SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD

Transkript

1 SPEKRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.

2 II. PRINCIPY OHO, JAK NA O

3 ZÁVĚRY Z MINULA časová řada systematická (deterministická) složka + + nesystematická (nedeterministická, náhodná) složka (koncept Hermana Wolda (1938) - A Study in the Analysis of Stationary ime Series) není konečná energie neexistuje Fourierův integrál výkonový koncept spektrální hustota výkonu power spectral density (PSD)

4 HERMAN OLE ANDREAS WOLD školitel: Harald Cramér * Skien, Norsko Gothenburg, Švédsko oblasti zájmů: matematická ekonomie, ekonometrie, statistika, analýza časových řad na čem se podepsal: Cramérův-Woldův teorém, Woldova dekompozice časových řad, metoda parciálních nejmenších čtverců; teorie užitku, teorie spotřebitelské poptávky

5 SPOJIÝ SIGNÁL Fourierova transformace X a (f) x (t).exp( πjft) dt a E Parsevalova věta 1 x a(t)dt Xa(f) df Xa( ω) dω π spektrální hustota energie

6 SPEKRÁLNÍ HUSOA ENERGIE (VÝKONU) SPOJIÝ PŘÍPAD R exx ( τ) x a (t).x a (t + τ).dt; R pxx ( τ) lim 1 x a (t).x a (t + τ).dt autokorelační funkce funkce x a (t) S R xx xx (f) ( τ) R S xx xx ( τ).exp( πjfτ).dτ (f).exp(πjfτ).df obě funkce tvoří Fourierovský pár

7 DISKRÉNÍ POSLOUPNOS x(n ), definovaná na nekonečném intervalu n -; ; je frekvenčně omezená na pásmo o šířce ±B orkovací frekvence F 1/ > B x(n ) x a (n )? x(n)

8 ENERGIE energie spojitého signálu s(t) E energie diskrétního signálu s N n s (t) dt E s ( n ) d

9 ENERGIE energie spojitého signálu s(t) E energie diskrétního signálu s s (t) dt a) E N s (n ) d n b) N E s (n) d n c) E N s (n ) d n d) E N s (n ) d n

10 DISKRÉNÍ POSLOUPNOS Spektrální vyjádření diskrétního signálu X(f) n x(n ).exp( πjfn ) x(n ) F / F / X(f).exp(πjfn ). df Vztah spektra analogového a diskrétního signálu: x(n ) jπ x (n ) X (f).e fn a a df F / F / X a (f)e F / X k F / jπfn a df (f kf)e X a jπfn (f)e df jπfn F / df F / k kf+ F / a k kf F / X a X (f kf)e (f)e jπfn jπfn df df X(f) k Xa (f kf) spektrální periodicita

11 DISKRÉNÍ POSLOUPNOS

12 REKONSRUKCE SPOJIÉ FUNKCE předpokládejme, že je X(f) f X a (f) 0 f > F/ F/

13 REKONSRUKCE SPOJIÉ FUNKCE π π π + π π π π π π π n t ).Si x(n 1 ). n (t ).Si x(n ) n (t j e e ). x(n F 1 C e a 1 dx e df e ). x(n df.e ).e x(n df (f).e X (t) x ).e x(n X(f) (f) X n n ).F / n (t j ).F / n (t j n ax ax n F / F / ) n f(t j F / F / ft j n fn j F / F / ft j a a n fn j a

14 REKONSRUKCE FUNKCE

15 RAYLEIGHOVA VĚA E F / x (n ) n F / X(f) df E F / F / x(n ).x(n F / n n F / jπfn X(f). x(n ).e df n X * (f ) ) F / S xx F / F / (f)df x(n ) X(f).X F / * X(f).e (f)df jπfn F / F / df X(f) df

16 JOHN WILLIAM SRU, 3. BARON RAYLEIGH An Unerring Leader in the Natural Knowledge * , Maldon, Essex, U.K , Witham, Essex, U.K. oblasti zájmu: fyzikální chemie, akustika, optický a elektromagnetický rozptyl světla,povrchové vlny; psychologie - telekineze na čem se podepsal: spolu s Williamem Ramsayem objevitel argonu (Nobelova cena 1904) a dalších ácných plynů;

