Fyzika IV. g( ) Vibrace jader atomů v krystalové mříži

Transkript

1 Vibrace jader atomů v krystalové mříži v krystalu máme N základních buněk, v každé buňce s atomů, které kmitají kolem rovnovážných poloh výchylky kmitů jsou malé (Taylorův rozvoj): harmonická aproximace krystal v harmonické aproximaci soubor (vázaných) 3Ns LHO Einsteinův model: všechny LHO mají stejnou frekvenci g( ) každý atom v základní buňce

2 Vibrace jader atomů v krystalové mříži limita vysokých teplot v Einsteinově modelu: Dulong-Petitův zákon 2

3 Vibrace jader atomů v krystalové mříži limita nízkých teplot v Einsteinově modelu: pro Cu CCpp (J/mol.K) (J/mol.K) Cp /T (J/mol.K2) Cu T2 (K2) experiment: T (K) oscilátory jsou vázané!

4 Vibrace jader atomů v krystalové mříži vázané oscilátory v lineární mříži Mn-1 Mn a un-1 Mn+1 a un un+1 jednoatomový řetízek: Mn=M pohybová rovnice: řešení hledám ve tvaru rovinné vlny: 4

5 Vibrace jader atomů v krystalové mříži vázané oscilátory v lineární mříži řešení hledám ve tvaru rovinné vlny: disperzní zákon (periodické v k) 1.Brillouinova zóna 5

6 Vibrace jader atomů v krystalové mříži vázané oscilátory v lineární mříži jak je to s řešením mimo 1BZ? hranice BZ: stojatá vlna 6

7 Vibrace jader atomů v krystalové mříži vázané oscilátory v lineární mříži fázová a grupová rychlost: fázová rychlost grupová rychlost hranice BZ (stojatá vlna) (dlouhovlnná limita) rychlost šíření zvuku v PL 7

8 Vibrace jader atomů v krystalové mříži vázané oscilátory v lineární mříži fázová a grupová rychlost (rychlost zvuku): vlnová rovnice 8

9 Vibrace jader atomů v krystalové mříži vázané oscilátory v lineární mříži dvouatomový řetízek M1 un pohybové rovnice: M2 vn M1 M2 a hledám řešení ve tvaru: řešení determinant roven 0 9

10 Vibrace jader atomů v krystalové mříži vázané oscilátory v lineární mříži dvouatomový řetízek M1 = M 2 K 1 K2 2K( M1 M1 ) 1 2 2(K1 K 2 )/M 2K/M 2 2K1/M 2K/M1 2K 2 /M k 0 /a optická větev akustická větev 10

11 Vibrace jader atomů v krystalové mříži vázané oscilátory v lineární mříži nekonečný vs. konečný vzorek N atomů okrajové podmínky: un = 0 (ukotvím) Born-Karman periodické... jiné N atomů (vázané kmity) N nezávislých vibrací k, ω(k) 11

12 Vibrace jader atomů v krystalové mříži vázané oscilátory v lineární mříži na jedno připadá v rec.prostoru délka řetízku krystal (3D) objem buňky objem /a /a k atomů 3N (-6) stupňů volnosti... 3N nezávislých vibrací na jedno L připadá v rec.prostoru T 1, T 2 k počet je N 3 větve kmitového spektra 0 BZ 12

13 Vibrace jader atomů v krystalové mříži vázané oscilátory v krystalu obecně: v krystalu s atomů v základní buňce 3s větví 3 akustické 1 LA 2 TA 3s-3 optické (s-1) LO (2s-2) TO k 0 /a 13

14 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony, kvantování každý kmit (LHO) se kvantuje samostatně kvantum energie kmitů mřížky: FONON kvantové číslo; mód obsazen n fonony stav PL... střední energie kmitů: vysoké teploty: na 1 atom: na 1 mol: (celkem 3N módů) Dulong-Petitův zákon 14

15 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony, kvantování fonony jako kvazičástice oscilátor fonony základní stav nejsou fonony excitovaný stav pružný, elastický, rozptyl nepružný, neelastický, rozptyl kf ki Brockhouse, Chalk River (1964) fonon 15

16 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony, kvantování 16

17 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony, kvantování 17

18 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony, kvantování fonony jako kvazičástice kvazičástice jen uvnitř krystalu, interaguje jako částice silně interagující systém jader systém neinteragujících kvantových kvazičástic kvazičástice: fonon elastická vlna plasmon kolektivní elektronová vlna magnon magnetizační vlna polaron elektron + elastická deformace exciton polarizační vlna 18

19 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony měrné teplo Einsteinův model 1 mol (1-atomová mřížka): Einsteinova teplota diamant, θe=1320 K 19

20 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony měrné teplo Debyeův model hustota stavů: pro 1 atom, 3 větve kmitů: 20

21 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony měrné teplo Debyeův model Dulong-Petitův zákon na 1 mol: Cp (J/mol.K) Cp/T (mj/mol.k2) Au 10 Cu T2 (K2) T (K)

22 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony měrné teplo g ( Einsteinův model Einsteinova teplota dobré přiblížení např. pro optické fonony g ( Debyeův model Debyeova teplota dobré přiblížení např. pro akustické fonony D 22

23 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony měrné teplo diamant baze = 2 stejné atomy 6 větví 23

24 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony měrné teplo LuNiAl. 3 atomy n = 3 3*n = 9 fononových větví 3 akustické a 6 optických aproximace exp. dat pomocí 3 parametrů, každý popisuje 3 fononové větve LuNiAl 80 Measurement Electrons Debye Einstein 1 Einstein 2 Total 70 Cp [J/mole.K] T [K]

25 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony měrné teplo Anharmonicita - neekvidistantně rozdělené vibrační hladiny u molekul - zakázané vibrační přechody v molekulách vody barva vody - měrné teplo u vyšších teplot překračuje klasickou limitu (Dulong-Petit) - vícefononové procesy 25

26 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony 26

27 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony Baker-Hausdorff teorém: 27

28 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony 28

29 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony 2 29

30 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony Př: teplotní kmity Al v Debeyově harmonické aproximaci T [K ] 2873 BT [A ] / T 2 2 M Al [K ] M Al K Al 2 30

31 Vibrace jader atomů v krystalové mříži fonony // 100 // 111 teplotní difuzní rozptyl (TDS) 31