je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme

Transkript

1 DERIVACE FUNKCE Má zásadí výzam při vyštřováí fukčích závislostí j v matmatic, al také v aplikacích, apř v chmii, fyzic, koomii a jiých vědích oborch Pricip drivováí formulovali v 7 stoltí závisl a sobě ěmcký matmatik GW Libiz (a základě úvah o tčě k grafu fukc) a aglický fyzik I Nwto (úvahami o okamžité rychlosti) Pozámka : Jako limitu podílu přírůstku fukc a přírůstku proměé j možé vyjádřit okamžitou rychlost pohybujícího s bodu Jstliž s tělso pohybuj přímočař a jho dráha s j fukcí času t, pak jho okamžitá rychlost v v okamžiku t 0 j daá vztahm v 0 s ( t 0 ) V fyzic bývá zvykm začit drivaci podl proměé t (podl času) tčkou, proto píšm v s (t) Podobě, jstliž průběh fyzikálí vličiy m j fukcí času t, potom okamžitá změa v této vličiy v čas t j daá vztahm v m (t) Tímto způsobm můžm popsat rychlost chmické rakc, itzitu lktrického proudu, rychlost růstu populac, rychlost růstu firmy a dvalvac v koomii a clou řadu dalších vliči z růzých oblastí přírodích a tchických věd Dfiic : Drivací fukc f() v bodě 0 azývám (pokud istuj) limitu f ( 0 + h) f ( 0 ) lim h 0 h Začím ji f ( 0 ) Pozámka : Říkám, ž fukc má drivaci a itrvalu I, má-li drivaci v každém bodě tohoto itrvalu Zatímco drivac v bodě 0 j číslo f ( 0 ), drivac a itrvalu I j fukc f () pro I Při praktickém počítáí určujm drivac fukcí užitím dfiic, tj jako limitu, al pomocí pravidl a vzorců, ktré jsou z dfiic odvozy: Pravidla : P P P ( k u) k u k j kostata ( u ± v) u ± v u, v jsou fukc proměé ( u v) u v+ u v u u v uv P v v

2 Vzorc : V k 0, k j kostata V V ( ), spciálě ( ) / ) V 9 ( ( tg cos ) V ( a ) a l a V 0 (cotg) si V 5 (l ) V (arcsi ) V (log a ) V l a (arccos ) V 7 V 8 (si ) cos V (arctg) + (cos ) si V (arccotg) + 5 y + si Njdřív použijm P (drivac součtu a rozdílu), y ( 5 ) ( ) + (si ), potom použijm a prví dva čly V a a třtí V7 Tdy y 5 + cos y + l Použijm opět jdřív P a potom V a V5 Uvědomt si, ž y ( ) ( l ) a y 5 Použijm opět jdřív P a a prví čl P (vytkm kostatu) Potom V ( ) ( ) y

3 y cos Njdřív rozpíšm podl P (drivac součiu): y ( ) cos + (cos ), dál pomocí V a V8 cos + ( si ) Výsldk můžm upravit, pak y (cos si ) Pravidlo P lz zobcit a kočý počt čiitlů Drivac j potom rova součtu součiů všch čiitlů, z ichž s právě jd drivuj (postupě od prvího k posldímu) u u K u ) ( u ) u K u + u ( u ) K u + K+ u u K ( u ) ( k k k k y l tg Rozpíšm podl pravidla pro drivaci součiu: y ( ) l tg+ (l ) tg+ l (tg) Dál pomocí V, V5 a V9 l tg+ tg+ l cos Po zdrivováí bychom mohli výsldk upravit vytýkáím: l tg+ tg+ l cos y y ( ) ( ) ( ) Podl P j Zbývá drivovat čly v čitatli a upravit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y Jstliž j v jmovatli zlomku, ktrý budm drivovat pouz kostata, můžm použít P a vzorc tg y Fukci můžm zapsat v tvaru y tg Potom j podl P y ( tg) cos cos

4 Pozámka: Drivaci j samozřjmě možé provést i užitím P tg 0 cos cos Tto výsldk j stjý, jako při přdchozím y ( ) cos postupu, stačí zlomk krátit Příklad : Vypočtět hodotu prví drivac fukc y cos v bodě π Užitím P a vzorců V a V8 dostam y cos + ( si ) Pro výpočt drivac v bodě í třba dál fukci upravovat Po dosazí y ( π ) π ( ) + π (0) π Drivac složé fukc j rova součiu drivací jdotlivých složk : F ( ) f ( g( )) F ( ) f ( g( )) g ( ) Platí i pro vícásobě složé fukc J-li F ( ) f ( g ( h ( ))), potom drivac F ( ) f ( g ( h ( ))) g ( h( )) h ( ) y ( ) Vější složka j mocia, vitří kvadratická fukc Podroběji 5 5 y ( ) ( ) ( ) ( ) y u a + 5+ u y si Fukc má vější složku y u a vitří u si Njdřív drivujm vější složku a v dalším kroku vitří : cos y ( si ) ( cos ) si si si y l Fukc má složky y ( ) ( ) ( ) Upravím-li a jd zlomk vykrátím, bu

5 Příklad : Vypočtět hodotu prví drivac fukc y + ( ) arctg y v bodě 0 arctg5 + arctg5+ + (5) ( ) + ( ) arctg5+ ( ) ( ) ( ) 5 Protož počítám drivaci v bodě, budm fukci upravovat, al přímo dosadím 0 y ( 0) + 0 arctg0+ ( 0 ) (0) Drivac vyšších řádů vypočítám postupým drivováím drivací řádů ižších, pokud istují Dfiic: Drivac fukc f () j opět fukc Má-li tato fukc f () drivaci, azývám ji druhou drivací fukc f () a začím ji f () Obcě -tou drivaci fukc () ( ) ( ) f dfiujm vztahm f ( ) [ f ( ) ] Třtí drivaci fukc začím symbolm f (), al u vyšších drivací už ozačujm jjich () (5) ( ) řád číslm v závorkách : f ( ), f ( ),, f ( ) Kromě uvdého začí vyšších drivací s používá v fyzic a tchických oborch také začí : d d ( ) f ( ), f ( ),, f ( ) d Příklad : Vypočtět drivaci druhého řádu fukc y Njdřív vypočtm a upravím prví drivaci: ( ) + ( ) y Potom opět drivujm ( ) 9 + ( ) y ( ) 5 Příklad : Určt hodotu drivac třtího řádu fukc y + + v bodě y 5 y + 0 y 0 y + ( ) 0 ( )