Diskrétní matematika (KAP/DIM)

Transkript

1 Technická univerzita v Liberci Zápisky z předmětu Diskrétní matematika (KAP/DIM) Autor: David Salač Vyučující: doc. Miroslav Koucký z akademického roku 2015 / prosince 2015

2 OBSAH 1 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License ( Obsah 1 Úvod do teorie dělitelnosti Začínáme s celými čísly Společný dělitel, největší společný dělitel Eukleidův algoritmus Příklady na Eukleidův algoritmus Další algoritmy nalezení NSD Bezoutova rovnost Společný dělitel více než 2 čísel Hledání NSD více čísel Diofantická rovnice Společný násobek Společný násobek více čísel Prvočísla Základní věta aritmetiky Některé důležité aritmetické funkce Dolní a horní celá část čísla Möbiova funkce Eulerova funkce Řetězové zlomky Konstrukce řetězového zlomku Přibližný zlomek Příklady řetězových zlomků Kongruence Vlastnosti relace kongruence Ekvivalentní pojmy u kongruencí Vlastnosti kongruencí Úplná soustava nejmenších nezáporných zbytků Úplná soustava absolutně nejmenších zbytků

3 OBSAH Redukovaná soustava zbytků mod m Eulerova věta Malá Fermatova věta Miller-Rabinův test prvočíselnosti Řešení kongruencí Kongruence 1. stupně Souvislost kongruence 1. stupně s diofantickou rovnicí Obecné kongruence Soustavy kongruencí prvního stupně Čínská věta o zbytcích Aritmetika velkých čísel Zobecněná varianta řešení soustavy kongruencí Úvod do algebry Vlastnosti relací: Zobrazení Uzavřenost vzhledem k operaci Vlastnosti binárních operací Symetrický prvek a symetrizovatelnost Grupy Podgrupa Třídy grupy podle podgrupy Věta (Lagrange) Některé pojmy Cyklické grupy Příklady cyklických grup Základní vlastnosti cyklických grup Symetrické grupy Množina všech permutací a operace na ní Zápis permutace pomocí cyklů Sudé a liché permutace

4 OBSAH 3 7 Algebry se dvěma operacemi Okruh Obor integrity Tělesa Vztahy uvedených algeber Eukleidovské obory integrity polynomů Věta o dělení polynomu se zbytkem Nalezení NSD polynomů Ireducibilita nad R Ireducibilita nad C Ireducibilita nad Z p Úvod do šifrování, kódování a komprese dat Úvod do šifrování

5 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 4 1 Úvod do teorie dělitelnosti Používané symboly: N přirozená čísla, uvažujeme VČETNĚ nuly (N = {0, 1, 2,...}) N + přirozená čísla bez nuly Z Celá čísla (N = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}) Q Racionální čísla (Q = { p q ; p Z q N+ }) R, E Reálná čísla C Komplexní čísla Dále je nutno znát (mimo jiné)... Symbol náleží: např. x A, x náleží A Symboly,, \ množinové operace v pořadí průnik, sjednocení rozdíl (ten lze též zapsat jako standardní odčítání symbolem " ") Operátory, velký operátor ("pro všechna"), malý operátor ("existuje alespoň jedno") Množinové relace, je podmnožinou, je vlastní podmnožinou Symbol prázdná množina Kartézský součin A B = {(a, b); a A, b B} Druhá kartézská množina A 2 = {(a, b); a, b A} Relace (binární) na množině A: Mohou být (anti)reflexivní, (anti)symetrické, tranzitivní. Např. ekvivalence je právě reflexivní, symetrická a tranzitivní. 1.1 Začínáme s celými čísly Množina celých čísel je uzavřená na operacích sčítání, odčítání, násobení. To znamená x, y Z (x + y) Z (x y) Z (x y) Z. Porovnejme například s množinou přirozených čísel, která zjevně není uzavřená na odčítání (např. 5 6 N). Množina celých čísel však NENÍ uzavřená na dělení ( x, y Z x Z). Teorie dělitelnosti tedy vlastně zkoumá vlastnosti komutativního okruhu Z vzhledem k operaci y dělení. Definice 1. býti dělitelem Nechť a, b Z, b 0. Řekneme, že b dělí a, zapisujeme b a, pokud q Z takové, že a = b q

6 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 5 Tedy triviálně b a, tj. b nedělí a, pokud q neexistuje. Využívané pojmy: a... dělenec čísla b b... dělitel čísla a q... podíl čísla a při dělení číslem b.. relace na Z (event. N) Základní vlastnosti: 1. a Z : 1 a 2. a Z \ {0} : a 0 a a 3. a Z \ {0} : a b b a (a = b) (a = b) a, b N + : (a b) (b a) a = b 4. a, b, c Z; a, b 0 : (a b) (b c) a c 5. a, b, c, d Z : a + b = c d a d c d b Důkaz: a = dq a ; c = dq c ; dq a + b = dq c b = d(q c q a ) d b 6. d a d a Důkaz: a = dq a a = ( d)( q a ) Poznámka: dělitele celých čísel uvažujeme pouze kladná přirozená čísla. Věta o dělení se zbytkem: Nechť a Z, b N +. Potom existuje jediná dvojce čísel q, r Z taková, že a = b q + r, kde 0 r < b. Využívané pojmy: q... neúplný podíl r... zbytek Důkaz: q = a, kde q je největší celé číslo splňující bq a. Platí dále 0 r = b a bq < b. Nyní pokračujeme sporem, předpokládejme, že máme k dispozici dvě různé dvojce (q 1, r 1 ) a (q 2, r 2 ): a = bq 1 + r 1 a = bq 2 + r 2 Stále platí 0 r 1 < b 0 r 2 < b. Nyní rovnice odečteme a po úpravách získáváme: 0 = b(q 1 q 2 ) + (r 1 r 2 ), kde platí b (r 1 r 2 ). Uvažujeme však, že (BÚNO) r 1 r 2 a protože zároveň platí 0 r 1 r 2 < b, musí nutně být r 1 r 2 = 0 r 1 = r 2.

7 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 6 Druhá část je triviální, stačí dosadit za r 1 r 2 = 0 a získáváme 0 = b(q 1 q 2 ) (kde b > 0), je nevyhnutelně q 1 q 2 = 0 q 1 = q 2. Poznámka: převody mezi číselnými soustavami. b N +, a N. Každé číslo a lze vyjádřit jednoznačným způsobem (plyne z věty o dělení se zbytkem) jako: n a = r 0 + r 1 b + r 2 b 2... = r i b i kde r i {0, 1,..., b 1} r n 0. Čísla r i se nazývají cifry čísla a a b představuje základ soustavy. (Běžně se převod realizuje s mezičlánkem přes desítkovou soustavu). Z desítkové na cílovou pak opakováním: a = (r 1 + r 2 b r n b n 1 + r 0 )b... i=0 1.2 Společný dělitel, největší společný dělitel Definice 2. společný dělitel Nechť a, b Z \ {0}. Přirozené číslo d nazveme společným dělitelem čísel a, b, jestliže d a d b. Platí 1 d min{ a, b } Definice 3. NEJVĚTŠÍ společný dělitel Nechť a, b Z\{0}. Největším společným dělitelem a, b nazveme takového společného dělitele, který je největší ze všech společných dělitelů a, b. Značení největšího společného dělitele čísel a, b: NSD(a, b) = GCD(a, b) = max{ d N + : d a d b} Triviální pozorování: NSD(a, 0) = a; NSD(a, 1) = 1. Poznámka: pokud NSD(a, b) = 1 nazývají se čísla a, b nesoudělná, jinak se nazývají soudělná. Definice 4. nevlastní a vlastní dělitele nevlastní dělitele čísla a jsou čísla a a 1. Vlastní dělitele jsou všechny ostatní dělitele. Věta: NSD(a, b) existuje vždy a je určen jednoznačně. Metody, jak nalézt NSD(a, b):