17

18 WIENER-KHINCHINOVA VĚA R xx (m F / F / X(f) ).e F / X F / * n x(n (f).x(f).e jπfm df ).x(n jπfm F / S F / xx df (f).e + m jπfm ) df

19 NORBER WIENER * Columbia, Missouri,USA Stockholm, Švédsko 1906 graduoval na střední škole, BA v matematice; poté rok zoologie na Harvardu, od 1910 filosofie na Cornell Uni; 191 PhD na Harvardu disertace na téma matematická logika profesor matematiky na MI zakladatel kybernetiky (?) Cybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine. Paris, (Hermann & Cie) & Camb. Mass. (MI Press) 1948 doktorandi : Amar Bose, Colin Cherry, Shikao Ikehara, Norman Levinson Wienerova rovnice popis Brownova pohybu Wienerův optimální filtr,

20 АЛЕКСАНДР ЯКОВЛЕВИЧ ХИНЧИН * 7.(19.)7.1894, село Кондрово, Медынский уезд, Калужская губерния, Россия , Москва, СССР zájmy: teorie pravděpodobnosti, statistika, teorie funkcí reálné proměnné, teorie čísel, limitní věty, řetězové zlomky, na čem se podepsal: Pollaczekova-Chinčinova formule (teorie fronty),wienerův- Chinčinův teorém, Chinčinova nerovnost (statistika, komplexní čísla), Chinčinova-Lévyho konstanta (konvergence řetězových zlomků), Chinčinova věta o diofantických aproximacích (aproximace reálných čísel pomocí racionálních čísel) ocenění: 1939 člen korespondent AV SSSR; 1941 Stalinova cena,? - Leninova cena

21 WIENER-KHINCHINOVA VĚA R xx (m F / F / X(f) ).e F / X F / * n x(n (f).x(f).e jπfm df ).x(n jπfm F / S F / xx df (f).e + m jπfm ) df

22 WIENEROVA-KHINCHINOVA VĚA (f) S X(f) (f).x(f) X ).X(f).e x(n )e m x(n ). x(n )e m ).x(n x(n ).e (m R xx * n fn j n m fm j m n fm j m fm j xx + + π π π π

23 POSLOUPNOS S KONEČNOU ENERGIÍ - SHRNUÍ z toho plyne, že spektrální hustotu energie neperiodické posloupnosti s konečnou energií lze spočítat dvěma způsoby: přímá metoda: S xx (f) X(f).Σx(n ).exp(-πjfn ) nepřímá metoda: 1) R xx (m ). Σx(n ). x(n +m ); ) S xx (f) ΣR xx (m ).exp(-πjfm )

24 POSLOUPNOS S KONEČNOU ENERGIÍ - SHRNUÍ PRAXE posloupnost konečné délky tj. násobení posloupnosti obdélníkovým oknem, takže počítáme spektrum posloupnosti x~ (n ) x(n ).w (n ) ve frekvenční oblasti X ~ (f) X(f) * W(f) F / F / rect X( α).w(f α)dα

25 POSLOUPNOS S KONEČNOU ENERGIÍ - SHRNUÍ Konvoluce funkce W(f) s X(f) vyhlazuje spektrum X(f) za předpokladu, že W(f) je relativně úzké ve srovnání s X(f) okno w(n ) musí být dostatečně dlouhé Problémy: postranní laloky rozlišení dvou frekvenčních pásem

26 FREKVENČNÍ OKNA kde I 0 ( ) je modifikovaná Besselova funkce 0. řádu 1. druhu; ω a je šířka hlavního laloku

27 FREKVENČNÍ OKNA

28 FREKVENČNÍ OKNA

29 VYHLAZOVÁNÍ OKNEM spektrální konvoluce obdélníkového okna (spektrum) X(f) 1 pro f 0,1; X(f) 0 pro f > 0,1; obrazu obdélníka (N61) a Blackmanova okna N 61

30 SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - PŘÍKLADY

31 SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - PŘÍKLADY

32 SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - PŘÍKLADY