pravidelné konvexní mnohostěny

Transkript

1 PLATÓNOVA TĚLESA pavidelné konvexní mnohostěny Platónova tělesa Stěny Počet stěn S vcholů V han H Čtyřstěn tetaed ovnostanný tojúhelník Šestistěn(Kychle) hexaed čtveec Osmistěn oktaed ovnostanný tojúhelník Dvanáctistěn dodekaed pavidelný pětiúhelní Dvacetistěn ikosaed ovnostanný tojúhelník Euleovafomule: S + V = H+2

2 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN 2 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN Každá stěna pavidelného dvanáctistěnu je pavidelný pětiúhelník. Označmevcholyjednéstěny A,, C, DaE,ovinu této stěny označme α. L E K D α A F C H G Z každého vcholu dvanáctistěnu vycházejí 3 hany. Označme další vcholy dvanáctistěnu takto: zvcholu Avycházejíhany A, AE, AF, zvcholu hany A, C, G, zvcholu Chany C, CD, CH, zvcholu Dhany DC, DE, DK, zvcholu Ehany EA, ED, EL. E D A C Odchylky ovin(a,, F),(, C, G),(C, D, H), (D, E, K)a(A, E, F)(ovinstěn)odoviny α jsou stejné. Pavidelný dvanáctistěn lze vepsat do kulové plochy κ(s, SA ),bod Sjestředemsouměnostitělesa. G L K H D C A F S F E D H K C L G Označme další vcholy dvanáctistěnu takto: vchol souměný k vcholu A podle středu S označme A, vchol souměný k vcholu podle středu S označme,. vchol souměný k vcholu L podle středu S označme L. Tedybod Sjestředemúseček AA,,..., LL. E A Pavidelný dvanáctistěn má 20 vcholů.

3 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN příklad 1 3 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN a jeho zobazení v MP Příklad 1 A4navýšku,MP: O[10,5;17] Zobazte pavidelný dvanáctistěn, jehož jedna stěna ACDE o středu Q leží v půdoysně π, Q[0;7;0], A[0;3;0]. (Obázky v textu jsou v měřítku 1:2.) Zobazíme pavidelný pětiúhelník ACDE ostředu Qležícívπ.Označme = AQ. Q 2 = A 2 C (Q 1 ; ) jepavidelnýpětiúhelníkvepsaný dokužnice (označeníposměuhodinových učiček) 2.náysempětiúhelníka ACDEjeúsečka 2 Q 1 Q 2 = A 2 C 2 2 Vcholy A,, C, D, E stěny potilehlé ke stěně ACDE jsou body souměné k bodům A,, C, D, Epodlestředu S. 3. S 1 = Q 1 jebodsouměnýk podle S 1 Q 1 = S 1 body,,,,,,,,, jsou vcholy pavidelného desetiúhelníka vepsanéhodokužnice

4 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN příklad 1 4 a 1 2 Odchylkaoviny β(a,, F)odpůdoysnyaodchylkaoviny γ(a, E, F)odpůdoysnyjestejná. Označme a půsečnici ovin β a γ(půsečnice ovindvoustěn), a=β γ= AF. 4. p β 1= p γ 1 = a 1 jeosouúhlupřímek p β 1 a pγ 1 p γ 1 p β 1 F o = = A o = o Chceme zobazit bod F, kteý je vcholem pavidelného pětiúhelníka AGK F v ovině β (a také vcholem pavidelného pětiúhelníka AELH Fvovině γ). Otočímeovinu βkolem p β dopůdoysnytak, žepětiúhelník A o o G o K o F o splynespětiúhelníkem ACDE,tj. F o = E. = K o a 1 z F = G o (F) p β 1 5.využijemepavoúhléafinitysosou p β 1 a 1, F o p β 1 6. učíme z-ovou souřadnici bodu F A F: AF = stana pětiúhelníka ACDE (A F)=90 sestojíme bod(f) při přesném ýsování je z F = (F) ==poloměkužnice k