8 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 7 1. metoda hrubé síly: zkoušíme všechny varianty (efektivnější je postup shora dolů) 2. Eukleidův algoritmus 3. kanonický rozklad 4. další... jako dvojkový NSD algoritmus apod. 1.3 Eukleidův algoritmus Pro hledání největšího společného dělitele. a, b N + a > b : a = bq 0 + r 1 ; 0 < r 1 < b b = r 1 q 1 + r 2 ; 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 2 + r 3 ; 0 < r 3 < r 2 r n 2 = r n 1 q n 1 + r n r n 1 = r n q n Hledaným největším společným dělitelem je číslo r n. Tj. poslední nenulový zbytek v algoritmu. Algoritmus se sestává z konečného počtu kroků (triviální důsledek nerovností uvedených napravo: 0 < r n < r n 1... < r 1 < b) Zároveň platí: NSD(a, b) = NSD(b, r 1 ) = NSD(r 1, r 2 ) =... = NSD(r n 1, r n ) = r n Příklady na Eukleidův algoritmus Tato sekce na přednášce nebyla... Příklad 1: NSD(19043, 21509) =? 1) V E.A. si zapíši na první řádek čísla, pro která hledám NSD, (vyšší je první) a vypočtu zbytek po jejich dělení (značí se (a mod b)): dělenec dělitel zbytek ) Nyní si na další řádek přepíšu do prvního sloupečku dělitel z předchozího řádku a do druhého sloupečku zbytek po dělení z předchozího řádku. Opět vypočtu jejich

9 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 8 zbytek po dělení. Tento postup rekurzivně opakuji, dokud se v posledním sloupečku neobjeví nula. dělenec dělitel zbytek = NSD(21509, 19043) 0 Ve druhém sloupečku posledního řádku je hledaný nejvyšší společný dělitel čísel a, b. Příklad 2: NSD(408, 453) =? NSD(19043, 21509) = 137 Opět pozor na to, že první sloupeček musí začínat vyšším ze dvou čísel! dělenec dělitel zbytek = NSD(408, 453) 0 Tedy hledaný NSD(408, 453) = 3. Příklad 3: NSD(401, 340) =? dělenec dělitel zbytek = NSD(401, 340) 0 Tedy hledaný NSD(401, 340) = 1. Pozn.: čísla 401, 340 jsou tedy nesoudělná, což Eukleidův algoritmus nijak neovlivní. 1.4 Další algoritmy nalezení NSD Dvojkový NSD algoritmus vychází z následujících identit:

10 NSD(a,b) 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 9 1. nechť a, b jsou sudá čísla, pak NSD(a, b) = 2 NSD( a 2, b 2 ) 2. nechť a je sudé číslo a b je liché, pak NSD(a, b) = NSD( a 2, b) 3. nechť a, b jsou lichá čísla, pak NSD(a, b) = NSD( a b, b) = NSD( a b 2, b) (vychází z a + b = c, kde d a d c d b) Tyto operace opakujeme, dokud nedostaneme případ NSD(1, a) nebo NSD(a, a) (či NSD(0, a) a podobně). Vlastnosti NSD 1. d a d b NSD( a d, b d ) = NSD(a,b) d 2. NSD(ka, kb) = k NSD(a, b); k N + 3. a, b N + ; a = a 1 NSD(a, b); b = b 1 NSD(a, b) a navíc platí 1 = NSD(a 1, b 1 ) Protože můžeme na dělitelnost nahlížet jako na relaci uspořádání (stejně jako můžeme nahlížet například na a b), lze si situaci vyjádřit graficky (Vennovými diagramy). a 1 b 1 a b 1.5 Bezoutova rovnost Nechť a, b N +. Potom NSD(a, b) = min{ax + by > 0 x, y Z}. Důsledek: x 0, y 0 Z taková, že NSD(a, b) = ax 0 + by 0 Tvrzení: platí (ax 0 + by 0 ) (ax + by); x, y Z Z věty o dělení se zbytkem lze zapsat jako : ax + by = (ax 0 + by 0 )q + r, kde 0 r < (ax 0 + by 0 ). Tedy r = a(x x 0 q) + b(y y 0 q) r = 0 (ax 0 + by 0 ) (ax + by) Speciálně pak případy: x = 1; y = 0 (ax 0 + by 0 ) a x = 0; y = 1 (ax 0 + by 0 ) b Ze kterých vyplývá (ax 0 + by 0 ) NSD(a, b). Protože však zároveň NSD(a, b) (ax 0 + by 0 ) musí platit: NSD(a, b) = ax 0 + by 0

11 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI Společný dělitel více než 2 čísel Definice 5. Společný dělitel více čísel a NSD více čísel Nechť a 1, a 2,..., a n N + jsou kladná přirozená čísla. Pak d nazveme jejich společným dělitelem, pokud: d a 1 d a 2... d a n. Identicky určíme největšího společného dělitele. Ten existuje vždy a je určen jednoznačně. Poznámka: Nesoudělná čísla jsou taková čísla a 1, a 2,..., a n, pro která platí: NSD(a 1, a 2,..., a n ) = 1. Nesoudělná PO DVOU jsou taková čísla a 1, a 2,..., a n, pro která platí: i, j {1, 2,..., n}, i j NSD(a i, a j ) = Hledání NSD více čísel Nejdříve vezmeme první dvě čísla a spočteme jejich NSD, NSD(a 1, a 2 ) = d 2. V dalších krocích hledáme NSD(d 2, a 3 ) = d 3, NSD(d 3, a 4 ) = d 4... dokud nedostaneme poslední člen, který odpovídá: NSD(d n 1, a n ) = NSD(a 1, a 2,..., a n ). Příklad: NSD(20, 30, 15) =?: 1) d 2 = NSD(20, 30) = 10 2) d 3 = NSD(10, 15) = 5 = NSD(20, 30, 15) (a je hotovo...) 1.7 Diofantická rovnice Rovnice tvaru ax + by = c, kde a, b, c Z, kde hledáme celočíselná řešení, se nazývá diofantická. Kritérium existence řešení rovnice: rovnice tvaru ax + by = c; a, b, c Z má řešení tehdy a jen tehdy, pokud: Řešení 1) Rovnici vydělím NSD(a, b): NSD(a, b) c 1 ax + by = c / NSD(a, b) a 1x + b 1 y = c 1

12 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 11 nyní je zřejmé, že NSD(a 1, b 1 ) = 1, tedy mohu vyjádřit z Bezoutovy rovnosti: 1 = a 1 x 0 + b 1 y 0 Po nalezení vyhovujících x 0 a y 0 vynásobím rovnici c 1, čímž získávám partikulární řešení rovnice. V druhém kroku řeším homogenní rovnici (pravou stranu pokládám rovnu nule): a 1 x + b 1 y = 0, což vede na řešení: x (h) = b 1 t a y (h) = a 1 t, kde t Z Celkové řešení lze zapsat ve tvaru: (x, y) = (x (p), y (p) ) + (x (h), y (h) ) = (x (p) b 1 t; y (p) + a 1 t); t Z 1.8 Společný násobek Definice 6. společný násobek a nejmenší společný násobek Společným násobkem čísel a, b Z\{0} nazveme číslo D, pro které platí: a D b D Identicky pro nejmenší společný násobek (značíme NSN(a, b)), je to nejmenší ze všech společných násobků čísel a, b. Je určen vždy a jednoznačně. Platí NSN(a, b) = Odvození vztahu: ab. NSD(a,b) D... společný násobek a, b a D b D. Tedy: D = a q a = a 1 NSD(a, b) q a b 1 q 1...q a = b 1 t; t Z D = a 1 NSD(a, b)b 1 t a = a 1 NSD(a, b) b = b 1 NSD(a, b); NSD(a 1, b 1 ) = 1 D = a 1NSD(a,b)b 1 NSD(a,b) t = ab t NSN(a, b) = ab NSD(a,b) NSD(a,b) Společný násobek více čísel NSD(a,b) Společný násobek čísel a 1, a 2,..., a n je takové číslo D, kde platí: D a 1 D a 2... D a n Platí, že NSD(a 1, a 2,..., a n ) existuje vždy a je určen jednoznačně. Hledání NSN více čísel:

