MASARYKOVA UNIVERZITA
|
|
- Miloslava Nováková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 015 VERONIKA MAGEROVÁ
2 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Numercké metody pro fnanční matematku Bakalářská práce Veronka Magerová Vedoucí práce: doc. RNDr. Martn Čadek, CSc. Brno 015
3 Bblografcký záznam Autor: Název práce: Studjní program: Studjní obor: Vedoucí práce: Veronka Magerová Přírodovědecká fakulta, Masarykova unverzta Ústav matematky a statstky Numercké metody pro fnanční matematku Matematka Fnanční a pojstná matematka doc. RNDr. Martn Čadek, CSc. Akademcký rok: 014/015 Počet stran: v + 8 Klíčová slova: numercké metody; parcální dferencální rovnce; metoda sítí; okrajová úloa; monotónní matce; Blackova-Scolesova rovnce; explctní metoda; mplctní metoda
4 Bblograpc Entry Autor: Ttle of Tess: Degree Programme: Feld of Study: Supervsor: Veronka Magerová Faculty of Scence, Masaryk Unversty Department of Matematcs and Statstcs Numercal metods for fnancal matematcs Matematcs Fnancal and nsurance matematcs doc. RNDr. Martn Čadek, CSc. Academc Year: 014/015 Number of Pages: v + 8 Keywords: numercal metods; partal dfferental equatons; fnte dfference metod; boundary value problem; monotone matrx; Black s-scoles equaton; explct metod; mplct metod
5 Abstrakt Tato bakalářská práce se věnuje numerckému řešení tzv. Blackovy-Scolesovy rovnce, která se ve fnanční matematce používá k výpočtu ceny opcí. Rovnc budeme řešt metodou sítí. Tuto numerckou metodu s nejprve ukážeme na okrajové úloze pro obyčejnou dferencální rovnc, potom j aplkujeme na počáteční úlou pro parabolckou parcální dferencální rovnc. Abstract Ts tess deals wt te numercal soluton of te Black s-scoles equaton. In fnancal matematcs, ts equaton s used to calculate te opton prces. We wll solve te equaton by fnte dfference metod. Frst, we sow ts numercal metod on te boundary value problem for ordnary dfferental equaton, ten we apply t to te ntal problem for parabolc partal dfferental equatons.
6
7 Poděkování Na tomto místě byc ctěla poděkovat svému vedoucímu doc. RNDr. Martnu Čadkov, CSc. za odborné vedení práce, trpělvost, ocotu a cenné rady, které m pomoly tuto bakalářskou prác zkompletovat. Prolášení Prolašuj, že jsem svoj bakalářskou prác vypracovala samostatně s využtím nformačníc zdrojů, které jsou v prác uvedeny a za pomoc vedoucío této práce. Brno 1. května Veronka Magerová
8 Obsa Úvod v Kaptola 1. Okrajová úloa pro obyčejné df. rovnce a monotónní matce Okrajové úloy Monotónní matce Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou Narazení dervací dferenčním podíly Aproxmace dferencálnío operátoru a okrajovýc podmínek Přesnost aproxmace dferencálnío operátoru a okrajovýc podmínek Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí Explctní metoda řešení Implctní metoda řešení Aplkace na Blackovu-Scolesovu rovnc Seznam použté lteratury v
9 Úvod Ve fnanční matematce se setkáváme s tzv. Blackovou-Scolesovou rovncí pro výpočet ceny opcí. Je to parabolcká dferencální rovnce, která se v prax často řeší metodou sítí. Tato metoda spočívá v sestavení sítě mřížovýc bodů, ve kterýc pak budeme danou funkc aproxmovat. Na Masarykově unverztě není metoda sítí součástí základníc kurzů bakalářskéo oboru Fnanční a pojstná matematka a to je také důvodem, proč je jí tato bakalářská práce věnována. V první část je metoda sítí demonstrována na okrajové úloze pro obyčejnou dferencální rovnc, v část drué je pak aplkována na počáteční úlou pro parcální dferencální rovnc. Dferencální operátor v obou případec narazujeme soustavou lneárníc rovnc. Matce této soustavy je monotónní, což zaručuje exstenc a jednoznačnost jejío řešení. K důkazu, že řešení aproxmační úloy konverguje k řešení původní úloy, pokud se krok sítě blíží 0, zase používáme prncp maxma. V první kaptole se tedy podíváme na monotónní matce a defnujeme s okrajovou úlou. Druá kaptola se věnuje použtí metody sítí na okrajovou úlou a konečně v poslední kaptole se budeme zabývat numerckému řešení parabolckýc dferencálníc rovnc pomocí metody sítí. Na konc této kaptoly ukážeme, jak se tato numercká metoda dá aplkovat na Blackovu- Scolesovu rovnc. V teoretcké část této práce jsem čerpala převážně z [3], pro větu o jednoznačnost řešení parabolcké dferencální rovnce spolu s okrajovým podmínkam a počáteční podmínkou jsem použla 3. kaptolu z [] a konečně u lemmatu o LU rozkoadu a př aplkac na Blackovu-Scolesovu rovnc jsem využla [1]. v
10 Kaptola 1 Okrajová úloa pro obyčejné df. rovnce a monotónní matce 1.1 Okrajové úloy Na ntervau a,b budeme řešt dferencální rovnc (1.1) (p(x)y ) + q(x)y = f (x) s okrajovým podmínkam (1.) α 1 p(a)y (a) + β 1 y(a) = γ 1, α p(b)y (b) + β y(b) = γ. Předpokládejme, že funkce p, p, q a f jsou spojté na a,b a že exstuje konstanta p 0 > 0 taková, že platí (1.3) p(x) p 0, x a,b, a (1.4) q(x) 0, x a,b. Tyto předpoklady společně s následující podmínkou (1.5) zajšt ují exstenc a jednoznačnost řešení okrajové úloy (1.1) a (1.). Nect C k a,b jsou reálné funkce na ntervalu a,b s k spojtým dervacem. Věta 1.1. Nect funkce p, p, q a f jsou spojté na a,b a nect platí nerovnost (1.3) a (1.4). Dále nect α a β jsou nezáporná a platí (1.5) α + β > 0. Pak, pokud není současně β 1 = β = 0 a q = 0, má rovnce (1.1) s okrajovým podmínkam (1.) právě jedno řešení y C a,b př lbovolnýc γ 1, γ. Nect p C 3 a,b a f,q C a,b. Pak řešení y okrajové úloy (1.1) a (1.) bude prvkem C 4 a,b. 1
