2.1 Shrnutí základních poznatků

Transkript

1 .1 Shnutí základních poznatků S plnostěnnými otujícími kotouči se setkáváme hlavně u paních a spalovacích tubín a tubokompesoů. Matematický model otujících kotoučů můžeme s úspěchem využít např. i při návhu někteých setvačníků. Při odvození teoie plnostěnných otujících kotoučů espektujeme základní předpoklady, se kteými se setkáváme i u řady jiných technických poblémů: Mateiál kotouče je lineáně elastický(zatěžování pobíhá v oblasti platnosti Hookeova zákona), homogenní a isotopní. Poměnédefomace,kteémohouvznikatvkotouči,jsoumalé,tj. ε 1. Respektujeme Saint-Venantův pincip, při kteém se lokální chaakte zatížení pojevuje jen v jeho blízkém okolí. Podmínky ovnováhy sil sestavujeme na nepřetvořeném tělese kotouče. Vliv vlastní tíhy tělesa na stav napjatosti a defomace neuvažujeme(zanedbáváme). Stav napjatosti a defomace v obecném bodě kotouče je účelné vyšetřovat ve válcových souřadnicích,ϕ,z,jejichžoientacejepatnázob.1.sohledemnatvakotoučenení stav napjatosti obecně snadno řešitelný, a poto učiňme další zjednodušující předpoklady: Kotoučjevzhledemkesvémupůměutenkýasymetickývůčiovině z.tloušťka kotouče b je obecně poměnná, přičemž je známa funkční závislost b = b(). Potom můžeme uvažovat napětí v adiálním směu na libovolné válcové ploše souosé s kotoučemzanezávislénatloušťce,cožvdůsledkuznamená,že σ nenífunkcí z. Kotoučotujekolemosyotace zkonstantníúhlovouychlostí ω[ads 1 ],kteoulze vyjádřitpomocípočtuotáčekkotouče n[min 1 ]vztahem ω= πn 30 =konst. (1) Do výpočtu tedy nezahnujeme dobu ozběhu a doběhu kotouče, popř. změnu otáček za povozu. Při splnění uvedených předpokladů zůstávají válcové a osové řezy kotouče i za defomace vzájemně kolmé, nedochází mezi nimi ke zkosu a v konečném důsledku jsou sdužená smyková napětí v těchto řezech nulová. Na válcových řezech mohou i tak působit smyková napětí ovnoběžná s osou otace. Poto se ještě činí následující předpoklad: Smyková napětí na válcových řezech působící ve směu osy otace zanedbáváme, tj. u tenkých kotoučů jsou velikosti těchto smykových napětí zanedbatelná v poovnání s nenulovými nomálovými napětími. Válcové a osové řezy tak považujeme za hlavní oviny napětí. 1

2 σ + dσ dϕ z dc σ O b+db Ob. 1: Napjatost v elementáním hanolku. ϕ b d Vzhledem k výše uvedenému je zkoumaná úloha otačně symetická vzhledem k ose otace(napětí nejsou funkcí ϕ). Při vyšetřování stavu napjatosti kotouče vycházíme z vyjmutého elementáního pvku nádoby za dodžení pincipu metody řezů. Vedeme 4 myšlené řezy:souoséválcovéřezyopoloměech a+d asoumeznéřezyučenésouřadnicemi ϕaϕ+dϕ, kteé obsahují osu otace kotouče, viz ob. 1. Potože je kotouč považován za tenký, nejsou po vymezení elementáního pvku nutné řezy kolmé na osuotace z.na4stěny(řezy)taktovznikléhoelementáního hanolku připojíme účinky vnitřních sil ze zbývající části kotouče. Přitom využijeme těchto skutečností: Stěnyhanolkumajínekonečněmalouplochu,ataknapětí,naněpůsobící,lzeuvažovat jako ovnoměně ozložená. S ohledem na otaci kotouče při konstantních otáčkách působí na hanolek v adiálním směu elementání odstředivá síla dc, jejíž velikost učíme jako dc= ω dm= ω dv= ω bddϕ, () kde jeměnáhmotnost(hustota)mateiálukotoučeakdedm,esp.dv,epezentuje hmotnost, esp. objem, elementáního hanolku z ob. 1. V elementáním hanolku je tedy dvojosý stav napjatosti učený hlavními napětími σ adiálnía obvodové 1.Potožesmyslynapětínejsoupředemznámy,uvažují se obě a pioi jako tahová(ob. 1), přičemž jejich skutečné směy obdžíme při řešení konkétní úlohy. S ohledem na dříve uvedené skutečnosti můžeme uvést, že ovněž obvodové napětí považujemefunkčnězávislépouzenapoloměu,tj. = (). Základní ovnice Abychom dokázali učit úlpný stav napjatosti v plnostěnném otujícím kotouči, sestavíme po elementání pvek(ob. 1): jednu podmínku ovnováhy v adiálním směu σ + dσ d + b σ db d + ω =0, (3) 1 Napětí setakéčastoznačídlepříslušnésouřadnice,tj. σ ϕ.