13 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 12 POZOR!!! je odlišné od hledání NSN dvou čísel. Nejdříve vezmeme první dvě čísla a spočteme jejich NSN, NSN(a 1, a 2 ) = D 2. V dalších krocích hledáme NSN(D 2, a 3 ) = D 3, NSN(D 3, a 4 ) = D 4... dokud nedostaneme poslední člen, který odpovídá: NSD(D n 1, a n ) = NSN(a 1, a 2,..., a n ). 1.9 Prvočísla Definice 7. prvočíslo číslo p N \ {0, 1} nazveme prvočíslem, jestliže platí: a N + : a p (a = 1 a = p) Tedy prvočíslo má PRÁVĚ dva různé dělitele (jedničku a sebe samo, tj. má pouze nevlastní dělitele). Například: 2,3,5,7,11,13... Poznámka autora: je vhodné si definovat pro usnadnění zápisu množinu všech prvočísel, například ji lze označit jako P. Platí, že prvočísel je nekonečně mnoho (již od Eukleida). Důkaz se provádí sporem: 1) předpokládám, že jich je konečně mnoho, tj. zapíši si je do množiny P = {a 1, a 2,..., a n }. 2) uvažuji číslo vzniklé jako: x = 1 + n a i = 1 + a 1 a 2 a n i=1 3) žádné z čísel a 1 až a n není dělitelem čísla x, tedy je číslo x také prvočíslo, avšak x P, což je spor s předpokladem 1). Tedy je prvočísel nekonečně mnoho (jiných zajímavých důkazů existuje na internetu několik stovek). Poznámky: i) (Rozestupy prvočísel) kolik je prvočísel v řadě 2,...,n? Označím jako π(n) a platí: π(n) = n ln n Poznámka autora, pokud si přejete dozvědět se o tomto problému více, přečtěte si knížku Posedlost prvočísly od Johna Derbyshireho. ii) Pokud n N, tak nejmenší od 1 různý dělitel čísla n je prvočíslo a pokud je navíc číslo n složené, je dané prvočíslo n. Důkaz: první část je zřejmá ze základní věty aritmetiky, druhá část lze dokázat sporem:

14 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 13 Předpokládám, že existuje větší dělitel čísla n nežli n, BÚNO uvažuji dělitele D jako (nejmenší možný větší nežli n): D = n + 1 Pak nutně: k Z : n = kd = k( n + 1) Po vyjádření k (viz standardní dělení polynomů na Googlu): k = n nd = n n + 1 = n n + 1 Uvědomím si, že: 1 n + 1 Z k Z Což je spor s předpokladem. iii) testování, zda je dané číslo prvočíslem lze provést prakticky výhradně hrubou silou. iv) pro nalezení prvočísel v řadě 2,...,n se využívá Erathostenovo síto: napíši si do tabulky všechny čísla od 2 do n. Vyberu první číslo (tj. 2), označím jej jako prvočíslo a vyškrtám všechny jeho násobky. Dále vezmu další neškrtnuté číslo, označím jej jako prvočíslo a vyškrtám opět všechny jeho násobky, takto rekurzivně opakuji, dokud nemám zakroužkované či vyškrtané všechny čísla Základní věta aritmetiky Každé přirozené číslo n > 1 lze vyjádřit pomocí součinu prvočísel. Součin prvočísel je jednoznačně definovaný až na pořadí. ( n N \ {0, 1})( {p i, α i } n i=1, p i P α i N +, i {1, 2,..., n}) (n = n i=1 p α i i ) Koeficienty α i představují násobnost prvočísla v rozkladu. Mluvíme o kanonickém rozkladu čísla n. Např. rozklad čísla 12 má tvar: 12 = Některé důležité aritmetické funkce Aritmetickou funkcí rozumíme všechny funkce, jejíž definičním oborem jsou přirozená čísla. Pozn. autora: což ovšem pro horní a dolní celou část tak úplně neplatí, zde je definiční obor roven celým číslům... ale kam jinam je zařadit.

15 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 14 Platí: každý dělitel d čísla n > 1 je tvaru: n d = p γ i i, 0 γ i α i, i = 1, 2,..., n i=1 Platí: NSD(a, b) = n k=1 ϑζ k k Cílem je ukázat, že NSD je roven součinu všech prvočísel kanonického rozkladu čísla s minimem jejich exponentů. Uvažuji rozklady čísel a, b jako: n a = p α i i ; b = i=1 m j=1 q β j j ; p i, q j P Pak platí: ζ k = min α i,β j {α i, β j ϑ k = p i = q j } Platí: NSN(a, b) = n obou rozkladů. k=1 rψ k k Definice 8. Počet všech dělitelů čísla počet všech dělitelů čísla n značíme τ(n) a platí: n τ(n) = (α i + 1), kde ψ k je maximální exponent u stejného prvočísla i=1 Definice 9. Součet všech dělitelů čísla součet všech dělitelů čísla n značíme S(n) a platí: n p αi+1 1 S(n) = p 1 i=1 Vzoreček je odvozen ze součtu geometrické řady: n α i S(n) = ( p j i ) Další zajímavosti: i=1 i) Fermatova prvočísla jsou prvočísla tvaru: j=0 F n = 2 2n + 1; n N Tj. F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257, F 4 = 65537, žádné další Fermatovo prvočíslo nebylo dosud nalezeno. ii) Mersenova prvočísla jsou prvočísla tvaru: M n = 2 n 1 Platí, že pokud je n složené číslo, je i M n složené číslo, negace obecně nikoli.

16 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI Dolní a horní celá část čísla Definice 10. dolní celá část dolní celá část čísla x je nejmenší celé číslo: i) x Z ii) x x < x + 1 Definice 11. horní celá část horní celá část čísla x je nejmenší celé číslo: i) x Z ii) x 1 < x x Definice 12. lomená část lomená část čísla x je: i) {x} = x x ii) {x} [0, 1) Möbiova funkce Möbiova funkce se značí µ a splňuje: i) D µ = N ii) µ(1) = 1 iii) Pokud uvažuji kanonický rozklad čísla n jako: n = k i=1 p α i i ; p i P(i = 1, 2,..., n) Pak µ(n) = 0 α i > 1, i = 1, 2,..., k nebo µ(n) = ( 1) k jinak Platí dále: a) Möbiova funkce je tzv. multiplikativní (viz dále). NSD(m, n) = 1 µ(m n) = µ(m) µ(n) b) Sumace všech hodnot Möbiovi funkce pro dělitele čísla přes všechny dělitele čísla n > 1 je rovna nule: µ(d) = 0; n N \ {0, 1} d n (Pozn. pokud bychom připustili, že n = 1, pak je sumace rovna 1 viz bod ii) Poznámka autora: Möbiova funkce není zdaleka tak akademická, jak se může jevit, viz. anglická Wikipedia.

17 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI Eulerova funkce Eulerova funkce (značí se ϕ) udává počet všech čísel nesoudělných s daným číslem. Platí: i) D ϕ = N + ii) ϕ(1) = 1 iii) Pokud uvažuji kanonický rozklad čísla n jako: n = k i=1 p α i i ; p i P(i = 1, 2,..., n) pak je hodnota Eulerovy funkce v bodě n rovna: Platí dále: a) p P : ϕ(p) = p 1 ϕ(n) = k i=1 b) Eulerova funkce je multiplikativní. p α i 1 i (p i 1) = k i=1 p α i p α 1 i c) Sumace všech hodnot Eulerovy funkce pro dělitele čísla přes všechny dělitele čísla n N + je rovna n: ϕ(d) = n d n 1.12 Řetězové zlomky Spadají do oblasti matematiky zvané diofantická aproximace. Řetězovým zlomkem rozumíme výraz (koneční nebo nekonečný) tvaru: q 0 + kde q 0 Z, q i N pro i = 1, 2,... q q 2 + Čísla q i jsou tzv. členy řetězového zlomku. 1 1 q 3 + Číslo x vyjádřené pomocí řetězových zlomků s členy q 0 až q n můžeme zapsat též jako: x = [q 0, q 1,..., q n ] Platí: Číslo α R má ukončený rozvoj v řetězový zlomek právě tehdy, jestliže je racionální (tj. α Q).

