PLANIMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY PŘÍMKA A JEJÍ ČÁSTI

Transkript

1 Předmět: Ročník: ytvořil: Dtum: MTEMTIK DRUHÝ Mg. Tomáš MŇÁK 17. květn 2012 Název zcovného celku: PLNIMETRIE ZÁKLDNÍ POJMY Plnimetie = geometie v ovině. Zákldními útvy eukleidovské geometie jsou: bod římk ovin Poznámk n okj: od je to, co nemá délku, šířku, ni výšku. Přímk má jen délku. Rovin má jen délku šířku. Eukleides Pomocí těchto ojmů lze definovt množiny bodů n římce (nř.: olořímk, úsečk), v ovině (nř. oloovin, úhel, tojúhelník). PŘÍMK JEJÍ ČÁSTI 1) Dvěm ůznými body je učen jediná římk. Symbolický záis: ; od M (M leží n římce ) od N (N neleží n římce ) N M 2) Libovolný bod, kteý leží n římce, ji ozděluje n dvě nvzájem očné olořímky. od M ; M je očátek olořímek M; olořímky očné k olořímce M M Symbolický záis: olořímk M = M; M je očátek olořímky M je jeden vnitřní bod této olořímky 1

2 3) Úsečk je ůnik olořímek, tj. =., kjní body úsečky Úsečk je tvořen kjními body všemi svými vnitřními body, tj. body ležícími mezi body. zdálenost bodů, oznčujeme jko délku úsečky zisujeme ji. ZÁJEMNÁ POLOH PŘÍMEK ROINĚ Dvě římky v ovině mohou být buď: ůznoběžné k mjí ávě jeden solečný bod (tzv. ůsečík), ovnoběžné ůzné k nemjí žádný solečný bod, ovnoběžné slývjící (totožné římky) k mjí všechny body solečné. s t=u Symbolický záis: ůznoběžné římky: = ůsečík římek ovnoběžné ůzné římky: = Ø ovnoběžné slývjící římky: = = 2

3 POLOROIN Libovolná římk dělí ovinu n dvě nvzájem očné olooviny. Přímk je hniční římkou obou oloovin tj. olooviny C; C olooviny očné k oloovině C C Symbolický záis: oloovin C = oloovin C = C = C; = je hniční římk olooviny C je bod, kteý leží v dné oloovině s hniční římkou Poznámk: Pokud kždý bod hniční římky tří do dné olooviny, k je římk zkeslen lnou čou. Pokud hniční římk netří do dné olooviny, k je zkeslen řeušovnou čou (viz níže). 3

4 1) Jsou-li dány 3 ůzné body učují 2 úhly: ÚHEL JEHO ELIKOST konvexní úhel nekonvexní úhel vchol úhlu ; men úhlu, kteé neleží v římce olořímky ; konvexní úhel (0 o <<180 o ) Konvexní úhel je ůnikem dvou oloovin s ůznoběžnými hničními římkmi nekonvexní úhel (180 o <<360 o ) Nekonvexní úhel je sjednocením dvou oloovin s ůznoběžnými hničními římkmi Úhel je část oviny, kteá je ohničen dvěm ůznými olořímkmi se solečným očátkem. 2) Jsou-li olořímky ; očné římý úhel římý úhel (=180 o ) 4

5 3) Polořímky nebo úhel lný (jeho všechny body vylňují celou ovinu). ; slývjí nulový úhel (jeho všechny body vylňují olořímku) nulový úhel (=0 o ) lný úhel (=360 o ) Mezi konvexní úhly řdíme: úhel nulový (=0 o ), kosý úhel ostý (0 o <<90 o ) úhel tuý (90 o <<180 o ), vý (=90 o ), římý (=180 o ), lný (=360 o ). Shnutí: htt://it.edf.cuni.cz/~och/ogm/uhel.htm 5

6 elikost úhlu vyjdřujeme nejčstěji ve stuních, řídně v diánech. Stuňová mí: Jednotk 1 (stueň) Př., ; 0,4 0, (jedn desetin stuně = 6 minut) Jednotkový úhel velikosti 1 stueň je úhel, kteý vznikne ozdělením římého úhlu n 180 shodných úhlů. Oblouková mí: Jednotk 1 dián (1 (d)) 1 dián je velikost tkového středového úhlu, kteému n jednotkové kužnici odovídá oblouk délky 1. elikost úhlu v obloukové míře je číslo ; l je délk oblouku této k l = kužnice, kteý je ůnikem kužnice k úhlu Poznámk: Jednotková kužnice je kužnice s oloměem o velikosti jedn. Pmtuj!!! 180 d d Otázk: Kolik stuňů ředstvuje 1 dián? (d). 1 ( d ) o 180 o (d) 57, o 6

7 PŘEODOÉ ZORCE úhel ve stuních x úhel v diánech řevod z diánů n stuně řevod ze stuňů n diány o x ( d) 180 o x ( d) 180 stuně diány NÁZY ÚHLŮ PODLE POLOHY htt://it.edf.cuni.cz/~och/ogm/uhel.htm Úhly styčné: Úhly vedlejší: Úhly dolňkové: Úhly vcholové: 7

