázejícího: Celkem lze psát: Pro n jevů:
13 1931: požadavek koherence: nesmí se stát, že by byl zisk Z vždy kladný, bez ohledu na to, jaký jev nastane (sázející by měl jistou výhru) Důsledky: nejvýhodnější je stanovit p upřímně koherence základní axiomy TP
14 1. Pro každý jev E je P(E) jediné reálné číslo, 0 P(E) 1 p < 0 S > 0: Z = ( E p)s > 0 p > 1 S < 0: Z = ( E p)s > 0 Pro jeden jev dvě různé hodnoty p < p např.: p = 0,4, p = 0,6 dvě sázky, např.: S = 100 Kč, S = 100 Kč Z(E) = (100 40) + ( ) = 20 Kč Z(ÿE) = = 20 Kč
15 1. Pro každý jev E je P(E) jediné reálné číslo, 0 P(E) 1 p < 0 S > 0: Z = ( E p)s > 0 p > 1 S < 0: Z = ( E p)s > 0 Pro jeden jev dvě různé hodnoty p < p dvě sázky: ( E p)s, ( E p )S Z(E) = (1 p)s + (1 p )S = ps p S + S + S Z(ÿE) = ps p S S > 0, S = S < 0 Z(E) = (p p )S > 0, Z(ÿE) = (p p )S > 0
16 2. Pro jistý jev E je P(E) = 1, pro nemožný jev je P(E) = 0 Jistý jev: Z = ( E p)s = (1 p)s p < 1 pro lib. S > 0 je Z > 0 Nemožný jev: Z = ps p > 0 pro lib. S < 0 je Z > 0
17 3. Pro libovolné neslučitelné jevy E 1, E 2 platí: P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) Označme P(E 1 ) = p, P(E 2 ) = q, P(E 1 E 2 ) = r uvažujme tři sázky s celkovým ziskem Z = ( E 1 p)s + ( E 2 q)s + ( ÿ(e 1 E 2 ) (1 r))s Z(E 1 ÿe 2 ) = (1 p q (1 r))s = (r p q)s Z(ÿE 1 E 2 ) = ( p + 1 q (1 r))s = (r p q)s Z(ÿE 1 ÿe 2 ) = ( p q + 1 (1 r))s = (r p q)s p + q < r volbou S > 0 si sázející zajistí kladný zisk p + q > r volbou S < 0 si sázející zajistí kladný zisk
18 3. Konečná aditivita: E 1, E 2,..., E n neslučitelné, vždy nastane jeden z nich P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E n ) = 1 Kurzy: P(E 1 ) = p 1, P(E 2 ) = p 2,..., P(E n ) = p n Sázky: S 1, S 2,..., S n Z(E i ) = p 1 S 1 p 2 S 2... p n S n + S i pro S 1 = S 2 =... = S n = S: Z(E i ) = ( p 1 p 2... p n + 1)S p 1 + p p n < 1 pro S > 0 je vždy Z > 0 p 1 + p p n > 1 pro S < 0 je vždy Z > 0
19 Věta (Ramsey de Finetti): Množina sázkových kurzů je koherentní, právě když splňuje axiomy teorie pravděpodobnosti.
20 Kolmogorov x de Finetti rozdíly: Jevy: podmnožiny množiny Ω x tvrzení Podmíněná pravděpodobnost Kolmogorov: zvláštní definice (P(H) = 0 později) ( ) kritika: definice PP výrazem ( ) lze ji interpretovat a aplikovat jako PP v intuitivním smyslu definice PP dle zažitého významu ( )
21 Kolmogorov x de Finetti rozdíly: Jevy: podmnožiny množiny Ω x tvrzení Podmíněná pravděpodobnost Kolmogorov: zvláštní definice (P(H) = 0 později) ( ) kritika: definice PP výrazem ( ) lze ji interpretovat a aplikovat jako PP v intuitivním smyslu definice PP dle zažitého významu ( ) de Finetti: P(E H) kurz spravedlivé sázky na E s tím, že když H nenastane, sázka se ruší ( ) = nutná podmínka konzistence; klidně P(H) = 0
22 Kolmogorov x de Finetti rozdíly: Spočetná x konečná aditivita Konečná aditivita: E 1, E 2,..., E n neslučitelné, vždy nastane jeden z nich P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E n ) = 1 Můžeme rozšířit na spočetný počet jevů? Axiom VI (Kolmogorov: 2. kap., ostatní 1. kap.) de Finetti: jen konečná aditivita, pro spočetnou není uspokojivé zdůvodnění Gillies, 2000: spočetnou aditivitu lze bez problémů zavést; jediný předpoklad: vždy se mohou předávat jen konečné částky
23 SPRAVEDLIVÁ SÁZKA PENALIZACE dotyčné osoby se zeptáme, jakou pravděpodobnost p přisuzuje jevu E, přičemž ji upozorníme, že jí budou uděleny určité trestné body závisející na uvedené odpovědi a na tom, zda jev E nastane či nikoli Nejjednodušší: Brierovo skóre (1950)... ( E p) 2 (hodnocení úspěšnosti předpovědi počasí)
24 Výhody: mohou být využita pro zlepšení pravděpodobnostních ohodnocení umožňují měřit nejistotu umožňují potrestání za špatné jednání umožňují srovnání úspěšnosti vyjadřují míra úspěšnosti pro ty, kteří kritizují subjektivní přístup kvůli absenci ověřitelnosti
25 SPRAVEDLIVÁ SÁZKA PENALIZACE dotázaná osoba je nucena udat hodnotu psti p, kterou si skutečně myslí: Střední hodnota penalizace v případě, že daná osoba udá pravděpodobnost q: p(1 q) 2 + (1 p)q 2
26 Moment setrvačnosti soustavy vzhledem ke Q: p(1 q) 2 + (1 p)q 2 Minimalizace očekávané penalizace nalezení bodu, vzhledem k němuž je moment setrvačnosti soustavy minimální Steinerova věta jedná se právě o těžiště; jinde je moment setrvačnosti větší o (p q) 2
27 SPRAVEDLIVÁ SÁZKA PENALIZACE 1960/61, 1961/62: SÁZKAŘSKÝ EXPERIMENT 30 lidí (B.F., studenti, asistenti) každý týden pravděpodobnosti 1, 2, X pro každý z 9 zápasů italské fotbalové ligy Skóre: 1... (1 p 1 ) 2 + p p X p (1 p 2 ) 2 + p y 2 X... p p (1 p X )p z 2
28
29
30
31
32
33
34
35 Pravděpodobnost neexistuje (1970, 1980) pocit, že subjektivismus = libovolnost, anarchie preference četnostní interpretace nebo logické interpretace (výraz logická slibuje objektivitu) de Finetti není proti objektivitě, jen nechce tvrdit, že názor na pravděpodobnost je jednoznačně určený a odůvodněný; pravděpodobnost neodpovídá proklamovanému racionálnímu přesvědčení, ale skutečnému osobnímu přesvědčení nějaké osoby
36 Pravděpodobnost je definována jako míra přesvědčení určitého jedince na základě veškerých jeho znalostí, zkušeností, informací týkajících se daného jevu, jehož výsledek je nejistý Vyhodnocování pravděpodobnosti bere v úvahu všechnu dostupnou evidenci včetně četností, symetrií atd., ale byla by chyba tyto prvky byť důležité pro odhad pravděpodobnosti brát za základ definice psti Každé ohodnocení pravděpodobnosti nutně závisí na dvou složkách: objektivní: známé údaje, fakta subjektivní: názor týkající se neznámých skutečností, údajů aj. na základě známé evidence Objektivní prvky = podklad pro ohodnocení, ne jediný
37 Ohodnocování pravděpodobností je složitý proces, ve kterém hrají roli různé subjektivní a objektivní prvky shromažďování a vyhodnocování informací vyžaduje pečlivost a zkušenosti je třeba zvážit, které informace jsou relevantní a které ne ekonomické úvahy, které se mohou lišit podle souvislostí míra kompetence vyhodnocovatele optimistický x pesimistický postoj do jaké míry se nechá ovlivnit nejnovějšími údaji...
Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceObsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23
Obsah Předmluva... 15 I. Objektivní pravděpodobnosti 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 1.1 Úvod... 23 1.2 Základy frekvenční interpretace... 24 1.2.1 Pravděpodobnost a hromadné jevy... 24 1.2.2
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
VíceZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
ZÁKLDY TEORIE RVDĚODOBNOSTI 1 Vytvořeno s podporou projektu růřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceAlgoritmy komprese dat
Algoritmy komprese dat Úvod do teorie informace Claude Shannon (1916 2001) 5.11.2014 NSWI072-7 Teorie informace Informace Co je to informace? Můžeme informaci měřit? Existují teoretické meze pro délku
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
VíceFILOSOFIE ČLOVĚKA a VĚDY
FILOSOFIE ČLOVĚKA a VĚDY Filosofie.. Vznik v antickém Řecku - KRITICKÉ, SAMOSTATNÉ myšlení - V SOUVISLOSTECH - sobě vlastní otázky, které neřeší speciální vědy - člověk ve VZTAHU k přírodě, společnosti
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 8. Vyjednávací hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 8. Vyjednávací hry 8. Vyjednávání Teorie her Věda o řešení konfliktů Ale také věda o hledání vzájemně výhodné spolupráce Teorie vyjednávání Odvětví teorie her dohoda
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceIng. Alena Šafrová Drášilová, Ph.D.
Rozhodování Ing. Alena Šafrová Drášilová, Ph.D. Rozhodování??? video Obsah typy rozhodování principy rozhodování rozhodovací fáze základní pojmy hodnotícího procesu rozhodovací podmínky rozhodování v podmínkách
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VíceCvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VícePřednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Odhady parametrů SP3 Připomenutí pojmů Připomenutí pojmů z S1P a SP2 odhady Nechť X,, je náhodný výběr z rozdělení s distribuční funkcí. 1 X,, X ) ( 1 n Statistika se nazývá bodovým
VícePopulace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1
? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VíceIng. Alena Šafrová Drášilová
Rozhodování II Ing. Alena Šafrová Drášilová Obsah vztah jedince k riziku rozhodování v podmínkách rizika rozhodování v podmínkách nejistoty pravidlo maximin pravidlo maximax Hurwitzovo pravidlo Laplaceovo
VíceRole experimentu ve vědecké metodě
Role experimentu ve vědecké metodě Erika Mechlová Ostravská univerzita v Ostravě Obsah Úvod 1. Pozorování, sbírání informací 2. Formulace problému 3. Stanovení hypotéz řešení problému 4. Provedení experimentu
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceJak (ne)vážit Spravedlnost. Halina Šimková
Jak (ne)vážit Spravedlnost Halina Šimková Důkaz v právu věc nebo postup, které mohou přispět k objasnění projednávané věci přímý důkaz nepřímý důkaz (indicie) vyviňující důkaz usvědčující důkaz klíčový
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
VíceLogický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)
Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr
VíceSIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz VII. SYSTÉMY ZÁKLADNÍ POJMY SYSTÉM - DEFINICE SYSTÉM (řec.) složené, seskupené (v
VíceStatistické vyhodnocování experimentálních dat. Mgr. Martin Čada, Ph.D.
Statistické vyhodnocování experimentálních dat Mgr. Martin Čada, Ph.D. - Ústav fyziky a biofyziky, PřF JU - E-mail: mcada@prf.jcu.cz - Tel.: 266052418 - Organizace výuky, zkouška, zápočet - Přednášky a
Více2.hodina. Jak pracuje věda
2.hodina Jak pracuje věda 3.Hodina kritický racionalismus. https://cs.wikipedia.org/wiki/karl_popper K. Popper, Otevřená společnost a její nepřátelé I./II. Praha 1994, opravené vydání 2011/2015 K. Popper,
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceStatistická teorie učení
Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceCESTI Rizika podzemních staveb TP rizika tunelů
CESTI Rizika podzemních staveb TP rizika tunelů Autor: Alexandr Rozsypal + kol., VUT BRNO, WP4 Příspěvek byl zpracován za podpory programu Centra kompetence Technologické agentury České republiky () v
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceHloubka dat. kontury, klasifikace a konzistence. Daniel Hlubinka
Hloubka dat kontury, klasifikace a konzistence Daniel Hlubinka Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Robust Němčičky 2012 Hloubka Co
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VíceCvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.
5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v
VícePetr Chaloupka. FJFI ČVUT, Praha. zimní semestr, 2015
FJFI ČVUT, Praha zimní semestr, 2015 zimní semestr - přednášky 2+0 letní semestr - cvičení 0+2 přednášející: Dr. katedra fyziky - 221 petr.chaloupka@fjfi.cvut.cz Ing. Libor Škoda Vítejte na FJFI Obsah
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceUsuzování za neurčitosti
Usuzování za neurčitosti 25.11.2014 8-1 Usuzování za neurčitosti Hypotetické usuzování a zpětná indukce Míry postačitelnosti a nezbytnosti Kombinace důkazů Šíření pravděpodobnosti v inferenčních sítích
VíceRozhodování. Ing. Alena Šafrová Drášilová, Ph.D.
Rozhodování Ing. Alena Šafrová Drášilová, Ph.D. Rozhodování??? video Obsah typy rozhodování principy rozhodování rozhodovací fáze základní pojmy hodnotícího procesu rozhodovací podmínky rozhodování v podmínkách
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceZáklady počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky
Errata ke skriptu Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky K. Hron a P. Kunderová Autoři prosí čtenáře uvedeného studijního textu, aby případné další odhalené chyby nad rámec tohoto
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VíceZrcadlo reality aneb kde je zakopaný pes?
Zrcadlo reality aneb kde je zakopaný pes? Tento článek bych nechtěl, aby byl vnímán čtenáři jako reakce na 2 ne zrovna povedené poslední víkendové turnaje (ne vždy se daří a vyhrává, i hokej je jen sport
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
Více2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
Víceprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
VícePřednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesůvvzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
VíceFilosofická pojetí pravděpodobnosti v pracích českých myslitelů
Filosofická pojetí pravděpodobnosti v pracích českých myslitelů Magdalena Hykšová Úvodní slovo In: Magdalena Hykšová (author): Filosofická pojetí pravděpodobnosti v pracích českých myslitelů. (Czech).
VíceMetodologie pedagogického výzkumu Téma číslo 4 Validita a reliabilita
Metodologie pedagogického výzkumu Téma číslo 4 Validita a reliabilita pedagogického výzkumu 1 Validita = platnost Měříme skutečně to, co se domníváme, že měříme??? Z výsledku vědomostního testu usuzujeme
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceSTATISTICKÝ SOUBOR. je množina sledovaných objektů - statistických jednotek, které mají z hlediska statistického zkoumání společné vlastnosti
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ POJMY HROMADNÝ JEV Statistika pracuje s tzv. HROMADNÝMI JEVY cílem statistického zpracování dat je podání informace o vlastnostech a zákonitostech hromadných jevů: velkého počtu jedinců
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
VícePravděpodobnostní model volejbalového zápasu
Pravděpodobnostní model volejbalového zápasu Mgr. Jan Šustek 3. 0. 008 Opakování Věta o celkové pravděpodobnosti Věta Pro jevy B, B Ω, které se navzájem vylučují, přičemž jeden z nich nutně nastává, tj.
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceTEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
VíceMatematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami
5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si
VícePredik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
VíceCvičení 1. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.
1 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
Více