18 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 17 Důkaz: triviálně, uvědomím si definici racionálního čísla x jako x = a b, a Z b N+, pak stačí řetězové zlomky vhodně sečíst a vychází právě a b Konstrukce řetězového zlomku Při konstrukci řetězového zlomku výrazu a je vhodné využít Eukleidův algoritmus v b následujícím tvaru: a = q 0 b + r 0 b = q 1 r 0 + r 1 r 0 = q 2 r 1 + r 2 r n 2 = q n r n kde právě čísla q i jsou naše hledané členy řetězového zlomku Přibližný zlomek Přibližný zlomek se značí jako δ i a platí: δ 0 = q 0, δ 1 = q q 1, δ 2 = q q q 2 Definice 13. přibližný zlomek i-tý přibližný zlomek má tvar δ i = P i Q i Kde P i je čitatel a Q i jmenovatel i-tého přibližného zlomku. Řetězový zlomek lze nejlépe zkonstruovat pomocí rekurentního vztahu: P i = q i P i 1 + P i 2 S počátečními podmínkami: P i = q i Q i 1 + Q i 2 P 1 = 1 P 0 = q 0 Q 1 = 0 Q 0 = 1 Rozdíl sousedních přibližných zlomků je roven vztahu: δ i δ i 1 = ( 1)i 1 Q i Q i 1

19 1 ÚVOD DO TEORIE DĚLITELNOSTI 18 Důkaz: δ i δ i 1 = P i P i 1 = P iq i 1 Q i P i 1 Q i Q i 1 Q i Q i 1 Dále je důležitý pouze čitatel (označím h i ): h i = P i Q i 1 Q i P i 1 = (q i P i 1 + P i 2 )Q i 1 P i 1 (q i Q i 1 + Q i 2 ) = = P i 2 Q i 1 P i 1 Q i 2 = ( 1)h i 1 h i = ( 1) i h 0 = ( 1) i+1 = ( 1) i 1 h 0 = P 0 Q 1 P 1 Q 0 = 1 Poznámka: přibližné zlomky konvergují rychle. Platí, že NSD(P i, Q i ) = 1. Dokazuje se indukcí: Pro první člen (platí triviálně): Uvažuji δ i 1 : δ i 1 = q 0 + δ 0 = q = q q 0 1 q 1 + q q q i q i 1 Z čehož si vyjádřím δ i : δ i 1 = P i 1 Q i 1 = q i 1P i 2 + P i 3 q i 1 Q i 2 + Q i 3 po převedení na společného jmenovatele: δ i = (q i q i )P i 2 + P i 3 (q i q i )Q i 2 + Q i 3 = po úpravě a dosazení: = (q i 1q i + 1)P i 2 + q i P i 3 (q i 1 q i + 1)Q i 2 + q i Q i 3 = = q i(q i 1 P i 2 + P i 3 ) + P i 2 q i (q i 1 Q i 2 + Q i 3 ) + Q i 2 = q ip i 1 + P i 2 q i Q i 1 + Q i 2 = P i Q i Pro hledání přibližných zlomků je vhodné sestavit tabulku přibližných zlomků:

20 2 KONGRUENCE 19 q P + q Q + i n 1 n q i q 0 q 1 q 2 q n 1 q n P i 1 q 0 q 1 q q 2 P 1 + P 0 q n 1 P n 2 + P n 3 n n 1 P n 2 Q i 0 1 q 1 q q 2 Q 1 + Q 0 q n 1 Q n 2 + Q n 3 n n 1 Q n 2 Při určování hodnot se využívá již uvedených rekurentních vztahů. Tvrzení: pro α R je n-tý přibližný zlomek je nejpřesnější aproximace mezi všemi racionálními čísly, které mají jmenovatel Q n Příklady řetězových zlomků π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1,...], e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8,...], 2 = [1, 2, 2, 2,...], 5 = [2, 4, 4,...], 10 = [4, 8, 8,...], 17 = [4, 8, 8,...] 2 Kongruence Definice 14. býti kongruentní mod m Nechť m N \ {0, 1}. Řekneme, že a, b Z jsou kongruentní dělení číslem m dávají stejný zbytek. mod m, pokud při Ekvivalentní zápisy: a b (mod m) a m b a b(m) Pokud čísla naopak nejsou kongruentní, značíme: a b (mod m) Pozor! a = b mod m je něco jiného, nežli a b (mod m) Příklady: 7 19 (mod 4) 3 = 19 mod Vlastnosti relace kongruence Býti kongruentní je relace ekvivalence na Z. i) reflexivita: a a (mod m)

21 2 KONGRUENCE 20 ii) symetrie: a b (mod m) b a (mod m) iii) tranzitivita: a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Můžeme tedy rozdělit Z na třídy ekvivalence Ekvivalentní pojmy u kongruencí Následující pojmy jsou ekvivalentní: i) a b (mod m) ii) m (a b), což je totéž jako m (b a) iii) a = b + mt; t Z Z posledního uvedeného vyplývá, že čísla jsou kongruentní, pokud jsou posunuta o celočíselný násobek modulu. _[...] [...] _[...] [2] [m-1] _[1] [m] [0] Graficky si lze situaci znázornit jako: Z/ mod m Vlastnosti kongruencí Uvažuji: a 1 b 1 (mod m), a 2 b 2 (mod m), pak: i) a 1 + a 2 b 1 + b 2 (mod m) Důkaz: triviální sečtení rovnic a 1 = b 1 + mt 1 a a 2 = b 2 + mt 2 a 1 + a 2 = b 1 + b 2 + m(t 1 + t 2 ) a 2 + a 2 b 1 + b 2 (mod m) ii) a 1 a 2 b 1 b 2 (mod m) iii) (d a 1 ) (d b 1 ) NSD(d, m) = 1: a 1 d b 1 d (mod m) Důsledky: a) obě strany kongruence lze vynásobit libovolným číslem x v Z, kde NSD(x, m) = 1. b) obě strany lze umocnit na libovolný přirozený exponent n N. c) členy z jedná strany kongruence lze převést na druhou stranu, pokud změníme znaménko.

22 2 KONGRUENCE 21 Vlastnosti při změně modulu: i) a b(m) ( k N + ) : ka kb(km) ii) iii) a b(m) d m a b(d) a b(m) d NSD(a, b, m) a d b d (m d ) iv) Obdobně pro více modulů. a b(m 1 ) a b(m 2 ) a b (mod NSN(m 1, m 2 )) Pomocí ekvivalence (mod m) mohu rozložit Z na m ekvivalentních tříd {[0], [1],..., [m 1]} Úplná soustava nejmenších nezáporných zbytků Značí se Z m : Z m = {0, 1, 2,..., m 1} Úplná soustava absolutně nejmenších zbytků Pro m liché: Pro m sudé: Z m = { 1 m 2 Z m = { m 2,..., 1, 0, 1,..., m 1 } 2 m 2,..., 1, 0, 1,..., } Redukovaná soustava zbytků mod m Libovolná (maximální) podmnožina, kterou tvoří zbytky nesoudělné s m. Značí se Z m. Kardinalita množiny: Z m = ϕ(m), kde ϕ(m) je Eulerova funkce v bodě m. Příklad: Z 5 = {1, 2, 3, 4}, Z 6 = {1, 5}. Počítání Platí: Komutativita Asociativita (mod m): a, b Z m : a + b b + a(m) a, b, c Z m : a + (b + c) (a + b) + c(m)

23 2 KONGRUENCE 22 Existence neutrálního prvku: 0 Z m : a Z m 0 + a a(m) Existence opačného prvku: a Z m ( a) Z m : a + ( a) = 0(m) Komutativita vzhledem k násobení: a, b Z m : ab ba(m) Asociativita vzhledem k násobení: a, b, c Z m : a(bc) (ab)c(m) Existence jednotkového prvku: 1 Z m : a Z m 1a a(m) POZOR! OBECNĚ NEEXISTUJE INVERZNÍ PRVEK: a Z m (a 1 ) Z m : aa 1 = 1(m) Ten existuje pouze pokud NSD(a, m) = 1. Distributivní zákony: a, b, c Z m : a(b + c) ab + ac(m) 2.3 Eulerova věta Nechť NSD(a, m) = 1, kde a Z \ {0}, m N + \ {1}, potom: a ϕ(m) 1(m) kde ϕ(m) je Eulerova funkce v bodě m. Důkaz Uvažuji redukovanou soustavu zbytků mod m, která má právě ϕ(m) členů: Z m = {x 1, x 2,..., x ϕ(m) } Po jejím přenásobení a získávám ekvivalentní redukovanou soustavu zbytků mod m: {ax 1, ax 2,..., ax ϕ(m) } Platí NSD(x i, m) = 1 NSD(ax i, m) = 1, dále uvažuji soustavu kongruencí: x 1 ax i1 (m)