5 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN příklad 1 5 L 2 K 2 H 2 G 2 7., G 1, H 1, K 1, L 1 jsouvcholypavidelného pětiúhelníka vepsaného do kužnice l 1 (Q 1, = Q 1 ) z F = z G = z H = z K = z L = A 2 C 2 2 L 1 G 1 8.bod jesouměnýk podle S 1, bod G 1 jesouměnýkg 1 podle S 1,. K 1 Q 1 = S 1 H 1 l 1 body, K 1, G 1, L 1, H 1,, K 1, G 1, L 1, H 1 jsouvcholypavidelnéhodesetiúhelníka vepsanéhodokužnice l 1 atentodesetiúhelník je obysovou čaou půdoysu dvanáctistěnu G 2 H 2 K 2 L 2 H 1 S 2 A 2 C 2 2 K 1 9. učíme z-ovou souřadnici bodu F C F: CF = AC (C F)=90 sestojíme(f) při přesném ýsování je z F = (F) ==poloměkužnice l z F = z G = z H = z K = z L = L 1 Q 1 = S 1 G 1 10.bod S 2 jestředúsečky A 2 bodsouměnýka 2 podle S 2 z A = + G 1 l 1 L 1 K 1 H zobazení tělesa, viditelnost z F (F)

6 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN příklad 1 6 V měřítku 1:1. 2 C 2 A 2 G 2 H 2 K 2 L 2 S 2 L 2 K 2 H 2 G 2 A 2 C 2 2 H 1 K 1 L 1 G 1 Q 1 = S 1 G 1 L 1 K 1 H 1

7 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN příklad 2 7 Příklad 2 A4navýšku,MP: O[10,5;15] Zobazte pavidelný dvanáctistěn o velikosti hany 4 cm, jehož tělesová úhlopříčka AA je kolmá kpůdoysně π, A[0,6,0], z A >0. D Nejdříve sestojíme pavidelný pětiúhelník ACDE,známe-lijehostanu A =4cm. a)úsečka Avelikosti4 E C b) b: b, b A S c) M b, M = 1 2 A p=am d) m(m, M ) U m p(unenívnitřníbodúsečky AM) p A AU = velikost úhlopříčky pětiúhelníka označme AU =u e)vcholc: AC =u, C =4 vchole: AE =4, E =u m M U vchold: CD =4, ED =4 f) snadno již sestojíme kužnici pětiúhelníku opsanou(střed S, polomě SA ) b SD A AS CD

8 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN příklad 2 8 Z vcholu A dvanáctistěnu vycházejí 3 hany A, AE, AF. Potože AA π,úhlopříčky E, EF a F pětiúhelníků stěn obsahující vchol A jsou ovnoběžné s půdoysnou. u 1. = = =u,, jsouvcholyovnostanného tojúhelníkaostaně uastředu body,, leží na kužnici (, = ) polomě učíme pomocnou konstukcí ovnostanného tojúhelníka o staně u volmebod tak,že x =0ay > y A O= A 2 Přímka Ejehlavnípřímka1.osnovy oviny α, oviny pětiúhelníka ACDE. 2. = h α 1 p α 1: p α 1, p α 1 h α 1 p α 1 h α 1

9 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN příklad 2 9 O= A 2 Otočíme ovinu α kolem p α do půdoysny. V otočení sestojíme pavidelný pětiúhelník A o o C o D o E o. E o 3. využíváme pavoúhlou afinitu sosou p α 1 o p α 1, o =4, E o p α 1, E o =4 = A o sestojíme pavidelný pětiúhelník A o o C o D o E o D o ovnoběžnost se v afinitě zachovává: A o o C o E o ( C o p α 1) o p α 1 je půdoys pavidelného pětiúhelníka ACDE C o 4 4.abychom sestojili body 2 a,učíme z = z E A : A =4 (A )=90 sestojíme bod() z = () =z E z () u 5.abychomsestojilibody C 2 a,učíme z C = z D A C: AC =u (A C)=90 sestojíme bod(c) z C = (C) =z D pokud ýsujeme přesně, je z C = z D = =polomě z C (C)

10 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN příklad Půdoysy pavidelných pětiúhelníků AELH F a AF K G jsou pětiúhelníky shodné s. ody,, L 1, H 1, K 1, G 1 ležínakužnici l 1 (, ). C 2 L 2 G 2 H 2 K 2 2 O=A 2 L 1 H 1 K 1 l 1 G 1

