MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.

2 Bblografcký záznam Dvořáčková, Petra. Řetězové zlomky: dplomová práce. Brno: Masarykova unverzta, Fakulta pedagogcká, Katedra matematky, 04. Vedoucí práce doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Anotace Dplomová práce by měla sloužt především jako studjní materál vhodný nejen pro studenty matematky jako rozšřující učvo, ale pro zájemce o samostudum. Obsahuje řadu defnc, vět, důkazů a především řešených a neřešených příkladů. Práce je užtečná především pro studenty vysokých škol, ovšem může zaujmout žáky středních škol, kteří chtějí rozšířt své vědomost. Annotaton Ths thess should serve as a study materal not only for the students of mathematcs but for nterested person about self-study too. It ncludes the row of defntons, sentences, proofs and n the frst place the examples, some of them are solved and the other are outstandng. The work s usefull prmarly for stundents of the unverstes. But naturally t could angage attenton of the students of hgh school who wden your knowledge.

3 Prohlášení Prohlašuj, že jsem závěrečnou dplomovou prác vypracovala samostatně, s využtím pouze ctovaných lterárních pramenů, dalších nformací a zdrojů v souladu s Dscplnárním řádem pro studenty Pedagogcké fakulty Masarykovy unverzty a se zákonem č. /000 Sb., o právu autorském, o právech souvsejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpsů. Souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykově unverztě v Brně v knhovně Pedagogcké fakulty a zpřístupněna ke studjním účelům. V Brně dne Bc. Petra Dvořáčková

4 Poděkování: Především bych chtěla velce poděkovat doc. RNDr. Jaroslavu Beránkov, CSc. za vedení, trpělvost, cenné rady, přpomínky a návrhy k vypracování této dplomové práce.

5 Obsah Úvod Motvace Základní pojmy Rekurentní vzorce sblížených zlomků Výpočet neúplných podílů Vlastnost sblížených zlomků Nerovnost mez řetězovým zlomky Vsunuté zlomky Symetrcké řetězové zlomky Záporná raconální čísla Nekonečné řetězové zlomky Ryze perodcké řetězové zlomky Řetězové zlomky druhých mocnn Použtí řetězových zlomků Sbírka neřešených příkladů Závěr Lteratura Resumé... 70

6 Úvod Na zakončení svého magsterského studa na Pedagogcké fakultě, jsem s jako téma své dplomové práce vybrala Řetězové zlomky. Toto téma je sce dostatečně popsáno v různých knhách, ale cílem mé dplomové práce je zpracovat základní a důležté poznatky o této problematce tak, aby byly přístupné studentům a učtelům na školách. Obsahem je řada defnc, vět, důkazů a řešených neřešených příkladů, které pomohou čtenář přblížt řetězové zlomky, jejch vlastnost a využtí v prax. Řetězové zlomky jsou zajímavé především pro studenty vysokých škol, ale mohou zaujmout také nadané žáky středních škol, kteří mají zájem o prohloubení a rozšíření svých matematckých vědomostí, zejména z oblast teore čísel a děltelnost. I z tohoto důvodu obsah a především zpracování příkladů této práce odpovídá středoškolským znalostem a některých poznatků by bylo možné využít př řešení úloh z matematckých olympád. Jednotlvé kaptoly obsahují teoretcké část a řešené příklady, které usnadňují danou kaptolu lépe chápat. Práce je rozdělena do 3 kaptol, které se zabývají stručným přehledem teore, dále řetězovým zlomky raconálních a raconálních čísel a jejch využtím. V závěru práce je pak obsažena reflexe studentů na dané téma. 5

7 . Motvace Mnozí z nás se setkal s Pohádkam tsíce a jedné noc. Byla zde Šeherezáda, která se vyhnula popravě tím, že vyprávěla pohádky. Mohla vyprávět jen do té doby, než pokryla koberec, který s sama vybrala, hedvábným čtverc. Každý večer před vyprávěním pohádky musela vždy provést další krok pokrytí. V každém kroku vždy musela k pokrytí použít čtverec s maxmálním možným obsahem. Pokud se na koberec vešlo takových shodných čtverců více, musela je tam dát všechny. Za každý krok udělaný podle tohoto algortmu mohla Šeherezáda vyprávět jednu pohádku. Protože byla velce mazaná, vybrala s koberec, jehož poměr délky ku šířce bylo raconální číslo. Proč s právě vybrala tento koberec? Jaké poznatky a znalost Šeherezádu zachránly před popravou? Představte s koberec ve tvaru obdélníku o rozměrech 83 x 8, který musela pokrýt čtverc podle uvedeného algortmu. V prvním kroku ho pokryla dvěma čtverc o rozměrech 83 x 83. Zbývající obdélník 83 x 5 mohla pokrýt pět čtverc o rozměrech 5 x 5. Dále jí zůstal obdélník 8 x 5. Ten pokryla jedním čtvercem 8 x 8 a zbyl jí obdélník 7 x 8. Ten pokryla čtvercem 7 x 7. Zbývající obdélník 7 x pokryla sedm malým čtverc x. Počítejme: 8 83 = = = = = = = = = Hodnotě odpovídají první dva čtverce s rozměry 83 x 83. Hodnotě 5 odpovídá pět čtverců o rozměrech 5 x 5, hodnota odpovídá čtverc 8 x 5. Následující hodnota odpovídá čtverc o rozměrech 7 x 7 a poslední hodnota 7 odpovídá sedm čtvercům x. Sestrojl jsme konečný řetězový zlomek. Právě tento zlomek je řešením Šeherezádny volby. 6

8 . Základní pojmy Zpracováno podle publkace P.Víta (98, ) Řetězovým zlomkem budeme nazývat složený zlomek ve tvaru ( ) n kde,,. n є N. Pro předpokládáme є Z. Z toho vyplývá, že může být záporné číslo. Prozatím však budeme uvažovat jen є N 0. Případy, kdy < 0 se budeme zabývat pozděj. Čísla,,. n nazýváme prvky řetězového zlomku nebo neúplné podíly. Úpravam () dostáváme (pokud є N 0 ) kladné raconální číslo. Pozděj se ukáže, že je zlomek v základním tvaru, tedy p, jsou čísla nesoudělná. Záps řetězového zlomku můžeme najít v publkacích různě. Např.:... n e b o t a k é n... n Tyto zápsy nejsou však pro nás moc vhodné, proto budeme následně zapsovat řetězový zlomek ve tvaru : (,, n ), kde,,. n jsou neúplné podíly. Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN

9 Příklad : = = + = = (V tomto případě =0) Příklad : + = (V tomto případě =) = = = 5 57 Příklad 3: + = + = = + = = (V tomto případě =) = Řetězový zlomek z příkladu tedy zapíšeme (0,,4,5,), řetězový zlomek z příkladu zapíšeme (,,3,4,5) a řetězový zlomek z příkladu 3 zapíšeme (,,,,3,4). 8

10 Můžeme počítat naopak : Příklad 4: =? 54 = = = = 3 Z tohoto výpočtu sestavíme řetězový zlomek : = + Příklad 5: =? 638 = = = = 7 Z tohoto výpočtu sestavíme řetězový zlomek : = 5 + 9

11 Příklad 6: =? 73 = = = = 6 + = = = 3 Z tohoto výpočtu sestavíme řetězový zlomek : = + Takto provádíme výpočet neúplných podílů pomocí Eukldova algortmu, čímž se budeme podrobněj zabývat v kaptole 4 0

12 Hodnotu řetězového zlomku můžeme počítat také zepředu. Dostáváme tím postupně zlomky: = = P Q, + = + = P Q, + = + = () = P Q = p Zlomky,,, nazýváme sblížené zlomky řetězového zlomku (). Sblížený zlomek ( n) nazýváme -tým sblíženým zlomkem nebo zlomkem - tého řádu. Sblížený zlomek = nazýváme poslední sblížený zlomek. Nyní s uvedeme příklady na výpočet sblížených zlomků. Zadání příkladů použjeme jž z předešlé kaptoly.

