Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.

Transkript

1 Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření optických impulsů v aktivním prostředí Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz. prosince 016

2 Program přednášek 1. Poloklasická teorie šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím. Šíření stacionární rovinné vlny v aktivním prostředí 3. Šíření optických impulsů v aktivním prostředí 4. Laser v aproximaci rychlostních rovnic 5. Rychlostní rovnice pro Q-spínaný laser 6. Koherentní šíření impulzu a zesílená spontánní emise

3 Interakce rezonančního záření s prostředím Záření elektromagnetická vlna, popisují MR klasicky Prostředí soubor dvouhladinových kvantových soustav, popisuje SR Rezonanční záření rezonance s kvantovým přechodem ω 1 = (E E 1 )/ Interakce záření s hmotou prostřednictvím polarizace prostředí (dipólového momentu elementárních KS) Rovnice poloklasické teorie interakce hmoty a záření šíření záření v makroskopickém prostředí tvořeném souborem H KS E 1 E c = µ P 0 " ω1 T + 1 T 1 # N N 0 = P = ω 1 E d 1 N E ω P T Zahrnují všechny kvantové aspekty odezvy kvantové soustavy Umožňuji určit odezvu H rezonnačního prostředí obecně pro jakýkoliv průběh elektromagnetického pole

4 Šíření stacionární rovinné vlny v aktivním prostředí Rezonanční prostředí je disperzní susceptibilita χ (index lomu n = 1 + χ) je funkcí frekvence záření ( ω = ω ω 1 ) χ ( ω) = d 1 N 0 d ω 1 N 0 1 ε 0 ( ω) + ( 1 ), T χ ε ( ω) = 0 T ( ω) + ( 1 ). T Rezonanční prostředí je nelineární v blízkosti rezonanční frekvence může v závislosti na obsazení hladin docházet k pohlcení nebo zesílení záření (susceptibilita je komplexní), v závislosti na intenzitě záření dochází k saturaci zesílení (absorpce) I(z) = I 0 e g 0z g = g I I s 1 T g 0 (ω) = g 0 ( ω) + 1, g 0 = σn 0, I s = ω 1 T 1 σ, σ = ω 1 d 1 T cε 0 T

5 Impuls elektromagnetického pole s pomalu proměnnou obálkou Lineárně polarizovaná harmonická vlna Doba trvání pulsu T doba jednoho kmitu pole π/ω

6 Impuls elektromagnetického pole s pomalu proměnnou obálkou Předpokládáme následující průběh pole a polarizace (pomalu proměnná amplituda s harmonickou nosnou vlnou): Vektory makroskopické polarizace a elektromagnetického pole mají pomalu proměnné amplitudy (v čase i v prostoru) Předpokládáme následující průběh elektromagnetického pole a polarizace: E = i ye(z, t)cos [ωt kz + Φ(z, t)] P = i y {P 1 (z, t)cos [ωt kz + Φ(z, t)] + P (z, t)sin [ωt kz + Φ(z, t)]} Dosadíme toto očekávané řešení a postupně nalezneme rovnice pro pomalu proměnné amplitudy pole a polarizace

7 Rovnice pro pomalu proměnné amplitudy Φ z + 1 Φ + k E = µ 0ω 1 c P 1 c = µ 0ω 1 c z + 1 c P 1 P = P 1 T = P T + P ω + Φ ω + Φ P = 1 T 1 (N N 0 ) + 1 EP P 1 d 1 EN kde ω = ω ω 1 a k = ω/c k. Tato uzavřená soustava pěti parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu je matematickým modelem koherentního šíření záření. Popisuje kooperativní chování celého souboru kvantových soustav pod vlivem elektrického pole elektromagnetického záření i zpětný vliv souboru kvantových soustav na elektromagnetické pole. V řadě zvláštních případů je možné tento model ještě dále zjednodušovat.

8 Signál v rezonanci a bez fázové modulace Další zjednodušení rovnic nastane, pokud se předpokládá šíření signálu bez fázové modulace s frekvencí odpovídající přesně frekvenci kvantového přechodu, tj. Φ = const., ω = 0 a k = 0: Φ z + 1 Φ + k c z + 1 c P 1 P z + 1 c P E = µ 0ω 1 c P 1 P 1 0 = µ 0ω 1 c = P 1 T = P T + P ω + Φ ω + Φ = 1 T 1 (N N 0 ) + 1 EP = µ 0ω 1 c P, P 1 0 = P d 1 T EN = (N N 0) T EP P 0 = 0 P 1 d 1 EN

9 Rovnice pro impuls elektromagnetického pole s pomalu proměnnou obálkou v rezonanci a bez fázové modulace Zavedeme tzv. lokální čas t = t z c, z = z Dostaneme: Rovnice nelineární z = µ 0ω 1 c P P = P d 1 T EN = N N T 1 EP Neplatí princip superpozice E (1) in E (1) out, E () in E () out E (1) in + E () in E (1) out + E () out Amplitudy pole a polarizace a také inverze populace hladin závisí na souřadnicích v prostoru i čase.

10 Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace Výchozí rovnice z = µ 0ω 1 c P P = P d 1 T EN = N N T 1 EP z = µ 0ω 1 c P P = P d 1 T EN = N N T 1 EP Stacionární signál položíme časové derivace 0 Získáme rovnice pro P (z), N(z) 0 = P d 1 T EN P (z) = d 1 T EN 0 = (N N 0) + 1 T 1 EP N 0 N(z) = 1 + d 1 T 1 T E

11 Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace Rovnice pro intenzitu optického záření Přejdeme od intenzity eletrického pole k intenzitě světla I = 1 cε 0E z = d 1 µ 0 ω 1 c E T N d 1 T 1 T E Přitom využijeme vztah pro derivaci složené funkce: di dz = g I/I s I z = E z Součinitel zesílení pro slabý signál g 0 = σn 0 Účinný průřez pro stimulovanou emisi Saturační intenzita σ = µ 0ω 1 c d 1 T I s = ω σt 1

12 Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace Zesilování Rovnice popisující zesilování rezonančního záření Normovaná intenzita záření Separace proměnných Okrajová (počáteční) podmínka di dz = g I/I s I J = I I s dj dz = g J J 1 + J dj = g 0 dz J J z=0 = J 1 Řešení (z = L) ln J J 1 + (J J 1 ) = g 0 L

13 Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace Zesilování v prostředí beze ztrát Řešení (z = L) transcendentní rovnice Slabý signál ln J J 1 + (J J 1 ) = g 0 L J 1 1, J 1 ln J J 1 0, J = J 1 e g 0 L Silný signál tj. J = J 1 + g 0 L J J 1 1 Obecné řešení transcendentní rovnice (pro libovolné J 1 a zesílení) J = LambertW nj 1 e [J 1 + g 0 L] o

14 Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace Zesilování (g 0 L = 4)

15 Šíření stacionárního rezonančního signálu bez fázové modulace Zesilování + ztráty Přidáme součinitel ztrát β: Řešení (DC.) Limita g 0 L dj dz = βj + g J J ln J J 1 g 0 β ln g 0 β(1 + J ) g 0 β(1 + J 1 ) = (g 0 β) L I max = g 0 β Is Existuje mezní hustota výkonu nekonečně dlouhého zesilovače saturovaný zisk právě kompenzuje ztráty

16 Šíření impulsů Charakter šíření určuje délka obálky impulzu T imp v porovnání s relaxačními časy T 1 a T z = µ 0ω 1 c P P = P d 1 T EN = N N T 1 EP KOHERENTNÍ NEKOHERNTNÍ T imp T 1, T T imp T 1, T APROXIMACE RYCHLOSTNÍCH ROVNIC T T imp T 1

17 Nekoherentní šíření impulsů T imp T 1, T Rychlá relaxace rezonančního prostředí Při šíření se projeví ztráty energie způsobené relaxací polarizace i inverze populace hladin Adiabatická eliminace v každém okamžiku ustálený stav Relaxace má větší vliv než změna amplitudy časové derivace 0 << N T 1, P << P T Odpovídá rovnicím pro stacionární signál pokud se signál mění pomalu ve srovnání s dobou T 1, T, pak odezva prostředí sleduje vstup P (z, t) = d 1 N(z, t) = (z, t) = d 1 z di(z, t) dz T E(z, t)n(z, t) N d 1 T 1 T E (z, t) µ 0 ω 1 c = T N 0 E(z, t) 1 + d 1 T 1 T E (z, t) g I(z, t)/i s I(z, t)

18 Aproximace rychlostních rovnic T T imp T 1 Částečná adiabatická eliminace Polarizace spojená s časem T relaxuje rychle kvazistacionární stav P = P d 1 T EN = N N T 1 EP z = µ 0ω 1 c P Vyloučíme polarizaci, protože: P << P T Odezvu prostředí ovlivňuje inverze populace hladin, která se vyvíjí v závislosti na velikosti signálu 0 = P (z, t) d 1 T E(z, t)n(z, t) P (z, t) = d 1 T E(z, t)n(z, t) (z, t) = N 0 N + 1 T 1 E(z, t)p (z, t) (z, t) = N 0 N(z, t) σ I(z, t)n(z, t) T 1 T 1 ω 1 (z, t) = µ 0ω 1 c I(z, t) P z (z, t) = σn(z, t)i(z, t) z

19 Rychlostní rovnice Rychlostní rovnice popisují rychlost změny inverze populace hladin a intenzity záření (z, t) = N 0 N(z, t) σi(z, t)n(z, t) T 1 T 1 ω 1 {z } {z} {z } stimul. emise/absorbce buzení fluorescence I(z, t) = σn(z, t)i(z, t) z Zákon zachování energie fotony vs inverze populace hladin Hustota energie u = I/c Einstein Hustota fotonů φ = I/( ωc) Tok fotonů F = I/( ω) B = cσ ω

20 Koherentní šíření impulzů (záření v rezonanci) Pokud můžeme předpokládat přesnou rezonanci ( ω = 0) a signál bez fázové modulace ( Φ/ = 0), potom i P 1 = 0 a šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím je popsáno soustavou tří rovnic: z = µ 0ω 1 c P P = P d 1 T EN = N N T 1 EP Pokud jsou charakteristické časy změn E, P, N mnohem kratší než obě relaxační doby T 1 a T, neuplatňuje se vliv tlumícího systému. Je možné zanedbat relaxační členy s T 1 a T. z = µ 0ω 1 c P = d 1 EN = 1 EP P

21 Shrnutí Pro popis síření impulzů s pomalu proměnnou obálkou stačí 5 rovnic. Rovnice popisují časový vývoj obálky impulzu, amplitudu polarizace prostředí a inverzi populace hladin. Za předpokladu, že záření je v dokonalé rezonanci s prostředím (ω = ω 1 ), a že signál má konstantní fázi, stačí nám 3 rovnice: z = µ 0ω 1 c P P = P d 1 T EN = N N T 1 EP Stacionární řešení poskytuje rovnici popisující zesilování rezonančního záření di dz = g I/I s I βi V obecném případě časově proměnné obálky impulzu délky T imp rozlišujeme 3 oblasti řešení: koherentní šíření (T imp T 1, T ), nekoherentní šíření (T imp T 1, T ), aproximace rychlostních rovnic (T T imp T 1 )

22 Literatura VRBOVÁ M., ŠULC J.: Interakce rezonančního záření s látkou, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 006 VRBOVÁ M., JELÍNKOVÁ H., GAVRILOV P.: Úvod do laserové techniky, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 ( VRBOVÁ M. a kol.: Lasery a moderní optika - Oborová encyklopedie, Prometheus, Praha, 1994 LONČAR, G.: Elektrodynamika I, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1990 Štol, I.: Elektřina a magnetismus, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 Přednášky: