Jihočeská univerzita Pedagogická fakulta Katedra matematiky. Diplomová práce. Gamma a beta funkce

Transkript

1 Jihočská uivrzia Pdagogická fakula Kadra aaiky Diploová prác Gaa a ba fukc Vypracoval: Bc. Maěj Tkl Vdoucí diploové prác: RNDr. Vladiíra Prášková, Ph.D.

2 Prohlašuji, ž js uo diploovou práci vypracoval saosaě a vškrá použiá liraura a jié pray jsou uvdy v szau liraury. Prohlašuji, ž v souladu s 7b zákoa č. /998 Sb. v plaé zěí souhlasí s zvřjěí své diploové prác, a o v zkrácé podobě v úpravě vziklé vypušěí vyzačých čásí archivovaých pdagogickou fakulou lkroickou csou v vřjě přísupé čási daabáz STAG provozovaé Jihočskou uivrziou v Čských Budějovicích a jjích irových srákách. V Čských Budějovicích d Bc. Maěj Tkl

3 Úvod bych rád poděkoval za odboré rady a vdí RNDr. Vladiíř Práškové, Ph.D. při vypracováí clé éo prác.

4 Aoac Tao diploová prác s zabývá problaikou Eulrových gaa a ba fukcí, časo využívaých v aaické saisic, aaické aalýz, kooii a fyzikálích aplikacích. J kocipováa ak, aby podala uclý pohld a dfiic, vlasosi a užičé vzahy gaa a ba fukcí. Součásí prác j éž asíěí prakického použií ěcho fukcí v saisic (při dfiováí ěkrých rozdělí) a při igrálí poču v aaické aalýz. Aoaio This hsis pu id o qusios of Eulr s gaa ad ba fucios. Th ai applicaio of hs fucios is i saisics, ahaical aalysis, cooy ad physics. Th opic is draw up o show copacly h dfiiios, propris ad usful rlaios of gaa ad ba fucios. Th par of his hsis is h pracical applicaio i saisics (o dfi so ai disribuios) ad igral calculus i aalysis.

5 Obsah Úvod...7 Dfiic gaa a ba fukc...9 Hisori vziku gaa a ba fukc...9 Dfiic gaa fukc a jjí základí vlasosi... Dfiic gaa fukc... Někré důlžié hodoy... Vlasosi gaa fukc...5 Užičé vzahy...6 Dfiic ba fukc a jjí základí vlasosi...9 Dfiic ba fukc...9 Vlasosi ba fukc... Vzah zi gaa a ba fukcí... Sirligův vzorc... Dfiic základích rozdělí...5 Chí-kvadrá rozdělí...5 Charakrisiky rozdělí...6 Využií...7 Fishr-Sdcorovo rozdělí...8 Charakrisiky rozdělí...9 Využií... Sudovo rozdělí ( rozdělí)... Odvozí Sudova rozdělí... Charakrisiky rozdělí... Využií...

6 Ba rozdělí... Charakrisiky rozdělí... Využií...5 Gaa rozdělí...6 Charakrisiky rozdělí...6 Využií...7 Moda VaR...8 Základí popis a hisori ody VaR...8 Moda VaR...9 Spcifikac ody VaR... Mody výpoču VaR... Pararický výpoč VaR... Výpoč VaR poocí -rozdělí... Výpoč Laplacova igrálu...5 Oázka igrovalosi...5 Využií gaa a ba fukc v igrálí poču...5 Závěr...67 Sza použié liraury...68

7 Úvod Úkol éo diploové prác j zaěři s a problaiku Eulrových gaa a ba fukcí. Tyo fukc s časo používají v aaické saisic, aaické aalýz, kooii, al aké v fyzikálích aplikacích. Vzhld k ou, ž iforac o daé problaic v dosupé lirauř jsou uclé, bylo cíl yo pozaky sjdoi, uřídi a zpracova do jdoé fory. Sahou bylo éž poukáza a ěkrá prakická využií ěcho fukcí. Diploová prác j zahája krákou zíkou o hisorii vziku gaa a ba fukc a dál pokračuj základíi dfiici a vlasosi obou fukcí. Jsou zd aké uvdy ěkré důlžié vzorc pro jjich využií, ěkré éž s odvozí. Kapiola j uzavřa pojdáí o propojí zi gaa a ba fukcí. Násldující čás j zaěřa a aplikaci gaa a ba fukcí v saisic. Přsěji a dfiováí ěkrých základích rozdělí využívající ěcho fukcí, jako jsou Chí-kvadrá, Fishr-Sdcorovo, Sudovo, Ba a Gaa rozdělí a asíěí ody Valu a Risc (VaR) využívající Sudovo rozdělí. Násldě j provd výpoč Laplacova igrálu d, krý lz s výhodou provés přvdí a hodou gaa fukc. To igrál á vlký výza přdvší v saisic a pravděpodobosi. 7

8 Posldí čás zahruj aplikaci gaa a ba fukc v igrálí poču a jjich srováí s kovčíi odai igrac (subsiuc, oda pr pars, Eulrova subsiuc) a kokréích příkladch. 8

9 Dfiic gaa a ba fukc Hisori vziku gaa a ba fukc U zrodu gaa a ba fukc sál výzaý švýcarský aaik Lohard Eulr (77-78). Gaa a ba fukc (yo jéa ji dali aaikové Bi a Gauss) jsou éž azýváy Eulrovýi igrály (druhého a prvího druhu): ( ) d gaa fukc ( fukc) B ba fukc ( B fukc) (, y) y ( ) d V roc 79 použil Eulr při alzí fukc gaa Wallisovu foruli. To vzah éě výzaého aglického aaika Joha Wallis (66-7) říká, ž číslo π lz spočía jako souči řady: ( )( ) π... ( )( ) Eulr zapsal gaa fukci jako kočý souči a poroval ho s kočý souči Wallisovy forul, aby alzl hodou π. 9

10 Tyo pozaky publikoval v kiz Isiuios calculi igralis(768-77), v kré s éž zabývá igrály, kré lz zapsa poocí lárích fukcí. Gaa a ba fukcí s aké v svých pracích zabýval fracouzský aaik Adri-Mari Lgdr, krý publikoval jjich základí vlasosi a abulky hodo.

