1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.

Transkript

1 . Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme vlastní vektory v, v. 3 x x = 0 v =, T v =, + T Tyto vektory jsou na sebe navzájem kolmé. Tedy k symetrcké matc A = exstuje ortonormální báze tvořená vlastním vektory. TOTO NENÍ NÁHODA!.. Adjungované zobrazení Necht U a V jsou eukldovské nebo untární prostory. Necht ϕ : U V je lneární. Adjungované zobrazení k zobrazení ϕ je zobrazení takové, že ϕ : V U ϕu, v V = u, ϕ v U. Věta. Necht α je ortonormální báze v U, β ortonormální báze ve V. Necht ϕ : U V a ϕ β,α = A. Potom matce adjungovaného zobrazení je ϕ α,β = ĀT v untárním případě A T v eukldovském případě. Důkaz. Necht u U, v V jsou lbovolné a u α = x, v β = y. Potom platí ϕu T β.v β = ϕu, v = u, ϕ v = u T α.ϕ v α Tedy ϕ β,α u α T.v β = u T α.ϕ α,β v β Ax T ȳ = x T ϕ α,β ȳ x T Aȳ = x T ϕ α,β ȳ A T = ϕ α,β ϕ α,β = ĀT.

2 Platí obrácené tvrzení: Je-l ϕ : U V a [ϕ] α,β = A, ψ : V U a [ψ] α,β = ĀT, pak ψ = ϕ..3. Samoadjungovaný operátor Necht ϕ : U U je lneární operátor na eukldovském nebo untárním prostoru. Říkáme, že ϕ je samoadjungovaný, jestlže ϕ = ϕ, tj. pro všechna u, v U. ϕu, v = u, ϕv Věta. Operátor ϕ : U U je samoadjungovaný, právě když pro matc v ortonormální báz α platí ϕ α,α = A = ĀT. Defnce. Reálná matce A se nazývá symetrcká, jestlže A = A T. Komplexní matce A se nazývá hermtovská, jestlže A = ĀT..4. Vlastní čísla a vlastní vektory samoadjungovaných operátorů Lemma. Necht ϕ : U U je samoadjungovaný operátor s nvarantním podprostorem V. Potom V je rovněž nvarantní. Důkaz. Necht w V. Pro všechna u V platí ϕw, u = w, ϕu = 0, tedy ϕw V. Věta. Necht ϕ : U U je samoadjungovaný operátor v untárním prostoru U. Vlastní čísla zobrazení ϕ jsou reálná. Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou navzájem kolmé. Důkaz. Necht λ je vlastní číslo s vlastním vektorem v: Odtud plyne λ = λ. λ v = v, λv = v, ϕv = ϕv, v = λv, v = λ v. Necht ϕv = λ v, ϕv = λ v, v 0, v 0. Potom λ v, v = ϕv, v = v, ϕv = v, λ v = λ v, v = λ v, v. Protože λ λ, musí být v v. Spektrum lneárního operátoru je množna jeho vlastních čísel. Věta. Pro každý samoadjungovaný operátor ϕ : U U exstuje ortonormální báze α prostoru U tvořená vlastním vektory, v níž má ϕ dagonální matc s reálným vlastním čísly na dagonále.

3 Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 3 Důkaz. Je-l U komplexní prostor, pak má charakterstcký polynom ϕ určtě alespoň jeden kořen. Ten je vlastním číslem je tedy reálný s vlastním vektorem v velkost. [v ] je nvarantní vůč ϕ, ϕ/[v ] : [v ] [v ] je samoadjungovaný a pokračujeme ndukcí. Je-l U reálný vektorový prostor, pak v nějaké ortonormální báz má ϕ matc A, která je reálná. A reprezentuje zobrazení C n C n x Ax. Toto zobrazení je samoadjungované, nebot A = A T = ĀT. Tedy A má reálné vlastní číslo λ s vlastním vektorem x + y C n Porovnáním reálné a magnární část dostaneme Ax + Ay = λx + λy. Ax = λx Ay = λy Tedy A má vlastní vektor v R n, proto ϕ : U U má rovněž vlastní vektor k λ jeho souřadnce v dané ortonormální báz jsou vlastním vektorem x matce A. [v] je nvarantní vůč ϕ a můžeme pokračovat ndukcí stejně jako v. Důsledek.. Necht ϕ : U U je samoadjungovaný operátor s vlastním, navzájem kolmým vektory u,..., u n a vlastním čísly λ,... λ n. Necht P k : U U je kolmá projekce na [u k ]. Potom ϕ = λ P + λ P + + λ n P n. Důkaz. Pro lbovolný vektor u = x u je ϕ x u = x ϕu = Protože je λ j P j j x u P u j = 0 j P u j = u = j, = λ P x u = λ x u..6. Samoadjungované operátory a kvadratcké formy λ x u = ϕ x u. Důsledek.7. Pro každou reálnou symetrckou matc A exstuje ortogonální matce P tak, že P T AP = P AP je dagonální.

4 4 Důkaz. Podle věty o spektrálním rozkladu exstuje v R n ortonormální báze tvořená vlastním vektory matce A. V této báz α je matce D zobrazení x Ax dagonální D = P AP. P = d ɛ,α je matce přechodu od báze α ke standardní báz ɛ. Tato matce je ortogonální, nebot její sloupce jsou tvořeny vektory ortonormální báze α. Tedy P = P T. Důsledek pro kvadratcké formy. Každá kvadratcká forma f na eukldovském prostoru U dmenze n má ve vhodné ortonormální báz analytcký tvar fx = λ x + λ x + λ nx n. Důkaz. Necht A je matce kvadratcké formy f. Najdeme báz α tvořenou vlastním ortonormálním vektory. V této báz má kvadratcká forma matc P T AP, kde P = d ɛ,α. Protože P T = P, je P T AP = P AP dagonální matce. Příklad. Vyšetřujme v rovně množnu bodů, které jsou zadány rovncí x + x x x =. Úpravou na čtverce dostaneme kvadratckou formu v dagonálním tvaru x x + x =. Nové souřadnce jsou x = x x, x = x a dávají matc přechodu 0 Pro původní báz e =, e 0 = a novou báz u, u platí 0 e = u e = u + u. Tedy nové souřadnce jsou v báz u =, u 0 = e + e =, x + x =. Tato báze nám neurčuje osy elpsy ty jsou k sobě vždy kolmé. Najdeme dagonální tvar kvadratcké formy v nějaké ortonormální báz. Matce kvadratcké formy je A = Spočítáme její vlastní čísla. A λe = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 λ = 3+ s vlastním vektorem v = +, λ = 3 s vlastním vektorem v =, + V souřadncích ortonormální báze α = v, v má elpsa rovnc λ x + λ x =.

5 Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů Vektory v a v určují směr os. Více o kuželosečkách v Lneární algebře III. u v u v