8 8 Úhly řilehlé: + β = 180 o Úhly souhlsné: Úhly střídvé: Poznámk: Kužítkem vítkem umět sestojit úhly o velikostech 90, 60, 30, 45, 22,5 jejich násobky. β β β β W W W W

9 KOLMOST PŘÍMEK K dné římce lze vést dným bodem jedinou kolmici k. k. P zdálenost bodu od římky je délk úsečky (kolmice) P, to od ty kolmice P k bodu. Leží-li bod n římce (), k vzdálenost bodu od římky je 0. v(,) = = P = 0 v. P k zdálenost dvou ovnoběžek je vzdálenost libovolného bodu jedné římky od duhé římky. Je-li = v(,) = 0 v.. P k 9

10 Os úsečky je římk, kteá ochází středem úsečky je k ní kolmá. Kždý bod úsečky má od kjních bodů úsečky stejnou vzdálenost, tj. o = X, X X htt://cs.wikiedi.og/wiki/%c3%9se%c4%8dk Os úhlu je olořímk s očátkem ve vcholu úhlu, kteá ůlí dný úhel. Kždý bod osy úhlu je stejně vzdálen od jeho men tj. o = X, v( X; ) v( X; ) 1. o X. 1

11 Úlohy k ocvičování: 1) Ukžte říkldy modely úseček, olořímek, římek, ovnoběžných ůznoběžných římek, kolmých římek, osy úsečky osy úhlu. 2) Kteé dvě úsečky, dvě olořímky, dvě římky ovžujeme z shodné? 3) Kteý z následujících výoků je vdivý: : Jsou-li dvě úsečky shodné, k mjí stejnou délku : Délkou úsečky je vzdálenost jejích kjních bodů. C. Jsou-li dvě úsečky KL MN shodné, k L = N. 4) Symbolicky zište: ) bod leží n olořímce C b) úsečk C je částí olořímky F c) bod neleží n úsečce C d) úsečk neleží n olořímce CF e) olořímk C nemá s olořímkou F žádný solečný bod f) úsečky C D mjí jediný solečný bod C g) římk C slývá s římkou F 5) Symbolicky zište: ) úsečk CD leží v oloovině E b) olořímk GD neleží v oloovině E c) bod E leží v oloovině CD d) bod F neleží v oloovině CDE e) oloovin CG slývá s oloovinou CDE f) římk leží v obou oloovinách E CG 6) Učete velikost konvexního úhlu, kteý n komsu svíá se směem smě: ) S, b) SS, c) SZZ. 7) Zvolte čtyři ůzné body,, C, D, z nichž žádné tři neleží v téže římce: ) Zište všechny olooviny, kteé jsou učeny třemi z dných bodů. b) Učete ůnik olořímky olooviny C; oloovin D D; olooviny C olooviny očné k oloovině C 8) Je dán římk čtyři ůzné body, kteé n ní neleží. Kolik úseček vytvořených dvojicemi těchto bodů otne dnou římku? 9) Po kteý bod ltí, že leží v obou očných oloovinách? 10) Jk můžeme definovt úhel velikosti 1 o? 11) Jké dv úhly ovžujeme z shodné? 11

12 12) Regulátoem teloty vřiče lze otáčet jen ve směu ohybu hodinových učiček. oloze 0 je vřič vynutý, v oloze 5 je nstven n největší telotu (viz obázek). O jký úhel se eguláto otočí, když se telot nstvuje: ) z 0 n 4 b) z 1 n ) O jký úhel se otočí minutová učičk n hodinách z: ) jednu hodinu, b) ůl hodiny, c) deset minut, d) jednu minutu? 14) Předstvte si, že úhel o velikosti 1 o 35 ozoujete dvojnásobně zvětšující luou. Udejte ve stuních minutách velikost tohoto úhlu od luou. 15) Nčtněte úhel ostý, tuý, konvexní, dvojici úhlů styčných, vedlejších, vcholových. 16) Kolik dvojic: ) vedlejších úhlů, b) vcholových úhlů učují dvě ůznoběžné římky? 17) Jk učíte seve z slunečného dne omocí učičkových hodinek v zimě v létě? (ozo n letní čs) 18) Učete velikosti úhlů, β, γ, δ δ c β γ 54 o 77 o b d 12

13 Zdoje oužité litetuy obázků: ýukové mteiály úlohy cvičení jsou utosky vytvořeny o učební mteiál. J. Molná: Mtemtik o střední odboné školy Plnimetie, Pometheus 2011 E. Pomyklová: Mtemtik o gymnázi Plnimetie, Pometheus 2007 E. Cld, O. Petánek, J. Řeová: Mtemtik o střední odboné školy studijní oboy středních odboných učilišť 1. část, Pometheus htt://cs.wikiedi.og/wiki/ 13