13 Vypočítejme sblížené zlomky řetězových zlomků z příkladů,,3. Příklad 7 : Řešení příklad : P Q = 0 P Q = 0 + = P = 0 + Q + = P Q = = P = Q = Řešením příkladu je posloupnost 0,,,, Příklad 8: Řešení příkladu : 5 57 = (,,3,4,5) P Q = P Q = + = 3 P = + Q + = P Q = = 43 30

14 P Q = + + = Řešením příkladu je tedy posloupnost,,,, Příklad 9: Řešení příkladu 3: = (,,,,3,4) P Q = P Q = + = 3 P = + Q + = 8 3 P Q = + P Q = + P Q = = 9 7 = = Řešením příkladu 3 je posloupnost,3, 8 3, 9 7, 65 4, Vzorce () jsou pro rostoucí ndex nevýhodné a počítání s nm je přílš pracné. Jejch uvedení bylo vhodné pouze pro zavedení pojmu sblíženého zlomku. V dalším textu je nebudeme používat. Pro výpočet sblížených zlomků uvedeme jednoduché rekurentní vzorce. 3

15 3. Rekurentní vzorce sblížených zlomků Zpracováno podle publkací P.Víta (98, 3 ) a A.J.Chnčna (95, 4 ) V předešlé kaptole jsme se seznáml s pojmem sblíženého zlomku. Následující věta určuje čtatele a jmenovatele zlomků řetězového zlomku. Nultý přblžný zlomek se v řetězovém zlomku nevyskytuje. Věta : Pro čtatele P k a jmenovatele Q k řetězového zlomku (a,a, a n ) platí vztahy : P =, Q = P = +, Q =, Q = Q + Q, k 3 P = P + P, k 3 (3) První dva vztahy (pro P, P, Q, Q ) dostaneme z obecných vztahů: P = P + P, Q = Q + Q, jestlže v nch položíme P =, P = 0, Q = 0, Q =, pak pro k = dostáváme P =, Q = ; pro k = je pak P = P + P = +, Q = Q + Q =. Podle vzorců () platí : P Q t ed y P =, Q = P Q, t ed y P = +, Q = 3 Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN CHINČIN, A. J. Řetězové zlomky [Chnčn, 95] : Cepnyje drob (Org.).. vyd. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, s 4

16 5 Pro k3 pro ved e me dů kaz mat e mat cko u nduk c í Q P t j. P 3 = 3 ( + ) = 3 P + P, Q 3 = 3 Q + Q, pro k=3 vzo r ce ( 3) p lat í. Předpokládejme, že ( 3) platí pro 3, ted y ( 4) a dokážeme, že platí pro +. Pro větší názornost budeme zlomky zapsovat ve tvaru () Q P 3... Q P Sblížený zlomek tedy dostaneme ze sblíženého zlomku, jestlže v něm prvek nahradíme součtem +. Tímto součnem nyní nahradíme ve (4) a dostaneme vyjádření zlomku. Q Q P P Q P

17 6 Q P = Q Q P P Q P = Q Q Q P P P Q P = Q ) Q Q ( P ) P P ( Do výrazů v závorce dosadíme z ( 4) a pro P a Q dostáváme: P ) P P ( P ) ( Q Q Q Q Výpočet s ukážeme na konkrétních příkladech. Hodnoty sblížených zlomků získané ze vzorců zapsujeme pro větší přehlednost do tabulky: k n - n P P P k - P k - P k P n - a Q 0 Q Q k - Q k - Q k Q n - b První řádek z této tabulky obsahuje prvky řetězového zlomku, tj.,, 3, n. Druhý řádek obsahuje čtatele a třetí jmenovatele sblíženého zlomku. První neúplný podíl je vždy nutné vypočítat prostým dělením čísel, pak lze vyplnt první dva sloupce. Dále se tabulka vyplňuje podle vzorců z (3).

18 Příklad 0 : Vypočítejme sblížené zlomky řetězového zlomku (0,,4,3,) P Q Z tabulky nám vychází sblížené zlomky : = 0, =, =, =, = Příklad : Vypočítejme sblížené zlomky řetězového zlomku (0,,4,6,8) P Q Z tabulky nám vychází sblížené zlomky: = 0, =, =, =, = Příklad : Vypočítejme sblížené zlomky řetězového zlomku (,,3,,). - 3 P Q Z tabulky nám vychází sblížené zlomky: =, =, =, =, = 7

19 Příklad 3 : Vypočítejme sblížené zlomky řetězového zlomku (,5,3,4,,) P Q Z tabulky nám vychází sblížené zlomky: =, =, =, =, =, = 8

20 4. Výpočet neúplných podílů Zpracováno podle publkací A.J.Chnčna (95, 5 ) a I.M.Vnogradova (953, 6 ) Výpočet neúplných podílů řetězového zlomku, tj. čísel,,. n můžeme provádět dvěma způsoby: ) Obecný postup pro výpočet čísel,,. n Př výpočtu použjeme pojmu celá a zlomková část čísla. Každé reálné číslo a můžeme vyjádřt ve tvaru a = [a] + {a}, kde [a] ε Z, [a] se nazývá celá část čísla a. Pro číslo {a} platí : 0 {a} a nazývá se zlomková část čísla a. Nechť je dáno kladné raconální číslo a. Položme = [a], a = {}. Pak zřejmě platí a = a +, a =... kde a >, a Q. Odtud plyne a =. Celý postup opakujeme pro a. Tedy = [a ] =, a = { }. Pak platí a = +, kde a >, a Q. Z tohoto vztahu dostáváme a = a dále stejným způsobem defnujeme čísla, a,, a,, a. Jakmle je některé a celé číslo, pak = a je poslední prvek řetězového zlomku a postup se zastaví. Tento způsob výpočtu však nezaručí, zda výpočet skončí. Nemůže totž určt, jestl některé z čísel a, a, a je skutečně celé číslo. Pro lepší představu a názornost s uvedeme několk příkladů, které budeme řešt tímto prvním postupem. 5 CHINČIN, A. J. Řetězové zlomky [Chnčn, 95] : Cepnyje drob (Org.).. vyd. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, s 6 Vnogradov I. M.: Základy theore čísel. Nakladatelství Československé akademe věd, Praha,

21 Vypočítejme tímto obecným postupem čísla,,. n Příklad 4: = = 4; = 4 + ; 70 a 39 4 = ; a a = 39 4 = = ; 4 4 = + ; 39 a 4 = ; a a = 4 = 4 4 = ; = + ; 4 a = ; a a = 3 = = 3; 3 3 = 3 + ; a 3 3 = ; a a = 3 = 3 = ; 3 = + a ; 3 = a ; a = = = Dostáváme tedy = (4,,,3,,). Příklad 5: = = ; 6 6 = + ; 568 a 6 = ; a a = 6 = 6 6 = ; = + ; 6 a = ; a a = 4 = = 5; 4 4 = 5 + ; a 4 5 = ; a a = 4 = = Dostáváme tedy = (,,5,). 0

22 Příklad 6: = = 0; = 0 + ; 64 a 35 0 = ; a a = = = ; = + ; 35 a 64 = ; a a = 64 6 = = 4; 6 6 = 4 + ; 64 a 6 4 = ; a a = 6 0 = 6 6 = 3; 0 0 = 3 + ; 6 a 0 3 = ; a a = 0 = 0 = 0 Dostáváme tedy = (0,,4,3,0). Dále s uvedeme druhý postup, který jsme vlastně používal jž v druhé kaptole na výpočet řetězových zlomků: ) Výpočet pomocí Eukldova algortmu Věta: Nechť je lbovolný raconální zlomek v základním tvaru a platí 0. Pak neúplné podíly,,,, vyskytující se v řetězovém zlomku, jsou totožné s neúplným podíly postupných dělení Eukldova algortmu př výpočtu NSD. Uvedeme s pouze jeden příklad, další příklady není třeba uvádět, řešíme je jž v kaptole.

23 Příklad 7: Vypočítejme pomocí Eukldova algortmu neúplné podíly čísla =? 53 = = = = = = Z tohoto výpočtu sestavíme řetězový zlomek : = (0,,,,3,5). Důkaz: Z Eukldova algortmu je : p = + r p = + r ( a ) = r + r = + r r r ( b ) r = r 3 + r 3 r r = 3 + r r 3 ( c )... r n - 3 = r n - n - + r n - r r n n = n - + r r n n - - r n - = r n - n r r n n - - = n Všmneme-l s pouze rovností pravých, pak po dosazení z (b) do (a), z (c) do (b) atd. Skutečně tedy dostáváme: = +

24 5. Vlastnost sblížených zlomků Zpracováno podle publkací A.J.Chnčna (95, 7 ), P.Víta (98, 8 ) a I.M.Vnogradova (953, 9 ) Vyšetřujeme vlastnost posloupnost sblížených zlomků řetězového zlomku kladného raconálního čísla. Vezměme s například posloupnost 0,,,,, sblížených zlomků řetězového zlomku. Utvořme rozdíly ; atd., obecně tedy můžeme napsat, kde k (a v daném případě je k 6): P Q P Q = 0 = = Q Q, P Q P Q = 3 = 6 = Q Q, P Q P Q = = 4 = Q Q, P Q P Q = = 88 = Q Q, P Q P Q = 30 4 = 330 = Q Q. Z tohoto příkladu vdíme, že platí: P Q P Q = ± Q Q Pozn.: se znaménkem + pro sudá k, se znaménkem " pro lchá k. 7 CHINČIN, A. J. Řetězové zlomky [Chnčn, 95] : Cepnyje drob (Org.).. vyd. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, s 8 Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN Vnogradov I. M.: Základy theore čísel. Nakladatelství Československé akademe věd, Praha,

25 Věta : Pro rozdíl dvou sousedních sblížených zlomků kladného raconálního čísla platí: P Q P Q = ( ) Q Q, k n Po úpravě (odstranění zlomku) dostáváme vztah: P Q P Q = ( ) (5) Důkaz: Provedeme důkaz tohoto vztahu. Především dokážeme, že platí pro k =, a to dosazením známých hodnot P =, P = +, Q =, Q = : ( + ) = = ( ) Označme rozdíl na levé straně (5) symbolem. Je zřejmě =. Do (5) dosadíme za P, Q ze vzorců (3) v kaptole Rekurentní vzorce sblížených zlomků. Dostáváme: = ( P + P )Q P ( Q + Q ) = (P Q P Q ) = Je tedy = a opakováním téhož postupu dostaneme rovnost: = P Q P Q = ( ) Ze vzorce (5) plyne tvrzení o nesoudělnost čísel P, Q : Největší společný děltel čísel totž musí dělt pravou stranu rovnost (5), tj. číslo ±, je tedy největším společným děltelem čísel P, Q a je zlomek v základním tvaru. Na posloupnost sblížených zlomků 0,,,,, ze začátku této kaptoly s ukážeme další vlastnost sblížených zlomků. Jde o posloupnost sblížených zlomků řetězového zlomku. 4

26 Platí: P = 0 < Q 30 P = Q > 30 P = Q 3 < 30 Vdíme, že hodnoty sblížených zlomků jsou střídavě menší a vetší než hodnota daného raconálního čísla, až ovšem na poslední sblížený zlomek, pro který platí rovnost. Přtom menší hodnoty mají sblížené zlomky lchého řádu,,, větší hodnoty sblížené zlomky sudého řádu,. P = 3 Q 8 > 30 P = 4 Q < 30 P = Q 30 Věta 3: Sblížené zlomky lchého řádu,,, kladného raconálního čísla tvoří rostoucí posloupnost, sblížené zlomky sudého řádu,,, klesající posloupnost. Důkaz: K důkazu potřebujeme vzorec P Q P Q = ( ), k 3. (6) Jestlže dosadíme za P, Q ze vzorců (3) z předešlé kaptoly, dostáváme: P ( Q + Q ) ( P + P )Q = je převzato z důkazu předešlé věty: je = ( ), což dokazuje vzorec (6). Vydělíme-l (6) číslem Q Q, které je ovšem kladné, dostáváme P Q P Q = ( ) Q Q Tedy pro sudé k je >0 pro k 3 a pro sblížené zlomky sudého řádu je <, tvoří tedy klesající posloupnost. Pro lché k je však >, tj. sblížené zlomky lchého řádu tvoří rostoucí posloupnost. 5

27 Z této věty vyplývá, že platí: < < < < < č < (7) (Sblížené zlomky lchého řádu řetězového zlomku kladného raconálního čísla jsou vesměs menší než, sblížené zlomky sudého řádu jsou vesměs větší. Toto tvrzení se netýká posledního sblíženého zlomku). Příklad 8: Porovnejme sblížené zlomky 0,,,,, řetězového zlomku číslo =. Řešení: = 0 < P = Q > 3 63 P = Q 4 < 3 63 P = 3 Q 8 > 3 63 P = Q 3 < 3 63 P = 3 Q 63 Řešení ukazuje pravdvost (7). 6

28 Věta 4: Pro každé k ( pro k = n) platí, že hodnota zlomku je blíže hodnotě sblíženého zlomku než hodnotě zlomku, tj.platí: < Důkaz: Mějme řetězový zlomek (,,,,,, ) a označme písmenem r jeho zbytek: r = (,, ). Zapíšeme tedy: (,,,, r) (8) Raconální číslo, které je vyjádřeno (8) zapíšeme takto: p = rp + P rq + Q Tedy: p rq + p Q = rp + P, p rq rp = P p Q, rq p P Q = Q P Q p. Pro r >, Q > Q odtud dostáváme < =. Důsledek: Z toho, že leží mez dvěma po sobě jdoucím sblíženým zlomky, řekněme a plyne < což nám dává p P k <. Tento Q k vzorec platí pro k < n. Uvědomíme-l s, že Q > Q, dostáváme vzorec: který platí pro k = n. < (9) 7

29 Tento vzorec (9) udává horní mez rozdílu (0) Výraz (0) je absolutní chyba aproxmace sblíženým zlomkem. Rozdíl je chyba aproxmace sblíženým zlomkem. Věta 5: Hodnota sblíženého zlomku se méně lší od hodnoty než hodnota kterékol jného zlomku, pro jehož jmenovatele platí y < Q, tj. platí nerovnost: - pokud je y < Q. p P Q < p x y Důkaz: Důkaz provedeme sporem. Je dán zlomek, který vyhovuje podmínkám věty. Zlomek je blíže zlomku než zlomek a zlomek je blíže zlomku než zlomek. Dále pak je zlomek blíže zlomku než zlomek. Protože dále leží mez a, platí: x y P Q < P Q P Q. Odtud s použtím první věty z této kaptoly plyne: Z y < Q plyne yq < Q Q, a tedy: xq yp <. yq Q Q xq yp <. Protože x, y, P, Q jsou celá čísla, je výraz v absolutní hodnotě celé číslo, ale to je možné jen tak, že xq yp = 0, =. To je však hledaný spor, protože sblížený zlomek by se podle toho měl méně lšt od zlomku než sblížený zlomek, zatímco podle předešlých vět se lší více. 8

30 Věta 6: Zlomek se nazývá nejlepším přblížením zlomku, jestlže kterýkol jný zlomek, který leží blíže nebo stejně blízko zlomku, má většího jmenovatele. Pokud je tento zlomek, pak slova leží blíže nebo stejně blízko znamenají následující: p P Q p x pro y > Q. y Podle věty 5 v této kaptole jsou tedy sblížené zlomky řetězového zlomku čísla nejlepším přblížením zlomku. Toto tvrzení platí pro sblížené zlomky,,, ale nemusí platt pro. Příklad 9: Zvolme s tak, aby =. Řešení: p = 39 = (,,3,,) Sestavíme tabulku: 3 P Q 4 9 Sblížené zlomky:,,,, Sblížené zlomky,,, jsou nejlepším přblížením zlomku. Dokážeme s předešlé tvrzení, které uvádí, že není nejlepším přblížením, když = platí. 9