11 Dfiic gaa fukc a jjí základí vlasosi Dfiic gaa fukc Gaa fukc (ěkdy aké ozačovaá jako Eulrův igrál druhého druhu) j zobcěí fakoriálu pro obor koplích čísl. Používá s v oha oblasch aaiky, přdvší pro popis ěkrých rozdělí v saisic. Fukc gaa, krou bud zači, j dfiováa podl Adri- Mari Lgdr ako: ( ) d, přičž j koplí číslo s kladou rálou čásí.

12 Obr. Graf gaa fukc. Obr. Graf absoluí hodoy gaa fukc (zobraza rálá a iagiárí čás). Ačkoliv igrál saoý kovrguj j j-li rálá čás kladá, gaa fukc j dfiováa pro libovolé koplí (a dy i rálé) číslo, kroě uly a clých záporých čísl (,, ).

13 Pozáka: a) Obcě í priiiví fukc k fukci f varu f (,) lárí, al hodoy fukc jsou vypočy urickýi odai a jsou ablováy, apř. v saisických abulkách. b) Fukc j vli užičá při výpočch vlasích igrálů. Jsliž lz vlasí igrál fukc jdé proěé subsiucí přvés a hodou fukc v jisé bodě, alz v abulkách hodou ) a daý igrál j urč. ( Někré důlžié hodoy Nyí vypoč ěkré základí hodoy Gaa fukc: a) Určí hodou ( ) : c c c ( ) d d li d li[ ] li( ( ) c c c ( ) li c c

14 b) Určí hodou ( ) : c g, g' c f ', f ( ) d d li d Pozáka: li c c c c [ ] d li[ ] c a) Tabulka hodo fukc s zpravidla uvádí pro irval, (viz íž uvdá abulka). Hodoy fukc v zbývajících irvalch s určují poocí rovosi. uvdé v užičých vzazích. Určuj-li apř. užií abulky, proož dosává, 886, 776., b) Jak si lz povšiou v přdchozích příkladch a) a b) ( ) ( ), proo á fukc v irvalu ( ), iiu vzhld k cléu svéu dfiičíu oboru. Jak j zíěo v vlasosch fukc, iiu asává v bodě 66.,

15 () () () () (),,,,987,,8876,6,895,8,98,,99,,9558,,88676,6,8968,8,98,,9888,,9,,8866,6,8959,8,9685,,9855,,975,,886,6,897,8,9969,,978,,985,,8858,6,8986,8,96,5,975,5,96,5,88566,65,9,85,956,6,9687,6,9,6,8856,66,967,86,9869,7,965,7,95,7,8856,67,9,87,958,8,9597,8,97,8,88575,68,95,88,9557,9,9556,9,899,9,88595,69,9678,89,9588,,955,,8977,5,886,7,986,9,9677,,97,,896,5,88659,7,957,9,965,,959,,896,5,887,7,958,9,96877,,999,,898,5,88757,7,967,9,97,,96,,89,5,8888,7,968,9,976,5,9,5,895,55,88887,75,996,95,97988,6,998,6,898,56,8896,76,97,96,987,7,967,7,889,57,899,77,976,97,98768,8,97,8,8885,58,89,78,96,98,997,9,989,9,88785,59,89,79,9877,99,9958,,987,,8876,6,895,8,98,, Tabulka ěkrých hodo gaa fukc. Vlasosi gaa fukc D.. ( ) (, ). Fukc j spojiá pro >, á v oo irvalu drivaci všch řádů.. Fukc divrguj pro. ( ). Pro -ou drivaci plaí vzah ( ) l d. 5. V oblasi kladých rálých čísl á fukc iiu v bodě 66, přičž ( ) 8856,,, z čhož vyplývá, ž fukc j v clé své dfiičí oboru zdola ozá. 6. Plaí, ž < ' v ( ), a > ' v (,), udíž fukc j klsající v irvalu (, a rosoucí v irvalu,) (viz. Obr. ). 5

16 7. Zcla jisě ' > ' v irvalu (,) v clé své dfiičí oboru., proo j fukc koví Užičé vzahy, ( ) ( )!. N. (, )., ( ) ( ). π, ( ) ( ) siπ. (, ) π, ( ) ( ) (). (, ) K alzí hodo gaa fukc v dalších bodch j zajíavá idia., krou si ásldě odvodí poocí igrac pr pars: u, u' ( ) d [ ] d v', v li d ( ) ( ) Liia v oo odvozí s počíá ěkolikaásobý použií l Hospialova pravidla. Vidí dy, ž pro kladé dosává: ( ) ( ) 6

17 viz..: Pokud uo rovos aplikuj a přirozé číslo, dosává rovos ( ) ( ) ( )( ) ( )... ( )( )... () ( ) ( )! Vidí dy, ž gaa fukc j zobcěí fakoriálu. Oproi dfiici gaa fukc (podl Lgdr), krá byla výš popsáa, isují i jié alraiví dfiic. Příklad ůž bý Eulrova dfiic: ( ) li! ( )...( ) bo aké dfiic výzaého ěckého aaika Wirsrass:, ( ) γ, kd γ j Eulr-Maschroiova kosaa. Pozáka: Eulr-Maschroiova kosaa j používáa zjéa v orii čísl. J dfiováa jako liia rozdílu zi haroickou řadou a přirozý logari: γ li k log k ( ) 7

18 Lz přío ukáza, ž Eulrova dfiic Gaa fukc vyhovuj vzahu ( ) ( ) : ( ) li! ( )( )...( ) li! ( )( )...( ) ( ) ( )li ( ) ( ) 8

19 Dfiic ba fukc a jjí základí vlasosi Dfiic ba fukc Ba fukc (aké ozačovaá jako Eulrův igrál prvího druhu), á vlký výza v chických aplikacích a v saisic, al aké v souvislosi s fukcí gaa. Fukc ba, krou bud zači B, j dfiováa ako: B(, y ) y ( ) d, dfiic: přičž, y jsou koplí čísla s kladou rálou čásí. Oproi éo klasické dfiici (jvíc užívaé), isují i alraiví π / y. B(, y) si θ cos θdθ, >, y >. B(, y) d ( ) y, >, y > 9