24 2 KONGRUENCE 23 x 2 ax i2 (m) Po součinu všech členů:. x 2 ax iϕ(m) (m) a ϕ(m) x i1 x i2 x iϕ(m) x 1 x 2...x ϕ(m) (m) po vydělení i x i vychází hledaný výraz: a ϕ(m) 1(m) Malá Fermatova věta Důsledek Eulerovy věty: p P, a N + a 2 : a p 1 1 (mod p) Všechna přirozená čísla p > 1, která splňují uvedenou rovnost, se nazývají pseudoprvočísla. Nutně se nemusí jednat o prvočísla, například 561 (561 = ) splňuje uvedenou rovnost, byť je složené číslo, pak mluvíme o Carmichaelových číslech Miller-Rabinův test prvočíselnosti Poznámka autora. Tato sekce na přednášce nebyla. Předpokládám, že je n prvočíslo. Pak mohu n 1 zapsat jako n 1 = 2 d s, kde s je liché (tedy najdu největší mocninu dvojky (značenou jako d) v rozkladu n 1. Podmínka nutná: pokud je n prvočíslo, pak a {2, 3, 4,..., n 1} platí alespoň jedna z uvedených kongruencí: a d 1 (mod n) a 2rd 1 (mod n); r {0, 1, 2,..., s 1} Tedy pokud nalezneme takové a, pro které neplatí ani jedna z uvedených rovností, je n složené číslo. Pokud takové a nenalezneme, NEVÍME NIC (můžeme pouze říci, že a je PRAVDĚPODOBNĚ prvočíslo).

25 3 KONGRUENCE 1. STUPNĚ Řešení kongruencí Kongruencí rozumíme výraz f(x) 0(m), kde m N m 2. Kde f(x) je polynom tvaru a 0 + a 1 x a n x n, kde a i Z m m a n Cílem je nalézt všechna čísla x splňující uvedenou kongruenci. Platí: jestliže x 0 Z splňující f(x 0 ) 0(m). Potom f(x 0 + mt) 0(m), t Z. Důležité: za řešení kongruence považujeme CELOU zbytkovou třídu! Důsledky: i) Lze využít metodu hrubé síly (zkoušíme všechna čísla od 0 do m). ii) Pro kongruence stupně 1 máme efektivnější způsob. (Poznámka autora: i pro kongruence vyšších stupňů máme efektivnější metody) 3 Kongruence 1. stupně Kongruence 1. stupně a jejich řešení... obecně má kongruence prvního stupně tvar: kde a, b, m Z m 2. ax b(m) (1) Věta: nechť NSD(a, m) = 1, potom kongruence (1) má pro libovolné b právě jedno řešení ( mod m). Toto řešení je tvaru: x ( 1) n P n 1 b mod m (2) kde P n 1 představuje čitatel předposledního řetězového zlomku rozvoje čísla m a řetězový zlomek. Důkaz: Jednoznačnost řešení: x 1, x 2 Z ax 1 b(m) ax 2 b(m) Odečtu obě kongruence: v a(x 1 x 2 ) 0(m) m a(x 1 x 2 ) NSD(a, m) = 1 m (x 1 x 2 ) Tedy je řešení jednoznačné. Platí: Pn Q n = m a δ n δ n 1 = ( 1)n+1 Q n Q n 1 P n Q n 1 P n 1 Q n = ( 1) n+1, z čehož získávám

26 3 KONGRUENCE 1. STUPNĚ 25 pokud uvažuji tuto rovnici mod m: mq n 1 P n 1 a = ( 1) n+1 P n 1 a ( 1) n+1 (m) což přenásobím ( 1) n+1 b: (P n 1 ( 1) n b)a b(m) Poznámka: Další řešení lze získat z Eulerovy věty: NSD(a, m) = 1 a ϕ(m) 1(m) ax b(m)/a ϕ(m) 1 x a ϕ(m) 1 b(m) 3.1 Souvislost kongruence 1. stupně s diofantickou rovnicí Tato sekce na přednášce nebyla, jedná se o poznámku autora. Protože mohu zapsat kongruenci (1) ekvivalentně jako: k Z : b = km + ax, b, k, m, a, x Z Mohu také diofantickou rovnici: ax + by = z zapsat jako kongruenci (BÚNO předpokládám b > a a že diofantická rovnice má řešení): ax z(b) což může podstatně urychlit její řešení (hledání čitatele řetězového zlomku je rychlejší nežli zpětných chod Eukleidova algoritmu). Svůj význam v daném případě mají i jmenovatele předposledního řetězového zlomku, platí pak: x = [( 1) n P n 1 z mod b] + k b y = [( 1) n 1 Q n 1 z mod a] + k a

27 4 SOUSTAVY KONGRUENCÍ PRVNÍHO STUPNĚ Obecné kongruence Uvažuji stále kongruenci tvaru (1). Platí: nechť d = NSD(a, m), potom má kongruence (1) řešení tehdy a jen tehdy, když d b, v tomto případě má kongruence právě d mod m nekongruentních řešení. Tato řešení jsou tvaru: x m x 0 x m x 0 + m 0 x m x 0 + 2m 0... x m x 0 + (m 1) m 0 kde m 0 = m/b a x 0 představuje řešení kongruence: x 0 a d b d (mod m d ) 4 Soustavy kongruencí prvního stupně Mějme soustavu: x b 1 (m 1 ) x b 2 (m 2 ) x b k (m k ) (3) kde i, j, i j : NSD(m i, m j ) = 1 (tj. moduly jsou nesoudělné po dvou). Poznámka: obecné a i x b i (m i ) mohu převést na tvar (3) vyřešením dílčích kongruencí. 4.1 Čínská věta o zbytcích Využívá se pro vyřešení soustav kongruencí 1. stupně. Platí: soustava (3) má právě jedno řešení pro libovolné pravé strany b 1, b 2,..., b k. Toto řešení je tvaru: x x 0 (M) kde x 0 = M = k i=1 m i k M i M i b i i=1 M i = M m i a M i je takové, že řeší kongruenci: M i M i 1(m i ) Důkaz:

28 4 SOUSTAVY KONGRUENCÍ PRVNÍHO STUPNĚ 27 1) x 0 vyhovuje soustavě: x 0 M i M i b i (m i ) Je evidentní, že M i M i b i nevypadne, neboť je nesoudělné s m i (viz definice výše). Tedy: x 0 b i (m i ). 2) Důkaz jednoznačnosti (sporem): y 0 Z takové, že y 0 b 1 (m 1 ) y 0 b 2 (m 2 ) y 0 b k (m k ) ale zároveň platí: x 0 b 1 (m 1 ) x 0 b 2 (m 2 ) x 0 b k (m k ) Z tranzitivity relace býti kongruentní plyne: y 0 x 0 (M) Tedy jsme dostali spor, a tedy existuje pouze jedno řešení x 0. V praxi se soustavy kongruencí využívají při aritmetice velkých čísel Aritmetika velkých čísel Vyjádřím si modulární reprezentaci čísla a v k nesoudělných modulech m 1, m 2,..., m k, kde m i 2 0 a < M = k i=1 m i: a i = a mod m i pak a = (a 1, a 2,..., a k ) nazýváme modulární reprezentací čísla a. Vlastnosti modulární reprezentace: Pokud a = (a 1, a 2,..., a k ) a b = (b 1, b 2,..., b k ) je modulární reprezentace čísel a, b, pak: 1) a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a k + b k ) 2) a b = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a k b k ) Výstup pak získáme z Č.z.v. Obvykle volíme moduly tvaru 2 n Zobecněná varianta řešení soustavy kongruencí Předpokládám soustavu: x b 1 (m 1 ) x b 2 (m 2 ) x b k (m k ) (4) Platí, že soustava (4) má řešení tehdy a jen tehdy, pokud i j : NSD(m i, m j ) (b i b j ) (tj. NSD dělí b i b j ).