11 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN příklad 2 11 A 2 7.bod Sjestředemsouměnosti tělesa K 2 S 1 = sestojme půdoysy vcholů A,, C, D, E, F, G, H, K, L, kteé jsou souměné kbodům A,, C, D, E, F, G, H, K, L S 2 =,, ležína z 2 L 1 O= A 2 H 1 G 1 K 2,, G 1, H 1, K 1, L 1 ležína l 1 lomená čáa K 1 G 1 L 1 H 1 K 1 G 1 L 1 H 1 je obysová čáa dvanáctistěnu v půdoyse, její delší úsečky jsou délky 4, její katší úsečky majídélkuovnou z K 1 = S 1 = 8. učíme z-ovou souřadnici bodu K sklopíme půdoysně pomítací lichoběžník úsečky DK z D =, (D)(K) =4 K 1 pak K 1 (K) =z K při přesném ýsování je z K =2=2 polomě l 1 K 1 H 1 z K (D) 4 L 1 G 1 (K) 9.středúsečky K 2 K 2 je bod S 2 sestojíme náysy všech zbývajících vcholů tělesa (využíváme souměnosti podle S 2 )

12 PRAVIDELNÝ DVANÁCTISTĚN příklad 2 12 A 2 2 K 2 G 2 H 2 L 2 C 2 S 2 C 2 L 2 H 2 G 2 K 2 2 O=A 2 L 1 G 1 H 1 K 1 = S 1 = K 1 G 1 H 1 L 1

13 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN 13 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN Každá stěna pavidelného dvacetistěnu je ovnostanný tojúhelník. A Označmevcholyjednéstěny A,, Caovinu této stěny označme α. α C E F A D Z každého vcholu dvacetistěnu vychází 5 han. Označme hany vycházející z vcholu A takto: A, AC, AD, AE, AF. C Pavidelný dvacetistěn lze vepsat do kulové plochy κ(s, SA ),bod Sjestředemsouměnostitělesa. C E A Označme další vcholy dvacetistěnu takto: vchol souměný k vcholu A podle středu S označme A, vchol souměný k vcholu podle středu S označme, F D A S E D F. vchol souměný k vcholu F podle středu S označme F. Tedybod Sjestředemúseček AA,,..., FF. C Pavidelný dvacetistěn má 12 vcholů.

14 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN příklad 3 14 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN a jeho zobazení v MP Příklad 3 A4navýšku,MP: O[10,5;17] Zobazte pavidelný dvacetistěn, jehož jedna stěna AC o středu Q leží v půdoysně π, Q[0;7;0], A[0;?;0], y A > y Q, A =6. (Obázky v textu jsou v měřítku 1:2.) Sestojíme pomocný ovnostanný tojúhelník ostaně6azjistímepolomě kužniceopsané. Q 2 = A 2 2 C 2 Zobazíme ovnostanný tojúhelník AC ostředu Qležícívπ. 1. (Q 1 ; ) [0;7+;0] Q 1 ovnostanný vepsanýdokužnice (označení po směu hodinových učiček) 2.náysemtojúhelníka ACjeúsečka 2 C 2 Q 2 = A 2 2 C 2 Vcholy A,, Cstěnypotilehlékestěně AC jsoubodysouměnékbodům A,, C podle středu S. S 1 = Q 1 3. S 1 = Q 1 jebodsouměnýk podle S 1 body,,,,, jsou vcholy pavidelného šestiúhelníka vepsaného do kužnice

15 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN příklad 3 15 Q 2 = A 2 2 C 2 Q 1 Označme β ovinu pavidelného pětiúhelníka AD C E, p β = A. Označme γ ovinu pavidelného pětiúhelníka ACF E, p γ = AC. Odchylka oviny β od půdoysny a odchylka oviny γ od půdoysny je stejná. Označme a půsečniciovin βa γ, a=β γ= AE. 4. p β 1= p γ 1 = a 1 jeosouúhlupřímek p β 1 a pγ 1 p γ 1 a 1 p β 1 Pomocná konstukce; konstukce pavidelného pětiúhelníka o staně A = 6. (Viz také příklad 2.) a)úsečka Avelikosti6 b)přímka b: b, b A p A c)bod M: M b, M = 1 2 A =3 d)přímka p=am kužnice m(m, M ) m M b U e)bod U: U m p (Unenívnitřníbodúsečky AM) AU velikost úhlopříčky pětiúhelníka, označme AU =u