31 Důkaz: P Q P Q P p není nejlepším přblížením zlomku. Q 30

32 6. Nerovnost mez řetězovým zlomky Zpracováno podle publkace P.Víta(98, 0 ) V případě, kdy chceme porovnat řetězové zlomky, zvolíme jednoduchý způsob: převedení řetězových zlomků na raconální čísla. Řešení s ukážeme na příkladech: Příklad 0: Porovnejme řetězové zlomky (,3,4,,) a (0,5,3,,). Řešení: Převedeme na raconální čísla: (,3,4,,) : + (0,5,3,,) : 0 + = + = = + = + = = = = > z toho plyne (,3,4,,) > (0,5,3,,). Příklad : Porovnejme řetězové zlomky (,,3,3,) a (,,3,3,3). Pozn. Na první pohled by se zdálo, že druhý zlomek je větší. Vzhledem k tomu, že první 4 členy jsou stejné a poslední člen je u druhého větší. Řešení: Převedeme na raconální čísla: (,,3,3,) : + (,,3,3,3) : + = + = + = + = + = + = + = + = = > z toho plyne (,,3,3,) > (,,3,3,3) 0 Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN

33 Věta 7: Jsou-l raconální čísla a,b dána ve tvaru řetězových zlomků a = (,,, ), b = (,,,,,, ). Pak platí a > b, je-l k sudé, a < b, je-l k lché. Důkaz: Označme zbytky řetězového zlomku čísla a postupně r, r, r,, r. r = ( ) =, r = (, ), r = (,, ),.. r = a. Podobně zbytky řetězového zlomku čísla b označme S, S, S,, S. Je S = (,, ) S = (,,, ), S = (,,, ),.. S = b Především je S = (,, ) > = r. Dále platí: r = +, s = +. Protože podle hořejšího je r < s a r, s jsou kladná čísla, je >, a tedy r > S. Dále platí: r = + r, S je r < S., S = + a vzhledem k nerovnost mez 3

34 Postup lze opakovat tak dlouho, až skončíme nerovností mez r, s, tj. mez a,b. Dostáváme posloupnost nerovností, v níž se střídají znaky <, >: r < s, r > s, r < s,.. a = r <> s = b. Počet těchto nerovností je k. Proto pro lché k bude poslední v nerovnost znak <, pro sudé k znak >. Věta 8: Nechť jsou dány dva řetězové zlomky, pak platí následující tvrzení: - Nejsou-l zlomky dentcké, pak s nejsou rovny - Označíme-l a = (,,, ), b = (,,,,,, ), pak pro >, platí a > b, pro <, platí a < b. - Nechť =,, =,,, =,,. Je-l k sudé, pak pro >, a pro <, je a < b. Je-l k lché, platí naopak, že pro > je a > b je, a < b a pro < je a > b. Příklad : Pomocí věty 8 rozhodněme o nerovnostech mez zlomky: ( 4,, 3, 5 ) > (, 4, 4,5 ) ( = 4 > = ) (,4,,5) (,5,,5) ( k lché, k + =4 5= k +, a b) (, 4, 4,, ) > (, 4, 4, 3, 4 ) ( k lché, k+ = < 3 = k+ ) (, 6, 3, 5, 7, ) < (, 6, 5, 5, 7, ) (k sudé, k+ = 3 < 5 = k+ ) ( 5, 4, 8, 3, 4) > ( 5, 4, 8, 5, 4) (k lché, k+ = 3 < 5 = k+ ) (,, 5,, 4 ) = (,, 5,, 4 ) ( zlomky jsou dentcké ) 33

35 7. Vsunuté zlomky Zpracováno podle publkací P.Víta (98, ) a A.J.Chnčna (95, ) Nechť, jsou dva po sobě jdoucí sblížené zlomky řetězového zlomku (,, ). Utvoříme posloupnost zlomků: P Q, P + P Q + Q, P + P Q + Q, 3P + P 3Q + Q,, cp + P cq + Q,, ( )P + P ( )Q + Q, P + P Q + Q = P Q První a poslední člen této posloupnost jsou sblížené zlomky,. Žádný jný člen však není sblížený zlomek. Jsou to většnou zlomky tvaru:, () kde c N splňuje nerovnost: c Právě těmto zlomkům říkáme vsunuté zlomky. Je zřejmé, že zlomky dostaneme pro >. Pro hodnotu = vsunuté zlomky neexstují. Vsunutý zlomek () je právě tehdy nejlepším přblížením, jestlže c > nebo jestlže c = a přtom platí (,,, ) > (,,, ). Pro c < není vsunutý zlomek () nejlepším přblížením. Defnce vsunutých zlomků má smysl pro k=0, což př výpočtu vsunutých zlomků vyžaduje, abychom pracoval se sblíženým zlomkem nultého řádu, tj.: Zlomek nultého řádu s tedy defnujeme takto: P =, Q = 0. Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN CHINČIN, A. J. Řetězové zlomky [Chnčn, 95] : Cepnyje drob (Org.).. vyd. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, s 34

36 Příklad 3: Vypočítejme prvních šest sblížených zlomků čísla 5. Určete k nm zlomky vsunuté a rozhodněte, které z nch mají vlastnost nejlepšího přblížení. Řešení: 5 =,3606 Číslo 5 nejprve zapíšeme řetězovým zlomkem: =,3606 = + a ;,3606 = a ; a = 4,36 = 4,36 = 4 + a ; 4,36 4 = a ; a = 4,337 = 4,337 = 4 + a ; 4,337 4 = a ; a = 4,789 = 4,789 = 4 + a ; 4,789 4 = a ; a = 3,5855 = 3,5855 = 3 + a ; 3, = a ; a =,7079 =,7079 = + a ;,7079 = a ; a =,46 5 = (,4,4,4,3,, ) Spočítáme sblížené zlomky: P Q = P Q = + 4 = 9 4 P = + Q 4 + = P Q = =

37 P Q = + P Q = = = Sblížené zlomky tedy jsou: 9,, ,, 7 7 5, 33 68, 305 Podle předešlé věty jsou vsunuté zlomky tvaru cp cq k k Pk Q k, kde pro c platí: c k+ -, c N. Spočítáme vsunuté zlomky mez nultým a prvním sblíženým zlomkem, tj. pro hodnoty P 0 =, Q 0 = 0, P =, Q =. Dosadíme do vztahu a získáme tento vsunutý zlomek c, c tj. c 3. Tento vsunutý zlomek není nejlepším přblížením, protože c < k+ ( < 4 ). Další vsunuté zlomky získáme pro c =, c = 3: c 5 *, c tj., tento vsunutý zlomek také není nejlepším přblížením, protože c = c k+ ale ( 4 ) < ( 4, 4, ) c 7 *, c 3 tj., tento vsunutý zlomek je nejlepším přblížením, protože c 3 c > k+ ( 6 > 4 ). Pro hodnotu k = získáme: P =, Q =, P = 9, Q = 4. Vsunuté zlomky jsou následujících hodnot. 9c *, c 4c tj., tento vsunutý zlomek není nejlepším přblížením, protože 5 c < k+ ( < 4 ). 36

38 9c *, c 4c 0 tj. 9, tento vsunutý zlomek je nejlepším přblížením, protože c = k+ ale ( 4, 4 ) ( 4, 4, 3, ). 9c *, c 3 4c ( 6 > 4 ). 9 tj. 3, tento vsunutý zlomek je nejlepším přblížením, protože c > k+ Pro hodnotu k = získáme: P = 9, Q = 4, P 3 = 38, Q 3 = 7. Vsunuté zlomky jsou následujících hodnot. 38c 9 *, c 7c 4 47 tj., tento vsunutý zlomek není nejlepším přblížením, protože c < k+ ( < 4 ). 38c 9 *, c 7c 4 85 tj. 38, tento vsunutý zlomek je nejlepším přblížením, protože c = k+ ale ( 4, 4, 4 ) ( 4, 3,, ). 38c 9 *, c 3 7c 4 3 tj. 55, tento vsunutý zlomek je nejlepším přblížením, protože c > k+ ( 6 > 4 ). Pro hodnotu k = 3 získáme: P 3 = 38, Q 3 = 7, P 4 = 6, Q 4 = 7. Vsunuté zlomky jsou následujících hodnot. 6c 38 *, c 7c 7 99 tj. 89, tento vsunutý zlomek není nejlepším přblížením, protože c < k+ ( < 3 ). 6c 38 *, c 7c tj. 6, tento vsunutý zlomek je nejlepším přblížením, protože c > k+ ( 4 > 3 ). Pro hodnotu k = 4 získáme: P 4 = 6, Q 4 = 7, P 5 = 5, Q 5 = 33. Pro tyto hodnoty vsunuté zlomky neexstují, protože k+ =. 37

39 8. Symetrcké řetězové zlomky Zpracováno podle publkace P.Víta (98, 3 ) Jako první bychom se měl seznámt s pojmem nverzní řetězový zlomek. Jak už název napovídá: K řetězovému zlomku (,,4,3,) je nverzní řetězový zlomek (,3,4,,) a obráceně. Příklad 3: Vypočítej řetězové zlomky (,,4,3,) a (,3,4,,). Řešení: 4 3 P Q (,,4,3,) = P = 97 Q P Q (,3,4,,) = P = 97 P 67 Pozn. Čísla P, P jsou čtatelé sblížených zlomků nverzního řetězového zlomku (,,4,3,). 3 Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN

40 Tento příklad lustruje následující větu: Věta 9: Nechť je (,,, ) = a nechť P je čtatel předposledního sblíženého zlomku. Řetězový zlomek (,,, ) nazýváme nverzním k řetězovému zlomku (,,, ) a platí (,,, ) =. Důkaz: Sestavme posloupnost rovností pro čísla P, počínajíc P : P =, P = + = P +, P = P + P Odtud: P = P + P. P P = + P = + = (, ), Tím je věta dokázána. P P = + P P = (,, ), P = P + = ( P,,, ). P Jsou-l s oba nverzní řetězové zlomky rovny, je =, =,. Mohou nastat dva případy. 39

41 Řetězový zlomek (,,,,, ) () má sudý počet prvků m. Řetězový zlomek má lchý počet prvků m +. (,,,,,, ) (3) Řetězový zlomek tvaru () nebo (3) se nazývá symetrcký řetězový zlomek. Věta 0: Budž zlomek v základním tvaru, p > > (p, N). Potom lze vyjádřt řetězovým zlomkem, který je symetrcký a má sudý počet prvků n = m právě tehdy, když p +. Důkaz má dvě část: a) Je dán zlomek v základním tvaru a nechť jeho řetězový zlomek je symetrcký o sudém počtu prvků n = m: p = (,,,,, ). Protože je tento řetězový zlomek roven svému nverznímu řetězovému zlomku, platí Q = P. Je ovšem p = P, = Q. Ze vztahu (5) z kaptoly Vlastnost sblížených zlomků plyne pro sudé n: P Q P Q = Dosadíme za P, Q, P a dostáváme: pq = +, tedy p +. b) Nechť nyní máme p +, tj. exstuje t Z tak, že je + = pt. Řetězový zlomek číslo je roven (,,, ) =. 40

42 Nyní využjeme poznatků z první kaptoly: Rovnost (,,, ) = (,, ) lze využít k tomu, abychom podle potřeby zvoll v řetězovém zlomku kteréhokol kladného raconálního čísla za počet prvků buď číslo sudé, nebo číslo lché. Zvolme v našem řetězovém zlomku čísla za počet prvků n sudé číslo, takže je ( ) =. Platí stejně jako v první část důkazu: P Q P Q =. Je tedy p = P, = Q a podle předpokladu věty P > Q, tj. exstuje t Z tak, že: P t = Q + Q + = P t. Jestlže k této rovnost přpojíme Q P + = P Q a obě rovnost odečteme dostaneme: což znamená, že P Q (Q P ). Q (Q P ) = P (t Q ), Protože však čísla P, Q jsou nesoudělná, je P Q P. Je však P > Q P ; jedné číslo, které je děltelné větším číslem, je nula. Musí proto být Q P = 0, tj. Q = P. Platí tedy rovnost =, =, to značí, že řetězový zlomek čísla je symetrcký, a to se sudým počtem prvků n = m, tj. je to řetězový zlomek (,,,,, ). Tím je důkaz hotový. 4

43 9. Záporná raconální čísla Zpracováno podle publkací P.Víta (98, 4 ) a A.J.Chnčna (95, 5 ) Uveďme s příklad, kdy hledáme řetězový zlomek záporného raconálního čísla, tedy chceme, aby bylo,,, N. Toho lze dosáhnout tak, že bude záporné celé číslo. Použjeme celé hodnoty záporného raconálního čísla. Lze vypočítat dvěma způsoby: ) Výpočet použtím celé část čísla: a = [a] + a a = + a a pro a < 0 je < 0, a > 0, tj.,., N. ) Pomocí Eukldova algortmu ukážeme s na př.4. Příklad 4: Určeme řetězový zlomek čísla a určeme jeho sblížené zlomky. Řešení: a) Vypočítáme pomocí Eukldova algortmu neúplné podíly čísla 33 = 6 ( 3) = = = = = 5 4 Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN CHINČIN, A. J. Řetězové zlomky [Chnčn, 95] : Cepnyje drob (Org.).. vyd. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, s 4

44 Vypočítal jsme tedy, že = (-3,,4,,,5) b) Vypočítáme sblížené zlomky: P Q Sblížené zlomky jsou: (-3,-,,,, ) 43

45 0. Nekonečné řetězové zlomky Zpracováno podle publkací P.Víta (98, 6 ) a A.J.Chnčna (95, 7 ) Nyní s zavedeme nekonečné řetězové zlomky, které mají tvar: a zapsujeme je ve tvaru 3 ( 3 (4),,, ). (5) Nekonečné řetězové zlomky jsou vyjádřením raconálního čísla α. Je-l α> 0,α I, potom postupujeme takto: kde je,, I,,,,, I,, 3 3, 3, 3, I 3, Všechna,,, jsou raconální čísla, proto nemůže postup nkdy skončt., 3 Dostaneme tedy skutečně nekonečný řetězový zlomek (,, 3, ), kde je Z a 3,, N. 6 Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN CHINČIN, A. J. Řetězové zlomky [Chnčn, 95] : Cepnyje drob (Org.).. vyd. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, s 44

46 Nyní s ukážeme na příkladech, jak probíhá výpočet čísel α, α, α, a,, Příklad 5: Vypočítejme nekonečný řetězový zlomek čísla α = 3 Řešení: 3 = + = α = = = + = α = = = + = α = = = + = α = = = + = α = = = + = α = = = + = 45

47 Dále není třeba počítat, vdíme: = = = = = = = = =. Dále z výpočtu vyplývá: α = α = α = = α = 3 = (,,,,,,, ) Příklad 6: α = α = α = = 3 + Vypočítejme nekonečný řetězový zlomek čísla α = 47 Řešení: 47 = 6 + = 6 α = = = + = α = = = 5 + = 5 α = = = + = α = = = + = α = = 46

48 = + = α = = = 5 + = 5 α = = = + = α = = = + = Dále není třeba počítat, vdíme: = 6 = = = = = = = 5, = Dále z výpočtu vyplývá: α = α = = α = α = = α = α = = α = α = = α = 47 = (6,,5,,,,5,,, ) 47

49 Dostal jsme nekonečné řetězové zlomky a to perodcké. V prvním příkladu je peroda dvouprvková a začíná prvkem. V druhém příkladu je peroda čtyřprvková a začíná také prvkem. Z vypočítaných příkladů vyplývá: Každému raconálnímu číslu odpovídá jeden nekonečný řetězový zlomek. Tento zlomek je perodcký, je l číslo algebracké, neperodcký, je l číslo transcendentní. Výpočet tohoto zlomku provedeme pomocí celé část čísla. Výpočet je komplkován pouze tím, že pracujeme s raconálním čísly. Pro perodcké řetězové zlomky (,,,,,,,, ) budeme používat zápsu (,,,, ).,, Uvedeme s tedy nějaké příklady: 3 = (,, ), 5 = (, 4), = (0,,, ). Ale ne všechny nekonečné řetězové zlomky jsou perodcké. Naopak jsou mez všem nekonečným řetězovým zlomky v menšně. Např. π=(3,7,5,,9,,, ). Exstují také nekonečné řetězové zlomky, které nejsou perodcké, ale pro jejch prvky platí určté zákontost tzv. výtvarné zákony. Např. e = (,,,,,4,,,6,,,8,,,0,,,, ) nebo e = (7,,,,3,8,5,,,6,30,8,,, ). Výtvarné zákony pro e, e : e = (,,m, ) e = (7, ) + 3m,,,3 + 3m, 8 + m Víme tedy, že každé raconální číslo má nekonečný řetězový zlomek. Zbývá ještě dokázat obrácené tvrzení, že hodnotou každého (pravdelného) nekonečného řetězového zlomku je nějaké raconální číslo. Nechť je dáno: (,, ) je nekonečný řetězový zlomek. Sblížené zlomky jsou,,. Ovšem neexstuje žádný poslední sblížený zlomek. 48

50 To se projevuje ve vzorc pro horní mez absolutní hodnoty chyby, pro kterou jsme v jedné z předešlých kaptol odvodl vzorec p P k Q k < Nyní píšeme α místo : α <.. Pro konečné řetězové zlomky o n prvcích platí tento vzorec jen pro k < n, ale pro nekonečné řetězové zlomky ovšem toto omezení odpadá a vzorec platí pro všechna k N. Nekonečný řetězový zlomek (,, ) můžeme vždy nahradt konečným řetězovým zlomkem (,,,, α ), kde ovšem α je raconální číslo a není to nc jného, než zbytek řetězového zlomku (,, ) : α = (,, ). A tedy: α = (,,,, α ). Z toho vyplývá vztah: α =. Známe-l P, P, Q, Q, α můžeme odtud počítat α. Příklad 7: Vypočítejme hodnotu řetězového zlomku α =,, +. Řešení: Je zde =, =, α = +. Z těchto hodnot určíme P =, P = 3, Q = a dosadíme:, Q = α = = (3 + 4)( 3) = = + 3 Pozn. Výraz + vyjadřuje zbytek, uvědomíme s, že platí: = (, ) Nyní s ještě uvedeme něco o výrazech s druhou odmocnnou. Jejch nekonečné řetězové zlomky dovedeme počítat podle algortmu uvedeného na začátku kaptoly. Obecný tvar toho, čemu jsme zatím říkal výraz s druhou odmocnnou, je: ± (6) kde P,Q jsou celá čísla a N je přrozené číslo, které není druhou mocnnou celého čísla: N a, kde a Z. Jnak řečeno: N je takové přrozené číslo, že N I. Proto N je raconální číslo. Čísla P,Q nemají nc společného s čísly P k,q k, kterým značíme čtatele a jmenovatele sblížených zlomků. 49

51 Každý výraz (6) budeme nazývat kvadratcká raconalta, protože je kořenem určté kvadratcké rovnce. Je l α = raconálním kořenem nějaké kvadratcké rovnce, je α, = druhým raconálním kořenem, a rovnce má tvar (x α)(x α, ) = 0. jejím Pro výraz α = N je α, = N a příslušná kvadratcká rovnce je obzvlášť jednoduchá: x N = 0. Druhým odmocnnam čísel N se budeme zabývat pozděj. Uvedeme s ještě ale tabulku řetězových zlomků čísla N, kde N 50. N Řetězový zlo me k č ísla N (, ) 3 (,, ) 5 (,4) 6 (,,4) 7 (,,,,4 ) 8 (,,4) 0 ( 3,6) ( 3,3,6) ( 3,,6) 3 ( 3,,,,,6 ) 4 ( 3,,,,6 ) 5 ( 3,,6 ) 7 ( 4,8) 8 ( 4,4,8) 9 ( 4,,,3,,,8 ) 0 ( 4,,8) ( 4,,,,,,8 ) ( 4,,,4,,,8 ) 50

52 3 ( 4,,3,,8 ) 4 ( 4,,8 ) 6 ( 5,0) 7 ( 5,5,0) 8 ( 5,3,,3,0 ) 9 ( 5,,,,,0 ) 30 ( 5,,0) 3 ( 5,,,3,5,3,,,0 ) 3 ( 5,,,,0 ) 33 ( 5,,,,0 ) 34 ( 5,,4,,0 ) 35 ( 5,,0 ) 37 ( 6,) 38 ( 6, 6,) 39 ( 6, 4,) 40 ( 6,3, ) 4 ( 6,,,) 4 ( 6,,) 43 ( 6,,,3,,5,,3,,, ) 44 ( 6,,,,,,,, ) 45 ( 6,,,,,, ) 46 ( 6,,3,,,,6,,,,3,, ) 47 ( 6,,5,, ) 48 ( 6,, ) 50 ( 7,4) 5

53 0. Ryze perodcké řetězové zlomky Zpracováno podle publkací P.Víta (98, 8 ) a A.J.Chnčna (95, 9 ) Věta : Takto nazýváme řetězové zlomky tvaru: (,,,,,,,,, ). (7) Jejch peroda je k prvková a místo (7) píšeme pro k > : (,,, ). (8) Pro k = je příslušný záps tento: ( ). Příklad 8: Dokažme, že platí: Řešení: Protože víme < 5 < 3 = (). potom tedy = =, 5 + = +, α α = 5 = 5 + = α. Je tedy α = α = α = = a odtud = = = = Důkaz, že platí = () je proveden. 8 Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN CHINČIN, A. J. Řetězové zlomky [Chnčn, 95] : Cepnyje drob (Org.).. vyd. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, s 5

54 Peroda ovšem nemusí být pouze jednoprvková. Uvedeme s dva příklady tříprvkové perody. Příklad 9: Budž α = (,,3). Píšeme α = (,,3, α). Především s musíme zapamatovat, že α >. Potřebujeme sestavt kvadratckou rovnc pro α za použtí vzorce α =. Tedy: α = = tj. po úpravě 4α 0α 3 = 0 - nahradíme α písmenem x, abychom rozlšl neznámou a kořeny kvadratcké rovnce 4x 0x 3 = 0 Kořeny budou: α = α, = P + N, kde P, Q Z, N N a N I. Q P N, kde P, Q Z, N N a N I. Q Taková čísla α, α, se nazývají sdružená a každá dvě raconální čísla, které jsou kořeny kvadratcké rovnce, jsou sdružená. Příklad 30: Budž β = (3,,). Píšeme β = (3,,, α). Především s musíme zapamatovat, že β >. Potřebujeme sestavt kvadratckou rovnc pro α za použtí vzorce β =. Tedy: β =, Tj. po úpravě 3β 0β 4 = 0 3x 0x 4 = 0. Rovnc 3x 0x 4 = 0 a rovnc z předešlého příkladu 4α 0α 3 = 0 budeme nazývat konjungovaným. (Všmněme s, že peroda čísla β vznkla z perody čísla α tím, že se prvky psal v obráceném pořádku). Obecně s všmněme: jel ax + bx + c = 0 nějaká kvadratcká rovnce, pak kvadratcká rovnce s ní konjugovaná má tvar cx bx + a = 0. Dále příklad řešíme úplně stejně, jako předešlý - není nutno uvádět. 53

55 Úvahy, které jsme prováděl nad předešlým dvěma příklady lze popsat obecně: Věta : Jsou dány α = (,, ) a β = (,, ) dva ryze perodcké řetězové zlomky, přčemž peroda řetězového zlomku β vznkne obrácením perody řetězového zlomku α. Pak kvadratcké rovnce pro α, β jsou navzájem konjungované. Má-l první kvadratcká rovnce kladný kořen α >, druhá kladný kořen β >, platí pro sdružený kořen α, první rovnce rovnost: α, = a je < α, < 0. Důkaz je v podstatě opakováním výpočtu předešlých příkladů tedy není nutné ho uvádět. 54