20 Obr. Graf ba fukc. Pozáka: Fukc B úzc souvisí s fukcí a používá s hlavě při výpoču ěkrých vlasích igrálů, u ichž lz lárě urči priiiví fukci. Násldě budou uvdy ěkré vlasosi fukc B a ukázáa souvislos s fukcí. Vlasosi ba fukc. D ( B) (, ) (, ), fukc B j spojiá v clé své dfiičí oboru a á v éo ožiě parciálí drivac všch řádů.. (, ), y (, ) ( B (, y) > ). (, ), y (, ) ( B (, y) B( y, ) ). (, ), y (, ) B(, y) d ( ) y

21 5. (, ), y (, ) B (,y) 6. (, ), y (, ) ( ) ( y) ( ) ( ) y B (, y) B(, y) y y B (, y ) B(, y) y 7. (, ), y (, ) Pozáka: a) Někdy j vhodé použí vzah: (,) B(, ) B(, ) ( ) ( ) b) J dobré si uvědoi, ž si π ( ) π (,) ( ) () B(,) ( ) ( ) ( ) Poocí subsiuc j. (, y) B( y,) B : u lhc ahléd, ž plaí bod., y y ( ) d u ( u) du B( y, ) B(, y)

22 Pozáka: Tak, jako gaa fukc pro clá čísla popisuj fakoriál, lz poocí ba fukc dfiova kobiačí číslo: k ( ) B( k, k ) Vzah zi gaa a ba fukcí Můž si povšiou, v bodě 5. vlasosí ba fukc, ž ba fukci lz dfiova poocí fukc gaa. Abycho ašli jjich vzájý vzah, j řba provés poěrě koplikovaý výpoč zahrující rasforaci proěých (z karézských a polárí) v dvojé igrálu. Nyí si ukáž odvozí ohoo vzahu: u y v y uv ( ) ( y) u du v dv u v du dv Nyí zavd subsiuci u r cos ϕ, v r si ϕ. Přičž jakobiá: cos ϕ r cosϕsiϕ J d r siϕcos ϕ si ϕ r siϕcos ϕ π / r y y ( ) ( y) r cos ( ϕ) si ( ϕ) dr dϕ π / r y r dr cos y ( ϕ) si ( ϕ) dϕ

23 π / y ( ) cos ( ϕ) si ( ϕ) dϕ Subsiucí cos ϕ, d si ϕcos ϕdϕ přvd posldí igrál a ba fukci, y ( ) ( y) ( ) ( ) d ( ) B(, y), z čhož vyplývá vzah: B (, y) ( ) ( y) ( ) ( y) Sirligův vzorc Gaa i ba fukc lz vyjádři oha způsoby, apř. jako souč kočé řady, souči kočé poslouposi, liiy poslouposí ad. Všcha ao přsá vyjádří jsou kočé procsy, kré s až a výjiky dají přsě v jdolivých bodch spočía. Proo j ěkdy výhodější ahradi uvdé charakrizac jdodušší vzorc, krý aproiuj daou fukci. Násldující posup lz dobř sldova (až a posldí krok): l log d ( ) d, yí použij subsiuci u

24 log ( u / ) u / du yí použij subsiuci v u / log ( v / ) v / dv π, kd v posldí kroku byla použia rovos: log li ( v / ) v / dv π. Vzah ( ) g( ) f dy zaá, ž f li g ( ) ( ). Tí s dosává aproiačí Sirligův vzorc: A jho vrz pro fakoriál: ( ) π.! π.

25 Dfiic základích rozdělí Jak již bylo řčo, jdí z základích použií ái sldovaých gaa a ba fukcí j dfiováí ěkrých saisických rozdělí. Někré důlžié ypy rozdělí budou uvdy v éo kapiol. Chí-kvadrá rozdělí Důlžiý spojiý rozdělí, kré á široké uplaěí, j chí-kvadrá rozdělí. Too rozdělí j odvozo z souču závislých áhodých vliči s orovaý orálí rozdělí. Pokud X,...,, X X jsou závislé áhodé vličiy, z ichž každá á rozdělí N (,), pak áhodá vličia Y X X... X X i i á rozdělí χ (chí-kvadrá) o k supích volosi s husoou varu ( ) f k, > a k ( ) f k, Jdiý parar ohoo rozdělí j poč supňů volosi k a j zřjé, ž oo rozdělí j dfiováo pouz pro >. 5

26 Obr. Graf husoy Chí-kvadrá rozdělí (parar k ). Charakrisiky rozdělí Sřdí hodoa áhodé vličiy s χ rozdělí s k supi volosi j E ( Y ) k Rozpyl áhodé vličiy s k supi volosi j VarX k Pro zvyšující s poč supňů volosi s husoa ohoo rozdělí sál víc blíží varu husoy orálího rozdělí. Pro závislé áhodé vličiy s χ rozdělí s dá dokáza, ž jjich souč á opě χ rozdělí a poč supňů volosi j rov souču supňů volosi jdolivých vliči v souču. 6

27 Využií Jak již bylo uvdo, χ rozdělí á široké uplaěí přdvší při saisických aplikacích. Uvd alspoň ěkré vlasosi a ožosi použií.. Pokud áhodé vličiy X, X,..., X ají orálí rozdělí N( µ,σ ) a jsou avzáj závislé, pak výběrový rozpyl vyásobý ( ) a vydělý S ( X i X ) i σ á rozdělí ( ) Tuo skučos ůž sručě zapsa ako χ. S ( X i X ) i ~ χ σ ( ). χ rozdělí s používá pro ověří závislosi áhodých vliči.. Dál s používá k ověří (a základě da), zda dva či víc výběrů jsou hoogí vzhld k jisé vličiě. Např. s posuzuj, zda poliické ázory obyval jsou růzé v růzých rgioch apod.. Pokud suj, zda áhodé vličiy pocházjí z určiého rozdělí, ůž s úspěch použí chí-kvadrá rozdělí. To s j zá pod ázv "s dobré shody". 7