11 Kaptola 1. Okrajová úloa pro obyčejné df. rovnce a monotónní matce Důkaz. Důkaz první část věty 1.1 nebudeme provádět, můžeme jej najít v [3] na stranác , druou část dokážeme následovně. Rovnc (1.1) přepíšeme na tvar a vyjádříme y : p (x)y p(x)y + q(x)y = f (x) y = f (x) q(x)y + p (x)y. p(x) Víme, že funkce f, q, p p mají spojté dervace a proto můžeme provést dervac y. Stejnou úvau můžeme zopakovat pro y a tím získáme požadované tvrzení. 1. Monotónní matce V této kaptole budeme nerovnost mez vektory, popřípadě matcem cápat tak, že dané nerovnost budou platt pro všecny složky vektoru, nebo prvky matce. Defnce 1.1. Čtvercová matce A = {a j } řádu n se nazývá monotónní, jestlže pro všecna x R n platí, že nerovnost Ax 0 mplkuje x 0. Monotónní matce je tedy taková matce A, že z nezápornost všec složek vektoru Ax plyne nezápornost všec složek vektoru x. Nyní s ukážeme některé základní vlastnost monotónníc matc. Lemma 1.. Matce A je monotónní právě tedy, když A je regulární a A 1 0. Důkaz. Nejprve budeme předpokládat, že matce A je monotónní. Nect vektor x je řešením soustavy Ax = 0. Pak podle defnce 1.1 je x = 0 a omogenní soustava Ax = 0 má pouze trvální řešení. Tím jsme dokázal regulartu A. Nezápornost A 1 plyne z defnce 1.1 a z rovnce AA 1 = I, nebot označíme-l nyní sloupce matce A 1 postupně s 1 (A 1 ),...,s n (A 1 ), pak po vynásobení s matcí A dostaneme 1 0 As 1 (A 1 ) = 0. 0.,...,As n(a 1 ) = Protože A je monotónní, musí platt s 1 (A 1 ) 0,...,s n (A 1 ) 0. Důkaz obrácenéo tvrzení provedeme následovně. Nect A 1 exstuje a A 1 0. Pak pro vektor Ax 0 dostáváme což znamená, že matce A je monotónní. x = A 1 Ax 0,
12 Kaptola 1. Okrajová úloa pro obyčejné df. rovnce a monotónní matce 3 Lemma 1.3. Nect A je monotónní matce a nect pro vektory x a y platí (1.6) Ax Ay. Pak platí x y. Důkaz. Na první poled je zřejmé, že z nerovnost (1.6) plyne, že A(y x) 0 a A(y+x) 0. Použjeme-l nyní mplkac z defnce 1.1, dostaneme požadované tvrzení. Toto lemma bude rát důležtou rol př důkazu věty.1. Zkoumání monotone matc přímo z defnce nebo pomocí předcozíc lemmat je značně obtížné, proto se v prax nepoužívají. Monoton matc proto budeme zkoumat pomocí tzv. Collatzova lemmatu. Před jeo formulací však musíme uvést ještě několk pojmů. Defnce 1.. Čtvercová matce A = {a j } řádu n se nazývá reducblní, jestlže je možné přerovnat ndexy 1,...,n v posloupnost ρ 1,...,ρ r, σ 1,..., σ n r, 1 r < n, tak, že platí a ρν σ µ = 0 pro ν = 1,...,r a µ = 1,...,n r. Matc, která není reducblní nazýváme reducblní. Lemma 1.4. Čtvercová matce A řádu alespoň je reducblní právě tedy, když ke každé dvojc ndexů, j, j exstuje posloupnost ndexů 1,..., s taková, že platí a 1 0,a 1 0,...,a s j 0. Důkaz tooto lemmatu můžeme najít v [3, strana 165]. Defnce 1.3. Čtvercová matce A = {a j } řádu n se nazývá dagonálně domnantní, platí-l pro = 1,...,n (1.7) a n j=1 j a j. Pokud v (1.7) platí ostrá nerovnost pro každý ndex, budeme matc A nazývat ostře dagonálně domnantní a konečně pokud je matce A reducblní, dagonálně domnantní a v (1.7) platí ostrá nerovnost alespoň pro jeden ndex, budeme j nazývat reducblně dagonálně domnantní. Lemma 1.5 (Collatzovo lemma). Nect matce A = {a j } řádu n má na dagonále kladné prvky a nect má ostatní prvky nekladné. Dále nect je matce A ostře dagonálně domnantní nebo reducblně dagonálně domnantní. Pak je tato matce monotónní. Důkaz. Nect matce A má na dagonále kladné prvky a ostatní prvky nekladné. Nejprve budeme předpokládat, že je matce A reducblně dagonálně domnantní. Důkaz provedeme sporem, čl budeme předpokládat, že matce A není monotónní. Potom podle defnce monotónní matce bude exstovat vektor x takový, že Ax 0 a přtom alespoň jedna složka vektoru x bude záporná. Položme x j = mn(x 1,...,x n ),
13 Kaptola 1. Okrajová úloa pro obyčejné df. rovnce a monotónní matce 4 pak určtě x j < 0. Protože matce A má dagonální prvky kladné a ostatní prvky nekladné, platí pro ndex x j n n a j j a jk = a jk. k=1 k=1 k j Z defnce reducblně domnantní matce plyne, že moou nastat tyto případy: 1. Nect n a jk > 0. k=1 Protože a jk 0 pro k j a x k x j, je a jk x k a jk x j pro k j. Proto platí 0 n k=1 a jk x k = a j j x j + n k=1 k j což je spor s předpokladem Ax 0.. Nect Pak 0 n a jk x k = k=1 n a jk x k a j j x j + n a jk = 0. k=1 k=1a jk (x k x j ) + x j n k=1 n k=1 k j a jk }{{} =0 a jk x j = x j n k=1a jk < 0, = n k=1 k j a jk (x k x j ), kde a jk 0 a (x k x j ) 0 pro k j. Z too plyne, že každý sčítanec musí být roven 0, tedy (1.8) a jk (x k x j ) = 0, k = 1,...,n, k j. Nect 0 je ndex takový, že a 0 0 > n j=1 j 0 a 0 j. Z reducblty matce A pak podle lemmatu 1.4 exstuje posloupnost ndexů 1,..., s taková, že a j1 0,a 1 0,...,a s 0 0. Pak podle (1.8) je x j = x 1 a celý postup zopakujeme pro ndex 1 na místě j. Dostaneme, že x 1 = x protože a 1 0. Opět vezmeme na místě j. Takto postupujeme dále, až dostaneme x j = x 1 = x = = x 0. Pro ndex 0 na místě j tedy nastane první možnost tooto důkazu a tím dostáváme požadovaný spor. Důkaz pro ostře dagonálně domnantní matc je první případ důkazu pro matc reducblně domnantní.
14 Kaptola Metoda sítí pro okrajovou úlou Metoda sítí, nebol metoda dferenční spočívá v tom, že s nterval a, b, ve kterém ledáme řešení příslušné okrajové úloy, rozdělíme konečnou množnou bodů {x k ;k = 0,...,n}, takzvanou sítí. Body můžeme zvolt ekvdstantně, tj. (.1) x k = a + k, k = 0,...,n, kde = b a n, n N. V bodec této množny se příslušná dferencální rovnce (a okrajové podmínky) splní přblžně. V prax to znamená, že dervace naradíme dferenčním podíly, tj. lneárním kombnacem funkčníc odnot v okolníc bodec. Tím získáme soustavu konečně mnoa rovnc s neznámým, které jsou přblžné odnoty ledané funkce v bodec x k. Nyní musíme odpovědět na 3 otázky: 1. Má takováto soustava rovnc řešení?. Jakou numerckou metodou budeme soustavu řešt? 3. Jak se řešení získané pomocí aproxmační soustavy rovnc lší od skutečnéo řešení okrajové úloy? Nadále budeme předpokládat, že jsou vždy splněny předpoklady věty Narazení dervací dferenčním podíly Základní myšlenka metody sítí spočívá, jak jsme s jž řekl, v narazení všec dervací, vyskytujícíc se v dferencální rovnc, dferenčním podíly. Nyní s ukážeme základní příklady dferenčníc podílů. Lemma.1. Nect má funkce f v ntervalu I = a,b dervace až do řádu včetně a nect platí x, x + I. Pak exstuje bod ξ x, x + takový, že platí f (x + ) f (x) = f (x) + 1 f (ξ ). 5
15 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 6 Důkaz. V případě exstence (n + 1) konečnýc dervací funkce f v bodě x lze podle Taylorovy věty psát f (x + ) = f (x) + f (x) 1! (x + x) }{{} = kde ξ x, x +. Pro n = 1 dostaneme požadované tvrzení. + f (x) + + f (n+1) (ξ )! (n + 1)! n+1, Lemma.. Nect má funkce f v ntervalu I = a,b dervace až do řádu 3 včetně a nect platí x,x + I. Pak exstuje bod ξ x,x + takový, že platí f (x + ) f (x ) = f (x) f (ξ ). Důkaz. Předpoklady věty spolu s Taylorovým vzorcem zajšt ují exstenc bodů ξ 1,ξ, pro které platí (.) f (x + ) = f (x) + f (x) + f (x) + f (ξ 1 ) 3, 6 f (x ) = f (x) f (x) + f (x) f (ξ ) 3. 6 Odečtením drué rovnce od první dostaneme (.3) f (x + ) f (x ) = f (x) ( f (ξ 1 ) + f (ξ )) f (x + ) f (x ) = f (x) ( f (ξ 1 ) + f (ξ )). Funkce f je spojtá v x,x+ a číslo ( f (ξ 1 )+ f (ξ ))/ leží mez jejím maxmem a mnmem. Proto exstuje ξ x, x + takové, že f (ξ ) = 1 ( f (ξ 1 ) + f (ξ )). Dosazením do (.3) dostaneme požadované tvrzení. Lemma.3. Nect má funkce f v ntervalu I = a,b dervace až do řádu 4 včetně a nect platí x,x + I. Pak exstuje bod ξ x,x + takový, že platí f (x + ) f (x) + f (x ) f (x) 1 3 f (ξ ). Důkaz. Důkaz provedeme podobně jako u předcozío lemmatu, pouze nebudeme rovnce (.) odečítat, ale sčítat. Dostaneme f (x + ) f (x) + f (x ) = f (x) ( f (ξ 1 ) f (ξ )) 3 f (x + ) f (x) + f (x ) = f (x) ( f (ξ 1 ) f (ξ )).
16 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 7 Podle Taylorova vzorce je f (ξ 1 ) = f (ξ ) + f (ξ )(ξ 1 ξ ) f (ξ 1 ) f (ξ ) = f (ξ )(ξ 1 ξ ) f (ξ 1 ) f (ξ ) f (ξ ). Proto f (x + ) f (x) + f (x ) f (x) 1 3 f (ξ ).. Aproxmace dferencálnío operátoru a okrajovýc podmínek Nyní s ukážeme dva způsoby, jak lze aproxmovat dferencální operátor vystupující na levé straně rovnce (1.1) a okrajové podmínky (1.). Interval a, b s rozdělíme dělícím body (.1) na n dílů délky. Označme dferencální operátor v rovnc (1.1) (.4) (Ly)(x) = [p(x)y (x)] + q(x)y(x). Za použtí lemmat. a.3 naradíme v tomto operátoru dervace y a y v bodec x = x k dferenčním podíly. Dostaneme operátor L (0), který (n+1)-dmenzonálnímu vektoru µ = (µ 0,..., µ n ) T přřazuje (n 1)-dmenzonální vektor L (0) µ, který je defnován předpsem (.5) (L (0) µ) k = 1 { [p(x k) 1 p (x k )]µ k [p(x k ) + q(x k )]µ k [p(x k ) + 1 p (x k )]µ k+1 } pro k = 1,...,n 1. K předpsu (.5) dojdeme takto: nyní naradíme a dostaneme: y (x) (Ly)(x) = [p(x)y (x)] + q(x)y(x) = = [p (x)y (x) + p(x)y (x)] + q(x)y(x), y(x + ) y(x ), y y(x + ) y(x) + y(x ) (x) (Ly)(x) [p y(x + ) y(x ) (x) + y(x + ) y(x) + y(x ) + p(x) ] + q(x)y(x).
17 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 8 Položíme-l nyní x = x k, obdržíme: (Ly)(x k ) [p (x k ) y(x k + ) y(x k ) + + p(x k ) y(x k + ) y(x k ) + y(x k ) ] + q(x k )y(x k ) 1 [ p(x k)(µ k+1 µ k + µ k 1 ) p (x k ) 1 (µ k+1 µ k 1 )]+ + q(x k )µ k = = 1 [ p(x k) + 1 p (x k )]µ k [p(x k) + q(x k )]µ k [ p(x k) 1 p (x k )]µ k+1. Pokud dferenčním podíly z lemmatu (.1) naradíme dervace v okrajovýc podmínkác (1.), dostaneme operátory l (1) a l (1), které (n + 1)-dmenzonálnímu vektoru µ = (µ 0,..., µ n ) T přřazují čísla l (1) µ a l(1) µ, která jsou defnovaná předpsem (.6) l (1) µ = α 1 p(a) µ 1 µ 0 + β 1 µ 0, l () µ = α p(b) µ n µ n 1 + β µ n. Následující věta nám ukáže, jak operátor L (0) aproxmuje dferencální operátor L. Věta.4. Nect y C 4 a,b, p C 1 a,b a q C a,b. Položme µ(y) = (y(x 0 ),..., y(x n )) T. Pak platí (L (0) µ(y)) k = (Ly)(x k ) + O( ), k = 1,...,n 1. Důkaz. Důkaz plyne z lemmat. a.3. Věta.5. Nect y C a,b a p C a,b. Pak platí l (1) µ(y) = l(1) y + O(), l () µ(y) = l() y + O(), kde l (1) y a l () y značí levé strany okrajovýc podmínek (1.) a µ(y) = (y(x 0 ), y(x 1 ),...,y(x n )) T. Důkaz. Důkaz plyne z lemmatu.1. Z předcozío plyne, že přblžné řešení µ = (µ 0,..., µ n ) T budeme ledat pomocí soustavy lneárníc rovnc (.7) l (1) µ = γ 1, (L (0) µ) k = f (x k ), k = 1,...,n 1, l () µ = γ.