29 5 ÚVOD DO ALGEBRY 28 V tomto případě platí: jsou-li d 1, d 2,..., d k přirozená čísla taková, že d i m i a i j : NSD(d i, d j ) = 1 a k i=1 = NSN(m 1, m 2,..., m k ) a jsou-li c 1, c 2,..., c k N taková, že platí c i 0( M d i ) c i 1(d i ), kde M = NSN(m 1, m 2,..., m k ), potom: je jediným řešením soustavy (4). x k c i b i mod M i=1 5 Úvod do algebry Připomenutí základních pojmů: A B je kartézský součin množin A a B: A B = {(a, b) a A, b B} kde (a, b) představuje uspořádanou dvojici. Druhá kartézská mocnina: A 2 := A A Definice 15. binární relace binární relace na A je libovolná podmnožina A Vlastnosti relací: i) reflexivní: a A : (a, a) R i.a) antireflexivní (též ireflexivní): a A : ((a, a) R) ii) symetrická: a, b A 2 : (a, b) R (b, a) R iii) antisymetrie: a, b A 2 : (a, b) R (b, a) R a = b iv) tranzitivní: a, b, c A 2 : (a, b) R (b, c) R (a, c) R Důležité: 1) Každá relace, která je zároveň reflexivní, symetrická a tranzitivní se nazývá ekvivalence. 2) Každá relace, která je zároveň reflexivní, antisymetrická a tranzitivní se nazývá uspořádání. 5.2 Zobrazení Mějme množiny A, B, zobrazením f množiny A do množiny B rozumíme: f : A B x A, y B : y = f(x)

30 5 ÚVOD DO ALGEBRY 29 ekvivalentně též: (a, b) f Operace na množině A : ω... n-ární operace na A: ω : A n A (a 1, a 2,..., a n ) ω(a 1, a 2,..., a n ) Pro n = 2 mluvíme o binární operaci na množině A. Používáme buď multiplikativní zápis ( ) nebo aditivní zápis (+). a b (a, b) a b Pro n = 1 mluvíme o unární operaci. Například: : A A a a Uzavřenost vzhledem k operaci Pokud je binární operace na A, pak řekneme, že je uzavřená na B, pokud: Příklady: B A : b 1, b 2 B : b 1 b 2 B Množina (N, +) je uzavřená (přirozená čísla a operace sčítání). Množina (N 2N, +) není uzavřená (lichá přirozená čísla a sčítání). Stačí vzít 3+3 = 6 což není liché Vlastnosti binárních operací Mějme binární operaci : : A 2 A pak mluvíme o: i) asociativitě, pokud a, b, c A : a (b c) = (a b) c ii) komutativitě, pokud a, b A : a b = b a iii) idempotenci, pokud a A : a a = a iv) existenci neutrálního prvku, pokud e A : a A, a e = a

31 6 GRUPY 30 v) existenci symetrického prvku, pokud a A a 1 A : a a 1 = e Příklady: neasociativní je například střed úsečky. Nekomutativní je například násobení matic. Bez neutrálního prvku je například maximum/minimum na celých číslech. V případě symetrického prvku mluvíme o nulovém prvku (0) při aditivním zápise a jednotkovém prvku (1) při multiplikativním zápise. Platí: každá binární operace má nanejvýš jeden neutrální prvek. Důkaz: sporem, předpokládám, že e 2, e 2 jsou různé neutrální prvky, potom ale: e 1 = e 1 e 2 = e 2 Což je spor, tedy existuje pouze jeden neutrální prvek Symetrický prvek a symetrizovatelnost Nechť a A a e je neutrální prvek. Řekneme, že prvek a je symetrizovatelný, pokud a A takový, že a a = e. V konkrétních aplikacích mluvíme o: a... opačném prvku v případě aditivním a 1... inverzním prvku v případě multiplikativním Platí: nechť je asociativní operace s neutrálním prvkem. Potom ke každému prvku existuje nejvýše jeden prvek symetrický. Navíc platí: pokud a, b jsou symetrické prvky k a, b, potom prvek a b je symetrizovatelný a symetrický prvek je b a. Důkaz: důkaz jednoznačnosti inverzního prvku (sporem). Předpokládám, že a má inverzní prvky a 1 a a 2, potom: a 1 = a 1 e = a 1 (a a 2 ) = (a }{{} 1 a) a }{{} 2 = e a 2 = a 2 e e Což je spor s předpokladem, tedy existuje pouze jeden inverzní prvek. Důkaz druhého vztahu: (a b) (b a) = a (b b) a = (a e) a = a a = e }{{}}{{} e a 6 Grupy Zavedl Évariste Galois (25. října 1811, Bourg-la-Reine 31. května 1832, Paříž)...

32 6 GRUPY 31 Nechť G je neprázdná množina s operací, o grupě mluvíme, pokud: 1) a, b, c G : (a b) c = a (b c) 2) e G a G : e a = a 3) a G a G : a a = e Pokud navíc platí: 4) a, b G : a b = b a mluvíme o komutativní grupě nebo též Abelově grupě. U grup používáme zápisy: (G, )... pro multiplikativní zápis (G, +)... pro aditivní zápis Definice 16. řád grupy řád grupy představuje počet prvků grupy, značí se: ord G = G Grupy se takto dělí na konečného řádu a nekonečné. Příklady grup: (Z m, +)... sčítáme mod m (Z p, )... násobení mod p, kde p P (tj. je prvočíslo) (Z m, )... násobení na redukované soustavě zbytků mod m 6.1 Podgrupa Nechť (G, ) je grupa. Potom H G, jestliže platí: i) 1 H ii) h 1, h 2 H : h 1 h 2 H iii) h H h 1 H Zapisujeme jako H G nebo též (H, ) (G, ) Třídy grupy podle podgrupy Mějme grupu (G, ) a její podgrupu (H, ) (G, ), definujme relaci následovně: Platí: i) relace je ekvivalence ii) g G; [g] = g H = {g h h H} iii) g 1, g 2 G : [g 1 ] = [g 2 ] g 1, g 2 G : g 1 g 2 g 1 1 g 2 H

33 6 GRUPY 32 V podstatě tak provádíme rozklad grupy G dle podgrupy H. Značíme jako G/H. Index podgrupy je [G : H]... index podgrupy H v grupě G. Je roven počtu tříd ekvivalence rozkladu G / H Celou situaci si lze graficky představit obdobně jako rozklad mod m: G/ _ H [g] [g] = g H [1] [1] = 1 H = H Věta (Lagrange) Nechť (G, ) je konečná grupa a (H, ) její podgrupa, potom platí G = [G : H] H Některé pojmy V případě grupy (G, ) mluvíme o G jako o nosiči grupy a o jako o binární operaci. Zápis v aditivním případě: místo symbolu ( a) používáme standardně a: a + ( a) = a a Zavedení pojmů a m a m a: Při multiplikativním zápisu a (G, ): 1 pro m = 0 a a m } a {{ a} pro m N + = m krát a} 1 a 1 {{ a 1 } pro m Z \ N m krát Při aditivním zápisu a (G, +) (operace není operací grupy): 0 pro m = 0 } a + a + {{ + a } pro m N + m a = m krát a } + a {{ + + a } pro m Z \ N m krát

34 6 GRUPY Cyklické grupy Nechť (G, ) je grupa a g 0 G je prvek grupy, potom množinu generovanou prvkem grupy značíme g 0 : { } g 0 = g0 m m Z a o g 0 mluvíme jako o generátoru množiny. Platí: g 0 G g, g g 0 g g g 0 1 g 0 g 1 g 0 ( g 0, ) Tedy ( g 0, ) je skutečně grupa, říkáme, že ( g 0, ) je cyklická podgrupa grupy G generovaná prvkem g 0, tj. generátorem. Definice 17. Cyklická grupa Grupu G nazveme cyklickou, jestliže g 0 G takový, že G = g 0. Při aditivním (G, +) zápisu používáme definici: g 0 = {m g 0 m Z} Příklady cyklických grup Celá množina Z vůči operaci sčítání i násobení: Pro množinu Z m vůči operaci sčítání: 1 = (Z, +) = {m 1 m Z} 1 = (Z, ) = {m ( 1) m Z} (Z m, +) = 1 = k, k N +, NSD(k, m) = 1 (Z 5, +) = 1 = 2 = 3 = 4 (Z 6, +) = 1 = 5 Definice 18. Nevlastní a vlastní podgrupy Každá grupa obsahuje dvě tzv. nevlastní podgrupy (též triviální podgrupy), sebe samu a podgrupu obsahující pouze neutrální prvek (ta je vlastně zároveň triviální grupou). Ostatní podgrupy označujeme jako vlastní (nebo netriviální). Pro (Z, +) platí, že (mz, +) pro m 2 tvoří jediné vlastní podgrupy (Z, +), tj. m N, m 2 : (mz, +) (Z, +). Například (2Z, +) představuje všechna sudá čísla.