3 dvě geometicko-defomační ovnice vyjadřující závislost mezi poměnými defomacemi(podlouženími) v adiálním a obvodovém směu a posuvem u = u() v adiálnímsměu ε = du (+ u)dϕ dϕ a ε t = = u d dϕ, (4) jednu ovnici spojitosti defomací, tzv. ovnici kompatibility, dε t d =1 (ε ε t ), (5) užitím obecného Hookeova zákona dvě fyzikální ovnice po poměné defomace v adiálním a obvodovém směu ε = 1 E (σ ν ) a ε t = 1 E ( νσ ), (6) kde EjeYoungůvmodulpužnostiaνjePoissonovočíslo. Základnísoustavušestiovnic(3)až(6)jemožnévzásaděřešitdvěmazpůsoby.Při hledání neznámých funkcí použijeme buď defomační vaiantu řešení, kde jsou neznámými posuvy, nebo silovou vaiantu řešení, kde jsou neznámými napětí. Řešitelnost soustavy do značné míy učuje funkce b(). Poto se řešení analytickým přístupem obvykle zjednodušuje na případy, u nichž je řešení soustavy poměně snadné. Řešení zjednodušených případů otujícího kotouče pak může sloužit za základ přibližných metod, umožňujících poměně snadno řešit i obecnější úlohy. S výhodou při tom můžeme využívat zákona supepozice zatížení. Obecné řešení otujícího kotouče konstantní tloušťky Při hledání dvojosého stavu napjatosti v kotouči konstantní tloušťky zůstávají vztahy(4) až(6)bezzměny.podmínkaovnováhy(3)sespřihlédnutímkb b()zjednodušínatva σ + dσ d + ω =0. (7) Soustavěovnic(4)až(7)potomvyhovujídvěobecnářešení 3 σ = D 1 ± D (3+ν)D ω a σ t = D 1 D (1+3ν)D ω (8) učujícíozloženíhlavníchnapětí σ a vestěněkotouče,kde D 1 a D jsouintegační konstanty.konstantu D ω můžemepsátvetvau D ω = ω 8. (9) Ze vztahů(8) je zřejmé, že pvní člen v obou ovnicích vyjadřuje pouze posunutí výsledných křivek, duhé členy učují hypeboly. stupně a třetí členy učují dvě paaboly. Definujme Funkce ujepoměnnépouze,cožplyneobdobnějakousložeknapětízuvedenýchpředpokladů. 3 Vdalšímbudemepacovatsřešením: σ = D 1 D (3+ν)D ω a = D 1 +D x (1+3ν)D ω. 3

4 ( ) σ σ p p t σ 1 p 1 p 1 ( ) 1 ω O D1 B O σ, Ob.:Rozloženínapětí σ a vestěněotujícíhokotoučekonstantnítloušťky. nyní dvě pomocné paabolické funkce p = D 1 (3+ν)D ω a p t = D 1 (1+3ν)D ω sespolečnýmvcholemvbodě B O osouřadnicích[0,d 1 ],kteévzniklyzevztahů(8)po σ a anulovánímduhých(hypebolických)členů,vizob..jeevidentní,žetvaobou paabolnezávisínaintegačníchkonstantách D 1 a D atudížnezávisíaninaokajových podmínkách.poovnáme-linyníchaaktekřivek σ a p,esp. a p t,lzekonstatovat,že σ,esp.,seasymptotickyblížíkp,esp. p t,jakjezřejmézob..zobázkujedále patný ostoucí vliv hypebolických členů s klesající velikostí poloměu. Z analýzy dále vyplývá,ževpřípadězastaveníkotouče,tj.po ω=0,majívztahyponapětí σ a fomálně stejný tva jako u úlohy otačně symetické tlustostěnné válcové nádoby. Úloha s okajovými podmínkami po kotouč konstantní tloušťky Pomocíobecnéhořešení(8)aokajovýchpodmínek 4 stanovímekonkétnítvaintegačních konstant D 1 a D.Zhlediskatechnicképaxeuvažujmetypickýpřípadnamáháníkotouče (ob. ) odstředivou silou částí na něj připevněných(např. tubínových lopatek) a tlakem v nalisování, je-li kotouč s přesahem nalisován na hřídel. Příslušné okajové podmínky lze potom fomulovat takto: σ ( 1 )= p 1 a σ ( )=σ, (10) kdeskutečnost,žejdenapoloměu 1 otlak,jevyjádřenazáponýmznaménkemasymbol 4 Jednáseostatickéokajovépodmínky,potoženahanicipředepisujemestaticképodmíkyovnováhy. 4

5 p 1 pakznačípouzevelikosttohototlaku.svyužitím(8)upavímeokajovépodmínky(10) na soustavu dvou lineáních algebaických ovnic D 1 D (3+ν)D 1 ω 1= p 1 a D 1 D poneznámé D 1 a D.Povyřešenísoustavyobdžíme (3+ν)D ω = σ (11) D 1 =(3+ν)D ω ( 1 + ) + p 1 1+ σ 1 a D =(3+ν)D ω 1 + (p 1+ σ ) 1 1. (1) Vzhledem k platnosti pincipu supepozice zatížení lze ukázat, že pvní členy ve vztazích (1) odpovídají řešení otujícího kotouče s nezatíženými okaji, zatímco duhé členy řešení neotujícího kotouče s okajovými podmínkami(10). Defomace otujícího kotouče Považujme stav napjatosti v kotouči, obecně poměnné tloušťky, za známý. Změnu poloměu ()kotoučevypočtemestejnějakoadiálníposuv u(),tj. u.pozměnu poloměu obecného kuhového vlákna tedy platí, s přihlédnutím k(4) a(6), = ε t = E ( νσ ). (13) Povýpočetzměnyšířkykotouče b()využijemeplatnostivztahu ε z =d( z)/dz. Využitím Hookeova zákona lze po celkovou změnu tloušťky kotouče b psát b= b/ b/ ε z dz= 1 E [ ν(σ + )] b/ b/ dz= νb E (σ + ). (14) Zuvedenéhoodvozeníjepatné,že bnenínacelémkotoučikonstantní,neboť σ = σ () a = ().Vzhledemkchaakteunapětíjepříčnézúženíkotoučeblížeoseotacevětší. V osových řezech kotouče tedy skutečně dochází ke zkosení a vzniku smykového napětí, kteé ovšem zanedbáváme, jak bylo uvedeno v předpokladech. V závěu shnutí upozoněme na možnost vzniku přídavného namáhání kotouče od neovnoměně ozložené teploty podél poloměu kotouče. S tímto poblémem se obvykle setkáváme u spalovacích tubín, na jejichž obvodu jsou teploty vysoké a kotouče jsou poto chlazeny. Ve výpočtech se po zjednodušení uvažuje teplota T[K] jako funkce obecného poloměu, tedy T = T(). Vliv teploty se v soustavě základních ovnic pojeví ozšířením ovnic(6) o člen, kteý představuje defomaci vlivem změny teploty. Tuto defomace udává teplotníozdíl T = T T 0,kde T 0 jeznámápočátečníteplota,asoučiniteltepelné oztažnostimateiálukotouče α T [K 1 ].Fyzikálníovnicepotomnabývajítvau ε = 1 E (σ ν )+α T T a ε t = 1 E ( νσ )+α T T. (15) Ještě upozoněme na fakt, že za vysokých teplot je nutno také přihlížet k možným změnám mechanických vlastností mateiálu, popř. ke vzniku dlouhodobého pocesu tečení (ceep) mateiálu za vysokých teplot. 5