18 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 9 Tuto soustavu lze zapsat v matcovém tvaru (.8) A (0) µ = b, kde A (0) = (A (0), j )n, j=0. Nenulové členy matce A(0) jsou: a A (0) 0,0 = α 1p(a) + β 1, A (0) 0,1 = α 1p(a), A (0) k,k 1 = p(x k) 1p (x k ), A (0) k,k = p(x k) + q(x k ), A (0) A (0) k,k+1 = p(x k) + 1 p (x k ), pro k = 1,...,n 1, n,n 1 = α p(b), A (0) n,n 1 = α p(b) + β γ 1 f (x 1 ) b =.. f (x n 1 ) Aplkací vět.4 a.5 dostaneme následující tvrzení. Věta.6. Nect p C 3 a,b, f,g C a,b a y je řešením okrajové úloy (1.1), (1.). Pak A (0) µ(y) = b + O(). Důkaz. Jestlže p má tř spojté dervace a f a q dvě, pak podle věty 1.1 má řešení y čtyř spojté dervace a můžeme použít věty.4 a.5. Podle věty.5 platí dokazovaná rovnost pro 0-tý a n-tý řádek. K důkazu rovnost pro zbylé řádky matce k = 1,...,n 1 a 0 1 použjeme větu.4. Platí čl γ (L (0) µ) k f (x k ) K K, (L (0) µ) k = f (x k ) + O(). Př aproxmac nekonečnědmenzonálníc problémů konečnědmenzonálním je dobré zacovat co nejvíce vlastností původnío problému. V případě, který se zde snažíme vyřešt, je operátor (.4) samoadjungovaný. Tím pádem by měla být matce aproxmující soustavy symetrcká. Matce soustavy (.7) však symetrcká není, je pouze blízká symetrcké matc, nebot koefcenty u neznámýc µ k+1 v k-té rovnc a µ k v (k + 1)-ní rovnc se rovnají pouze přblžně: A (0) k,k+1 = 1 [p(x k) + p (x k )]µ k+1 A (0) k+1,k = 1 [p(x k+1) + p (x k+1 )]µ k.
19 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 10 Obrázek.1: Koefcenty u µ k+1 a µ k Tento problém vyřešíme tak, že s dferencální operátor aproxmujeme jným způsobem. Takovýto operátor budeme značt L. Položme nyní v operátoru p(x)y (x) = z(x). Dervac z (x) v bodě x = x k aproxmujeme tak, že ve vzorc (.3) z lemmatu. užjeme místo. Dostaneme z (x k ) z(x + ) z(x ) = p(x + )y (x + ) p(x )y (x ) Podobně pak odnotu funkce p(x)y (x) v bodec x = x k + a x = x k aproxmujeme následovně ( y x + ) ( y(x + ) y(x), y x ) y(x) y(x ) Díky těmto aproxmacím dostaneme nový operátor L, který je určen předpsem (L µ) k = 1 ( {p x k ) µ k 1 (.9) [ ( p x k ) ( + p x k + ) ] ( + q(x k ) µ k + p x k + ). µ k+1 } Jeo matce má n 1 řádků a n + 1 sloupců. Po vynecání prvnío a poslednío sloupce vznkne čtvercová matce, která je symetrcká. (L µ) k = 1 ( [p x k + )] µ k (L µ) k+1 = 1 ( [p x k+1 )] µ k +... Je totž x k+1 = x k + = x k +, proto se koefcenty u neznámýc µ k+1 v k-té rovnc a µ k v (k + 1)-ní rovnc se rovnají, tudíž matce tooto operátoru je symetrcká. Nyní ukážeme aproxmační vlastnost operátoru L.
20 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 11 Věta.7. Nect y C 4 a,b a p C 3 a,b. Pak platí (L µ(y)) k = (Ly)(x k ) + O( ), k = 1,...,n 1. Důkaz. Označme p(x)y (x) = z(x). Funkce z má v a,b tř spojté dervace. Pak podle lemmatu., že pro všecna x a +, b platí Z Taylorova vzorce dostáváme y(x + ) = y z(x + ) z(x ) ( x ( 6 y x + ) 3 ( y(x) = y x + ) ( + y x + ) = z (x) + O( ). 8 + O(4 ), ) y ( x + 1 ( 6 y x + ) O(4 ). Odečtením drué rovnce od první dostáváme ( y(x + ) y(x) (.10) = y x + Stejným způsobem dokážeme, že (.11) y(x) y(x ) ) y + 1 y ) + 1 y ( x + ) 4 + ( x + ) 4 ( x + ) + O( 3 ) ( = y x ) + 1 ( 4 y x ) + O( 3 ). Nyní vynásobíme rovnc (.10) číslem p(x + )/, rovnc (.11) číslem p(x )/ a odečteme. Získaná rovnost nám umožní spočítat (L µ(y))(x) takto: (L µ(y))(x) = p(x + ) y(x + ) p(x + ) + p(x ) y(x)+ + p(x ) y(x ) + q(x)y(x) = p(x + )[y(x + ) y(x)] p(x )[y(x) y(x )] + q(x)y(x) = p(x + )y (x + ) p(x + ) p(x ) y (x ) + O( ) + q(x)y(x) = = z(x + ) z(x ) y (x + ) p(x )y (x ) + 4 [(p(x + )y (x + ) p(x )y (x ))] + O( ) + q(x)y(x).