35 6 GRUPY 34 Pokud provedeme rozklad grupy (Z, +) podle (mz, +), tj. Z / mz : k l k + l m Z l k m Z Tak získáváme standardní Z m Základní vlastnosti cyklických grup 1) Všechny cyklické grupy jsou Abelovské (tj. komutativní). 2) Každá podgrupa cyklické grupy je cyklická 3) Pokud G = g 0 a G = k, tj. řád grupy G je roven k. Potom g 0 = {g 0, g 2 0, g 3 0,..., g k 1 0, g k 0 = g 0 0 = 1} představuje všechny různé prvky grupy ( g 0, ) Platí, že G = g 0 = g r 0, kde NSD(k, r) = 1 4) Každá grupa prvočíselného řádu je cyklická. Což plyne z Lagrangeovi věty: G = [G : H] H kde je zřejmé, že řád libovolné podgrupy dělí řád grupy. 5) Každá nekonečná cyklická grupa je izomorfní s grupou (Z, +) 6) Každá cyklická grupa řádu m je izomorfní s grupou (Z m, +) 6.3 Symetrické grupy Jsou důležité grupy v oblasti kombinatorických metod. Symetrická grupa = množina všech permutací na množině. Definice 19. Permutace na množině permutace na množině X = {1, 2,..., N} je vzájemně jednoznačné zobrazení množiny X na X. Obvykle značíme řeckými písmeny π, ϱ, τ, σ... Značení vzájemné jednoznačnosti: X 1 1 X {1, 2,..., N} 1 1 {1, 2,..., N} Permutace π můžeme definovat jako (tzv. dvouřádkový zápis): ( ) n π = π(1) π(2) π(3) π(n)

36 6 GRUPY Množina všech permutací a operace na ní Množinu všech permutací na n prvkové množině značíme S n. Platí: S n = n! Na množině S n se zavádí operace násobení permutací (jedná se o skládání zobrazení). ( ) ( ) n n π = ϱ = π(1) π(2) π(3) π(n) ϱ(1) ϱ(2) ϱ(3) ϱ(n) Pokud se násobí (π ϱ)(x), uvažuje se permutace ϱ(π(x)), skládání probíhá odzadu!!! ( ) n π ϱ = ϱ(π(1)) ϱ(π(2)) ϱ(π(3)) ϱ(π(n)) Násobení permutací splňuje tyto vlastnosti: 1) Je asociativní: π, ϱ, τ S n : (π ϱ) τ = π (ϱ τ) 2) Existuje jednotkový prvek (identická permutace) Id n S n : ( ) n Id n = n 3) Ke každé permutaci existuje inverzní permutace: π S n Inverzní permutaci mohu nalézt jako: ( ) n π = π(1) π(2) π(3) π(n) π 1 S n : ππ 1 = π 1 π = Id π 1 = ( π(1) π(2) π(3) ) π(n) n Poznámka: při zavedení permutace dvouřádkovým zápisem nezáleží na pozici jednotlivých sloupců! Například: ( ) ( ) π = = Z vlastností 1), 2), 3) je zřejmé, že (S n, ) tvoří symetrickou grupu na n prvkové množině Zápis permutace pomocí cyklů Definice 20. Cyklus (permutace) Nechť π S n : řekneme, že π je cyklus délky k, jestliže existuje {i 1, i 2,..., i k } {1, 2, 3,..., n} taková, že: i) j {1, 2,..., k 1}: π(i j ) = i j+1 π(i k ) = i 1 ii) j {1, 2,..., n} \ {i 1, i 2,..., i k }: π(j) = j

37 7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 36 Definice 21. Transpozice Transpozice představuje cyklus délky 2. Platí: každou permutaci lze zapsat ve tvaru součinu disjunktních cyklů. Součin disjunktních cyklů je komutativní. Příklad: π = ( ) = (1, 2, 3, 4)(5) = (1, 2, 3, 4) Platí: každý cyklus lze zapsat ve tvaru součinu transpozic. Znaménko permutace je počet transpozic rovno ( 1) Sudé a liché permutace Pokud permutaci π rozložíme na součin transpozic, pak mluvíme o: SUDÉ permutaci pokud je počet transpozic sudý (tj. včetně nuly) LICHÉ permutaci pokud je počet transpozic lichý Platí: každá permutace je buď sudá, nebo (výlučně) lichá. Při skládání permutací má výsledná permutace paritu (identicky jako při sčítání přirozených čísel): lichá lichá = lichá lichá sudá = sudá lichá = lichá sudá sudá = sudá Definice 22. Alternativní grupa Alternativní grupa je grupa všech sudých permutací a představuje podgrupu všech permutací (S n, ). 7 Algebry se dvěma operacemi V této části se sledují struktury: okruh obor integrity těleso. 7.1 Okruh Mějme množinu R, která je nosič okruhu. Dále mějme na množině R dvě binární operace a, potom (R,, ) tehdy a jen tehdy, pokud: 1) (R, ) představuje Abelovu grupu (tj. komutativní grupu). 2) (R, ) představuje monoid. Monoid (R, ) je definován jako:

38 7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 37 a) a, b, c R : (a b) c = a (b c) b) ɛ R a R : ɛ a = a 3) Platí distributivní zákony: i) a, b, c R : (a b) c = a c b c ii) a, b, c R : c (a b) = c a c b Vzhledem k faktu, že algebra není vzhledem k operaci komutativní, je třeba uvádět oba distributivní zákony. Příklady: Celá čísla (Z, +, ), celá čísla mod m (Z m, +, ), čtvercové matice vzhledem k operaci sčítání a násobení (M n, +, ) Komplikace: například na (Z 6, +, ) mohou existovat vlastní dělitele nuly. Definice 23. Dělitel nuly, vlastní a nevlastní Nechť (R, +, ) je okruh, řekneme, že prvek a R je dělitel nuly, jestliže b R takové, že a b = 0. Pokud je b = 0, říkáme děliteli nevlastní. Pokud je b 0, říkáme děliteli vlastní. Poznámka: 0 a = a 0 = 0, důkaz: 0 a = (0 + 0) a = 0 a + 0 a = 0 = a Obor integrity Říkáme, že R je nosič oboru integrity (R,, ) tehdy a jen tehdy, pokud: 1) (R,, ) je komutativní okruh. Tedy navíc a, b R : a b = b a 2) Neobsahuje vlastní dělitele nuly, tj. a R : a b = 0 b = 0 Příklady: (Z, +, ) je Eukleidovský obor integrity. (Z p, +, ) kde p P (p je prvočíslo) je obor integrity. ALE: (Z 6, +, ) není obor integrity, neboť 3 2 = 0, což je spor s axiomem 2) Definice 24. Eukleidovský obor integrity Říkáme, že (R, +, ) je Eukleidovský obor integrity, tehdy a jen tehdy, jestliže je oborem integrity, ve kterém platí věta o dělení se zbytkem. 7.3 Tělesa Definice 25. Těleso T je nosič tělesa a, jsou binární operace. Říkáme, že množina (T,, ) je těleso, jestliže: 1) (T, ) je Abelova grupa 2) (T, ) je Abelova grupa

39 7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 38 3) Platí distributivní zákon a, b, c T : (a b) c = a c b c Příklady: (Z p, +, ), kde p P je těleso. ALE POZOR: (Z, +, ) není těleso (neexistuje inverzní prvek vzhledem k násobení pro čísla větší než jedna). Další příklady: reálná čísla R, racionální čísla Q, komplexní čísla C. Definice 26. Konečná a nekonečná tělesa Konečná tělesa jsou tělesa, která mají konečný počet prvků, například (Z p, +, ). Nekonečná tělesa nemají konečný počet prvků Q, R, C atd. Definice 27. Charakteristika tělesa Charakteristika tělesa je nejmenší přirozené číslo p takové, že: p 1 = 0 } {{ + 1 } = 0 p krát Tělesa (Z p, +, ), p P mají charakteristiku p. Tělesa C.R, Q mají charakteristiku 0 (nula). Lemma: každé těleso má prvočíselnou charakteristiku, nebo má charakteristiku nula. V této souvislosti platí: (a + b + c) p = a p + b p + c p kde a, b, c Z p, p P. (a + b + c) p a p + b p + c p pro tělesa charakteristiky Vztahy uvedených algeber Platí obecně: Těleso (T) Obor integrity (OI) Okruh (O) Tj. nejobecnější pojem je okruh, obor integrity je zároveň okru, těleso je zároveň obor integrity i okruh. 7.5 Eukleidovské obory integrity polynomů Nechť (T, +, ) je těleso, x T, potom polynomem nad tělesem T (v neurčité/neznámé x) rozumíme výraz: n a i x i i=0 kde n N a i T, i = 1, 2,..., n Definice 28. Množina všech polynomů Symbolem T [x] značíme množinu všech polynomů nad tělesem T

40 7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 39 Definice 29. Stupeň polynomu Stupeň polynomu f(x) se značí symbolem st f(x) nebo ekvivalentně (z anglické literatury) deg f(x) a představuje nejvyšší mocninu, která se v polynomu vyskytuje s nenulovým koeficientem. Platí: st (0) = 1 tedy stupeň polynomu rovného nule je roven -1 Platí: k R \ {0}, st (k) = 0 tedy stupeň konstantního polynomu je roven jedné Příklady: 1) f(x) = x 7 + 2x + 0 pak st f(x) = 7 2) g(x) = 9x + 4 pak st g(x) = 1 Definice 30. Hodnota polynomu v bodě hodnota polynomu f(x) T [x] v bodě c T je rovna číslu: f(c) = n c i a i i=0 Operace sčítání a násobení polynomu: f(x), g(x) T [x] a nechť: f(x) = n i=0 = a ix i a dále g(x) = m i=0 b ix i Sčítání polynomů: f(x)+g(x) = max m,n i=0 (a i +b i )x i, platí: st (f(x)+g(x)) max m, n Platí, že (T [x], +) tvoří Abelovu grupu. Násobení polynomů: f(x) g(x), platí st (f(x) g(x)) = st f(x) + st g(x) f(x) g(x) = m+n i=0 c i x i c i = i a k b i k k=0 Platí, že (T [x], ) tvoří monoid (komutativní, pokud je T komutativní) Definice 31. Kořen polynomu Kořenem polynomu (též nulovým bodem polynomu) rozumíme c T pro které f(c) = Věta o dělení polynomu se zbytkem Nechť f(x), g(x) T [x], kde T je Eukleidovský obor integrity. Platí, že st f(x) st g(x), potom existují jediné polynomy q(x), r(x) T [x] takové, že f(x) = g(x) q(x) + r(x), kde st r(x) < st g(x). To samé symbolicky: f(x), g(x) T [x], deg g(x) deg f(x)!q(x), r(x) T [x] : f(x) = q(x) g(x)+r(x)

41 7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 40 Analogicky jako na oboru integrity celých čísel zavádíme následující pojmy: a) Řekneme, že g(x) T [x] je dělitelem f(x) T [x], pokud existuje q(x) T [x] takový, že f(x) = q(x) g(x), symbolicky: g(x), f(x) T [x] : g(x) f(x) q(x) T [x] : f(x) = g(x) q(x) nevlastní dělitel stupně 0 není určen jednoznačně b) společný dělitel a NSD(f(x), g(x)), NSD rozumíme monický polynom nejvyššího stupně (definice je zřejmá). Monický polynom je polynom stupně n, kde a n = 1 (tj. člen u nejvyšší mocniny je jednička). c) společný násobek a nejmenší společný násobek (definice zřejmá). Pro NSN platí opět vztah: f(x) g(x) NSN(f(x), g(x)) = NSD(f(x), g(x)) Nalezení NSD polynomů K nalezení NSD(f(x), g(x)) se využívá Eukleidův algoritmus nebo rozklad na ireducibilní polynomy. Definice 32. Ireducibilní polynom Řekneme, že f(x) T [x] je ireducibilní polynom nad T, jestliže polynom f(x) nelze vyjádřit ve tvaru součinu 2 polynomů zt [x] stupně ostře menšího než stf(x). Platí: f(x)t [x] ireducibilní f(x) = f 1 (x)f 2 (x) st f 1 (x) = st f(x) st f 2 (x) = st f(x) Platí: i) Polynomy stupně jedna jsou vždy ireducibilní (bez ohledu na T ) ii) Platí, že c T je kořenem polynomu f(x) T [x] právě tehdy, když f(x) = (x c)g(x) + r(x), kde st r(x) < st (x c) = 1 nebo je r(c) rovno nule. Důkaz: směr : (x c) f(x). Směr triviálně f(x) = (x c)q(x). iii) Polynom f(x) T [x], kde st f(x) je 2 nebo 3, je ireducibilní na T, právě tehdy, když nemá kořeny. Pozor: to, jestli má daný polynom kořeny záleží na tělese T. Příklad: x = 0 je ireducibilní v R, ale není ireducibilní v C Ireducibilita nad R Definice 33. Základní věta algebry Je-li f(x) polynom stupně n nad C, potom f(x) má v tělese C právě n kořenů, včetně jejich násobnosti.

42 7 ALGEBRY SE DVĚMA OPERACEMI 41 Důsledek (komplexně sdružený kořen je také kořenem): f(x) R[x], x 0 C \ R, f(x 0 ) = 0 f(x 0 ) = 0 Platí: ireducibilní polynomy nad R jsou právě všechny polynomy prvního stupně a všechny polynomu druhého stupně, které mají záporný diskriminant. Tedy pouze a jenom: f(x) = ax + b, a 0 a g(x) = ax 2 + bx + c, kde b 2 4ac < 0. Všechny polynomy f(x) R[x] lze zapsat ve tvaru: f(x) = a n k (x α i ) ni i=1 l (x 2 + p j x + q j ) m j kde α i představuje všechny různé kořeny v R a m i představuje jejich násobnosti (pro i = 1, 2,..., k) Dále platí: i) i {1, 2,..., l} : p i 4q i < 0 ii) k i=1 n i + 2 l i=1 m i = n Ireducibilita nad C Pro f(x) C[x], st f(x) = n N + platí důsledek základní věty algebry, tedy f(x) lze zapsat jako: k f(x) = a n (x α i ) n i i=1 Kde α i C jsou všechny různé kořeny polynomu f(x) a n i je násobnost kořene α i (pro i = 1, 2,..., n). Platí: ireducibilní polynomy nad C jsou právě všechny polynomy stupně jedna. j=1 7.6 Ireducibilita nad Z p Existenční věta o ireducibilních polynomech nad Z p : Nechť p je libovolné prvočíslo a n N +, potom existuje polynom stupně n, který je ireducibilní nad Z p. Vyvstává netriviální otázka, jak generovat ireducibilní polynomy nad (Z p, +, ). Na Z p [x] se zavádí relace býti kongruentní mod q(x), kde q(x) Z p [x] je ireducibilní polynom. Definice 34. Býti kongruentní mod q(x) q(x) Z p [x] je ireducibilní polynom (p P). Pak platí: f(x) g(x) (mod q(x)) q(x) (f(x) g(x)) kde f(x), g(x) Z p [x]