Energie elektrického pole

Transkript

1 Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný náboj (zkušební má v tomto pol potencální energ. Tato energe tedy jednoznačně souvsí se zkušebním nábojem, je ovšem také zřejmým důsledkem exstence centrálního náboje, se kterým spojujeme pojem elektrckého pole. Podle příslušného matematckého vztahu je potencální energe jednoznačnou funkcí obou nábojů (vz dříve : pot 4 o q r Tento problém je v důsledku zákona akce a reakce zcela symetrcký, pojmy zkušební a centrální náboj je možno bez omezení zaměnt a pojem elektrckého pole může být spojen s oběma náboj. Můžeme tedy učnt dvojí závěr : energe (elektrckého náboje je jednoznačně a současně spojena s oběma elektrckým náboj (také s oběma tělesy, které jsou nostelé nábojů, a tato energe je v jednoznačném vztahu se vznklým elektrckým polem. Prozkoumáme-l nyní tento problém podrobněj, nalezneme několk velm užtečných vztahů a dojdeme k nečekanému výsledku, že pojem energe může být (formálně matematcky zcela odtržen od elektrckých nábojů, které jsou podle defnce jeho nostelem. Budeme logcky postupovat od nejjednodušší stuace k nejobecnější formulac : energe dvou bodových nábojů : Představme s dva bodové náboje v obecných polohách, tedy : první náboj v místě r druhý náboj v místě r Jsme vlastně zpátky v základní stuac, jako u Coulombova zákona, kdy žádný z nábojů není v počátku souřadnc a oba náboje jsou jnak označeny, jsou to tedy podmínky, za kterých jsme tento zákon zobecňoval. ebude nám proto jstě čnt potíže konstatovat, že náboj potencální energ o velkost : má v pol náboje pot 4 o r r

2 íme už také, že je to práce potřebná k přenesení náboje místa, tj. r samotný náboj náboj žádnou prác.. A můžeme s ještě navíc uvědomt, že ještě také umístt (z nějaké výchozí polohy do dané polohy z nekonečna do jeho současného, daného před tímto přenášením jsme napřed musel r, ale když tu přtom nebyl (byl ještě v nekonečnu, pak také neexstovaly žádné síly a př této akc jsme tedy nevykonal Uvedená energe je proto veškerou prací vykonanou př vytvoření této soustavy dvou nábojů a může tak být označena za energ soustavy. Př rozložení (rozebrání soustavy bude samozřejmě vykonána práce opačného znaménka, tedy původně vykonanou prác (na její vytvoření dostaneme zpátky. e specálním případě, kdy mez oběma náboj působí přtažlvé síly (tj. náboje musí být opačného znaménka - a stuac lze zobecnt na jakékolv přtažlvé síly gravtační, chemcké, jaderné,, se používá pojem vazební energe soustavy. Tento pojem je velm důležtý a stále aktuální, neboť př tzv. exoenergetckých, č exotermckých reakcích (znáte hlavně z cheme dostáváme část této energe jako teplo vystupující z reakční nádoby. ejdůležtější a nejaktuálnější je jstě jaderná energe, což je část vazební energe atomových jader, kterou lze získávat ve specfckých jaderných reakcích jako je (řetězová štěpná reakce, nebo termojaderná syntéza. raťme se k naší elektrostatcké potencální energ, jako prác potřebné k přenášení náboje. Jako důsledek zákona akce a reakce bude ovšem stejná práce vykonána z hledska druhého náboje, tzn. že potencální energe náboje v pol náboje, jako práce potřebná k přenesení náboje z nekonečna do jeho místa, je : pot 4 r o r r Energ soustavy obou nábojů mohu tedy formálně zapsat: pot ( Tento jstě matematcky správný záps je samozřejmě pro soustavu dvou nábojů nadbytečný, bude však zobecněn a dobře využt př řešení následujícího, komplkovanějšího případu.

3 energe soustavy více bodových nábojů : tomto případě tedy budeme mít větší počet bodových nábojů : první náboj v místě r druhý náboj v místě r třetí náboj 3 v místě r 3 poslední v místě r aposled získaný vzorec pro energ dvou nábojů nám nyní pomůže př výpočtu celkové energe všech nábojů tak, že vypočítáme energ lbovolné dvojce nábojů soustavy : j 4 r r j j Formálně j zapíšeme podle tohoto vzorce: j ( j j j A nyní sečteme tyto výrazy pro všechny dvojce nábojů, tj. pro všechny možné kombnace ndexů : všechny dvojce ( j j j ( j j ýše uvedenou úpravu s ověřte představou konkrétních sčítanců uvedených matematckých sum, jnak bylo ještě provedeno trvální vytknutí konstanty. Zákaz stejných ndexů je pak spojen s neexstencí výrazů,, 33,, které nemají smysl. Dosadíme konkrétní vztah pro energ dvou lbovolných nábojů j a využjeme komutatvnost matematckého součtu, tj. že sčítání můžeme provádět v lbovolném pořadí sčítanců : r r j r r j j o j ( j 4o j 4 j ( j 3

4 díme, že pouhým zavedením pořádku ve sčítání, kdy př konstantním prvním ndexu soustavně projdeme všechny hodnoty ndexu druhého, se dostáváme k velm zásadní úpravě vztahu pro energ. znklý výraz v závorce je totž součet potencálů všech nábojů (mmo v místě náboje a to r je potencál výsledného elektrostatckého pole celé soustavy nábojů v místě r (náboj v tomto místě, tj. vystupuje pouze jako zkušební náboj a proto nepatří do soustavy : r j ( j 4 o j r r j Pro energ soustavy nábojů tak dostáváme velm jednoduchý, a proto dobře použtelný vztah, ve kterém sce ještě nezmzely náboje, jak bylo slíbeno v úvodu tohoto odstavce, ale objevl se jž potencál jako základní velčna elektrostatckého pole : energe soustavy nábojů Dále bude následovat přechod od teoretcké soustavy bodových nábojů k reálné stuac, tj., k nabtým tělesům a plochám : 3 energe spojtě rozložených nábojů ve vakuu Tak jako v odstavc Zobecnění Coulombova zákona tzn. pro náboje spojtě rozložené v objemu (tělesa s objemovou hustotou - nahradíme bodové náboje soustavy dferencálně malým náboj v dferencálních objemech : d d A v tě těchto nekonečně malých výrazů přecházejí matematcké sumy na ntegrály, pro energ nábojů spojtě rozložených v objemu tedy vznkne výraz : d d energe nábojů v objemu A pro náboje spojtě rozložené na ploše s plošnou hustotou dostaneme analogcky: d energe nábojů na ploše 4

5 yní můžeme sestavt užtečný vztah pro energ nabtého tělesa : objemu povrchu d d energe tělesa A specálně pro nabté vodvé těleso, které má náboje pouze na povrchu, tj. má nulovou objemovou hustotu náboje : d d Konstantní potencál vodvého tělesa umožnl vytknutí a zbylý ntegrál má jasný smysl celkového náboje na povrchu tělesa, tj. celkového náboje celého tělesa : d Použjeme-l ještě známý vztah pro kapactu : C Dostaneme jednoduchý výsledek : C energe vodvého tělesa využtím tohoto vztahu vypočítáme ještě energe kondenzátoru. Kondenzátor tvoří vlastně dvě nabtá tělesa desky kondenzátoru : jedno těleso má náboj.. a potencál φ druhé těleso má náboj - a potencál φ Pak celková energe kondenzátoru je zřejmě součtem energí obou těles ( ( Použjeme-l ještě defnc napětí jako rozdílu potencálů a defnc kapacty kondenzátoru, dostaneme opět jednoduchý vztah, velm používaný v praktcké elektrotechnce : U CU energe kondenzátoru 5

6 4 energe spojtě rozložených nábojů v delektrku Prozkoumáme na závěr nejobecnější případ nábojů v (nekonečném delektrku, tj. volných nábojů spojtě rozložených s hustotou v nějakém (konečném objemu. Protože Coulombův zákon má v delektrku stejný tvar jako ve vakuu (pouze permtvta vakua je nahrazena permtvtou delektrka, má stejný tvar vztah pro energ : d První úpravou tohoto výrazu bude změna ntegračního oboru v ntegrálu. Protože objemová hustota nábojů je rovná nule mmo objemu (tak jsme j defnoval, vz obr., lze ntegrovat beze změny výsledku přes jakýkolv větší objem, až v tě nekonečný (poněkud nesprávně je označen stejným písmenem ntegrační obor objem, ve kterém jsou náboje : d Dále použjeme Gaussův zákon : dv D A dosadíme ho do ntegrálu za hustotu náboje : dv D d Funkc v ntegrálu upravíme pomocí matematckého vztahu : dv( D dv D D grad (zkontrolujte za D.cv. Po jeho dosazení vznknou ve vztahu pro energ dva objemové ntegrály : ( dv( D D grad d dv( D d D grad d 6

7 ejprve se budeme zabývat prvním výrazem. Objemový ntegrál přes nekonečný objem je možno počítat jako tu ntegrálů přes objemy konečné, které se budou zvětšovat (rozpínat nade všechny meze : dv( D d dv( D d a tvaru objemu nemůže jstě velkost ty závset, zvolíme proto ntegrační objem tvaru koule o poloměru (který tedy bude konvergovat do nekonečna tak, aby objem s náboj ležel v jeho středu. Protože kulový ntegrační objem je obklopený uzavřenou (kulovou plochou, můžeme použít Gaussovu větu matematky : dv( D d ( koule dv( D d D d.elkost této ty odhadneme následovně : d D E Objem s náboj se pro velm velký poloměr koule ( bude jevt jako bodový náboj velkost, který je ve středu ntegrační kulové plochy. Elektrcká ntenzta ndukce jsou pak na tuto plochu v každém místě kolmé, svírají tedy s vektorem plochy nulový úhel a v této tě můžeme také použít známé vztahy pro ntenztu a potencál bodového náboje : D E 4 7

8 4 Po dosazení máme : D d d ( d znklý ntegrál ovšem udává velkost kulové plochy, takže dostáváme : ( 4 d ( konst e vztahu pro energ je tedy různý od nuly pouze druhý ntegrál: D grad d Jestlže použjeme dříve odvozený vztah pro ntenztu : E grad Dostaneme konečně pro celkovou energ daných nábojů : D E d w d celková elektrostatcká energe Kde jsme funkc za ntegrálem, která má smysl energe obsažené v jednotce objemu v daném místě, označl jako novou fyzkální velčnu : w d d D E E hustota energe elektrostatckého pole znkl slíbený vztah pro elektrostatckou energ, ve kterém formálně zcela zmzely elektrcké náboje, které jsou ovšem podle základní defnce s touto energí nedílně spojeny potencální energe elektrckého náboje je přece schopnost tohoto náboje konat prác byla a je to jstě jedna z jeho základních vlastností. Tento vztah pak tedy můžeme nterpretovat jako energ celého elektrostatckého pole v prncpu až do nekonečna, které vytvořly dané elektrcké náboje. (sahajícího 8

9 Takto se vlastně dostáváme k pojetí energe jako vlastnost elektrostatckého (elektrckého pole, je to polní pojetí energe. Z matematckého vztahu pro hustotu vdíme, že elektrcké pole má energ v každém místě, kde je toto pole nenulové. Podstata pojmu energe se přtom nemění, je to stále schopnost (možnost, nyní elektrckého pole, konat prác aby se ale tato práce realzovala, musí být v daném místě náboje.. (a pak už je to jako dříve - schopnost nábojů. Toto pojetí energe je velm užtečné, zejména př použtí na obecné elektromagnetcké pole a na jev elektromagnetckého vlnění, ve kterém pozorujeme pohyb elektromagnetcké energe v prostoru (tak jako př každém druhu vlnění a proto defnujeme a v mnoha aplkacích úspěšně používáme velčny jako zářvý tok a ntenzta záření, což je v podstatě energe procházející obecnou č jednotkovou plochou za vteřnu, tj. vlastně výkon přenášený elektromagnetckým vlněním (konec kaptoly (K.usňák, /5 9