21 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 1 Pro funkc g(x) = p(x)y (x) položme g(x + ) g(x ) = g (ξ ). Pak (L µ(y))(x) = z(x + ) z(x ) = z(x + ) z(x ) = z (x) + q(x)y(x) + O( ) = + 4 g (ξ ) + O( ) + q(x)y(x) = + O( ) + q(x)y(x) = = (p(x)y (x)) + q(x)y(x) + O( ) = (Ly)(x) + O( ). Jak vdíme, tak aproxmační vlastnost operátoru L jsou stejné jako tomu bylo u operátoru L (0). Řešení okrajové úloy (1.1), (1.) budeme tedy aproxmovat řešením soustavy lneárníc rovnc (.1) Tuto soustavu lze zapsat matcově l (1) µ = γ 1, (L µ) k = f (x k ), k = 1,...,n 1 l () µ = γ, (.13) Aµ = b, kde A = (A, j ) n, j=0. Nenulové členy matce A jsou: A 0,0 = α 1p(a) + β 1, A 0,1 = α 1p(a), A k,k 1 = p(x k ), A k,k = p(x k ) + p(x k + ) + q(x k ), A k,k+1 = p(x k + ), pro k = 1,...,n 1 A n,n 1 = α p(b), A n,n = α p(b) + β a b je stejné jako v rovnc (.8). Vynásobíme-l 0-tou a n-tou rovnc této soustavy vodným konstantam, bude matce soustavy symetrcká. Ukážeme s to na 0-tém řádku: Koefcent u µ 1 v 0-té rovnc je Koefcentu u µ 0 v první rovnc je A 0,1 = α 1p(a). A 1,0 = 1 p(x 1 )
22 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 13 Oba tyto koefcenty jsou záporné, proto vynásobíme-l rovnc l (1) µ = γ 1 konstantou dostaneme požadovanou rovnost. p(x 1 ) α 1 p(a),.3 Přesnost aproxmace dferencálnío operátoru a okrajovýc podmínek Lemma.8 (Prncp maxma). Nect funkce p a q jsou spojté a nect platí nerovnost (1.3) a (1.4). Dále mějme vektor η = (η 0,...,η n ) T, pro který platí Dále nect Pak (L η) k 0, k = 1,...,n 1. M = max k=0,...,n η k > 0. M = max(η 0,η n ) a pokud exstuje ndex k 0,0 < k 0 < n takový, že η k0 = M, pak q(x k ) = 0 a η k = M pro všecna k. Důkaz. Budeme předpokládat, že exstuje takový ndex k 0,1 k 0 n 1, pro který platí η k0 = M. Potom Proto 0 p(x k0 )η k [p(x k0 ) + p(x k 0 + ) + q(x k0 )]M p(x k0 + )η k 0 +1 q(x k0 )M 0. q(x k0 )M = 0. Vzledem k tomu, že M > 0, dostáváme q(x k0 ) = 0. Pokud by platlo η k0 1 < M nebo η k0 +1 < M, bylo by 0 p(x k0 )η k [p(x k0 ) + p(x k 0 + ) + q(x k0 )]M p(x k0 + )η k 0 +1 > > q(x k0 )M = 0, což je spor. Proto je η k0 1 = M = η k0 +1. Tuto úvau pro ndex k 0 zopakujeme dále pro ndexy k 0 1 a k a postupně dostaneme q(x k ) = 0, k = 1,...,n 1
23 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 14 a Tím je lemma dokázáno. η k = M, k = 0,...,n. Věta.9. Matce aproxmační soustavy (.13) je monotónní. Důkaz. Podle defnce 1.1 je potřeba ukázat, že pokud pak l (1) µ 0 (L µ) k 0, k = 1,...,n 1 l () µ 0, µ 0. Nect max k=0,...,n µ = M > 0, pak µ 0 = M nebo µ n = M. Bez újmy na obecnost můžeme předpokládat, že M = µ 0. Víme, že α 1 a β 1 jsou nezáporná a platí α 1 + β 1 > 0 a proto čl l (1) > 0, což je spor. α 1 p(a) µ 1 M }{{} } {{ 0 } 0 +β 1 M > 0, }{{} 0 Obrázek.: Posloupnost ndexů + 1, +,..., j 1 pro < j Předcozí větu lze dokázat jným způsobem a to pomocí Collatzova lemmatu 1.5. Uděláme to pouze pro případ, že α 1 > 0 a α > 0. Musíme s však dát pozor, protože matce A má sce kladné prvky na dagonále a ostatní prvky nekladné, ale nemusí být ostře dagonálně domnantní. Musíme tedy ověřt její reducblní dagonální domnanc. Podle lemmatu 1.4 je třídagonální matce reducblní, pokud její prvky a,+1 a a 1, jsou vesměs nenulové.
24 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 15 To proto, že je-l < j, najdu posloupnost ndexů + 1, +,..., j 1 takovou, že prvky a,+1 0,a +1,+ 0,...,a j 1, j 0 tvoří dagonálu nad lavní dagonálou, tak jak je tomu na obrázku.. Pokud > j, vezmeme posloupnost 1,,..., j + 1 a prvky a, 1 0,a 1, 0,...,a j+1, j 0 tvoří dagonálu pod lavní dagonálou. Čl v našem případě bude matce reducblní, pokud α 1 0 a α 0. Dagonální domnantnost matce se ověří následovně. Řádkové součty matce A jsou postupně β 1,q(x 1 ),...,q(x n 1 ),β, čl jsou všecny nezáporné. Je-l β 1 nebo β různá od 0, platí ostrá nerovnost v 0-tém nebo v n-tém řádku. Je-l β 1 = β = 0, pak q(x k ) nesmí být dentcky rovno 0 a ostrá nerovnost nastane v řádku, kde q(x k ) > 0. Věta.10. Soustava (.13) má právě jedno řešení pro každou pravou stranu. Důkaz. Matce soustavy je podle důsledku.9 monotónní, proto podle lemmatu 1. exstuje nverzní matce matce A 1 a µ = A 1 b. Ukážeme s, jak řešt soustavu (.13) numercky a odpovíme tak na otázku ze začátku této kaptoly. Protože A je třídagonální matce, tj. čtvercová matce, která má, s možnou výjmkou, na lavní dagonále a dagonálác nad ní a pod ní nenulové prvky a jnde nuly, budeme soustavu (.13) řešt pomocí metody LU-rozkladu, které je věnováno následující lemma. Lemma.11. Je-l matce A třídagonální a dagonálně domnantní s kladným prvky na lavní dagonále, pak exstuje dolní trojúelníková matce L a orní trojúelníková matce U tak, že A = LU. Důkaz. Je-l pak α 1 γ β α γ β 3 α 3 γ A = , β n 1 α n 1 γ n β n α n d 1 γ l d γ... 0 L = 0 l , U = d n 1 γ n l n d n Pokud je matce A dagonálně domnantní s kladným prvky na lavní dagonále, pak pro tuto matc exstuje jednoznačný LU rozklad, kde prvky matc L a U jsou určeny
25 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 16 následovně: d 1 = α 1, d = α γ 1β d 1, l = β d 1, =,...,n. Soustavu která je ekvvalentní se soustavou Aµ = b, LUµ = b, budeme řešt tak, že nejprve najdeme c, které je řešením soustavy Lc = b. Protože L je dolní trojúelníková matce, budeme řešení c ledat explctně y 1 = b 1, y = b l y 1, =,...,n. Potom µ je řešením soustavy Uµ = c. U je orní trojúelníková matce, čl řešení µ dostaneme následovně µ n = c n d n, µ = c γ µ +1 d, = n 1,...,1. Nyní s ukážeme, jak lze rozdíl mez přesným a přblžným řešením volbou dostatečně maléo udělat lbovolně malý. Nect y je řešení okrajové úloy (1.1) a (1.) a µ je řešení soustavy (.13). Označme η k = µ k y(x k ) a položme l (1) η = ε 0, (L η) k = ε k, k = 1,...,n 1, l () η = ε n. Velčny ε k se nazývají lokální cyby metody sítí. Říkají nám, jaké cyby jsme se dopustl, když jsme aproxmoval dferencální operátor operátorem konečnědmenzonálním. Pokud navíc budeme předpokládat dostatečnou ladkost funkcí p, q a f, bude podle vět.5,.7 exstovat konstanta M taková, že pro dostatečně malá platí ε 0 M, ε k M, k = 1,...,n 1, ε n M. Cyba η splňuje soustavu lneárníc rovnc (.1) s malou pravou stranou ε = (ε 0,...,ε n ). Nyní s ukážeme, že malá bude cyba η.
26 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 17 Věta.1. Nect jsou splněny předpoklady věty 1.1, p C 3 a,b, f,q C a,b. Dále nect µ k je přblžné řešení získané pomocí soustavy (.1) a y je řešením okrajové úloy (1.1) a (1.). Pak exstují konstanty M a 0 > 0 takové, že pro 0 0 platí µ k y(x k ) M, k = 0,...,n. Důkaz. Důkaz této věty je založen na nerovnost z lemmatu 1.3: Ax Ay mplkuje x y. Položme η = µ µ(y), kde µ je řešením Aµ = b a y je řešení dferencální rovnce. Rozepíšeme-l nyní Aη = Aµ Aµ(y) = b (b + O()) = O(), dostáváme exstenc konstanty K takové, že K Aη.. K Mějme funkc z, která je řešením dferencální okrajové úloy Potom podle věty.6 je (p(x)z ) + q(x)z = 1 α 1 p(a)z (a) + β 1 z(a) = 1, α p(b)z (b) + β z(b) = 1. Aµ(z) 1. = O(). 1 Po vynásobení číslem K dostaneme K A(Kµ(z)). = O( ). K Pro dostatečně malé, je a proto K K. A(Kµ(z)) <. K K K A(Kµ(z)).. K
27 Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 18 Tedy platí K Aη. A(Kµ(z)) K a aplkací lemmatu 1.3 dostaneme η Kµ(z). Položíme-l nyní Q = maxz, je a věta je dokázána. η KQ }{{} M
28 Kaptola 3 Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí Uvažujeme základní tvar parabolcké rovnce (3.1) u t = σ u x, σ > 0 pro neznámou funkc u proměnnýc x (0,1) a t (0,T ] s počáteční podmínkou a okrajovým podmínkam kde u(x,0) = θ(x), x [0,1] u(1,t) = Φ (1) (t), u(0,t) = Φ (0) (t), t [0,T ], θ(0) = Φ (0) (0), θ(1) = Φ (1) (0). Věta 3.1. Nect θ(x) je spojtá a dferencovatelná po částec a nect θ(0) = θ(1) = 0. Pak úloa u t = σ u x, u(x,0) = θ(x), u(1,t) = u(0,t) = 0 má právě jedno spojté řešení, které je nekonečně dferencovatelné v (0,1) (0,T ]. Důkaz předcozí věty můžeme nalézt ve třetí kaptole []. Pro stuac, kdy jsou okrajové podmínky nenulové, je formulace věty případný důkaz složtější, proto se jm nebudeme zabývat. 19
29 Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 0 Ukážeme s lavní myšlenky aproxmace této parcální dferencální rovnce pomocí metody sítí. Na obdélníkové množně Q = [0,1] [0,T ] budeme uvažovat sít mřížovýc bodů nezávslýc proměnnýc (x,t). Hledané řešení u naradíme jeo odnotam v mřížovýc bodec a dervace u naradíme dferencem. Zvolíme s časový krok τ = m T a prostorový krok = n 1. Sít tedy bude složena z přímek x = x a t = t j, kde x =, = 0,...,n a t j = jτ, j = 0,...,m, m,n N. Dále zavedeme značení Pak označme množny ndexů P = [0,1] {0} {0,1} [0,T ], Q = Q P. Q,τ = {(, j) N N,0 n,0 j m} = = {(, j) N N,(x,t j ) Q}, P,τ = {(, j) N N,(x,t j ) P}, Q,τ = Q,τ P,τ. Aproxmac ledanéo řešení v mřížovém bodě (x,t j ) označme jako µ j, t.j. µ j u(x,t j ). 3.1 Explctní metoda řešení 1. Narazení 1. dervace podle t: Časový krok je τ, proto t j = jτ. Aplkací lemmatu.1 dostáváme:. Narazení. dervace podle x: u t (x,t j 1 ) u(x,t j 1 + τ) u(x,t j 1 ) τ u t (x,t j 1 ) u(x,t j ) u(x,t j 1 ) τ u t (x,t j 1 ) µ j µ j 1. τ Prostorový krok je, tudíž x =. Aplkací lemmatu.3 dostáváme: u x (x,t j 1 ) u(x +1,t j 1 ) u(x,t j 1 ) + u(x 1,t j 1 ) u x (x,t j 1 ) µ j 1 +1 µ j 1 + µ j 1 1.
30 Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 1 Výše uvedené aproxmace dosadíme do rovnce (3.1) a pro bod (x,t j 1 ) dostáváme: (3.) µ j µ j 1 = σ τ µ j 1 +1 j 1 µ + µ j 1 1, = 1,...,n, j = 1,...,m. Nect u : Q R je ladká zadaná funkce. Defnujeme µ(u) : Q,τ R předpsem (µ(u)) j = u(x,t j ). Označme L (0) j,τ operátor, který matc µ = (µ ) j=0,...,m =0,...,n přřazuje matc L(0),τ µ = (L(0) pro (, j) Q,τ. Tento operátor je defnován předpsem,τ µ) j (L (0),τ µ) j = 1 τ [µ j µ j 1 ] σ j 1 [µ +1 j 1 µ + µ j 1 1 ], (, j) Q,τ. Podle lemmatu.1 a.3 pro každou dostatečně ladkou funkc u platí (L (0),τ µ(u)) j = (Lu)(x,t j ) + O(τ + ), (, j) Q,τ. Potom přblžné řešení µ j parabolcké rovnce (3.1) spolu s okrajovým a počáteční podmínkou budeme ledat pomocí soustavy (3.3) (L (0),τ µ) j = 0, = 1,...,n 1, j = 1,...,m, µ 0 = θ(x ), = 0,...,n, µ j 0 = Φ(0) (t j ), j = 1,...,m, µ n j = Φ (1) (t j ), j = 1,...,m. Předcozí záps lze zapsat matcově. Z rovnce (3.) vyjádříme µ j : µ j = σ τ µ j (1 σ k + σ k µ j 1 1 )µ j 1 a pomocí vektoru µ j 1 = (µ j 1 1, µ j 1,..., µ j 1 n 1 )T vyjádříme vektor µ j : kde µ j = Bµ j 1 + b j, 1 γ γ γ 1 γ γ γ 1 γ γ... 0 B = , γ = σ τ γ 1 γ γ γ 1 γ
31 Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí a γφ (0) (t j ) 0 b j = γφ (1) (t j ) Známe-l µ 0 můžeme postupně spočítat µ 1, µ,..., µ m. To znamená, že soustava (3.3) je pro přblžné řešení vždy jednoznačně řeštelná. Věta 3.. Nect řešení u parabolcké rovnce (3.1) spolu s počáteční a okrajovým podmínkam exstuje a má v Q dvě spojté dervace podle t a čtyř podle x. Dále nect µ j je řešení získané pomocí (3.3) a γ = σ τ 1. Pak budou exstovat konstanty M a 0 takové, že pro 0 a každý uzel (x,t j ) platí Důkaz. Mějme cybu Pak µ j u(x,t j ) M(τ + ). η j = µ j u(x,t j ). (L (0),τ η) j = (L(0),τ µ) j (L(0),τ µ(u)) j = 0 (Lu)(x,t j ) + O(τ + ) = = O(τ + ), = 1,...,n 1, j = 1,...,m. Označme Pak platí (L (0),τ η) j = ε j = O(τ + ) pro = 1,...,n 1, j = 1,...,m, η 0 = ε 0 = 0, = 1,...,n 1, η j 0 = ε j 0 = 0, j = 0,...,m, ηn j = εn j = 0, j = 0,...,m. η j η j 1 σ τ η j 1 +1 j 1 η + η j 1 1 = ε j, η j η j 1 τσ η j 1 +1 τσ η j 1 + τσ η j 1 1 = τε j, η j = γη j 1 j (1 γ)η + γη j τε j. Indukcí podle j budeme dokazovat (3.4) η j τ jk(τ + ). Pro j = 0 je η 0 = 0 a nerovnost (3.4) platí. Předpokládejme, že nerovnost (3.4) platí pro 0 j 1 a dokážeme, že platí pro j:
32 Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 3 Víme, že ε j = O(τ + ), proto ε j K(τ + ). Pak tedy platí η j = }{{} γ 0 η j (1 γ) }{{} 0 η j 1 + γ η j τ ε j γτ( j 1)K(τ + ) + (1 γ)τ( j 1)K(τ + )+ + γτ( j 1)K(τ + ) + τk(τ + ) = = τ( j 1)K(τ + ) + τk(τ + ) = τ jk(τ + ). Jelkož jsme dokázal platnost (3.4), bude určtě platt η j T K(τ + ). Nyní položíme M = T K a požadované tvrzení je dokázáno. 3. Implctní metoda řešení U explctní metody jsme dervac u t v uzlu (x,t j 1 ) narazoval podílem u(x,t j ) u(x,t j 1 ). τ Tímto podílem však můžeme naradt uvedenou dervac v uzlu (x,t j ) u t (x,t j ) u(x,t j τ) u(x,t j ) τ u t (x,t j ) u(x,t j ) u(x,t j 1 ) τ u t (x,t j ) u j u j 1. τ Pak rovnc (3.1) v uzlu (x,t j ) naradíme rovncí (3.5) u j u j 1 = σ u j +1 u j + u j 1 τ, = 1,...,n, j = 1,...,m. Označme L (1),τ operátor, který je defnován předpsem (L (1),τ µ) j = 1 τ [µ j µ j 1 ] σ [µ j +1 µ j + µ j 1 ], (, j) Q,τ. Opět podle lemmatu.1 a.3 bude pro každou dostatečně ladkou funkc u (L (1),τ µ(u)) j = (Lu)(x,t j ) + O(τ + ), (, j) Q,τ.
33 Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 4 Potom budeme přblžné řešení µ j ledat pomocí soustavy (3.6) (L (1),τ µ) j = 0, = 1,...,n 1, j = 1,...,m, µ 0 = θ(x ), = 0,...,n, µ j 0 = Φ(0) (t j ), j = 1,...,m, µ n j = Φ (1) (t j ), j = 1,...,m. Stejně jako u explctní metody, můžeme předcozí záps naradt matcově. Z rovnce (3.5) vyjádříme u j 1 : u j 1 = σ τ u j +1 + (1 σ τ )u j σ Pomocí vektoru µ j = (µ j 1, µ j,..., µ j n 1 ) vyjádříme vektor µ j 1 : kde µ j 1 = Cµ µ j b j, τ u j γ γ γ 1 + γ γ γ 1 + γ γ... 0 C = , γ = σ τ γ 1 + γ γ γ 1 + γ a b j je stejné jako u explctní metody. Věta 3.3. Soustava (3.6) má vždy právě jedno řešení. Důkaz. Ze soustavy (3.6) plyne, že µ 0 = θ(x ) a µ j splňuje soustavu µ j 1 = Cµ j b j Matce soustavy C je monotónní podle Collatzova lemmatu 1.5, proto podle lemmatu 1. exstuje nverzní matce C 1 a µ j 1 µ j = C 1 (µ µ j 1 + b j ). V prax však nebudeme počítat nverzní matc C 1, soustavu µ j 1 = Cµ j b j budeme řešt numercky, a to pomocí LU rozkladu, kde C = LU.
34 Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 5 Lemma 3.4 (Prncp maxma). Mějme funkc ξ j defnovanou na Q,τ, pro kterou platí Potom platí pro všecna (, j) Q,τ. (L (1),τ ξ ) j 0, (, j) Q,τ. ξ j max ξk l (k,l) P,τ Důkaz. Nect M = max (k,l) Q,τ ξ l k a nect (x,t j ),(, j) Q,τ, je uzel, pro který ξ j = M. Pro takovýto uzel platí nerovnost τ(l (1),τ ξ ) j j = (1 + γ)ξ γξ j 1 γξ j +1 ξ j 1 0. Pokud by některé ξ j 1,ξ j j 1 +1 nebo ξ bylo menší než M, bude τ(l (1),τ ξ ) j > (1 + γ)m γm γm M = 0, což je spor s předpokladem, a tedy ξ j +1 = ξ j 1 = ξ j 1 = M. Pokud budeme takovýmto způsobem pokračovat, nutně musíme dojít ke dvojc (k,l) P,τ a ξk l = M. Lemma 3.5. Nect η je řešením soustavy rovnc (L (1),τ η) j = ε j, = 1,...,n 1, j = 1,...,m, η 0 = ε 0 = 0, = 1,...,n 1, η j 0 = ε j 0 = 0, j = 0,...,m, ηn j = εn j = 0, j = 0,...,m. Položme ε = max (, j) Q,τ ε j. Pak exstuje konstanta N taková, že pro všecna (, j) Q,τ platí η j Nε. Důkaz. Defnujeme Potom r j = σ (1 ex 1 ) pro (, j) Q,τ. (L (1),τ r) j = 1 (ex 1 1 e x 1 + e x +1 1 ) = = e 1 (ex 1 e x + e x +1 ) = = e 1 (ex e x + e x + ) = = e 1 (ex e e x + e x e ) = = e 1 ex (e + e ).
35 Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 6 Předcozí rozvedeme podle Taylorova rozvoje Tedy Položíme e 1 e x 1 ( ! + 3 3! !! 3 3! + 4 4!...) = Cceme dokázat, že Platí =e 1 e x ( ) e 1. ξ j = ±η j + eεr j, (L (1),τ r) j e 1. = 0,...,n, j = 0,...,m. (L (1),τ ξ ) j 0. (L (1),τ ξ ) j = ±(L(1),τ η) j + eε(l(1),τ r) j = ±ε j + eε(l(1),τ r) j Aplkací lemmatu 3.4 dostaneme ξ j Protože eεr j 0, je max ξk l = (k,l) P,τ ±ε j eεe 1 = ±ε j ε 0. max (0 + eεrk l ) = (k,l) P,τ = max ( eε (k,l) P,τ σ (1 exk 1 )) = = max ( eε (k,l) P,τ σ (1 ex k e 1 )) = = max ( ε (k,l) P,τ σ (e ex k )) ε ±η j + eεr j Nε η j Nε. max (k,l) P,τ σ (e ex k ) = Nε. Věta 3.6. Nect řešení u parabolcké rovnce (3.1) spolu s počáteční a okrajovým podmínkam exstuje a má v Q dvě spojté dervace podle t a čtyř podle x. Dále nect µ j je přblžné řešení získané pomocí (3.6). Pak bude exstovat konstanta M taková, že pro a τ dostatečně malé platí µ j u(x,t j ) M(τ + ). Důkaz. Pro cybu η j = µ j u(x,t j )
36 Seznam použté lteratury 7 platí (L (1),τ η) j = (L(1),τ µ) j (L(1),τ µ(u)) j = 0 (Lu)(x,t j ) + O(τ + ) = = K(τ + ), = 1,...,n 1, j = 1,...,m. Zvolme K(τ + ) za ε z předcozío lemmatu. Pak η Fε = }{{} FK (τ + ). M 3.3 Aplkace na Blackovu-Scolesovu rovnc Metoda sítí se používá ve fnanční matematce pro aproxmac Blackovy-Scolesovy parcální dferencální rovnce. Pomocí této rovnce budeme oceňovat evropské typy dervátů. Pro tyto derváty sce exstují explctní vzorce řešení, ale použtím numerckýc metod dostaneme nformace o jejc přesnost. Tyto nformace pak použjeme tedy, když budeme numercké metody aplkovat na derváty, kde neznáme přesné řešení spočítané pomocí vzorců. Blackova-Scolesova rovnce pro neznámou funkc v proměnnýc (S,t) (0, ) (0, T ] je (3.7) V t + σ V S + (r D)S V S S rv = 0, kde S je rzkové aktvum a σ je volalta rzkovéo aktva, s počáteční podmínkou pro t = 0 a okrajovým podmínkam pro S = 0 a S =. Tuto rovnc cceme řešt metodou sítí. Ukážeme s, jak j převést na parabolckou rovnc. Zavedením nezávslýc proměnnýc x, ω a nové funkce u předpsem: kde u(x,ω) = x = ln(s/e), x (, ), ω = T t, ω (0,T ), V (S,t) Ee αx βω, α = r D σ 1, β = r + D převedeme (3.7) na parabolckou rovnc u ω = σ u x + σ 8 + (r D) σ, s odpovídajícím okrajovým podmínkam a počáteční podmínkou. Numercké řešení metodou sítí provádíme v oblast (x,ω) [ L,L] [0,T ] pro L dostatečně velké.
37 Seznam použté lteratury [1] ŠEVČOVIČ, Danel, Beáta STEHLÍKOVÁ a Karol MIKULA. Analytcké a numercké metódy oceňovana fnančnýc dervátov. 1. vyd. Bratslava: Nakladatel stvo STU, 009, 00 s. ISBN [] TICHONOV, SAMARSKIJ. Rovnce matematcké fyzky. 1. vyd. Praa: Nakladatelství ČSAV, [3] VITÁSEK, Eml. Základy teore numerckýc metod pro řešení dferencálníc rovnc. 1. vyd. Praa: Academa, 1994, 409 s. ISBN
38
Numerická matematika A
Numercká matematka A 5615 A1 Máme dánu soustava lneárních rovnc tvaru AX = B, kde 4 1 A = 1 4 1, B = 1 a Zapíšeme soustavu rovnc AX = B ve tvaru upravíme a následně (L + D + P X = B, DX = (L + P X + B,
Víceu (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo
Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)
VíceNumerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá
VíceLiteratura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí pro 2D úlohy. Possonova rovnce. Vlnová rovnce. Rovnce vedení tepla. Lteratura: Kaptola 5 ze skrpt Karel Rektorys: Matematka 43, ČVUT, Praha, 2. Text přednášky na
Více2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
VíceMaticová exponenciála a jiné maticové funkce
Matcová exponencála a jné matcové funkce Motvace: Jž víte, že řešením rovnce y = ay, jsou funkce y(t = c e at, tj exponencály Pro tuto funkc platí, že y(0 = c, tj konstanta c je počáteční podmínka v bodě
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceLiteratura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA
MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Bblografcký záznam
VíceDále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2
4 Markovovy řetězce se nazývá Markovův řetě- Defnce 7 Posloupnost celočíselných náhodných velčn {X n } zec (markovský řetězec), jestlže P(X n+ = j X n = n,, X 0 = 0 ) = P(X n+ = j X n = n ) (7) pro každé
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Víceα β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
Více1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.
. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme
VíceEnergie elektrického pole
Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálníc rovnic Mirko Navara ttp://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojovéo vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a ttp://mat.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.tml
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceStudijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.
Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VícePružnost a plasticita II
Pružnost a plastcta II 3 ročník bakalářského studa doc Ing Martn Kresa PhD Katedra stavební mechank Řešení pravoúhlých nosných stěn metodou sítí Statcké schéma nosné stěn q G υ (μ) h l d 3 wwwfastvsbcz
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceKapitola 9. Numerické derivování
Kapitola 9 Numerické derivování Definice: Existuje-li pro danou funkci f : R! R vlastní (tj konečná) limita říkáme, že funkce f(x) má v bodě a derivaci Příslušnou limitu značíme f 0 (a) f(a + ) f(a) lim!0
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
Více4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceLineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceBudeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
VíceDiferencovatelné funkce
Přednáška 5 Diferencovatelné funkce Jak jsme se zmínili v minulé přednášce, je lavní myšlenkou diferenciálnío počtu naradit danou funkci y = f) v okolí bodu a polynomem V této přednášce se budeme podrobně
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními
Více67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018
67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Přerov, 8.. března 08 MO . Ve společnosti lidí jsou některé dvojice spřátelené. Pro kladné celé číslo k 3 řekneme, že společnost je k-dobrá, pokud
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceMODELOVÁNÍ A SIMULACE
MODELOVÁNÍ A SIMULACE základní pojmy a postupy vytváření matematckých modelů na základě blancí prncp numerckého řešení dferencálních rovnc základy práce se smulačním jazykem PSI Základní pojmy matematcký
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceMnožinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ
Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá
VíceSIMULACE. Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10
SIMULACE numercké řešení dferencálních rovnc smulační program dentfkace modelu Numercké řešení obyčejných dferencálních rovnc krokové metody pro řešení lneárních dferencálních rovnc 1.řádu s počátečním
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
Více3 Základní modely reaktorů
3 Základní modely reaktorů Rovnce popsující chování reakční směs v reaktoru (v čase a prostoru) vycházejí z blančních rovnc pro hmotu, energ a hybnost. Blanc lze formulovat pro extenzvní velčnu B v obecném
VíceCvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
VíceDijkstrův algoritmus
Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceA u. jsou po řadě počáteční a koncové body úsečky; t je parametr:
1 Úvod Trangulace oblast má dnes využtí například v počítačové grafce nebo numercké matematce, kde základní algortmy pro výpočet parcálních dferencálních rovnc vyžadují rozdělení zadané souvslé oblast
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceASYMPTOTICKÉ VLASTNOSTI ODHADŮ S MINIMÁLNÍ KOLMOGOROVSKOU VZDÁLENOSTÍ
ASYMPTOTICKÉ VLASTNOSTI ODHADŮ S MINIMÁLNÍ KOLMOGOROVSKOU VZDÁLENOSTÍ Bc. Jtka Hanousková 1 Abstrakt: Příspěvek se zabývá postačujícím podmínkam pro konzstenc odhadů s mnmální Kolmogorovskou vzdáleností
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad 1 Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
Více8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule
Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
Více