Šíření elektromagnetických vln Smithův diagram

Transkript

1 Šíření elektromanetických ln Smithů diaram Příklady k procičení jsou podle [] Diaram nese náze podle inženýra společností RCA Philipa H. Smitha, který e třicátých letech minulého století odstranil leou půlku nekonečné plochy fázoroého diaramu. Důod byl jednoduchý - záporné rezistance se něm neyskytují. Praou půlku nekonečného diaramu stočil do kruhu. Asi rok před Smithem napadla stejná myšlenka japonského inženýra Kurakawu, ale nedokázal ji tak rozinout jako Smith.

2 Hlaní pojmy, s nimiž SD pracuje Impedance, tedy komplexní odpor se složkou reálnou (opradoá, skutečná) rezistencí R, na níž enerie ykonáá práci a napětí i proud jsou přesně e fázi a složkou imainární (zdánliá, neskutečná nebo jaloá) - reaktancí X. Reaktance kladná je induktance, záporná kapacitance. (Pozor, anloamerické literatuře kapacitance kapacita). Názy se často nahrazují složeným ýrazem reaktance kapacitní a reaktance induktiní. Admitance je komplexní odiost jednotkách S (Siemens). V anloamerické literatuře se jednotka Siemens nepoužíá, místo toho mají jednotku Mho, což není nic jiného než Ohm napsaný pozpátku. Admitance se opět skládá ze dou složek - reálné konduktance a imainární - susceptance. Susceptance opět může být kapacitní a induktiní, kapacitní je kladná, induktiní záporná. PSV je poměr stojatých ln a souisí s činitelem odrazu. Počet lnoých délek směrem ke zdroji a směrem k zátěži. Obod Smithoá diaramu předstauje délku l/. Smithů diaram je rozdělen na dě poloiny odoronou přímkou. Kterýkoli bod na této přímce má pouze reálnou - odporoou složku, bez složky reaktanční. Horní poloina diaramu nad touto přímkou yjadřuje kladnou reaktanci, spodní poloina zápornou reaktanci. Nyní si šimněme čerených kružnic praé části diaramu. Kterákoli z těchto kružnic je tořena body se stejnou reálnou impedancí - například tučně ytištěná čerená kružnice předstauje impedanci 50 Ω, tedy kdekoli na této kružnici bude reálná složka impedance 50Ω, při čemž horní poloině kružnice přibude složka induktiní (kladná reaktance) a e spodní poloině kružnice přibude složka kapacitní (záporná reaktance). ákladní lastnosti Smithoa diaramu raficky znázorňuje komplexní roině záislost činitele odrazu na impedanci impedance je diaramu ynesena prostřednictím parametrických čar činitel odrazu R je komplexní ektor jdoucí z počátku do bobu, který odpoídá dané impedanci odoroná osa směrem prao je kladná reálná část činitele odrazu Re(R) sislá osa směrem nahoru je kladná Im(R) obrazení poměrné impedance z (r + jx) e Smithoě diaramu parametry r a x udáají elikost poměrné impedance a diaramu jsou yneseny podobě parametrických čar (čerených kružnic) e Smithoě dia. je každý bod obrazem konkrétní impedance a je definoán dojicí poměrných hodnot r a x každé impedanci z přísluší jeden činitel odrazu R podle definičního ztahu platí i naopak, že každé hodnotě činitele odrazu, který je zobrazen jako ektor dané komplexní roině, odpoídá jedna dojice hodnot r a x tedy jedna hodnota poměrné impedance z

3 Nekonečná impedance (naprázdno) Nuloá impedance (zkrat) Admitanční parametry e Smithoě diaramu postup a ztahy jsou analoické jako u impedančních parametrů impedanci nahrazujeme admitancí Y /, taktéž ztažnou impedanci čerené a zelené kružnice jsou nazájem symetrické pozor na imainární osu, oproti impedančním parametrům má prohozená znaménka Nekonečná admitance (zkrat) - Nuloá admitance (naprázdno) 3