16 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN příklad Q 2 = A 2 C 2 Zobazíme pavidelný pětiúhelník AD C E v ovině β a také pavidelný pětiúhelník ACF Evovině γ. Otočímeovinu βkolem p β dopůdoysny. D o = o Q 1 5.sestojímeotočenýpětiúhelník A o o D o C o E o A o = A o = E o : AE o =6, E o =u (z předchozí konstukce) = A o D o : D o =6, AD o =u C o : E o C o = D o C o =6 C o 6.využijemepavoúhléafinitysosou p β 1 E o a 1 p β 1 a 1, E o p β 1 E o D o p β 1, =u (bod jesestojensouměněk podle S 1 ) Q 2 = A 2 2 C 2 p γ 1 7. ovinu γ nebudeme již otáčet, konstukce by byla stejná p 1 γ, = =u,, jsou vcholy ovnostanného tojúhelníka vepsaného do kužnice l 1 (Q 1, = Q 1 ) Q 1 u l 1 6 E o a 1 p β 1 6 z E (E) 8. učíme z-ovou souřadnici bodu E využijeme A E: AE =stanatělesa=6 (A E)=90 sestojíme bod(e) při přesném ýsování je z E = (E) ==poloměkužnice l z E = z D = z F =

17 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN příklad C 2 Q 2 = A 2 9.bod jesouměnýk podle S 1 bod jesouměnýk podle S 1 bod jesouměnýk podle S 1 body,,,,, jsouvcholypavidelného šestiúhelníka vepsaného do kužnice l 1 a tento šestiúhelník je obysem půdoysu dvacetistěnu Q 1 = S 1 l 1 (C) C 2 z C u A učíme z-ovou souřadnici bodu C využijeme A C: AC = u(u je velikost úhlopříčky pětiúhelníka AD C E) (A C)=90 sestojíme bod(c) při přesném ýsování je z C = (C) =+ =polomě k+polomě l z C = z A = z = + S 2 2 A 2 C S 2 jestředúsečky A 2 A 2, 2 2, C 2 C 2 bod jesouměnýk podle S 2 z E = z F = z D = =polomě k 12. zobazení tělesa a viditelnost Q 1 = S 1

18 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN příklad 3 18 V měřítku 1:1 C 2 A 2 2 S 2 2 Q 2 = A 2 C 2 Q 1 = S 1

19 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN příklad 4 19 Příklad 4 A4navýšku,MP: O[10,5;15] Zobazte pavidelný dvacetistěn o velikosti hany 6cm, jehož tělesová úhlopříčka AA je kolmá kpůdoysně π, A[0;7;0], z A >0. Nejdříve sestojíme pavidelný pětiúhelník CDEF, jehož stana má velikost C = 6cm(viz příklad č.3 a také č.2). Označme polomě kužnice pětiúhelníku opsané. E D F C

20 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN příklad 4 20 Zvcholu Advacetistěnuvychází5han A, AC, AD, AEa AF.Pavidelnýpětiúhelník CDEF o staně 6 leží v ovině ovnoběžné s půdoysnou. A 2 1. jepavidelný pětiúhelník o staně 6 a středu, vcholy pětiúhelníka leží na kužnici (, ) (značeno po směu hodinových učiček) zvolmebod tak,že x =0ay > y A Označme A,, C, D, E a F vcholy tělesa souměné k vcholům A,, C, D, E, Fpodlestředu S. 2. S 1 = = = S 1 = bod jesouměnýk podle S 1 bod jesouměnýk podle S 1. bod jesouměnýk podle S 1 je pavidelný desetiúhelník vepsaný do kužnice a tento desetiúhelník je obysovou čaou půdoysu dvacetistěnu () 6 z z () 3. učíme z-ovou souřadnici bodu využijeme A : A =6 (A )=90 sestojíme bod() při přesném ýsování je z = =stanapavidelného desetiúhelníkavepsanéhokužnici z = z C = z D = z E = z F 6 4. učíme z-ovou souřadnici bodu využijeme pomítací lichoběžník úsečky D: z D = z, D =6 z D (D) připřesnémýsováníje z = + z z = z C = z D = z E = z F = + z

21 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN příklad 4 21 A 2 5. S 2 je střed úsečky 2 2, C 2 C 2,... z A = +2 z 2 C 2 6. zobazení tělesa a viditelnost S 2 C 2 2 A 2 = S 1 =

22 PRAVIDELNÝ DVACETISTĚN příklad 4 22 A 2 2 C 2 S 2 C 2 D2 2 A 2 = S 1 =