VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV FYZIKÁLNÍHO INŽENÝRSTVÍ FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF PHYSICAL ENGINEERING SMĚROVÉ PLAZMONICKÉ ANTÉNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VERONIKA FORMANOVÁ BRNO 2015

2

3 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV FYZIKÁLNÍHO INŽENÝRSTVÍ FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF PHYSICAL ENGINEERING SMĚROVÉ PLAZMONICKÉ ANTÉNY UNIDIRECTIONAL PLASMONIC ANTENNAS BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR VERONIKA FORMANOVÁ Ing. MICHAL KVAPIL BRNO 2015

4

5 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství Ústav fyzikálního inženýrství Akademický rok: 2014/2015 ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE student(ka): Veronika Formanová který/která studuje v bakalářském studijním programu obor: Fyzikální inženýrství a nanotechnologie (3901R043) Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma bakalářské práce: v anglickém jazyce: Směrové plazmonické antény Unidirectional plasmonic antennas Stručná charakteristika problematiky úkolu: Jedna z možných aplikací plazmonických struktur (antén) spočívá v jejich spojení s optickými vlnovody, kdy antény slouží jako vazebné členy, které přijímají dopadající světlo a prostřednictvím rozptylu jej vážou do vlnovodu. Stejně tak mohou naopak světlo z vlnovodu vyvazovat a vyzařovat jej do prostoru. K tomuto účelu se hodí využívat směrové antény, které rozptylují většinu dopadajícího světla v jednom konkrétním směru. Cílem této práce je navrhnout plazmonickou strukturu se směrovým vyzařováním. Cíle bakalářské práce: 1. Rešeršní studie problematiky plazmonických antén se směrovým vyzařováním. 2. Návrh plazmonické antény se směrovým vyzařováním.

6

7 ABSTRAKT Práce pojednává o směrových plazmonických anténách ve tvaru písmene V. V práci je navrhnut analytický model výpočtu vyzařování těchto antén. Výsledky výpočtu pomocí navrženého modelu jsou srovnány s výsledky numerických simulací v programu Lumerical FDTD Solutions. Dále je v práci popsán proces výroby antén pomocí elektronové litografie a měření optických vlastností fourierovskou infračervenou spektroskopíı; jsou zde také ukázána rezonanční spektra antén. Závěrem je navržen experiment pro ověření směrovosti vyzařování těchto V antén. KLÍČOVÁ SLOVA plazmonické antény, infracervené, směrovost, analytický model ABSTRACT This thesis deals with directional V-shaped plasmonic antennas. In the thesis, an analytical model of antenna emission is proposed. The results of analytical computations are compared with results of numerical simulations in Lumerical FDTD Solutions package. Also, the process of fabrication of such antennas by electron beam lithography and measurement of optical properties using Fourier infrared spectroscopy is described and measured antenna resonant spectra are shown. Finally, there is a proposal of an experiment to prove the emission directivity of fabricated V-shaped antennas. KEYWORDS plasmonic antennas, infrared, directivity, analytical model FORMANOVÁ, Veronika Směrové plazmonické antény: bakalářská práce. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, Ústav fyzikálního inženýrství, s. Vedoucí práce Ing. Michal Kvapil

8

9 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že svou bakalářskou práci na téma Směrové plazmonické antény jsem vypracovala samostatně pod vedením vedoucího bakalářské práce a s použitím odborné literatury a dalších informačních zdrojů, které jsou všechny citovány v práci a uvedeny v seznamu literatury na konci práce. Jako autorka uvedené bakalářské práce dále prohlašuji, že v souvislosti s vytvořením této bakalářské práce jsem neporušila autorská práva třetích osob, zejména jsem nezasáhla nedovoleným způsobem do cizích autorských práv osobnostních a jsem si plně vědoma následků porušení ustanovení 11 a následujících autorského zákona č. 121/2000 Sb., včetně možných trestněprávních důsledků vyplývajících z ustanovení 152 trestního zákona č. 140/1961 Sb. Brno (podpis autora)

10

11 Poděkování Největší poděkování patří Ing. Michalu Kvapilovi za velmi trpělivé vedení této bakalářské práce a doc.,ing. Radku Kalouskovi,Phd. za obohacující připomínky a za cenné naměty, bez kterých by nevznikl analytický model směrového vyzařování. V neposlední řadě děkuji Bc. Andree Konečné za velmi cenné připomínky a za korekturu této práce. Děkuji také mé rodině za trpělivost a podporu při studiu. Veronika Formanová

12

13 OBSAH 1 Směrové antény 3 2 Teorie elektromagnetického pole Maxwellovy rovnice Makroskopické vlastnosti hmoty Elektromagnetické potenciály Hertzovy vektory Dielektrická funkce kovů 9 4 Lokalizované povrchové plazmony Rezonanční módy Rozložení náboje a proudů Experimentální techniky Elektronová litografie Spin-coating a volba rezistu Elektronová litografie na elektronovém mikroskopu Tescan VEGA Vyvolání vzorku a depozice kovových vrstev Lift-off Fourierovská infračervená spektroskopie Analytický model a simulace vyza-řování směrové antény Analytický model Vyjádření Hertzova vektoru Vyzařování v dalekém poli Srovnání analytického výpočtu a simulace Kvalitativní rozbor analytického modelu Experiment Měření a výroba prvních struktur Navržení experimentu na ověření směrovosti Výpočet vlastních módů vlnovodu Návrh vyvazovací mřížky Závěr 43 Literatura 45

14

15 ÚVOD Tato práce se zabývá směrovými plazmonikými anténami, kdy svou problematikou zasahuje do vědní disciplíny, která se nazývá plazmonika. Plazmonika je poměrně mladou disciplínou, díky níž se dokázaly vysvětlit optické jevy související s rozptylem světla na nanočásticích. Již staří Římané se setkali s tímto jevem, kdy do skla přidávali zlaté a stříbrné nanočástice. Teoretické základy plazmoniky se objevují i v pracích J. Zennecka a A. Sommerfelda, kteří zkoumali vlny šířící se podél povrchu vodiče s konečnou vodivostí, nebo G. Mieho, který poprvé vyřešil rozptyl na sférické částici. Evanescentní postupná vlna šířící se na rozhraní kovu a dielektrika se nazývá povrchový plazmonový polariton. Omezíme-li se na konečné rozměry kovu, na jejichž rozhraní se šíří povrchový plazmonový polariton, získáme lokalizované povrchové plazmony. Pokud vlnová délka dopadajícího světla je srovnatelná s rozměrem kovové částice, dochází ke kolektivním oscilacím elektronového plynu, které rozptylují světlo. Kdybychom tímto způsobem jsme dokázali ovládat světlo, přenos informací ve výpočetní technice by se značně zrychlil. Výkon je úměrný rychlosti zpracování informace, tedy frekvenci, se kterou počítačové čipy pracující. Současné polovodičové čipy s pracovní frekvencí v jednotkách gigahertz se blíží svému maximu, ovšem optické čipy by mohly pracovat na frekvencích v řádech stovek terahertz. V úvodu této práce bude čtenář seznámen s teorii elektromagnetického pole a jejími zákonitostmi, které jsou velmi důležité při popisu rozptylu světla na kovové anténě. Posléze čtenáři budou představeny optické vlastnosti kovu a nakonec lokalizované plazmony. V praktické části je navrhnut model vypočtu rozptylu světla na kovové anténě ve tvaru V. Přesnost modelu je posléze srovnána se simulací. V další části je popsán popis výroby a následné měření. Nakonec je navržen experiment na ověření směrovosti pole antén. 1