56 . Řetězové zlomky druhých mocnn Zpracováno podle publkace P.Víta (98, 0 ) Výrazem druhá mocnna budeme rozumět výhradně číslo N I (N a, kde a Z). Pro 50 jsme tabulku řetězových zlomků takových mocnn zařadl už do kaptoly Nekonečné řetězové zlomky. Řetězové zlomky raconálních čísel N nejsou ryze perodcké. Neboť je-l α = N kladným kořenem kvadratcké rovnce x N = 0, je pro N, což předpokládáme, α >. Pro sdružený kořen α, je však α, <, což odporuje podmínce < α, < 0. Tedy číslo N nevyhovuje větě z předešlé kaptoly, a tedy nemá ryze perodcký řetězový zlomek. Věta 3: Pro řetězový zlomek čísla N, N N, N I platí N = (,,,,,, ). Můžeme s popsat slovy: Peroda řetězového zlomku čísla N se skládá ze dvou částí. První část je symetrcká (,,,, ) a druhá část je poslední prvek, který je dvojnásobkem prvního prvku. Symetrcká část může mít více podob: - počet prvků v symetrcké část je roven nule (, ) - počet prvků v symetrcké část perody je roven jedné (,, ) - může mít prostřední prvek a tedy obsahuje lchý počet prvků 54 = (7,,,6,,,4 ) - nemá prostřední prvek a tedy obsahuje sudý počet prvků 53 = (7, 3,,,3,4 ) Důkaz: Označme α = + N, = N, víme že Z a platí: Je ovšem: α = + N > N < + Pro číslo α, sdružené s α, tj. pro číslo α, = N, je pak tedy: < α, < 0. 0 Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN

57 Nerovnost pro čísla α, α, jsou však podmínkou, aby α = + N mělo ryze perodcký řetězový zlomek, jehož peroda zřejmě začíná prvkem : α = + N = (,,, ). Z předešlé kaptoly víme, že ryze perodcký řetězový zlomek (,,,, ) je vyjádřením čísla, kde α, je sdružené s α, tedy α, = N. Je tedy: α, = + N = α = (0,,, k,, ) Výraz na pravé straně rozepíšeme: (0,,,,, ) = = = Máme tedy:, = (,,,,,, ). Srovnáme-l oba výrazy pro, dostáváme =, =,, =. Tím jsme dostall symetrckou část perody. Zbytek perody je tvořen prvkem. Řetězový zlomek čísla N dostaneme z čísla α = + N hned odečtením : Tím je věta dokázána. N = (, ).,,,,, 56

58 . Použtí řetězových zlomků Zpracováno podle publkací A.J.Chnčna (95, ), P.Víta (98, ) a I.M.Vnogradova (953, 3 ) Řešení kongruence ax b(mod m) Uvedeme s něco málo o kongruenc: Nechť a, b Z, m N, m ; jestlže platí: m a b, tj. jestlže exstuje t Z takové, že a b = mt, píšeme: a b(mod m) a čteme: a je kongruentní s b podle modulu m. Věta 4: Kongruence mez dvěma čísly a, b Z je ekvvalentní v Z, tj. pro každá tř a, b, c Z platí: ) a a(mod m) - REFLEXIVNOST ) Jestlže a b(mod m), pak b a(mod m) - SYMETRIČNOST 3) Jestlže a b(mod m) a zároveň b c(mod m), pak a c(mod m) TRANZITIVNOST Věta 5: Jestlže a b(mod m) a c d(mod m) pak také a + c b + d(mod m) ac bd(mod m) CHINČIN, A. J. Řetězové zlomky [Chnčn, 95] : Cepnyje drob (Org.).. vyd. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, s Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN Vnogradov I. M.: Základy theore čísel. Nakladatelství Československé akademe věd, Praha,

59 Důsledek: Platí c c(mod m) pro každé c Z a tedy, platí-l pak také platí pro každé c Z. a b(mod m), a + c b + c(mod m) ac bc(mod m) Ze vztahu a b = mt pro t Z, okamžtě plyne: a = b + mt. Zřejmě je mt 0(mod m) pro každé t Z, tedy také 0 mt(mod m) a jestlže tuto kongruenc přčteme ke kongruenc a b(mod m), dostáváme kongruenc: a b + mt(mod m). Další důsledek: Obě strany kongruence a b(mod m) tj. obě čísla a, b Z, lze vynásobt lbovolným celým číslem, anž se tím poruší platnost kongruence. Příklad 30: Z platné kongruence 5 4(mod 6) dostáváme tedy například tyto další platné kongruence: 50 8(mod 6) 75 4(mod 6) 5 4(mod 6) 58

60 Pro dělení kongruencí platí následující: Věta 6: Nechť platí a b(mod m). Nechť dále exstuje a) d N, pro které d a, d b, d m. Pak platí: a d b d mod m d b) Exstuje d Z, pro které d a, d b, ale neplatí d m. Pak platí: a d b (mod m). d Příklad 3: Dělíme platnou kongruenc 4(mod 8) Řešení: obě strany modul dělíme čtyřm, tedy: 3 (mod ) Kongruenc ax b(mod m) nazýváme lneární kongruencí s neznámou x; a, b Z, m N, m. Celá čísla x, která vyhovují ax b(mod m) jsou řešení této kongruence. Jestlže takové x exstuje, pak jch exstuje nekonečně mnoho. Budeme však vždy vybírat takové řešení x, které je prvkem úplné soustavy nejmenších nezáporných zbytků (mod m). Takových x není ovšem nekonečně mnoho. Věta 7: Nechť v kongruenc ax b(mod m) platí: a) Největší společný děltel čísel a, m je d =. Pak má ax b(mod m) právě jedno řešení x ze soustavy {0,,, m } b) Největší společný děltel čísel a, m je d >. Pak mohou nastat dva případy: a) Neplatí d b: pak ax b(mod m) nemá řešení b) Platí d b: pak ax b(mod m) má právě d řešení, z nchž každé je prvkem soustavy {0,,, m }. Budeme řešt kongruenc ax b(mod m) za předpokladu, že největší společný děltel čísel a, m je. Použjeme řetězového zlomku raconálního čísla. Nechť je tedy a, m N. Sblížené zlomky kladného raconálního čísla nechť jsou P Q, P Q,, P Q, P Q = m a. 59

61 Použjeme vztah z jedné z předešlých kaptol: P Q P Q = ( ) Máme tedy: mq ap = ( ) Odtud: ap = ( ) + mq První člen na pravé straně můžeme psát jako ( ) a protože Q Z, platí: ap ( ) (mod m). Násobíme obě strany této kongruence číslem ( ) b a dostáváme: a( ) P b b(mod m). To však znamená, že je: x ( ) P b(mod m). (9) Jestlže takto vypočítané x není prvkem soustavy {0,,, m }, dostaneme x přčtením mt, kde t je vhodné celé číslo. Příklad 3: Řešme kongruenc 85x 77(mod 94) Řešení: Největší společný děltel čísel 85,77 a 94 je číslo 3. Podle vzorce (9) řešíme jž upravenou kongruenc: 95x 59(mod 308) v níž je největší společný děltel čísel 95 a 308 roven. Vypočítáme prvky řetězového zlomku čísla = = = = + = Máme tedy: = (3,4,7,,) odtud n = 5 60

62 Sestavíme tabulku: P Q = a je tedy P = 07 x 07 59(mod 308), x 633(mod 308), x = 53 Řešení původní kongruence jsou čísla: 53,46,769. Řešení neurčté rovnce ax + by = c Nechť a, b, c Z. Úlohu najít, kde hledáme čísla x, y Z (která splňují vztah ax + by = c) nazýváme lneární neurčtou (dofantckou) rovncí o dvou neznámých x, y. Známe-l jedno řešení (x, y ), dovedeme okamžtě napsat nekonečně mnoho řešení (x, y): nechť x, y Z a nechť platí: Hledejme nyní nějaká dvě jná čísla x, y Z, pro která platí: Odečteme-l (0) od (), dostáváme: ax + by = c. (0) ax + by = c. () a(x x ) + b(y y ) = 0 a(x x ) = b(y y ). () Levá strana této rovnost je děltelná číslem a Z, tedy jím musí být děltelná pravá strana: a b(y y ). 6

63 Nyní předpokládejme, že neplatí a b, pak je: a y y y y = at, kde t Z. Dosadíme-l odtud do vztahu (), dostáváme: Celkem tedy máme řešení (x, y), kde: kde t je lbovolné celé číslo platí: tj. (x, y ) je řešení rovnce (). x x = bt. x = x bt, y = y + at, ax + by = c, Je-l a b, musí být také a c, aby rovnce byla řeštelná. Pak celou rovnc vydělíme číslem a a dostáváme předešlý případ. Exstence řešení vychází z věty, která je důsledkem Eukldova algortmu. Platí: Nechť a, b Z, d je největší společný děltel čísel a, b. Potom exstují čísla x, y Z taková, že platí: ax + by = d. Tato čísla lze najít Eukldovým algortmem. Věta 8: Nechť a, b, c Z. Neurčtá rovnce ax + by = c má řešení x, y v oboru celých čísel, jestlže největší společný děltel d čísel a,b dělí také číslo c. Řešení je pak nekonečně mnoho a jsou určena vzorc: kde t je lbovolné celé číslo. x = x bt y = y + at, (3) Abychom nalezl jednu dvojc kořenů x, y Z, která určuje všechna řešení x,y podle (3), použjeme opět řetězových zlomků. Vyjdeme jako př řešení kongruencí ze vzorce: P Q P Q = ( ) (4) a vypočítáme řetězový zlomek čísla, což je zlomek v základním tvaru, jestlže rovnc ax + by = c 6

64 Dělíme společným čntelem, největším společným děltelem čísel a,b. Na rozdíl od kongruencí se zde můžeme setkat se záporným zlomkem. Na postupu řešení se nc nemění, jen s musíme uvědomt, že pro záporná raconální čísla jsou všechna čísla P záporná. Určíme sblížené zlomky, =. Dosadíme do (4) a vynásobíme na obou stranách číslem ( ) c: tedy: Odtud srovnáním s rovncí ax + by = c dostáváme: Příklad 33: Řešme rovnc 5x 3y =. bc( ) Q ac( ) P = c, ac( ) P + bc( ) Q = c, a[( ) P c] + b[( ) Q c] = c. x = ( ) P c, y = ( ) Q c. Řešení: Najdeme prvky řetězového zlomku =. Je tedy: = (,,), n = 3 (výpočty není třeba uvádět, jsou uvedeny jž v mnoha předešlých příkladech) Sestavíme tabulku: - P Q 5 (4) P =, Q = a vzorce (4) udávají: x =, y =. Obecné řešení je: x = + 3t, y = + 5t. Pro t = dostáváme odtud kladné hodnoty x, y: x =, y = 3. 63

65 Využtí řetězových zlomků na SŠ nebo ZŠ Řetězové zlomky se používají k zobrazení raconálních raconálních čísel. Zejména pod pojmem raconální číslo s žác základních středních škol mají špatné představy a hůře ho chápou. Uvědomme s, že př praktckém počítání žác pracují jen s raconálním čísly. Nejlepším příkladem je číslo π. Žác a student počítají s číslem 3,4 nebo 3,459. Dále třeba místo čísla e počítají s číslem,7 nebo,783 apod. Z technckých důvodů se tedy omezujeme na konečný počet desetnných míst, tj. na čísla raconální, když víme, že je to jen přblžné. Student a žác většnou nerad počítají se zlomky a převádějí s je na desetnná čísla za cenu určtých chyb ve výsledcích, ale my víme, že je to mnohdy výhodnější a hlavně přesnější. Nyní s ukážeme, jaké chyby se žác zaokrouhlováním čísla dopouštějí: Příklad 34: Sblížené zlomky čísla jsou P k Q k Náhrada čísla : Chyba, které se dopouštíme = 3 = 0,4597 = 0, = 0, = 0, Na školách se často udává jako přblžná hodnota čísla π zlomek, což je, jak už 7 víme, druhý sblížený zlomek řetězového zlomku čísla π. Př této aproxmac se dopouštíme chyby v řádu tsícn, což není až tak špatné. Vdíme ale, že použtím třetího sblíženého zlomku 333 bychom se dopouštěl chyby menší

66 Příklad 35: Žákům zadáme příklad: Vypočtěte obvod kružnce o poloměru r=5cm. Pokud s najdou v kalkulačce 3, 4597, je obvod o r 3, 4597cm. Žác ale většnou znají zaokrouhlenou hodnotu 3, 4. Potom vyjde obvod o 3, 4cm, tzn. rozdíl obou obvodů je 0, Kdyby však použl hodnotu, obvod o = 3,48574 cm a 0, Další aplkace na ZŠ je použtí př procvčování úpravy složených zlomků. Řetězový zlomek je vlastně zlomek složený. Řetězové zlomky lze použít v případě, kdy máme složtý zlomek, se kterým se nám bude těžko počítat. Vyjádříme-l ho jako řetězový zlomek a najdeme jeho sblížené zlomky. Dopustíme se pouze malých chyb a získáme mnohem jednodušší zlomek, se kterým se nám mnohem lépe počítá. 65

67 3. Sbírka neřešených příkladů ) Vypočítejme čísla,, čísla. [(,,3,4)] ) Vypočítejme čísla,, čísla,3547 [(,,,4,,,6,,0,)] 3) Vypočítejme sblížené zlomky řetězových zlomků čísla 4) Vypočítejme sblížené zlomky řetězových zlomků: a) (0,3,3,3,3,3,3) b) (,,,3,) 0, 3, 4, 3, 4 5, 5 56, 49 83, 64 39, 77 66, 4 900, a) 0, 3, 0 33, 33 09, , , b),, 5 3, 7 0, ) Najděme řetězový zlomek čísla. [(,,,3,4)] 6) Najděme řetězový zlomek čísla a jeho sblížené zlomky ( 3,4,4,), 3, 4, 47 7, ) Určeme, s jakou předností vyjadřuje číslo 0,3737 pátý sblížený zlomek řetězového zlomku tohoto desetnného čísla. [δ = 0,000] 8) Určeme hodnotu perodckého zlomku,3,0,,, a ) Vypočítejme raconální číslo, jestlže (,,3,4 )

68 0) Vypočítejme nekonečný řetězový zlomek čísla 5. 5 (,4,4,4, ) ) Vypočítejme nekonečný řetězový zlomek čísla 4. 4 (6,,,,,,, ) ) Řešme kongruenc 4x (mod 95) [x = 93] 67

69 Závěr Dplomová práce shrnuje jž známé poznatky o řetězových zlomcích, jejch vlastnostech a využtí. Kromě úvodu a závěru je práce rozdělená na 3 kaptol, které obsahují množství vět a jejch důkazů. Pro lepší pochopení jsou doplněny množstvím příkladů. Hlavním cílem práce bylo seznámení se základním poznatky řetězových zlomků a aplkace na různých typech příkladů. To nám mělo ukázat, jaké mají šroké využtí. Protože k danému tématu není přílš mnoho lteratury, bylo vyhledávání příkladů obtížnější. Přesto jsem se pokusla téměř od každého typu uvést více příkladů a některé příklady jsem s vytvořla sama. Následnou sondou mez další studenty matematky byla užtečnost řetězových zlomků potvrzena. Pro malé množství dotázaných jsem se dalším výzkumem a jeho zpracováním nezabývala. Část práce využtí řetězových zlomků na ZŠ a SŠ jsem využla př výuce matematky v 9. třídě. V této hodně jsme se zabýval právě číslem a jeho použtím. 68

70 Lteratura Knžní zdroje: Vít,Pavel. Škola mladých matematků, Řetězové zlomky. Vydal ÚV matematcké olympády v nakladatelství Mladá fronta, s. ISBN CHINČIN, A. J. Řetězové zlomky [Chnčn, 95] : Cepnyje drob (Org.).. vyd. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, s Vnogradov I. M.: Základy theore čísel. Nakladatelství Československé akademe věd, Praha, 953 Internetové zdroje: