K přednášce NUFY080 Fyzika I prozatímní učební materiál, verze 01 Keplerova úloha Leoš Dvořák, MFF UK Praha, Keplerova úloha

Transkript

1 K řednášce NUFY080 Fyzika I ozatímní učební mateiál, veze 01 Keleova úloha eoš Dvořák, MFF UK Paha, 014 Keleova úloha Chceme sočítat, jak se ohybuje hmotný bod gavitačně řitahovaný nehybným silovým centem. Příkladem může být ohyb lanety nebo komety kolem Slunce. (Slunce ovažujeme za nehybné.) Hmotnost centálního tělesa (nař. Slunce) označíme M, hmotnost obíhajícího hmotného bodu m. Počátek soustavy souřadnic umístíme do silového centa, olohu obíhajícího bodu udává olohový vekto. Rychlost hmotného bodu budeme značit v. Síla, kteou centální těleso ůsobí na hmotný bod je mm F κ. Sočítat ohyb řešením ohybové ovnice (. Newtonova zákona m F ) v katézských souřadnicích lze numeicky, tedy omocí očítače. Pokud si ale zkusíme ohybovou ovnici ozesat do souřadnic, uvidíme, že analytické řešení je o nás neschůdné. Zkusme to jinak. Gavitační síla F má vzhledem k centu nulový moment: F 0. 1 Díky tomu se zachovává moment hybnosti mv. Z toho lyne, že ohyb hmotného bodu m se děje v ovině. Jak to zdůvodníme? Vektoy a jsou na sebe kolmé. 3 Takže je-li konstantní vekto, musí být olohový vekto kolmý na evný smě v ostou; všechny koncové body tedy musí ležet v jedné ovině. 4 Budeme acovat v oláních souřadnicích Pohyb bodu v ovině bude užitečné oisovat ne v katézských, ale v oláních souřadnicích,. Vekto ychlosti v bude vhodné ozložit do adiálního směu a do směu k němu kolmého. Složku ychlosti do adiálního směu (tedy do směu ostoucího ) označíme v. Tato složka je ovna časové změně adiální souřadnice : d v. (1) Složku ychlosti ve směu kolmém na adiální označíme v. Výhadně v tomto směu by se bod ohyboval, okud by bylo konst. Pak by šlo vlastně o ohyb o kužnici, jeho ychlost jednoduše učíme jako součin oloměu a úhlové ychlosti: d v. () 1 Uvědomte si, oč. Oět si uvědomte oč, řiomeňte si duhou větu imulzovou. 3 Víte oč? 4 Názoně je to vidět, okud osy soustavy souřadnic natočíme tak, aby mířil ve směu osy z. Vekto ak může mířit jen do oviny xy. 1

2 K řednášce NUFY080 Fyzika I ozatímní učební mateiál, veze 01 Keleova úloha eoš Dvořák, MFF UK Paha, 014 Využijeme zákony zachování Výše uvedené složky ychlosti můžeme využít ři výočtu momentu hybnosti. Ulatní se ři něm jen složka v. Je totiž mvm vm ( v + v) m v + m v m v, otože a v mají stejný smě. 5 Potože a v jsou na sebe kolmé, latí o velikost (es. řesněji o jedinou složku) vektou : mv m (3) Přiomeňme, že ze zákona zachování hybnosti, konst., lyne ovnou. Keleův zákon. 6 Kinetická enegie hmotného bodu m je T 1 1 ( ) 1 mv m v v m( ( ) ) m + m. Gavitační otenciální enegie v oli silového centa M je Celková enegie E T + V je tedy 1 1 mm E m + m κ mm V κ. Při ohybu v gavitačním oli se zachovává enegie; již výše jsme odvodili, že i moment hybnosti je konstantní: E konst., konst. A ávě ze zachování enegie a hybnosti odvodíme, o jaké tajektoii se hmotný bod m ohybuje. Malá odbočka: efektivní otenciál Nejve ale ukážeme, jak ze vztahů (3) a (4) jednoduše odvodit, v jakém ozmezí adiální souřadnice se může bod ohybovat. Ze (3) lyne (4) Dosazením (5) do (4) dostaneme což můžeme řesat jako m mm m + m κ E m κ mm m + E m, (5) (6) Označíme-li část v kulatých závokách jako efektivní otenciál Vef () : V ef κ mm, m 5 Uvědomte si, co to znamená, když v íšeme bez šiky, a co je vekto v. 6 Zoakujte si, oč tomu tak je. Je to ostatně vidět i ze (3), uvědomíme-li si, že lošná ychlost je ovna ds v. 1

3 K řednášce NUFY080 Fyzika I ozatímní učební mateiál, veze 01 Keleova úloha eoš Dvořák, MFF UK Paha, 014 lyne z (6) m E V. (7) 1 0 ef () Je tedy jasné, že adiální souřadnice může nabývat jen takových hodnot, že E V (). Z gafu funkce Vef () je vidět 7, že o: E < 0 jde o vázané obity (je min max, bod nemůže uniknout do nekonečna ), E 0 se bod může vzdálit do libovolně velké vzdálenosti. 8 Poznámky: 1. Poč oužíváme temín efektivní otenciál : 1 Rovnici (6) můžeme řesat jako E m + Vef (). Pávě taková by byla enegie hmotného bodu, kteý by se ohyboval o římce (souřadnicí by bylo ) v oli síly o otenciálu Vef ().. Pozo, efektivní otenciál závisí na velikosti momentu hybnosti. Po 0 nevzůstá o blížící se k nule. Od ovnic o časovou závislost k ovnici o tajektoii Rovnici (6) můžeme o vynásobení m řesat na tva ef a ovnice (5) je d E κ M ± + m m d m (8). (9) Jde o dvě difeenciální ovnice 1. řádu o dvě neznámé funkce t (), () t. Bohužel, analyticky je řešit neumíme tedy neumíme z nich dostat vzoce oisující časový vývoj obou souřadnic. Co však lze vyočítat, je tva tajektoie, tedy závislost ( ). K tomu stačí ovnici (8) vydělit ovnicí (9). Platí totiž, že d d d d. 9 7 Rozmyslete si, jak to z gafu a vztahu (7) názoně lyne. 8 Uvědomte si, jak možnost ulétnout k nekonečnu souvisí s duhou kosmickou ychlostí. Dobře je to vidět, okud z místa o adiální souřadnici vystřelíme hmotný bod ychlostí v v adiálním směu. Zákon zachování enegie ak je 1 m κ mm E. Přiomeňte si, oč musí být enegie ovna nule, okud má bod 0 ávě doletět do nekonečna, tedy nesadnout zět, a jak oud vyjádřit duhou kosmickou ychlost.) 9 Plyne to z věty o deivaci invezní funkce; mnemotechnicky si to můžeme amatovat tak, že výsledek je stejný, jako kdybychom zkátili difeenciály. 3

4 K řednášce NUFY080 Fyzika I ozatímní učební mateiál, veze 01 Keleova úloha eoš Dvořák, MFF UK Paha, 014 Vydělením ovnice (8) ovnicí (9) dostaneme d κ ± m E + M d m m (10) a to už je difeenciální ovnice, z níž vyočteme ( ), tedy učíme tva tajektoie. Řešíme ovnici o tajektoii Rovnici (10) budeme řešit seaací oměnných, tedy tak, že výazy, v nichž se vyskytuje, řesuneme na levou stanu ovnice, výazy, v nichž se vyskytuje (včetně difeenciálu d ), na avou stanu a ovnici budeme integovat: m d E κ M + m m ± d (11) Pavá stana dá + konst., levou musíme integovat. Substitucí ξ ( m) a následně substitucí ( ) ξ κmm τ E m + κmm můžeme integál na levé staně uavit na tabulkový integál, kteý již umíme řešit; ak zětně dosadíme za τ a oté za ξ, abychom v něm měli ůvodní oměnnou : 10 dξ dξ E m + κmm ξ ξ E m + κmm ξ κmm ( ) ( ) ( ) ( ) ( κ )( ) Mm dτ ξ κmm accos( τ ) accos accos 1 1 τ 3 1 E m + ( κmm ) E ( κ M m ) + 1 Označíme-li 3 a E ( κ M m ) + 1 ε, (1) κmm řejde (11) na 1 accos ± + konst. ε Konstantu na avé staně (13) můžeme bez újmy na obecnosti zvolit ovnou nule 11 uavit na 1 cos( ± ) cos ε (13) a získaný vztah 10 Výočet je vlastně římočaý, jen tochu zdlouhavý a naové nás může množstvím veličin, dvojí substitucí a řevedením výazu od odmocninou na tva jedna mínus duhá mocnina tochu zaskočit. Zkuste si ho oočítat odobně, alesoň jednou v životě stojí za to si výočet ojít a řesvědčit se, že i takovýhle integál umíme sočítat. 11 Přičtení konstanty znamená vlastně jen ootočení soustavy souřadnic. (Rozmyslete si, oč.) 4

5 K řednášce NUFY080 Fyzika I ozatímní učební mateiál, veze 01 Keleova úloha eoš Dvořák, MFF UK Paha, 014 Oud ( cos ) 1 + ε (14) Inteetujeme řešení a dostáváme vní Keleův zákon Vztah (14) je ovnice kuželosečky v oláním tvau. To, že jde o kuželosečku, je samozřejmě nejjednodušeji vidět v říadě ε 0. 1 Obecně: Potože x cos (viz obázek), lyne ze (14) + ε cos + ε x ε x. Po umocnění dostaneme ( ε ) x x + y a o úavě levé stany ε x+ ε x x + y. Oud konečně ( ε ) 1) Po ε 1 je křivkou aabola. x 1 + ε x+ y (15) Z (1) vidíme, že toto nastane, okud celková enegie E Že jde o aabolu, můžeme vidět, když y do (15) dosadíme ε 1. Dostaneme x+ y x. ) Po 0<ε<1 je křivkou elisa. Vztah (15) lze v tomto říadě uavit na ε ε x ( 1 ε ) + ε x+ + y +. (16) 1 ε 1 ε 1 ε Pvní tři členy lze uavit na duhou mocninu dvojčlenu ( 1 ε ) avou stanou, dostaneme ε x + 1 ε ( 1 ε ) ε x + ε. Vydělíme-li (16) její 1 + y 1. (17) 1 ε Označíme-li a a, 1 ε 1 ε b (18) 1 Schválně: co je to v tomto říadě za křivku? (Pokud váháte, uvědomte si, že je konstanta.) 13 Tedy ávě na omezí toho, že hmotný bod může uniknout do nekonečna. 5

6 K řednášce NUFY080 Fyzika I ozatímní učební mateiál, veze 01 Keleova úloha eoš Dvořák, MFF UK Paha, 014 ε e 1 ε, (19) dostaneme ze (17) ( + ) x e y + 1, (0) a b tedy známý tva ovnice elisy. Přitom a je délka velké oloosy elisy, b délka malé oloosy. Počátek soustavy souřadnic (tedy místo, kde je silové centum M) není ve středu elisy, je osunut o e. Navíc latí, že e a b, e je tedy excenticita, čili vzdálenost mezi středem elisy a ohniskem 14. Vidíme tedy, že silové centum je v ohnisku elisy. Odvodili jsme tedy vní Keleův zákon: Planety obíhají kolem Slunce o elisách, v jejich ohnisku je 15 Slunce. 3) Po ε>1 (tedy o E>0)je křivkou hyebola. 16 Duhý Keleův zákon Duhý Kelleův zákon jsme už odvodili dříve: lošná ychlost je konstantní, ds Třetí Keleův zákon. m Ve třetím Keleově zákoně se vyskytuje doba oběhu T. Sočíst se dá ěkným tikem: Plocha elisy je ds S π ab. Záoveň (otože lošná ychlost je konstantní), musí latit S T m T. Kombinací obou vztahů dostaneme m T π ab. (1) Ze vztahů (18) lyne b a, což o dosazení za z (1) dá dostaneme Umocněním na duhou ak dostáváme m 3 1 T πa a πa. κmm κm T a b a. Dosazením do (1) κm m 4 π () κm 3 To je třetí Keleův zákon: duhé mocniny oběžných dob lanet jsou úměné třetím mocninám velkých oloos jejich tajektoií Poznamenejme, že ε ea, tato veličina se nazývá numeická excenticita. 15 Ze vztahů (18) a (1) lze navíc odvodit, že velká oloosa nezávisí na momentu hybnosti, jen na enegii E. 16 Důkaz je analogický jako v říadě elisy; onecháváme jej na aktivitě laskavého čtenáře. 17 Kdyby silové centum nebylo nehybné (a Slunce nehybné oavdu není), museli bychom ohyb soustavy κ M+ m, tedy laneta+slunce očítat jako oblém dvou těles. Ve vztahu () by ak ve jmenovateli bylo ( ) součet hmotnosti Slunce a lanety. 6