28 Fishr-Sdcorovo rozdělí Fishr-Sdcorovo rozdělí (F rozdělí) j odvozo z podílu dvou závislých áhodých vliči (s chí-kvadrá rozdělí) dělých supi volosi. Y Nchť X a Y jsou závislé áhodé vličiy, přičž X ( ) ( ) ~ χ. Poo áhodá vličia ~ χ a Z X Y á Fishr-Sdcorovo rozdělí ( ) To fak bud zapisova Z F(, ) Z j zřjé, ž husoa j ulová pouz pro >. Husoa rozdělí ( ) F, á var: F, o a supích volosi. ~. Z dfiic áhodé vličiy f ( ), > ( ) f, 8

29 Obr. 5 Graf husoy Fishr-Sdcorova rozdělí (parary d, d ). Charakrisiky rozdělí volosi j Sřdí hodoa áhodé vličiy s ( ) F, rozdělí s s a supi E ( Z) pro > Rozpyl áhodé vličiy s ( ) F, s a supi volosi j ( ) ( ) ( ) Var Z pro > 9

30 Využií Too rozdělí á opě široké uplaěí, přdvší při hodocí výsldků saisických aalýz. Používá s přdvší:. K su o shodosi rozpylů dvou áhodých výběrů.. K sů o shodě sřdích hodo pro víc áhodých výběrů.. K sů v rgrsí aalýz.

31 Sudovo rozdělí (-rozdělí) Důlžié spojié rozdělí, s krý s ůž v saisic ska, s azývá sudovo rozdělí, časěji však ozačovaé jako -rozdělí. Too rozdělí vziklo z pořby aglického chika Williaa Salyho Gossa, krý začák iulého solí pracoval v pivovař Guiss. Při své práci pořboval časo vyvozova a základě vli alých vzorků použilé závěry, což zapříčiilo vzik výš uvdého rozdělí. Tori - rozdělí všla v záos díky práci R. A. Fishra, krý ho azval Sudový (podl Gossova lirárího psudoyu). Odvozí Sudova rozdělí Lz ukáza, ž Sudovo rozdělí lz odvodi jako podíl dvou závislých áhodých vliči, z ichž jda á orovaé orálí rozdělí a druhá chí-kvadrá rozdělí. Měj dvě závislé áhodé vličiy X a Z. Náhodá vličia X á rozdělí N (,) a áhodá vličia Z á rozdělí pak vličia χ s k supi volosi, T k X Z k

32 á Sudovo rozdělí s husoou varu ( k ) / f k ( ), R k, k B k bo aké vyjádřo poocí gaa fukc: f k ( ) s k supi volosi. Pozáka: k ( k ) / k k, R πk Důlžié j, ž oo rozdělí j jdovrcholové a syrické a var husoy j vli podobý husoě orálího rozdělí a j dfiováo pro (, ). Liší s od ěj v podsaě j í, ž Sudovo rozdělí a rozdíl od orálího á ěžší koc (přibližují s výrazěji k os ). Obr. 6 Graf husoy Sudova rozdělí (parar k ).

33 Charakrisiky rozdělí Sřdí hodoa áhodé vličiy s -rozdělí s k supi volosi j E ( ) pro k >. T k Rozpyl áhodé vličiy s -rozdělí s k supi volosi j k VarT k pro k >. k Využií Sudovo rozdělí á široké uplaěí. Uvd alspoň ěkré ožosi použií:. Užívá s k sováí hypoéz o sřdí hodoě áhodého výběru, pokud j rozpyl záý. Mělo by plai, ž o áhodý výběr pochází z orálího rozdělí.. Užívá s k sováí hypoéz o shodě sřdích hodo dvou áhodých výběrů s sjýi přdpoklady jako v. - avíc usí bý yo výběry závislé. Jako příklad ůž uvés s pro porováí výososi dvou růzých druhů pšic, porováí účiosi dvou di apod.. -rozdělí j vhodý prosřdk pro aalýzu výsldků rgrsí aalýzy.

34 Ba rozdělí Ba rozdělí souvisí s výš dfiovaou ba fukcí ( y) B,. Husoa ba rozdělí s parary >, > j urča vzorc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f ;, ). B (,) Ba rozdělí j dfiováo pro,. Charakrisiky rozdělí Sřdí hodoa áhodé vličiy s ba rozdělí s parary a j dáo vzah: E ( X ). Rozpyl áhodé vličiy s ba rozdělí j: Var X. ( ) ( )

35 Obr. 7 Graf husoy Ba rozdělí (parary α, β ). Využií. Ba rozdělí s používá v akzvaé Baysovské saisic.. Dál bývá používáo v odlch událosí, kré jsou ozy v irvalu aiálí a iiálí hodoy.. Kvůli vlasosi popsaé v přdchozí bodě s ba rozdělí aké používá v PERT, CPM (viz. Cipra T.: Kapiálová přiěřos v fiacích a solvos v pojišťovicví, Ekoprss, Praha ) a dalších odách projkového aagu. 5

36 Gaa rozdělí Posldí rozdělí, kré bud dfiova j gaa rozdělí. Too rozdělí dfiuj souč k áhodých vliči s pociálí rozdělí, z ichž každá á průěr θ. Husoa gaa rozdělí j dfiováa ako: f ( ; k, θ ) k θ. k θ ( k) Gaa rozdělí j dfiováo pro,). Charakrisiky rozdělí Sřdí hodoa áhodé vličiy s gaa rozdělí s parary k a θ j dáo vzah: ( X ) kθ E. Rozpyl áhodé vličiy s gaa rozdělí j: Var X kθ. 6

37 Obr. 8 Graf husoy Gaa rozdělí (parary k, θ ). Využií Využií Gaa rozdělí bývá rozdělo všobcě do dvou hlavích bodů:. Aplikac založé a irvalu zi událosi, kré jsou odvozy z souču jdé bo víc vliči s pocioálí rozdělí. V éo podobě s používá a skvčí odly. Např. oku výrobků běh výroby a disribučích procsch. Dál aké při výzkuu zaíží wbových srvrů.. Vzhld k vlasos ohoo rozdělí bývá využíváo v ohých vědích oborch. Např. v orologii pro přdpověď dšťových srážk. Dál v fiačích službách pro odlováí pojišťovacích požadavků a výšk půjčk. 7

38 Moda VaR Základí popis a hisori ody VaR V současé době jd o jdu z jpoužívaějších od pro ěří ržího rizika porfolia. Jjí hodoa vyjadřuj vlikos pociálí ožé zráy porfolia při saové pravděpodobosi a za saový časový irval. Njčasěji s VaR ěří při pravděpodobosi 95 % a časové horizou jd d. Irprac hodoy VaR, apř. jd ilió při zíěých pararch zaá, ž zráa příslušého porfolia ásldující d s 95 % pravděpodobosí přsáh jd ilió. Pro výpoč hodoy VaR lz použí ěkolik způsobů, kré budou dál popsáy podroběji. Mzi jpopulárější paří hisorická siulac, dál variačě-kovariačí oda, bo siulac Mo Carlo. Jšě ž přjd k dailějšíu popisu ody VaR, rád bych zíil pár bodů z hisori. Prví pokusy zavés íru rizika, krá by v absoluí hodoě vyjadřovala pociálí zráy hodoy porfolia s připisují roku 888 Fracisovi Edgworhovi. Ovš odrí éra ěří rizik pozicí držých v zahraičích ěách započala roku 97. V oo roc zaikl Bro- Woodský sysé, krý s zakládal a vzájě rlaivě pvých pariách ě člských zí, kré pak byly ukovy a vdoucí ěu - arický dolar (ziárodí ěové a fiačí kofrc, koaé..7.9 za účasi sáů v arické lázňské ěsě Bro Woods). Záik Bro-Woodského syséu a rychlý přchod a sysé víc a bo éě volě plavajících kurzch zi růzýi zěi s podsaý 8

39 podíl a svěové obchodu poskyl podě k ěří a aagu kurzových rizik. Jako kocpčí základ byl použi Blafl-Scholsův aaický odl ověřováí akiv, založý a přdpokladu, ž ca akiva s vyvíjí jako sochasický procs, jiýi slovy, ca akiva v čas j závislá a cě v čas, vyvíjí s áhodě. Prudký árůs obchodováí s cizíi ěai a cýi papíry v souvislosi s vzrůsající dcí zahraičího obchodu vdl k popávc po kvaiaivích írách rhového rizika jako j Valu a risk. Moda VaR Jak již bylo řčo v úvodu, výsldk ody VaR ůž bý apř. výpočě podložé vrzí, ž dí hodoa v riziku čií il. Kč s spolhlivosí 95 %. To zaá, ž případá dí zráa vyšší ž il. Kč hrozí s pravděpodobosí pouz 5 %. Za ěých podík lz zráu vyšší ž il Kč očkáva jvýš v jdo z dvaci příších obchodích dí. Výsldky ohoo ypu ohou bý použiy růzý způsob:. Pro saoví kapiálových požadavků jako jdůlžiější aplikaci ody VaR.. Pro alokaci ivsičích prosřdků (apř. pro saoví horích hraic ozujících ivsičí akiviy jdolivých obchodíků baky dl jjich přdchozích výsldků forulovaých právě poocí ody VaR).. Pro ohodocí jdolivých obchodíků zohldňující aké hldisko rizikovosi jjich ivsičích akivi. 9

40 . Pro ázorější a opraivější iforovaos jak vrcholého aagu, ak akcioářů o rizikovosi prováděých ivsičích akivi. 5. Pro řízí fiačích rizik (risk aag) j v bakách, al i jiých fiačích isiucích (případě i v fiačích isiucích, jako jsou pojišťovy, pzijí fody apod.). 6. Pro igraci růzých ypů rizik do jdé hodoy uožňující io jié vzájě porova růzé syséy. Spcifikac ody VaR Moda VaR j spcifikováa dvěa základíi fakory, kré usí bý přd asavy. Jsou o časový horizo a spolhlivos. Časový horizo (holdig priod) spcifikuj, přs jaké období s ožá zráa uvažuj (luví s pak apř. o dí hodoě v riziku, o odě VaR přs ds dí apod.). Volbu časového horizou v kokréí siuaci ovlivňuj řada okolosí:. Likvidia rhu - zaá schopos rychl proda bo koupi určié koodiy bz bzpčí výzaé zěy cy. Likvidí rh s vyzačuj dosačý ožsví kupujících a prodávajících. Dobrou charakrisikou likvidího rhu j schopos uskuči další opakovaý obchod za sjou cu jako přdchozí. Jsliž j obchodí porfolio baky vořo z věší čási vysoc likvidíi ěai j a ísě použí dí VaR. Jsliž správc porfolia složého z éě likvidích cých papírů provádí výkazicví čvrlě, pak j vhodý dvadsáidí VaR.

41 . Něos porfolia časo s přdpokládá při výpoču hodoy v riziku. Vzhld k ou, ž jsou běh dlších časových úsků zěy v složí porfolia rálé, j vhodější používa pro výpoč VaR kraší časové horizoy.. df Ověřilos výsldků posupy ověřováí vyžadují věší obj skučě pozorovaých hodo (zisků a zrá v porfoliu), udíž i oo hldisko hovoří v prospěch volby kraších časových horizoů při výpoču VaR. Spolhlivos (cofidc lvl) spcifikuj, s jakou pravděpodobosí přvýší skučá zráa hodou v riziku (běh příslušého časového horizou). I zd zálží a okolosch, apř. pro sazší ověřilos výsldků j vhodější ižší spolhlivos, boť pak by rálě ělo dojí k vyššíu poču pozorovaých přkročí hraic VaR. Naopak pro účly vlasí kapiálové přiěřosi j aísě spolhlivos vyšší. Kroě časového horizou a spolhlivosi jsou pro spcifikaci ody VaR případě uá další upřsěí, apř. při výpoču kapiálových požadavků s hodoa VaR ěkdy ásobí bzpčosí" kofici, jhož výši (apř. v přdpsaé iiálí výši ři) j aké ué přd spcifikova. Mody výpoču VaR Ačkoli á oda VaR poěrě jdoduchou a jasou kocpci, jjí výpoč j poěrě složiý saisický problé. Eisuj víc od výpoču hodoy VaR, avšak všchy yo ody zachovávají podobou srukuru v řch základích bodch:. Výpoč současé hodoy porfolia (Mark o Mark Valu).

42 . Odhad rozdělí výosu porfolia.. Výpoč VaR porfolia. Hlaví rozdíl zi jdolivýi odai j v výš popsaé bodě dva, dy jaký způsob j řš problé odhadu rozdělí zě hodoy porfolia. Výpoč VaR j ožé uskuči růzýi způsoby. Tradičě s používají ři:. Hisorická siulac.. Variačě-kovariačí oda (azývá s éž aalyická oda).. Siulac Mo Carlo. Někří auoři uvádějí rozdělí pouz a dvě ody:. Dla ody (růzé variay aalyické ody).. Siulac Mo Carlo (siulačí ody včě hisorické siulac). Podl jovějších rdů s ody VaR dělí do ásldujících skupi:. Pararické (RiskMrics a GARCH).. Npararické (hisorická siulac a hybridí odl).. Polopararické (ori réích hodo a CAViaR).. Moda Mo Carlo.

43 Pozáka: Odhady VaR vypočíaé jdolivýi odai s ohou výrazě liši. Pararický výpoč VaR Pokud lz rozdělí íry zisku přs příslušý časový horizo popsa poocí ějakého pararického rozdělí s odhadulýi parary, pak lz provés pararický výpoč hodoy v riziku. Pro o účl s jčasěji používá orálího rozdělí. Aproiac orálí rozdělí ovš usí bý vždy vyhovující. Z hldiska výpoču hodoy v riziku vadí a aproiaci orálí rozdělí věšiou dosačě ěžké koc ohoo rozdělí. A o vlasě j dosačě ěžký záporý koc a sraě zrá (dosačě ěžký kladý koc a sraě zisků, s při výpoču hodoy v riziku uplaí). Při vhodé použií orálí aproiac vyjd hodoa v riziku ižší ž by správě ěla bý, což j při použií ody VaR v prai bzpčé. Pro přkoáí ohoo probléu byly avržy růzé alraivy k orálí aproiaci. Pokud s zabývá využií gaa fukc, bud ás zajía přdvší výpoč VaR poocí Sudova -rozdělí. Jako jié variay ohou bý uvdy: výpoč poocí sěsi orálích rozdělí, popř. poocí rozdělí GED (gralizd rror disribuio).

44 Výpoč VaR poocí -rozdělí Sudovo -rozdělí á pravděpodobosí husou varu: f k ( ) k ( k ) / k k, R, πk kd přirozé číslo k j poč supňů volosi a j gaa fukc. I když průběh jho pravděpodobosí husoy j podobý jako u orálího rozdělí, á ěžší koc ž odpovídající orálí rozdělí. Proo jho použií v odě VaR íso orálího rozdělí časo dává kokréější výsldky, jak dokazuj řada rálých příkladů. Jdiý parar s asaví ak, aby rozpyl / ( ) odpovídal výběrovéu rozpylu vypočéu z da.

45 Výpoč Laplacova igrálu Oázka igrovalosi Vzhld k ou, ž igrac j poěrě složiá procdura, v ěkrých případch s sává, ž pro ohé fukc í vůbc ožá. Jako příklad ůž uvés ěkrou skokovou fukci. Pooci á ůž záá věa z difrciálího poču: Jsliž f j spojiá fukc a uzavřé irvalu I, pak á v oo irvalu priiiví fukci. Tao věa á sic říká, ž za daých podík priiiví fukc isuj. Bohužl však ikoli, jak ji ají. Tao priiiví fukc ůž bý j orická, číž j íěo, ž isuj a dá s akrsli jjí graf. To graf j však aolik ypický, ž jj lz popsa žádou algbraickou kobiací lárích fukcí. Nyí s dosává k příkladu jdé z ěcho fukcí, a krou zaěří aší pozoros. Jdá s o fukci v varu: f ( ). Jak vidí j ao fukc zadaá vlic jdoduchou forulí. Jdá s o slavou zvooviou Gaussovu křivku (Obr. 9), krá j hojě používaá v saisic a pravděpodobosi. To igrál j úzc spojý s husoou orálího rozdělí. Při důkazu, zda j fukc opravdu husoou ějakého 5

46 rozdělí, s používá vzahu Laplacův igrál. d π. To igrál s azývá Obr. 9 Gaussova křivka. Proož j ao fukc spojiá a clé své dfiičí oboru, isuj k í priiiví fukc. Na Obr. vidí jdu z ich. Obr. Priiiví fukc Gaussovy křivky. Tuo fukci a grafu však lz popsa použií lárích fukcí. Ať již vyyslí jakoukoli priiiví fukci F, ikdy bud plai F ' f. Pro výpoč hodoy Laplacova igrálu isuj ěkolik způsobů. Násldě budou ěkré z ich uvdy ázorě. Při výpoču využij oho, ž igruj sudou fukci, udíž sačí vypočía d. 6

47 . Vypočíá Laplacův igrál přs poocý dvojý igrál: Ozač I d. Nyí bud počía poocý igrál: y ddy d y dy I. subsiuci Přpiš yí poocý igrál do polárích souřadic. Tz. použij r cos ϕ, y r si ϕ, s jakobiá J r. Možia, přs krou s igrál počíá j prví kvadra, boť jak ak y abývají pouz kladých hodo. y ddy π / π / r r rdrdϕ dϕ π / π dϕ Závěr dosává I a proo: π π I. Z čhož vyplývá: d d I π π. 7

48 8. Vypočíá Laplacův igrál přvdí subsiucí a hodou gaa fukc: d d d d d. Z čhož vyplývá: π d d. Nyí ukáž, ž π :. Využií vlasosi gaa fukc π π si ) ( ) ( vypoč π.. Vypočíá igrál d jprv příý výpoč a posléz přvdí a fukci ba. Porováí obou výsldků dosa, ž π. Oba yo igrály jsou vypočy v příkladu v kapiol Využií gaa a ba fukc v igrálí poču.

49 Porová-li oba výsldky dosa: Tdy: π. π. 9

50 Využií gaa a ba fukc v igrálí poču Gaa a ba fukci lz pro jjich vlasosi s výhodou využí v igrálí poču. Za jjich pooci lz spočía igrály, kré obvyklýi posupy lz vypočía. Popřípadě lz objí ěkré obížé počí posupy, bo aké zkrái délku výpoču oproi klasické igraci. Proož jsou obě fukc ablováy, j výhodé v prakických výpočch vyjadřováí hodo igrálů poocí ěcho fukcí. J však důlžiá jisá zkušos při igrováí fukcí, proož í pravidl, ž využií gaa a ba fukc vd vždy k sadějšíu výpoču. Jak bud v éo kapiol azačo, pro ěkré fukc j aopak lpší použí klasickou igraci, či jié subsiuc (apř. Eulrovy). Příklad Uvažuj igrál d. To igrál jprv vypočíá příý igrováí (jd o vlasí igrál vliv horí z): d li d li c c _ c _ c c [ arcsi ] li ( arcsi c arcsi ) π π. 5

51 5 Dál spoč o igrál přvdí a fukci ba s použií 5. o vlasosch fukc ba: ( ) ( ) d d d d d ( ) π, B. Jak j zd vidě, j klasická oda igrováí poěkud jdodušší oproi přvdí a ba fukci. Příklad Uvažuj igrál d I. Nyí ho vypočíá poocí Eulrovy subsiuc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d I. Zavd subsiuci ( ) : ( )

52 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d. Nyí pokračuj v výpoču igrálu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d I ( ) ( ) ( ) ( ) I I d d d d. Igrály ypu ( ) vypočíá poocí o řád vyššího igrálu: ( ) ( ) d d K ( ) ( ) u' u v v'

53 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d K ( ) K K K ( ) K K K ( ) ( ) ( ). Vráí s k výpoču původího igrálu a poocí ohoo vzahu spoč igrály ( ) d I a ( ) d I : ( ) ( ) ( ) arcg d K d I ( ) ( ) K K d I arcg, dy arcg arcg I I I

54 5 ( ) π π π π 6 ( ) 8 6 π π π. Násldě pro porováí vypočíá igrál d I přvdí a gaa fukci: ( ) ( ) d d d d ( ) 8 π!, B. Hodoa gaa fukc v bodě byla vypočíáa v aaické sofwaru Mapl 7.. Pozáka Jak lz vidě z obou posupů j v oo v případě srovalě fkivější využí odu přvodu a gaa fukci.

55 55 Příklad Vypočíá igrál d poocí gaa fukc: d d d d d. Povši si yí podobos s Laplacový igrál a ůž aš pozaky zobci a vypočía igrál ypu d a. To igrál á sysl pouz pro > a (vzhld k dfiici fukc ): a a d a d a d a d a a a. Příklad Vypočíj igrál d jprv poocí klasické subsiuc: [ ] ( ) d d li d d. Výpoč poocí fukc gaa vypadá ásldově: ( ) d d d d d d.

56 56 Příklad 5 Nyí odvodí obcou foruli pro igrály podobého ypu za přdpokladu, ž > a a > b (vzhld k dfiici fukc ): a b a d a d a d a b a a b d a d b a a a. Pokud bycho podl éo forul počíali igrál z přdchozího příkladu, vyjd á: b, a : ( ) d. Příklad 6 Dál odvodí vzah pro igrály ypu d a b : d a a a d b a d d ad d a a b d a d a a a b b b b b a b a d a b b b b.

57 Příklad 7 ako: Měj igrál d. Výpoč klasickou subsiucí bud vypada [ li ] 6 d d d 6 d. 6 6 A yí poocí přvodu a gaa fukci: d ( ) d 6 d d 6 6 d 6 d 6 ( ) 6. Vidí, ž zd j vhodější použí klasickou odu oproi přvodu a fukci gaa. Příklad 8 Urč rálou kosau k ak, aby k d. Fukc f ( ) k j sudá v irvalu ( ),, proo: 57

58 k d k d. k d d d k d k d k. Vidí dy, ž k d k π, udíž fukci jdé proěé f dfiovaou přdpis: k π. Tak dosává f ( ), (, ) π, krá s azývá husoa orovaého orálího rozdělí (dy s sřdí hodoou a rozpyl ) a j ablováa v saisických abulkách. Příklad 9 k Nchť j µ a σ kladé rálé číslo. Urč rálou kosau k ak, aby ( µ ) σ d : k ( µ ) σ σy µ dσ dy y d σ k dy. Využií výsldku z přdchozího příkladu dosává: σ k y dy σk σk π. 58

59 59 Tdy ( ) σ µ π σ k d k, udíž π σ k. Tak dosává fukci jdé proěé g dfiovaou přdpis: ( ) ( ) σ µ π σ g, ( ),, krá s azývá husoa orálího rozdělí (dy s sřdí hodoou µ a rozpyl σ ). Too rozdělí hraj zásadí roli v poču pravděpodobosi a aaické saisic. Příklad Vypočíj přvod a fukci ba igrál d 7 5 : ( ) d d d d d d , B. Pozáka: Ručě poocí klasických posupů igrál éo racioálí loé fukc vypočía lz. Pro úpravu igrovaého výrazu bycho usli použí aaický sofwar (apř. Mapl). Pokud bycho zadali výpoč ohoo igrálu do aaického sofwar Mapl 7., vyjd á výsldk

60 6, což začí, ž výpoč ohoo igrálu, j jisě výhodé poocí ba fukc. Příklad Využií aalogického posupu jako v přdchozí příkladu, js schopi vypočía igrály racioálích loých fukcí s polyoy vyšších supňů, kré klasickou igrací lz vypočía. Vypočíj dy igrál d : d d d d d 99 ( ) d B, 99 Příklad Z pozaků z přdchozích příkladů 9 a, ůž odvodi obcý vzah pro výpoč igrálu racioálí loé fukc v varu d : d d d d d ( ) d 6

61 6, B. Příklad Uvažuj igrál d, krý vypočíá jprv poocí klasické subsiuc: [ ] l d d d d d. Nyí použij k jho výpoču přvdí a ba fukci poocí sjé subsiuc: ( ) d d d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) li, B.

62 6 Příklad Vypočíj igrál π 5 / d cos si jprv poocí klasické subsiuc: ( ) π π π 5 / / / si d cos cos si d cos si d cos si ( ) d cos si d d π / cos cos cos A yí poocí přvodu a ba fukci: ( ) π π y arcsi dy y d / / d si si d cos si 5 5 ( ) ( ) 5 5 y d dy dy y y y dy y y ( ) ( ) ( ) 5 d d d

63 6 5 8, B. Hodoa ba fukc v bodě, byla vypočíáa v aaické sofwaru Mapl 7.. Příklad 5 Nyí ůž s pozaky z přdchozího příkladu vypočía igrál ypu π / b a d cos si. Nchť a jsou kladá rálá čísla. Spoč igrál π / d cos si : ( ) π π / / d si si d cos si ( ) ( ) π y dy y y d si si y arcsi dy y d / ( ) ( ) d dy y ÿ y d dy ( ) ( ) d d

64 B,. Pozáka: Z ohoo příkladu vyplývá, ž pro každé rálé číslo plaí: π / si Příklad 6 π / d cos d B, odou: Uvažuj igrál π / si 6 d, krý vypočíá jprv klasickou π / π / π / 6 si d 8 8 [ cos( ) ] d cos( ) cos ( ) cos ( ) d 8 π / π / π / π / d cos( ) d cos( ) d cos ( ) d Vypočíá poocé igrály. Zvolí subsiuci cos d cos d si C si C.. ( ) ( ) Zvolí subsiuci, d d :, d d : 6

65 .. cos ( ) d cos d si C si( ) C Zvolí subsiuci, d d :. ( ) cos d cos d cos cos d ( si ) cos d si si cos d. Zvolí subsiuci u si, du cos d : u si si cos d u du C C. J dy: π / si 6 5 d 6 si 6 8 ( ) si( ) si ( ) π / 5 π 5π. 6 Vidí dy, ž výpoč klasickou subsiučí odou j poěrě zdlouhavý. Použij-li vzahu v přdchozí příkladě 7, dosává: π / si d odvozého 65

66 π / 7 6 5π si d. ( ) Mapl 7.. Hodoy gaa fukc byly vypočíáy v aaické sofwaru 66

67 Závěr Tao diploová prác j kocipováa ak, aby podala základí iforac o ba a gaa fukcích a jjich využií. V éo práci js s pokusil sjdoi jdolivé iforac o éo problaic, zjéa z pohldu prakického využií. Hlaví zdroj ariálu byl přdvší ir, proož iforac v lirauř (zjéa v čské) jsou uclé. Z hldiska prakického využií jsou uvdy dfiic základích saisických rozdělí, kré jsou dfiováy poocí gaa a ba fukc a jjich charakrisiky. Tyo iforac jsou éž doplěy barvýi grafy. V práci js aké uvdl odu VaR (valu a risk), krá s využívá zjéa v fiačicví a kooii. Závěr prác s zabývá příklady pro využií ěcho fukcí v igrálí poču. Při výpoču js využil jak posupu poocí přvodu a gaa popř. ba fukci, ak odu klasické igrac poocí subsiuc, ody pr pars a Eulrovy subsiuc. Z výsldků j zalé, ž za určiých podík j výhodější použí zalosi o ěcho fukcích, al vli zálží a zkušosch s igrováí při odhadu, krá oda j jvýhodější. Závěr bych rád podokul, ž éaika gaa a ba fukcí j dalko obsáhljší ž j rác éo prác a proo případého zájc o prohloubí zalosí a iforací odkazuji a použié zdroj. 67

68 Sza použié liraury Aděl J.: Maaická saisika, SNTL/Alfa, Praha 978 (sr. 9, sr. 7 97). Bakyová H., Hál J., Novák I., Ugro M.: Saisická idukc pro kooy, SNTL/Alfa, Praha 986 (sr. 5 8). Brabc J., Hrůza B.: Maaická aalýza II, SNTL/Alfa, Praha 986 (sr. 5). Cipra T.: Kapiálová přiěřos v fiacích a solvos v pojišťovicví, Ekoprss, Praha (sr. 8). Coufal, J.: Fukc gaa a ba, NAROMA, Praha 996. Jarík V.: Igrálí poč, Acadia, Praha 98 (sr ). Jirásk F., Bda J., Čipra S., Vack M.: Sbírka řšých příkladů z aaiky III, SNTL, Praha 989 (sr. 76 6). Jirásk F., Bda J., Vack M.: Sbírka řšých příkladů z aaiky II, SNTL, Praha 989 (sr. 57 ). Jirásk F., Kriglsi E., Tichý Z.: Sbírka řšých příkladů z aaiky I, SNTL/Alfa, Praha 987 (sr. 5 65). Kaňka M., Hzlr J.: Maaika pro kooy II, Ekoprss, Praha 997. Klůfa a kol.: Mudus sybolicus (Sborík kadry aaiky), VŠE, Praha 996, ročík (sr. 5 ). 68

69 Klůfa a kol.: Mudus sybolicus (Sborík kadry aaiky), VŠE, Praha 5, ročík (sr. 7 7). Klůfa J., Coufal J.: Maaika pro kooy I, Ekoprss, Praha 997. Likš J., Hál J.: Základy poču pravděpodobosi a aaické saisiky, SNTL/Alfa, Praha 97 (sr. ). Likš J., Laga J.: Základí saisické abulky, SNTL, Praha 978. Mrkvička T., Prášková V.: Úvod do saisiky, Skripu, PF JU, Čské Budějovic 6 (sr. 5 9). Polách Eduard: Pravidla sazby diploových prací, Skripu, PF JU, Čské Budějovic 998. Irové zdroj: Wikipdia: Časopis Naura: hp://aura.baf.cz/aura///5.hl, hp://aura.ri.cz/aura//5/56.hl Uivrzia Koského (Braislava): hp:// Uivrsiy of Lds (Lds): hp:// S. O. S. Mahaics: hp:// 69

70 Irakiví učbic saisiky (Vysoká škola kooická v Praz): hp://iasa.vs.cz/ Pravděpodobos a saisika hyprově (Západočská uivrzia): hp://ho.zcu.cz/~frisl/hpsb/i.hl Eurois základy saisiky: hp://ucbic.urois.cz/id.php?co&sciokihy Akadi věd Čské Rpubliky: hp:// cios/ 7