16

17 1 SMĚROVÉ ANTÉNY Směrové plazmonické antény jsou struktury, které obecně rozptylují světlo více do jednoho směru než do druhého. V této práci se budeme zabývat studiem plazmonických struktur ve tvaru písmene V, u nichž je pozorováno směrové vyzařovaní v oblasti kvadrupólového módu. Na základě článku [1], kde směrové vlastnosti antén byly studovány ve viditelné oblasti (viz obrázek 1.2), jsme se rozhodli tyto vlastnosti studovat v infračervené části spektra. Vysvětlení směrovosti spočívá v interferenci elektromagnetického pole od dipólového a kvadrupólového rozložení náboje v důsledku pokřivení symetrie tvaru. Charakter směrového vyzařování je znázorněn na obrázku 1.1. Obr. 1.1: Charakter směrového vyzařování antény ve tvaru písmene V v oblasti kvadrupólového módu, vykresleno v programu Lumerical FDTD Solutions [2]. Směrovost stejně jako v článku [1] definujeme podle vztahu D = 10 log 10 I l I p [db], (1.1) kde I l a I p jsou popořadě detekované intenzity nalevo a napravo od antény. Na základě již zmíněného článku [1] jsme provedli simulace v programu Lumerical FDTD Solutions, kde navrhli jsme antény ze zlata s rezonanční vlnovou délkou kvarupólového módu v infračervené části spektra. Navržené simulace potvrdili směrové vlastnosti těchto antén. Vývoj směrovosti na měnícím se vrcholovém úhlu je zobrazen na obrázku

18 Obr. 1.2: Na obrázku je zachycen vývoj směrovosti pro různé vrcholové úhly antény délky 500 nm a šířky 50 nm ve viditelné části spektra. Černá křivka je extinkční spektrum, převzato z článku [1]. Obr. 1.3: Graf vývoje směrovosti s měnícím se vrcholovém úhlem α v infračervené části spektra, antény jsou nejvíce směrové pro vrcholový úhel 120, stejně jako ve viditelné oblasti [1], data vypočtena v programu Lumerical FDTD Solitions pro délku antén 5 µm a šířku 50 nm. 4

19 2 TEORIE ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE V této kapitole bude představeno chování elektromagnetického pole v lineárním, izotropním a homogenním prostředí. Elektromagnetické pole budeme reprezentovat pomocí elektromagnetických potenciálů a pomocí Hertzova vektoru. Zavedeme dielektrickou polarizaci a ukážeme si jejich fyzikální význam. 2.1 Maxwellovy rovnice Elektromagnetické pole dokonale popisuje soubor rovnic nazvaných po Jamesi Clerku Maxwellovi. Jedná se o dvě skalární rovnice popisující charakter daných polí a o dvě vektorové rovnice popisující prostorové a časové závislosti mezi vektory elektrického a magnetického pole. Soubor Maxwellovych rovnic uvedeme v diferenciálním tvaru [3] E = ρ F ε, (2.1) B = 0, (2.2) E = B t, (2.3) B = µε E t + µj F. (2.4) Veličiny ε a µ charakterizují dané prostředí, jedná se o veličiny popořadě nazvané dielektrickou permitivitou a permeabilitou. Charaktery těchto dvou veličin poznáme podrobněji, jakmile zavedeme materiálové vztahy pro elektromagnetické pole. Veličiny ρ F a j F reprezentují hustotu volných nábojů a proudů v daném prostředí. 2.2 Makroskopické vlastnosti hmoty V této podkapitole zavedeme materiálové vztahy pro elektrické a magnetické pole a vysvětlíme jejich fyzikální význam. V každém bodě prostoru lze vektor elektrické indukce D vyjádřit jako funkci vektoru elektrické intenzity E a vektor magnetické intenzity H jako funkci vektoru magnetické indukce B a to pomocí následujících závislostí [3] : D = ε E, (2.5) H = 1 B. (2.6) µ 5

20 Fyzikální význam vztahů poznáme, pokud zavedeme vektory dielektrické polarizace P a magnetizace M následujícím způsobem [3]: P = D ε 0 E, (2.7) M = 1 µ 0 B H. (2.8) Dosazením těchto vztahů do Maxwellových rovnic (2.1) a (2.4) a uvážením vztahu (2.5) a (2.6), získáme fyzikální význam vektorů polarizace a magnetizace E = 1 ε 0 (ρ F P ), (2.9) ( E B ε 0 µ 0 t = µ 0 j F + P ) t + M. (2.10) Z těchto vztahů je patrné, že P má význam hustoty rozložení náboje a vztah P / t + M má význam hustoty rozložení proudu. 2.3 Elektromagnetické potenciály Nyní vektory elektromagnetické pole nahradíme elektromagnetickými potenciály. V tomto textu se omezíme pouze na Lorentzovu transformaci. V první části nalezneme řešení v oblasti obsahující volné náboje a proudy. Posléze tento výsledek využijeme k popisu prázdného prostoru 1. Pomocí Maxwellových rovnic rozebereme vlastnosti elektromagnetického pole. Magnetické pole vytváří vždy uzavřené siločáry, tato vlastnost vyplývá z rovnice (2.2). Na základě toho nahradíme magnetické pole vektorovým potenciálem A, který splňuje podmínku B = A. Vlastnosti elektrického pole jsou skryty v rovnici (2.1), kde E je rovna hustotě rozložení náboje. Příčinou této vlastnosti je potenciálový charakter elektrického pole. Vektorové pole nahradíme záporně vzatým gradientem skalární funkce ϕ(r, t), tedy E = ϕ. Nejprve se zaměříme na popis prostoru obsahující volné náboje a proudy. V každém bodě prostoru nahradíme vektor magnetického pole B vektorovým potenciálem A 0, přičemž platí vztah [3] B = A 0. (2.11) Vektorový potenciál není určen jednoznačně. Od každého vektorového potenciálu A 0 můžeme odečíst libovolný gradient skalární funkce ψ, která je obecně funkcí prostorových souřadnic a času. Vzniklý vektorový potenciál bude popisovat stejné magnetické pole B. 1 prostředí bez volných nábojů a proudů 6

21 Dosazením vztahů A = A 0 ψ, B = A 0 do rovnice (2.3) získáme: ( E + A ) ( 0 = 0, E + A ) = 0. (2.12) t t Vzniklá vektorová pole mají potenciálový charakter a můžeme je nahradit záporně vzatými gradienty skalární funkce ϕ 0 a ϕ: E = ϕ 0 A 0 t, A E = ϕ t. (2.13) Odečtením obou rovnic a jejich následnou úpravou získáme vztah mezi ϕ 0, ϕ a ψ: ϕ = ϕ 0 + ψ t. (2.14) Materiálové vztahy (2.5) a (2.6) vyjádříme pomocí potenciálů: ( D = ε ϕ A ), (2.15) t H = 1 A. (2.16) µ Dosazením vztahů (2.15) a (2.16) do rovnic (2.1) a (2.4) a s uvážením vztahů (2.5) a (2.6) získáme následující rovnice pro popis elektromagnetického pole 2 ϕ + 2 A t 2 = ρ F ε, S využitím kalibrační podmínky A + µε ϕ + µε 2 A t 2 = µj F. (2.17) A + µε ϕ t = 0 (2.18) a vektorové identity A = ( A) 2 A získáme dvojici vlnových rovnic popisující elektromagnetické pole 2 ϕ µε 2 ϕ t 2 = ρ F ε, 2 A µε 2 A t 2 = µj F. (2.19) Pokud položíme veličiny j F a ρ F rovny nule, získáme rovnice popisující prostředí bez volných nábojů a proudů. 2.4 Hertzovy vektory V předchozí podkapitole jsme odvodili vektorový a skalární potenciál pro případ, kdy se v prostoru nachází volné náboje a proudy. Nyní na tento výpočet navážeme elektromagnetické pole budeme reprezentovat jediným vektorem, kdy omezíme se pouze na popis homogenního, izotropního a lineárního prostředí bez volných nábojů 7

22 a proudů, které je charakterizováno konstantami ε a µ. V poslední části zahrneme do výpočtu vztah pro vnější dielektrickou polarizaci. V každém bodě elektromagnetického pole nahradíme vektorový a skalární potenciál pomocí Hertzova vektoru Π následujícím způsobem 2 : Užitím vztahů pro vyjádření vektoru E a B A = µε Π t, (2.20) ϕ = Π. (2.21) E = ϕ A, B = A. (2.22) t a vztahů (2.20) a (2.21) získáme rovnice popisující elektrické a magnetické pole: E = ( Π) µε 2 Π t 2, kde Π je řešením vektorové vlnové rovnice kterou získáme dosazením vztahů (2.23) do rovnice Π B = µε t, (2.23) 2 Π µε 2 Π = 0, (2.24) t2 B = µε E t. (2.25) V další části do výpočtu zahrneme vnější dielektrickou polarizaci P 0, díky které budeme schopni vyjádřit elektromagnetické pole od proudového rozložení. Materiálový vztah pro elektrickou indukci předepíšeme následujícím způsobem: D = εe + P 0. (2.26) Vlastní polarizace a magnetizace prostředí je zahrnuta do veličin ε a µ. Obdobnou úpravou rovnic a s využitím a s uvážením vztahu (2.26) a (2.5) získáme rovnici popisující elektromagnetické pole od vnější dielektrické polarizace P 0 : 2 Π µε 2 Π t 2 = 1 ε P 0. (2.27) Řešení této rovnice budeme hledat ve tvaru exp (iωt) exp ( ikr) Π(r, t) = P 0 (ζ) dv, (2.28) 4πε r V kde k je vlnový vektor v daném prostředí a r je polohový vektor bodu, ve kterém Hertzův vektor počítáme. S využitím rovnic (2.23) můžeme pomocí Hertzova vektoru vypočítat elektromagnetické pole, které je vyjádřeno pomocí vektorů E a B. 2 A je vektorový potenciál magnetického pole a ϕ je skalární potenciál elektrického pole 8

23 3 DIELEKTRICKÁ FUNKCE KOVŮ Většinu optických vlastností kovů vysvětlíme pomocí Drudeho modelu volných elektronů v semiklasické aproximaci, kdy lehčí elektrony se pohybují na pozadí kladně nabitých iontů. Kladné iontové zbytky jsou pevně vázány v krystalografické mřížce, proto se v dalším výpočtu omezíme pouze na pohyb lehčích elektronů v časově proměnném elektrickém poli. Elektron-elektronová interakce a interakce kladně nabitého jádra a elektronu je zahrnuta v jeho efektivní hmotnosti. Pohybovou rovnici elektronu v časově proměnném elektrickém poli napíšeme ve tvaru m e ẍ(t) = ee(t) γẋ(t), (3.1) kde m e je efektivní hmotnost elektronu. Člen γẋ(t) přestavuje tlumení vzniklé vlivem srážek. Veličina γ udává četnost srážek za sekundu a je vyjádřena vztahem γ = 1/τ, kde τ je relaxační doba elektronu v kovu. Řešení rovnice (3.1) v časově harmonicky proměnném elektrickém poli E(t) = E 0 exp (iωt) budeme hledat ve tvaru x(t) = x 0 exp (iωt). (3.2) Dosazením vztahu (3.2) do rovnice (3.1) získáme řešení x(t) = e m e (ω 2 iωγ) E 0 exp (iωt), (3.3) kde x 0 je komplexní amplituda, která zahrnuje fázový posun mezi přiloženým vnějším elektrickým polem a okamžitou výchylkou elektronu. Vychýlení elektronu z rovnovážné polohy vede ke vzniku dipólového momentu p = ex(t). (3.4) V elektrostatice je dielektrická polarizace P definována jako dipólový moment na jednotku objemu. Dielektrická polarizace v kovu tedy přejde na tvar P (t) = nex(t), (3.5) kde n je koncentrace volných elektronů. Závislost dielektrické funkce na úhlové frekvenci dopadajícího záření získáme dosazením vztahu (3.5) do rovnice (2.7) a s následným uvážením vztahu (3.3) D = ε 0 (1 ωp 2 ) E, (3.6) ω 2 iγω kde ω p je plazmová frekvence, která je definována vztahem ω 2 p = ne 2 /ε 0 m e. 9

24 Vztah (3.7) je hledaná relativní dielektrická permitivita 1 ε r (ω) = 1 ω 2 p ω 2 iω/τ. (3.7) Dielektrická funkce je obecně komplexní, její reálnou a imaginární část vyjádříme ve tvaru kde ε r = 1 ω2 pω 2 ω 4 + ω 2 γ 2, ε r = ε r + iε r, (3.8) ε r = iω2 pωγ ω 4 + ω 2 γ 2. (3.9) V dalším textu se omezíme pouze na prostředí s velmi malým tlumením γω 1, za této podmínky dielektrická funkce přejde na tvar ε r (ω) = 1 ω2 p ω. (3.10) Na obrázku 3.1 je zobrazena dielektrická funkce zlata vypočtena pomocí Drudeho modelu a proložena experimentálně získanými daty. V izotropním, lineárním, homogenním a nemagnetickém prostředí bez volných nábojů a proudů rovnice elektromagnetické vlny je dána vztahem 2 E = µ 0 ε 0 ε r (ω) 2 E t 2. (3.11) Řešení rovnice (3.11) budeme hledat ve tvaru postupné rovinné vlny E = E 0 exp(iωt ik r). (3.12) Dosazením (3.12) do rovnice (3.11) a následným s využitím dielektrické funkce (3.7) získáme disperzní závislost elektromagnetické vlny v kovu ( ) k 2 = µ 0 ε 0 ω 2 1 ω2 p. (3.13) ω 2 Pro úhlové frekvence, kdy ω < ω p je vlnové číslo ryze imaginární. Elektromagnetická vlna má v materiálu evanescentní charakter. Konstanta δ se nazývá skinová hloubka a je definována vztahem δ = 1/ k. Jedná se o vzdálenost, kdy velikost elektrické intenzity poklesne na 1/e své původní hodnoty. 2 Pro úhlové frekvence ω > ω p je vlnové číslo reálné, elektromagnetická vlna se v materiálu šíří. 1 označovaná také jako dielektrická funkce 2 Skinová hloubka zlata v infračervené části spektra se pohybuje v řádech desítek nm [4]. 10

25 Obr. 3.1: Dielektrická funkce ε(ω) zlata vypočtená pomocí Drudeho modelu (černá křivka) je proložena experimentálně naměřenou dielektrickou funkci (červené body). Pro vlnové délky menší než 500 nm dochází k pasovým přechodům. Na základě toho se experimentální data neshodují s Drudeho modelem, převzato z [4]. 11

26

27 4 LOKALIZOVANÉ POVRCHOVÉ PLAZMONY Lokalizovanými povrchovými plazmony označujeme kolektivní oscilace plynu volných elektronů v kovových částicích. Působí-li na elektronový plyn časově proměnná harmonická síla, dochází k vychylování elektronů z rovnovážné polohy. Důsledkem toho vznikají místa s kladným a s záporným rozložením náboje. V dalším textu uvedeme analytický výpočet kolektivních oscilací elektronového plynu v tenké anténě, která je zobrazena na obrázku 4.1.Ve výpočtu uvažujeme tenkou anténu nejenom z důvodu konstantního působení elektrické síly v celém průřezu, ale také z důvodu posunu fáze působící síly. Ve výpočtech využijeme kvazistacionární aproximace, kdy zanedbáme působení indukované elektrické síly v časově proměnném magnetickém poli. 4.1 Rezonanční módy K popisu kolektivních oscilací elektronového plynu využijeme funkci u(x, t), která popisuje velikost výchylky elektronů z rovnovážné polohy [5]. Obr. 4.1: Schéma dopadu elektromagnetické vlny polarizované podél osy x na kovovou anténu tvaru válce s poloměrem R a s délkou l umístěného podél osy x, převzato z [5]. V analytickém výpočtu předpokládáme konstantní rozložení náboje v celém průřezu, což bude splněno za podmínky, kdy skinová hloubka δ bude daleko větší než poloměr R antény. Dielektrická funkce je obecně komplexní, na základě toho dochází k posunu fáze postupující elektromagnetické vlny materiálem. Pokud poloměr R bude daleko menší než vlnová délka λ dopadající elektromagnetické vlny, tak poté posun fáze můžeme zanedbat. 13

28 Za předpokladu konstantního rozložení náboje v celém kruhovém průřezu funkce τ tot popisující rozložení náboje je dána vztahem [5] 2 u(x, t) τ tot (x) = n 0 eπr, (4.1) x kde n 0 je koncentrace volných elektronu v kovu, e je jejich náboj a R je poloměr antény. V dalších výpočtech vyjdeme z klasické mechaniky, kdy za pomoci minimalizace akce nalezneme správnou funkci popisující velikost vychýlení elektronů z rovnovážné polohy. Lagrangeova funkce je definována vztahem L = T V, (4.2) kde V a T je popořadě potenciální a kinetická energie částice. V tomto výpočtu využijeme hustotu Lagrangeovy funkce. Hustotu potenciální energie vyjádříme ve tvaru [5] V (x) = 1 2 τ tot(x, t)ϕ(x, t), (4.3) kde ϕ(x, t) představuje hustotu rozložení potenciálu. Hustotu potenciálu vyjádříme ve tvaru [5] ϕ(x, t) = ( 1 l 2π ) R τ tot (x, t) 4π 2 ε 0 R (x x ) 2 + r rdrdα dx. (4.4) 2 Dosazením vztahu (4.4) do vztahu (4.3) získáme následující vztah pro hustotu potenciální energie ve tvaru V (x, t) = n2 0e 2 πr 3 u(x, t) l ( ) u(x, t) x x x x dx. (4.5) 4ε 0 x 0 x R R Hustotu kinetické energie vyjádříme ve tvaru T = 1 2 meπr2 ( u(x, t) t ) 2, (4.6) kde m je efektivní hmotnost elektronu v kovu. S využitím předcházejících vztahů (4.5), (4.6) nalezneme Lagrangeovu funkci ve tvaru [5] L = 1 ( ) 2 u(x, t) 2 meπr2 n2 0e 2 πr 3 u(x, t) t 4ε 0 x l ( ) u(x, t) x x x x dx. x R R 0 (4.7) Výchylku elektronů z rovnovážné polohy získáme pomocí Eulerovy-Lagrangerovy rovnice t ( ) L u t = ( ) L. (4.8) x u x 14

29 Pohybová rovnice elektronu v anténě je dána vtahem [5] u 2 (x, t) t 2 = ω2 pr 4 x l 0 u(x, t) ( ) g x x dx, (4.9) x kde ω p je plazmová frekvence elektronového plynu a funkce g ( x x ) je dána vztahem ( ) ( ) x x 2 g x x = 1 + x x R R. (4.10) Funkce g ( x x ) nabývá významně nenulových hodnot pouze ve velmi blízkém okolí bodu x. Na základě toho funkci u(x, t)/ x rozvineme do Taylorovy řady v okolí bodu x a do dalších výpočtů zahrneme pouze její první člen. Rovnice (4.9) přejde na tvar [5] u 2 (x, t) t 2 = ω2 pr u 2 (x, t) l ( ) g x x dx. (4.11) 4 2 x 0 Funkční hodnoty funkce l g ( x x ) dx nezávisí na x, kromě bodů v blízkosti 0 konce antény, kde funkční hodnoty jsou poloviční. Proto l g ( x x ) dx nahradíme 0 střední hodnotou 1 l ( ) ( g x x dx = R ln ϑ l ), (4.12) l 0 R kde ϑ je 2 exp( 1 ). Rovnice (4.11) přejde na tvar 2 u 2 (x, t) = v 2 u2 (x, t), (4.13) t 2 x 2 kde v = ω p R/2 ln ( ϑ R) l. Při řešení vlnové rovnice (4.13) využijeme Dirichletových okrajových podmínek u(l, t) = u(0, t) a řešení nalezneme ve tvaru stojaté vlny u(x, t) = A j sin (k j x) sin (Ω j t), (4.14) kde k j = πj/l. Vlastní frekvenci elektronového plynu nalezneme ve tvaru [5] Ω j = vk j = ω ( pr ln ϑ l ). (4.15) 2 R Rezonanční vlnovou délku dopadající elektromagnetické vlny ve vakuu určíme pomocí vztahu λ j = 2πj Ω j = 2λ p jπ ( l R ln ( ϑ l R ) ) 1 2. (4.16) 15

30 4.2 Rozložení náboje a proudů V předchozí podkapitole jsme si odvodili pohybovou rovnici elektronů v kovové anténě. Nyní do rovnice (4.13) započteme sílu způsobenou dopadající elektromagnetickou vlnou a tlumení způsobené vlivem srážek. Pohybová rovnice elektronového plynu přejde na tvar [5] u 2 (x, t) t τ u(x, t) t Řešení pohybové rovnice (4.17) budeme hledat ve tvaru [5] = v 2 u2 (x, t) t 2 e m Eext (t). (4.17) u(x, t) = 2 q i (t) sin (k j x), (4.18) l j kde k j = πj/l. Dosazením řešení (4.18) do rovnice (4.17) a s využitím ortogonality funkcí sin (k j x) na intervalu (0, l) získáme diferenciální rovnici q j + 1 τ q j + Ω 2 jq j = e m Eext (t) V ustáleném stavu řešení nalezneme ve tvaru kde amplituda q m,j je dáno vztahem q m,j = eeext m l 0 sin (k j x). (4.19) q j (t) = q m,j exp (iωt), (4.20) 1 Ω 2 j ω2 + iω/τ l 0 sin (k j x)dx. (4.21) Integrál v rovnici (4.21) nabývá hodnot 1 cos (jπ), což vede na absenci sudých rezonančních módů. Při kolmém dopadu elektromagnetické vlny na rozhraní kov dielektrikum jsou vybuzeny pouze liché rezonanční módy, které jsou rozložením náboje symetrické kolem středu. Sudé rezonanční módy dopadem elektromagnetické vlny vybudit nelze. S využitím dvou předchozím vztahů získáme funkci popisující výchylku elektronů z rovnovážné polohy [5] u(x, t) = ( ) jπx u m,j sin exp (iωt), (4.22) l j kde j nabývá pouze lichých hodnot a u m,j je dáno vztahem u m,j = eeext jπm 1 cos (jπ) Ω 2 j ω2 + iω/τ. (4.23) Rozložení náboje nalezneme s využitím vztahu (4.1) jako součet nekonečné řady [5] τ tot (x, t) = n 0 eπr ( ) jπx 2 v m,j cos exp (iωt), (4.24) l j 16

31 kde v m,j je dáno vztahem v m,j = eeext lm 1 cos (jπ) Ω 2 j ω2 + iω/τ. (4.25) Rozložení proudové hustoty získáme s využitím rovnice kontinuity J + ρ = 0 t J x (x, t) = in 0 eπr 2 ω ( ) jπx u m,j sin exp (iωt), (4.26) l j kde u m,j je dáno vztahem (4.23). 17

32

33 5 EXPERIMENTÁLNÍ TECHNIKY V této kapitole představíme dvě experimentální techniky, elektronovou litografii a Fourierovskou infračervenou spektroskopii, které byly využity při výrobě struktur a v jejich následném měření. 5.1 Elektronová litografie Elektronová litografie (zkráceně EBL, z anglického slova Electron Beam Lithography) je metoda výroby mikro- a nanostruktur pomocí exponování rezistu svazkem vysokoenergiových elektronů. Princip této metody spočívá v selektivní expozici látky citlivé na elektrony. Vlivem interakce s elektrony dochází ke změně molekulární struktury rezistu. V této podkapitole popíšeme čtyři části výroby nanostruktur metodou EBL, které jsou zachyceny na obrázku 5.1. Nebudeme se zabývat rozborem různých aspektů, které ovlivňují kvalitu vyrobených struktur Spin-coating a volba rezistu Rezist je makromolekulární látka, jejíž molekulární struktura se mění při exponování povrchu svazkem vysokoenergiových elektronů. Na základě strukturní změny dochází ke změně rozpustnosti. Při dopadu elektronů na povrch rezistu vždy vznikají dva druhy procesů, ten který převládá, udává typ rezistu. Pokud rezist pracuje v pozitivním režimu, exponovaná místa mají sníženou molekulární hmotnost a jsou lépe rozpustná v rozpouštědle. Pokud rezist pracuje v negativním režimu, exponovaná místa mají zvýšenou molekulární hmotnost a jsou méně rozpustná v rozpouštědle. Nejpoužívanějším rezistem v elektronové litografii je roztok polymethylmetakrylátu 1 v anizolu. Objemová koncentrace PMMA se obecně pohybuje v rozmezí 1 až 10 %. Obecně platí, že větší podíl PMMA v roztoku anizolu vede k větší tloušt ce vrstvy. Před nanesením rezistu na křemíkový substrát je vzorek 30 minut vypékán při teplotě 180 C. Je nutné, aby byla z povrchu desorbována voda. Při nanášení rezistu na substrát se užívá metody rotačního nanášení (tato metoda je obecně označovaná anglickým termínem spin-coating ). Při této metodě je substrát přichycen podtlakem na držák přístroje a pomocí pipety je na něj nanesen roztok rezistu. Následně je vzorek roztočen a na jeho povrchu je tak vytvořena tenká vrstva. Volbou počtu otáčet za minutu a zrychlení ovlivňujeme tloušt ku nanesené vrstvy. Při výrobě struktur jsme použili pozitivní rezist PMMA s objemovou koncentrací polymethylmethakrylátu 4 %. Objem naneseného rezistu se pohyboval v rozmezí od 1 označovaný jako PMMA 19

34 60 do 80 µl. Abychom vytvořili tloušt ku vrstvy 170 nm, museli jsme vzorek roztočit s počtem otáček 4000 za minutu po dobu 30 s Elektronová litografie na elektronovém mikroskopu Tescan VEGA2 V této práci byl pro elektronovou litografii použit rastrovací elektronový mikroskop Tescan VEGA2. Důsledkem toho, že tento elektronový mikroskop nedisponuje motorizovaným posunem, je nutné, aby všechny vyráběné vzorky byly v zorném poli objektivu. Pro odclonění elektronového svazku se užívá beam blanker 2. V důsledku minimalizace optických vad je nutné elektronový mikroskop před elektronovou litografii seřídit. Nejprve byla vytvořena rýha v rezistu pomocí diamantové tužky, díky které jsme byli schopni doostřit na povrch vzorku. Při elektronové litografii je vzorek umístěn do držáku, který obsahuje Faradayovu sondu umožňující změřit proud elektronového svazku. Doostřením na rýhu nastavíme pracovní vzdálenost na povrch vzorku. Přesuneme se mimo oblast rýhy, kde vytvoříme kontaminační stopu, díky které nastavíme pracovní vzdálenost na místo, kde budeme provádět elektronovou litografii. Pomocí modulu DrawBeam byly navrženy požadované struktury a zvolena dávka elektronů na jednotku plochy. Při výrobě našich struktur byla užívaná dávka 250 µc/cm 2 s energii urychlených elektronů 30 kev Vyvolání vzorku a depozice kovových vrstev Během exponování rezistu svazkem vysokoenergiových elektronů dochází k modifikaci těchto míst změnou jejich rozpustnosti. Pro pozitivní rezist PMMA se jako rozpouštědlo používá směs metylisobutylketonu (MIBK) a isopropylalkoholu (IPA) v poměru 1:3. Exponovaná místa se v něm rozpouští mnohem rychleji než okolní rezist. V rozpouštědle je vzorek ponechán 90 s a následně je opláchnut isopropylalkoholem a demineralizovanou vodou, aby byly opláchnuty veškeré zbytky MIBK a rozpouštění již dále nepokračovalo. Po vyvolání je na vzorek nanesena tenká kovová vrstva pomocí metody iontového odprašování v komoře Kaufman. Při výrobě našich struktur byla deponována vrstva 3 nm titanu a 50 nm zlata Lift-off Poslední částí elektronové litografie je lift-off. Během tohoto procesu je vzorek ponořen na několik hodin do acetonu, kdy dochází k rozpuštění neexponovaného 2 odcloní elektronový mimo vzorek 20

35 rezistu. V místech, kde byl kov nadeponován přímo na rezist, dojde k jeho uvolnění. V místech, kde byl kov nadeponován přímo na substrát, došlo již během depozice k jeho propojení s mřížkou substrátu a důsledkem toho je zde kov pevně přichycen. Velmi důležité při lift-off procesu je dbát na to, aby povrch substrátu byl po celou dobu smáčen acetonem tak, aby nedošlo k přichycení odplavených částic zlata na křemíkový substrát. Po odstranění rezistu je vzorek opláchnut isopropylalkoholem a demineralizovanou vodou. Nakonec je osušen dusíkem. Obr. 5.1: Na obrázku jsou znázorněny čtyři části elektronové litografie, A) exponování rezistu, B) depozice kovové vrstvy, C) vzorek s nadeponovanou kovovou vrstvou před lift-off procesem, D) výsledná struktura. 5.2 Fourierovská infračervená spektroskopie Fourierovská infračervená spektroskopie (zkráceně FTIR, z anglického slova Fourier Transform InfraRed spectroscopy) umožňuje získat reflexní a transmisní spektrum antén v infračervené oblasti. FTIR umožňuje měření s vlekým rozsahem vlnových délek od 800 nm do 500 µm. Podle zažitých konvencí rozdělujeme infračervenou spektroskopii podle použitých vlnových délek na dalekou (FIR, Far InfraRed), střední (MIR, Middle InfraRed) a blízkou (NIR, Near InfraRed). Vlnové délky v jednotlivých oblastech se popořadě pohybují v rozmezí od 0,8 do 2 µm, od 2 do 20 µm a 21

36 od 20 µm a výše. Jako zdroj světla ve střední infračervené oblasti je používán globar (žhavená tyč z karbidu křemíku). Princip této metody je založen na Fourierově transformaci, která převádí intenzitu světla z Michelsonova interferometru na intenzitu světla o určité vlnové délce. Jak je znázorněno na obrázku 5.2, světlo ze zdroje postupuje do Michelsonova interferometru, kde je posléze rozděleno pomocí děliče do dvou větví. V první větvi se nachází pohyblivé zrcadlo. Ve druhé větvi je odrazné zrcadlo pevně uchyceno. Při průchodu světla tímto systémem nastanou dva limitní případy. Konstruktivní interference nastane, pokud dráhový rozdíl δ mezi paprsky je roven celému násobku vlnové délky, tedy δ = nλ, n Z. Destruktivní interference nastane, pokud dráhový rozdíl δ mezi paprsky je roven lichému násobku poloviční vlnové délky, tedy δ = (2n + 1)/ λ, kde n Z. Měřenou veličinou je závislost intenzity světla na poloze 2 pohyblivého zrcadla. Pomocí Fourierovy transformace je tato závislost převedena na závislost na vlnové délce anebo frekvenci. V reálném experimentu je světlo z Michelsonova interferometru zavedeno do mikroskopu a fokusováno na vzorek, kde dochází ke změně jeho intenzity bud reflexním nebo transmisním módu. Koeficient reflexivity a transmisivity je posléze vypočítán jako poměr intenzity světla získaného měřením ze vzorku a intenzity světla dopadajícího na vzorek R(λ) = I r(λ) I 0 (λ), T (λ) = I t(λ) I 0 (λ), (5.1) kde I 0, I r a I t jsou popořadě intenzity světla dopadající na vzorek, detekovaného v reflexním a v transmisním uspořádání. Obr. 5.2: Michelsonův interferometr ve spektroskopu FTIR 22

37 Při měření spektrální odezvy antén ve střední infračervené oblasti byl použit komerční FTIR spektroskop Bruker Vertex 80v propojený s mikroskopem Hyperion. Pro detekci byl použit MCT detektor (Mercury Cadmium Telluride) s rozsahem vlnových délek od 1,25 µm do 16 µm. Výsledkem měření rozptylu světla na anténách je bud relativní odrazivost anebo propustnost. Relativní odrazivost je definována jako poměr intenzit z polí s anténami a bez antén, při jejich stejné velikosti, kdy vzorek je osvětlován shora. Relativní propustnost je definována jako stejný poměr intenzit jako v předchozím případě, ale vzorek je v tomto uspořádání osvětlen ze spodu. 23

38

39 6 ANALYTICKÝ MODEL A SIMULACE VYZA- ŘOVÁNÍ SMĚROVÉ ANTÉNY V první části této kapitoly je navrhnut analytický model pro výpočet vyzařování směrové antény ve tvaru písmene V, posléze je tento model srovnán se simulací z programu Lumerical FDTD Solutions. V poslední části této kapitoly je diskutováno o přesnosti analytického modelu. 6.1 Analytický model Základní myšlenkou našeho modelu je vypočíst elektromagnetické pole od časově proměnného proudového rozložení, které je ve tvaru písmene V. Ve výpočtech využijeme sinusové rozložení proudu, které bylo odvozeno v kapitole 4 1 Jak již bylo řečeno, antény se stávají směrové v oblasti kvadrupólového módu, kdy dochází k interferenci elektromagnetických polí mezi dipólovým a kvadrupólovým módem. Na základě toho vektorové pole elektrické intenzity bude počítáno pouze pro tyto dva módy. 6.2 Vyjádření Hertzova vektoru V druhé kapitole této práce jsme nalezli vztah pro výpočet elektromagnetického pole od časově proměnného proudového rozložení za pomoci vektoru vnější polarizace P 0. K výpočtu vzniklého elektromagnetické pole využijeme Hertzova vektoru, kdy se omezíme pouze na popis pole v rovině xy. Vektorové pole Π od vnější polarizace P 0 je dáno vztahem: Π(x, t) = exp(iωt) 4πε V P 0 (ξ) exp( ikr) dv, (6.1) r kde k je vlnový vektor v prostředí charakterizovaném konstantami ε a µ. Vztah mezi vnější dielektrickou polarizaci P 0 a proudovou hustotou J je dán rovnicí P 0 (ξ) t = J(ξ). (6.2) Na základě geometrie proudového rozložení je nutné výpočet rozdělit do oblastí, které jsou znázorněny na obrázku 6.1. Výsledné elektromagnetické pole určíme pomocí superpozice obou částečných polí. Nejprve si vyjádříme Hertzův vektor od 1 Jedná se proudové rozložení v rovné anténě, při kolmém dopadu elektromagnetické vlny. 25

40 y 1 y 2 y S 1 e r S 2 e r S P 0 (y 1 ) θ r e θ θ r e θ P 0 (y 1 ) β θ 1 θ 2 r x 1 x 2 β x P 0 (y 2 ) P 0 (y 2 ) Obr. 6.1: Vektor vnější polarizace P 0 v soustavě S 1 na obrázku vlevo, S 2 uprostřed. Na obrázku vpravo je zobrazena transformace soustav S 1 a S 2 do soustavy S. prvního proudového rozložení v soustavě S 1, kdy geometrie uspořádání je zobrazena na obrázku 6.1 vlevo. Na základě rotační symetrie vyjádříme Hertzův vektor ve sférických souřadnicích Π = e r Π cos θ e ϑ Π sin θ. (6.3) Vektorové pole elektrické intenzity dostaneme dosazením (6.1) do rovnice E = ( Π) µε 2 Π t 2, (6.4) kde jednotlivé operátory jsou vyjádřeny ve sférických souřadnicích. Výsledné pole elektrické intenzity získáme pomocí principu superpozice, kdy sečteme jednotlivé příspěvky od infinitezimálních vektorů vnější polarizace. Vektorové pole elektrické intenzity si vyjádříme ortogonální systému e x a e y. Výsledné elektrické pole od prvního proudového rozložení nalezneme ve tvaru: Ee x1 (r, θ, t) = i l ( 1 + ik ) k2 r sin θ(r cos θ y 4πεω 0 rz,1 5 rz,1 4 rz,1 3 1 ) l ( 1 exp (iωt ikr z,1 )J(y 1 )dy 1 i 2πεω 0 r 5 z,1 (r cos θ y 1 )r sin θ exp (iωt ikr z,1 )J(y 1 )dy 1, + ik ) rz,1 4 (6.5) 26

41 Ee y1 (r, θ, t) = i l ( 1 + ik ) k2 r sin θ(r cos θ y 4πεω 0 rz,1 5 rz,1 4 rz,1 3 1 ) l ( 1 exp (iωt ikr z,1 )J(y 1 )dy 1 i 2πεω (r cos θ y 1 ) 2 exp (iωt ikr z,1 )J(y 1 )dy 1, 0 r 5 z,1 + ik ) rz,1 4 (6.6) kde r z,1 je dáno vtahem r z,1 = (r cos θ y 1 ) 2 + r 2 sin 2 θ, (6.7) a θ 0, π. Vyzařování proudového rozložení na obrázku 6.1 vlevo je rotačně symetrické, rozšířením intervalu θ na interval 0, 2π zahrneme celý prostor roviny xy. Vektorové pole elektrické intenzity v soustavě S 1 převedeme do souřadnicového systému S jednoduchou transformací úhlů θ 1 = θ β, kdy θ s soustavě S 1 přejde na θ 1 v soustavě S, kde θ 0, 2π Tato transformace je zobrazena na obrázku 6.1 vpravo. Obdobným způsobem vyjádříme vektorové pole elektrické intenzity od druhého proudového rozložení v souřadném systému S 2, které je zobrazeno na obrázku 6.1 uprostřed. Vektorové pole elektrické intenzity od druhého proudového rozložení nalezneme ve tvaru: E(r, θ, t)e x2 = i 4πεω 0 l ( 1 r 5 z,2 exp (iωt ikr z,2 )J(y 2 )dy 2 + ik ) k2 r sin θ(r cos θ y rz,2 4 rz,2 3 2 ) 0 ( 1 i 2πεω l r 5 z,2 (r cos θ y 2 )r sin θ exp (iωt ikr z,2 )J(y 2 )dy 2, + ik ) rz,2 4 (6.8) E(r, θ, t)e y2 = i 4πεω 0 l ( 1 r 5 z,2 exp (iωt ikr z,2 )J(y 2 )dy 2 + ik ) k2 r sin θ(r cos θ y rz,2 4 rz,2 3 2 ) 0 ( 1 i 2πεω (r cos θ y 2 ) 2 exp (iωt ikr z,2 )J(y 2 )dy 2, l r 5 z,2 + i ) rz,2 4 (6.9) kde r z,2 je dáno stejným vztahem (6.7) při záměně y 1 za y 2. Proudové rozložení v soustavě S 2 převedeme do soustavy S transformací úhlů, kdy θ v soustavě S 2 přejde na θ 2 v soustavě S. Tato transformace úhlů je dána vztahem θ 2 = θ + β, kde θ = 0, 2π. Na obrázku 6.1 vpravo je tato transformace zachycena. 27

42 6.2.1 Vyzařování v dalekém poli Vzhledem k matematické obtížnosti přesného výpočtu vzniklých integrálů vyjádříme vektory elektrické intenzity pouze v dalekém poli. Za podmínky, že vzdálenost r je daleko větší než rozměr oblasti proudového rozložení, můžeme ve výpočtu paprsky považovat za rovnoběžné a uvážit pouze změnu jejich fáze, jak je znázorněno na obrázku 6.2. Rovnice vektorového pole přejdou na tvar Obr. 6.2: Schématické zobrazení výpočtu v dalekém poli. l Ee θ (r, θ, t) = ik2 sin θ 1 2 cos θ 1 exp (iωt ik(r y 1 cos θ 1 ))J j (y 1 )dy 1 4πεω R 0 ik2 sin θ 0 2 cos θ 2 exp (iωt ik(r y 2 cos θ 2 ))J j (y 2 )dy 2, 4πεω R l 2 (6.10) kde θ 1 = θ β a θ 2 = θ + β. Proudová rozložení J 1 (y 1 ) a J 1 (y 2 ) v předchozích rovnicích zahrneme do jedné funkce J j (y), která je dána vztahem: ( ) jπy J j (y) = in 0 eπr 2 ωu m,j cos, (6.11) l kde u m,j je u m,j = eeext jπm 1 cos (jπ) Ω 2 j ω2 + iω/τ. (6.12) Pro výpočet vzniklých integrálů (6.10) využijeme vzorce exp (ay) cos (by)dy = exp (ay)(a cos by + b sin by) a 2 + b 2. (6.13) 28

43 S využitím předchozího vztahu a následující úpravou získáme vektorové pole elektrické intenzity: E eθ (r, θ) = k 2 1 sin θ 1 n 0 eπr 2 u m,j exp (iωt ikr) ( 4πε r b exp (ik l cos θ 2 1) sin ( ) ) πj 2 ik cos θ1 ) b 2 k 2 cos θ 1 k 2 1 sin θ 2 n 0 eπr 2 u m,j exp (iωt ikr) ( 4πε r b exp ( ik l cos θ 2 2) sin ( ) ) πj 2 + ik cos θ2, b 2 k 2 cos θ 2 (6.14) kde b = πj/l. Intenzita elektromagnetického pole je úměrná kvadrátu modulu elektrické intenzity kde E d a E k rozložení proudu. I E d θ + E k kθ 2, (6.15) jsou elektrické intenzity popořadě od dipólového a kvadrupólového Srovnání analytického výpočtu a simulace Simulace interakce elektromagnetické vlny s anténou byla provedena v komerčním programu Lumerical FDTD Solution [2]. Výsledky simulací byly srovnány navrže-ným analytickým modelem pro délku antény 5 µm a šířku 50 nm. V návrhu simulace byl použita dielektrická funkce zlata podle Drudeho modelu, kdy volené parametry byla relaxační doba a dielektrická permitivita o vysoké frekvenci. Relaxační doba byla zvolena na 1, s a dielektrická permitivita o vysoké frekvenci byla zvolena 11 na základě článku [6]. Koncentrace volných elektronů zlata n 0 je m 3. Rezonanční vlnová délka kvadrupólového módu byla vypočtena na základě vztahu pro určení rezonanční vlnové délky rovné antény, které jsou uvedeny v kapitole 4. Na obrázcích je zachyceno srovnání analytického modelu a simulace pro vrcholové úhly α od 140 do 90, kdy intenzita je vynesena na kružnici o poloměru 1 m v rovině xy Kvalitativní rozbor analytického modelu V teto části kvalitativně rozebereme srovnání navrženého analytického modelu a simulace, která byla provedena v programu Lumerical FDTD Sollutions. Dosahujeme velmi dobré shody analytického modelu a simulace pro vrcholové úhly větší než 100. Důvodem je, že pro menší vrcholové úhly dochází k posunu rezonanční vlnové délky do červena 2. Vývoj rezonanční vlnové délky na úhlu α je 2 směrem k větším vlnovým délkám 29

44 Obr. 6.3: Srovnání analytického modelu (modrá křivka) a simulace (červená křivka). Obr. 6.4: Srovnání analytického modelu (modrá křivka) a simulace (červená křivka). 30

45 Obr. 6.5: Srovnání analytického modelu (modrá křivka) a simulace (červená křivka). zobrazen na obrázku 6.7. Tento posun můžeme kvalitativně vysvětlit následujícím způsobem. Pohyb elektronů v anténě rozložíme do ortogonálních pohybů, do podélných a příčných oscilací, které jsou znázorněny na obrázku 6.6. V simulacích a ve výpočtech jsme uvažovali tenkou anténu, proto coulombovské silové působení příčných módu můžeme zanedbat. Důsledkem rozkladu sily coulombovského působení podélných módů dochází v oblasti vrcholového úhlu ke snížení fázové rychlosti pro vrcholové úhly α menší než 100. Tento rozklad sil je znázorněna na obrázku 6.6. Působí-li na elektrony menší síla, elektrony se budou pohybovat pomaleji. Důsledkem toho dochází ke zmenšení úhlové frekvence a navýšení rezonanční vlnové délky dopadající elektromagnetické vlny ve vakuu. Proudové rozložení pro vrcholové úhly α, které jsou menší než 100 již nebude sinusové, které jsme ve výpočtech uvažovali. V elektrodynamice je proudové rozložení definováno vztahem J = env, kde e, n a v je popořadě náboj elektronu, koncentrace elektronů a vektor fázové rychlosti. Na základě těchto skutečností předpoklad sinusového proudového rozložení již není rozumný. Tuto skutečnost potvrzuje i srovnání analytického modelu a simulace. 31

46 Obr. 6.6: Na obrázku je zachycena interakce dopadu elektromagnetické vlny na anténu ve tvaru V. Černá křivka reprezentuje podélné oscilace, zelená křivka příčné oscilace elektronového planu. Modrá barva znázorňuje rozklad síly od culoumbovského působení podélných módů v oblasti vrcholového úhlu α. Obr. 6.7: Vývoj rezonanční vlnové délky kvadrupólového módu v závislosti na měnícím se úhlu α pro délku antény 5 µm a šířku 50 nm, v červeně vyznačené oblasti dosahujeme nejlepší shody výpočtu a simulace, nebot zde dochází k zachování rezonanční vlnové délky. 32

47 7 EXPERIMENT V první části této kapitoly je popsána výroba a měření plazmonických struktur ve tvaru V. Na ověření směrovosti je v druhé části navržen experiment. 7.1 Měření a výroba prvních struktur Antény byly vyrobeny litograficky ze zlata na křemíkovém substrátu. Vyráběli jsme antény různých délek s předpokládanou rezonancí kvadrupólového módu v infračervené části spektra. Z naměřených spekter jsme chtěli určit rezonanční vlnovou délku kvadrupólového módu. K ověření směrovosti je v druhé části navržen experiment, kdy křemíkový substrát je využit jako planární vlnovod. Pro vyvázání světla o určité vlnové délce je zde navržena vyvazovací mřížka. Na základě této skutečnosti jsme se rozhodli rezonanční vlnovou délku určit experimentálně. V této práci je sice uveden výpočet k určení rezonanční vlnové délky a to ale pouze pro jedinou anténu. Důsledkem interakce antén v poli dochází k posunu rezonanční vlnové délky do červena 1. V programu Lumerical FDTD Solutions je sice možné vypočítat rezonanční vlnovou délku antény, která je umístěna v poli stejných antén a to s využitím periodických okrajových podmínek. Simulace je poměrně velmi výpočetně náročná a navíc v simulaci jsou využita teoretická data Drudeho modelu dielektrické funkce křemíku a zlata. Tyto hodnoty dielektrické funkce se nemusí přesně shodovat dielektrickou funkci zlata a křemíku, které byly použity při výrobě. V prvním kroku určení rezonanční vlnové délky jsme vyrobili pole antén o rozměrech µm 2. Délky antén jsme napočítali pomocí modelu efektivního indexu lomu 2 [6] tak, aby měli předpokládanou rezonancí kvadrupólového módu v infračervené oblasti v rozsahu detektoru MCT 3. V grafu na obrázku 7.7 je srovnána rezonanční vlnová délka vypočtená pomocí modelu efektivního indexu lomu s rezonanční vlnovou délkou získanou z měření. Vyráběli jsme antény s vrcholovým úhlem 120, s šířkou 400 nm a s délkou ramen od 0,9 do 2,1 µm. Struktury jsme navrhli pomocí modulu DrawBeam způsobem překryvu dvou rovných antén délky L, jak je znázorněno na obrázku 7.1. Oblast překryvu byla exponována dvakrát, což mělo vliv na její tvar. Museli jsme zvolit takovou dávku elektronů, při které byl rezist exponován v celé své tloušt ce. Nakonec se vhodnou volbou ukázala dávka 250 µc/cm 2. První vyrobené struktury jsou zobrazeny na obrázku 7.2 a jejich detail je zobrazen na obrázcích 7.3 a 7.4 vpravo. 1 posun k větším vlnovým délkám 2 rezonanční vlnová délka se určí pomocí vzorce λ = εsε z ε s+ε z 2 3 L, kde ε s a ε s jsou popořadě dielektrické funkce křemíkového substrátu a zlata a L je celková délka antén. 3 Rozsah detektoru MCT - od 1,25 do 16. µm 33

48 Obr. 7.1: Návrh antény, kde L = délka ramen, W = šířka, α = vrcholový úhel. Jedná se o pole s počtem antén s rozestupy v ose x 5 µm a v ose y 6 µm. Při měření rozptýlené intenzity v reflexní konfiguraci na spektrometru FTIR jsme nedokázali detekovat intenzitu kvadrupólového módu u všech délek antén. Data z měření jsou zobrazena na obrázku 7.5. Na základě této skutečnosti jsme museli navýšit počet antén v poli na dvojnásobek, nebot jsme potřebovali navýšit detekovanou intenzitu. Takto vyrobené pole antén je zobrazeno na obrázcích 7.3 a 7.4 vlevo. Při následujícím měření na spektrometru FTIR jsme již dokázali detekovat intenzitu kvadrupólového módu u všech délek antén. Data z měření jsou vynesena na obrázku Navržení experimentu na ověření směrovosti V této části uvedeme návrh experimentu na ověření směrovosti. Na základě skutečnosti, že antény vyzařují i do substrátu, využijeme křemíkový substrát jako planární vlnovod. Index lomu křemíku 4 je větší než index lomu okolního prostředí, za této podmínky může dojít k totálnímu odrazu na rozhraní a vlnovodem se může šířit elektromagnetická vlna. V další části textu je uveden výpočet vlastních módu vlnovodu a navrhnuta vyvazovací mřížka. Pokud mřížka bude posazena dostatečně daleko od pole antén, předpokládáme, že vlnovodem budou vedeny pouze vlastní módy a ostatní elektromagnetické vlny budou utlumeny. Křemíkový substrát v infračervené části spektra vykazuje velmi slabou absorpci, důsledkem toho vlastní módy vlnovodu nebudou tlumeny. 4 ve střední infračervené oblasti je index lomu 3,42 [7]. 34

49 Obr. 7.2: Obrázek z elektronového mikroskopu Tescan VEGA2. Na obrázku ve žlutých rámečcích jsou zachyceny vyrobené antény s měnící se délkou ramen od 0,9 µm do 1,9 µm. Obr. 7.3: Obrázek z elektronového mikroskopu Tescan VEGA2. Na obrázku vpravo je zachyceno první vyrobené pole s počtem antén Na obrázku vlevo je zachyceno pole o stejné velikosti ale o dvojnásobném počtu antén Antény byly v obou případech vyrobeny litograficky s parametry (tloušt ka rezistu 170 nm, elektronová dávka 250 µc/cm 2, nadeponovaná vrstva 3 nm Ti a 50 nm zlata) Výpočet vlastních módů vlnovodu V předpokladech vycházíme z teorie vyzařování. Vzhledem tloušt ce křemíkového substrátu ve výpočtu uvažujeme pouze TE 5 polarizaci elektromagnetické vlny. Křemíkový substrát také vzhledem k svým rozměrům aproximujeme planárním vlnovodem, 5 vektor elektrické intenzity je tečný na rozhraní 35

50 Obr. 7.4: Obrázek z elektronového mikroskopu Tescan VEGA2. Na obrázku je zachycen detail ukazující nepřesnosti vyrobených antén. Na obrázek vlevo je pole antén s délkou ramen je 1,3 µm, na obrázku vpravo je pole antén s délkou ramen je 1,9 µm. nebot jeho tloušt ka je daleko menší než jeho délka. K vyřešení elektromagnetického pole uvnitř vlnovodu využijeme Helmholtzovu rovnici 6, která slouží výpočtu elektromagnetického pole v oblasti bez volných nábojů a proudů. Vzhledem k tomu, že okolní prostředí vlnovodu tvoří dielektrikum, musíme řešit Helmholtzovu rovnici ve všech třech prostředích, které jsou znázorněné na obrázku 7.8. Řešení poté svážeme podmínkami na rozhraní. Na základě geometrie úlohy budeme řešení uvažovat ve tvaru E z tvaru: = A exp (iωt + ik x x ± ik y y). Řešení v jednotlivých oblastech napíšeme ve E z1 = A exp (iωt ik x1 x ik y1 y), (7.1) E z2 = B exp (iωt ik x2 x ik y2 y) + C exp (iωt ik x2 x + ik y2 y), (7.2) E z3 = D exp (iωt ik x1 x + ik y1 y), (7.3) kdy prostředí 1 a 3 jsou totožná. Vzniklé elektromagnetické pole musí splňovat podmínky na rozhraní dvou prostředí [3] n (E 2 E 1 ) = 0, (7.4) n (H 2 H 1 ) = K F, (7.5) (D 1 D 2 ) n = σ F, (7.6) (B 1 B 2 ) n = 0, (7.7) 6 vlnová rovnice elektromagnetické vlny v látkovém prostředí 36