4 Činitel odrazu je obecně definoán ztahem: - 0 R charakteristická impedance edení impedance na konci edení (impedance zátěže), nebo impedance na začátku edení Veličiny e Smithoě diaramu jsou yneseny poměrných hodnotách. Délka edení je ztažena k lnoé délce. Impedance jsou e Smithoě diaramu ztaženy na charakteristickou impedanci edení 0, ztah pro činitel odrazu pak přejde do taru: z - R kde z poměrná impedance: z + z 0 Poměrná impedance má reálnou složku r (činný odpor) a imainární složku x (poměrnou reaktanci) z r + j x Kružnice se středem na odoroné ose jsou eometrická místa bodů s konstantní hodnotou parametru r. Velikost tohoto parametru je udána čereným číslem nad odoronou osou diaramu. Vnější kružnice se středem počátku odpoídá hodnotě r 0 a je současně jednotkoá, odpoídá činiteli odrazu o absolutní hodnotě R. Přizpůsobení zátěže pasiními prky pomocí Smithoa diaramu Po změření konstruoané antény zjistíme reálnou a reaktanční složku impedance, a poté podle zjištěných hodnot musíme narhnout spráné přizpůsobení. Pomůže nám k tomu Smithů diaram, což je ynikající pomůcka pro anténáře. Hlaní elká kružnice je unitř rozdělena různými kružnicemi a křikami. Kterékoli místo unitř diaramu má přesné hodnoty impedance. Jen jediný bod šak předstauje ideální sta, tedy reálnou impedanci 50Ω, kladnou reaktanci - induktanci 0, zápornou reaktanci - kapacitanci 0, tedy místo ideálního přizpůsobení. Tento bod se nachází e středu kružnice. Příklad: Pomocí Smithoa diaramu určete admitanci dojpólu, který má normoanou impedanci: a) z a +,5j b) z b 0,5 0,3j Řešení:Ve Smitoě diaramu nejpre yznačíme normoanou impedanci. Sestrojíme kružnici konstantního poměru stojatých ln, jejíž střed leží e středu Smithoa diaramu a prochází bodem, yznačujícím zatěžoací impedanci z. Potom sestrojíme procházející yznačenou impedancí a středem Smithoa 4

5 diaramu. Hledaná impedance leží na kružnici konstantního poměru stojatých ln a na sestrojené přímce. Admitanční diaram můžeme tedy získat z impedančního diaramu inerzi kolem bodu (středu diaramu) y a 0,3 0,4j. Výpočtem y z yjde -,5 j -,5 j -,5 j ya 0,3-0, 4 j z +,5 j +,5 j -,5 j 4 +,5 6,5 a Analoicky 0,5 + 0,3 j 0,5 + 0,3 j 0,5 + 0,3 j yb,47 + 0, 88 j z 0,5-0,3 j 0,5-0,3 j 0,5 + 0,3 j 0,5 + 0,09 0,34 b Příklad: Bezeztrátoé edení je zakončeno naprázdno. Určete jaká bude normoaná hodnota impedance z e zdálenosti 3/8l od konce edení. Řešení: Hodnotu impedance z určíme ze Smithoa diaramu.vedení je zakončeno naprázdno, takže má zakončoací impedance hodnotu z. Této impedanci odpoídá e Smithoě diaramu bod, který získáme jako průsečík kružnice pro r 0 a fázoé přímky pro z. Posuneme se o 3/8l směrem ke zdroji. Spojíme tento bod se středem Smithoa diaramu a najdeme průsečík této přímky a kružnice pro r 0. Potom odečteme z j. Příklad: Homoenní bezeztrátoé edení je zakončeno normoanou impedancí: a) z 0,7 j b) z 0,5 + j,5 Určete normo anou hodnotu impedance e zdálenosti 0,3l od konce edení. Řešení: a) Ve Smitoě diaramu nejpre yznačíme normoanou zatěžoací impedanci. Odečteme příslušný poměr délky edení k lnoé délce a transformujeme z směrem ke zdroji o 0,3l. Potom sestrojíme kružnici konstantního poměru stojatých ln (jejíž střed leží e středu Smithoa diaramu a prochází bodem, yznačujícím zatěžoací impedanci z ) a jestliže se tento poměr podél edení bezeztrátoých 5

6 edeních nemění, leží hledaná impedance na této kružnici b) Analoicky z 0,8 +,j z 0,35,4j. Příklad: Homoenní bezeztrátoé edení je zakončeno zkratem. Určete normoanou hodnotu impedance e zdálenosti l /4, 3l /8 od konce edení. Řešení: a) Je-li na konci edení zkrat, má zakončoací impedance i reálnou hodnotu nuloou z 0, tedy má reálnou i imainární hodnotu ronou nule. Této hodnotě odpoídá e Smithoě diaramu bod, který získáme jako průsečík kružnice pro r 0 a přímky pro x 0, protože z r + jx. Tímto bodem a středem Smithoa diaramu edeme přímku. Najdeme bod, který je průsečíkem této přímky a obodoé kružnice. Je to bodě l/l 0. Posuneme se o l /4 0,5 l směrem ke zdroji. Spojíme tento bod se středem Smithoa diaramu a najdeme průsečík této přímky s kružnicí pro r 0, odečteme z. a) Postup je podobný jak bodu a) s tím rozdílem, že z bodu z 0 se posuneme o 3l /8 0,375 l. Tento bod spojíme se středem Smithoa diaramu a najdeme průsečík této přímky s kružnicí pro r 0, odečteme z -j. Příklad: Dokažte, že a) čtrtlnná transpozice na bezeztrátoém edení je inerzní; b) půllnná transformace na bezeztrátoém edení je identická. Řešení: a) Vyjdeme ze ztahu pro transformaci liboolné ýchozí impedance z půodního místa o zdálenosti d podél edení který upraíme pro bezeztrátoé edení na tar ± ± th d () th d l () d ± j tp d ± jtp l 6

7 d Při čtrtlnné transformaci je 0,5. Dosazením do () zjistíme, že l tj. že ýsledná impedance je úměrná přerácené (inerzní) hodnotě ýchozí impedance. Pro normoané impedanci dostaneme z Čtrtlnnou transformací přejde liboolná normoaná impedance na sou přerácenou hodnotu ronou normoané admitanci a naopak, Ve Smithoě diaramu odpoídá čtrtlnné transformaci otočení fázoé přímky o 80. K danému bodu z zjišťujeme bod z, z středoě souměrný podle středu Smithoa diaramu. Tato lastnost se dá yužit k jednostrannému ýpočtu přerácené hodnoty komplexního čísla nebo k přepočtu impedance na admitanci a naopak. b) Do ztahu dosadíme d/l 0,5. potom z z, t.j. ýsledná impedance se roná půodní impedanci. Ve Smitoě diaramu odpoídá půllnné transformaci otočení fázoé přímky o 360, takže ýsledný bod z se ztotožní s ýchozím bodem z. toho yplýá skutečnost, že šechny lastnosti homoenního edení beze ztrát se opakují po úsecích 0,5l. z y Příklad: Určete stupní impedanci útaru podle obr, jestliže znáte: l 0,5m, l m, l 3 500m, 75W, 50 W, 3 5W, (5 + 00j) W, ( j) W, λ 0,55m. Řešení: Vypočteme normoané impedance a zdálenosti: l 0,5 0,55 ( 0,9-0,5 0, l ) 0,9 l 0,55 l 4 (,8-3.0,5 0, l ),8 l 500 0,55 l 3 ( 77, , l ) 3 77,7 l 7 Údaje záorkách hledáme e Smithou diaramu, protože je na něm zdálenost periodická s periodou 0,5λ. z æ 5 00 ö ç + j 0,33 è ø +,33 j 7

8 æ ö z ç + j j è ø Do Smithoa diaramu najdeme k normoaným impedancím admitance y 0,8 0,7j y 0,35,j a předpokladu konstantního poměru stojatých ln r odečteme y,05,65j y 0,84,j To jsou hodnoty admitancí y a y přenesené do bodu spojení edení pro konstantní r. Tyto hodnoty odnormujeme. Y Y y',05,65 - j ( 0,04 0,0353 j)s y' 0,84, j ( 0,068 0,0444 j)s Po sečtení admitancí dostaneme Y (0,0308 0,03974) S Tuto admitanci normujeme y Y. 3 (0, , j) 0,77 0,9935j e Smithoa diaramu odečteme y, Je to y posunuté o l 3 0,7λ směrem ke zdroji a transformoané na impedanci z 0,3 4,5j Tuto impedanci odnormujeme z. 3 (0,3.5 4,5.5j)W (7,5,5j)W Vstupní impedance edení ze zadání je tedy (7,5,5j)W Příklad: Homoenní bezeztrátoé edení s lnoou impedancí 75W je zakončené: a) odporem R 50W b) impedancí (75 j50)w Určete stupní impedanci edení, je-li edení dlouhé l 3,5m a λ 30 cm. Řešení: a) Nejpre znormujeme zakončoací impedanci z R Dalším krokem je yjádření zdálenosti l 3,5m pomocí λ. Víme, že lastnosti edení se opakují po zdálenostech λ /. Tedy 3,5 metroé zdálenosti odpoídá l,56 λ 3 λ / 0,6 λ. 8

9 toho yplýá, že nám stačí určit stupní impedanci e zdálenosti 0,6 λ od konce edení. To určíme pomocí Smitha diaramu. Postup při určoání:. Vyznačíme normoanou zatěžoací impedanci e Smithoě diaramu.. Najdeme k tomu odpoídající polohu fázoé přímky. 3. Posuneme se o 0,6 λ směrem ke zdroji. 4. Sestrojíme odpoídající fázoou přímku. 5. Odečteme normoanou stupní impedanci. 6. Vypočteme skutečnou stupní impedanci. Podle tohoto postupu dostaneme z 0,64 0,43j z čehož z. (48 j 3,5)W (b)podobným dostaneme postupem potom z 0,5 a 0,05j z čehož z. (0,5 + j0,05).75 (39 + 3,75j)W Příklad: Určete stupní impedanci útaru, který je na obrázku. Údaje o edení: l 0,l, 50W, l 0,3l, 75W. Celý útar je zakončen impedancí (300 + j75) W. Rešení: Nejpre normujeme zatěžoací impedanci 9

10 Najdeme polohu z na diaramu. Vedeme přímku přes střed diaramu a přes z. Na okraji diaramu odečteme počet lnoých délek ke zdroji. K tomuto počtu lnoých délek připočteme l 0,4l + l 0,4 l + 0,3l 0,54l. Od 0,54l odečteme 0,5l, protože diaram je periodický s periodou 0,5l, tj. diaramu se posuneme o 0,04l, a určíme z (0,5 + j0,5)w Tuto impedanci odnormujeme z. (0, j 0,5.75) (8,75 + j 8,75)W Normujeme pomocí lnoé impedance prého edení Najdeme diaramu z. Po ytoření přímky přes z a střed diaramu odpoídá na okraji diaramu 0,06l ke zdroji. K nim připočteme l. 0,06l + l 0,06l + 0,l 0,6l. Najdeme na diaramu impedanci z j0,45 Odnormujeme z. (3.50 j0,45.50) (50 j,5)w Vstupní impedance útaru je (50 j,5)w Příklad: Homoenní edení je na ýstupu zkratoané. Jakou musí mít toto edení délku a jaké tlumení, aby jeho normoaná stupní impedance byla z (0,55 + j,5)w? Řešení: Pro ztrátoé edení musíme nejdříe určit pro danou impedanci z koeficient odrazu. Při určoání tohoto koeficientu můžeme postupoat děma způsoby. Použijeme Smithů diaram. Vycházíme z bodu, kde z 0 a postupujeme směrem ke zdroji až po impedanci z.. způsob určení r 0

11 měříme poloměr Smithoa diaramu a zdálenost z od středu diaramu. poměru poloměru zjistíme. způsob řešení r jistíme r a použitím známého ztahu určíme koeficient odrazu. Dostaneme r 6,3 () Impedance z 0 se nachází na obodoé kružnici diaramu, kde je koeficient odrazu. Použitím ztahu Dostaneme potřebný ztah pro tlumení a délku edení 0,74 ln 0,74 -al -0,33 - al al 0,6 Np a odečtením z diaramu dostaneme l 0,63l. Dosadíme-li tento ztah do (), můžeme získat i součin tlumení a lnoé délky al 0,988. Literatura [] Turán,J., Petrik,S.: Obody a technika k, Alfa, Bratislaa, 988 [] OKBUH: Seriál na pokračoání: Antény a impedance In: