7. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic.

Transkript

1 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic 7 Sousavy liárích difrciálích rovic Příklad ( ) ξ 3 + ( ) ξ Maicový zápis ( ) ξ ( ) ξ Dfiic 7 (sousava liárích difrciálích rovic prvího řádu s kosaími koficiy) A + q ( ) (7) kd a a A a a q q q ξ ξ Fukc q q s přdpokládají spojié a ějakém irvalu I (a b) a < b q : I j dy spojiá vkorová fukc A j čvrcová maic s rálými prvky ypu Řším sousavy (7) a irvalu I s počáčí podmíkou j každá vkorová fukc pro krou plaí I ( ( ) A( ) + q( ) ) ( ) Zobrazí L [ ] A j liárí zobrazí Přidružá homogí sousava difrciálích rovic j L [ ] j A Pozámka 7 Difrciálí rovic ého řádu můž bý vždy zapsáa jako sousava liárích rovic prvího řádu Jsliž ( ) ( ) y + p y + + p y q ( ) ( ) ( ) dfiujm y y 3 y ( ) y y y q pak 3 y a plaí q ( ) y

2 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic + q p p p p Věa 7 (o isci a jdozačosi řší) Nchť A j čvrcová rálá maic ypu q : I j spojiá vkorová fukc a irvalu I (a b) a < b Pak pro každé I a pro každý vkor isuj jdié řší počáčí úlohy A + q ( ) Věa 7 (o liárí závislosi) Nchť vkorové fukc m jsou a irvalu I (a b) a < b řším ějaké homogí sousavy difrciálích rovic j i Ai i m A j čvrcová rálá maic ypu Pak ásldující výroky jsou avzájm kvivalí: () I( ( ) m( ) jsou liárě závislé) () I( ( ) m( ) jsou liárě závislé) (3) m jsou liárě závislé a I () () Sporm chť plaí () j I( ( ) m( ) jsou LN) a plaí () j I ( ( ) ( ) jsou LZ) To j však spor m () (3) Nchť plaí () j I( ( ) m( ) jsou LN) a c + + cmm Pak dy isuj ějaké I akové ž ( ) m( ) jsou LN a I( c ( ) + + cmm( ) ( ) ) udíž c ( ) + + cmm( ) Odud ovšm ( c c m) boť ( ) m( ) jsou LN plaí dy (3) (3) () Sporm chť m jsou LN a I a I( ( ) m( ) jsou LZ) Pak dy isuj ějaké I a ( c cm) akové ž c ( ) + + cmm( ) Dfiujm vkorovou fukci a I vzahm c + + cmm Fukc j řším homogí rovic A a vyhovuj počáčí podmíc ( ) c ( ) + + cmm( ) Podl věy 7 o isci a jdozačosi j uě ulová fukc a I Našli jsm dy ( c cm) akové ž c + + cmm a I což j spor s přdpokladm liárí závislosi fukcí a I m

3 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic Věa 73 ( dim(kr(l)) ) Nchť A j čvrcová rálá maic ypu vkory b b b voří bázi vkorového prosoru j libovolé číslo Poom řší počáčích úloh i Ai i ( ) b i (7) i a libovolém irvalu I I voří a I bázi prosoru kr(l) kd L [ ] A (a) Podl věy 7 o isci a jdozačosi řší počáčích úloh (7) isují (b) Proož vkory i( ) b i i jsou liárě závislé podl věy 7 odud ply liárí závislos řší a irvalu I (c) Dál ukážm ž kr(l) j liárím obalm řší Nchť j libovolé řší homogí sousavy rovic L[] a irvalu I I Poom ( ) Proož vkory b b b voří bázi prosoru isují čísla β β β aková ž ( ) βb + + βb Položm β + + β Vkorová fukc η j a irvalu I řším homogí rovic L[] a ( ) β( ) + + β( ) ( ) β b + + β b ( ) ( ) ( ) Nulová vkorová fukc ovšm řší sjou počáčí úlohu jako η podl věy 7 o isci a jdozačosi j η j β + + β což s mělo dokáza Fudamálí sysém sousavy liárích difrciálích rovic Možia všch řší homogí sousavy rovic L[] L [ ] A j jdozačě určá ějakou bází prosoru kr(l) Řši homogí sousavu difrciálích rovic L[] zamá podl věy 73 vyhlda liárě závislých řší Ispirovái dřívějšími zkušosmi položm si oázku za jakých podmík j řším sousavy vkorová fukc ( ) λ u kd u j kosaí ulový vkor Věa 74 Nchť A j rálá čvrcová maic ypu I j jdoková maic ypu Vkorová fukc ( ) λ u u j řším sousavy A a právě když ( λ I A) u u (73) λ ( ) λ u A u λ λ λ u Au λ u Au λ u Au ( λ I A) u Důsldk 7 () Jsliž s podaří ají dvojic (λ i u i ) ak ž splňují podmíku (73) a vkory i u u u jsou liárě závislé pak podl věy 7 jsou i fukc ( ) λ u i i 3

4 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic i liárě závislé a dy voří fudamálí sysém sousavy difrciálích rovic A a () Z liárí algbry j zámo ž homogí sousava rovic (73) má ulové řší pouz když maic sousavy λ I A j sigulárí a o asa právě když drmia maic sousavy j ulový j d( λ I A ) Drmia d( λ I A ) j ovšm polyom -ého supě proměé λ azývá s charakrisický polyom maic A ozačm jj ( λ) : d( λ I A ) Kořy charakrisického polyomu s azývají vlasí (éž charakrisická) čísla maic A K každému koři λ charakrisického polyomu isuj dy ulový vkor u krý j řším sousavy (73) j ( λ I A) u To vkor s azývá vlasí (éž charakrisický) vkor maic A příslušjící k vlasímu číslu λ K daému vlasímu číslu λ můž isova víc liárě závislých vlasích vkorů u jvýš však olik kolik čií ásobos čísla λ coby koř charakrisického polyomu Příklad 7 J dáa sousava () charakrisický polyom vlasí čísla Maic sousavy j A 4 Charakrisický polyom j ( λ) d( λ I A ) dλ 4 λ d 4 λ ( λ ) 4 λ λ 3 ( λ + )( λ 3) Vlasími čísly maic A jsou dy čísla λ λ 3 () vlasí vkory Nchť u u u j vlasí vkor příslušjící k vlasímu číslu λ Pak plaí u ( λ I A) u j 4 u položm u 4

5 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic Nchť v v v j vlasí vkor příslušjící k vlasímu číslu λ 3 Pak plaí v ( λ I A) v j 4 v položm v (3) fudamálí sysém Jlikož vkory u v jsou liárě závislé budou liárě závislé i fukc ( ) λ u ( ) λ v j voří fudamálí sysém zadaé sousavy (4) obcé řší Obcé řší j liárím obalm fukcí j plaí ( ) c ( ) + c ( ) 3 c + c 3 c 3 c fudamálí maic Pozámka 7 () Z přdchozího příkladu j zřjmé ž obcé řší libovolé homogí sousavy difrciálích rovic A j vždy možé zapsa v varu součiu fudamálí maic ypu a vkoru kosa c ( c c ) j ( ) c ( ) + + c ( ) U( ) c Z způsobu kosrukc fudamálí maic j zřjmé ž U AU (74) () Jsliž maic A má m avzájm růzých vlasích čísl pak jim odpovídající vlasí vkory jsou již liárě závislé V příkladě 7 jsm udíž musli ověřova liárí závislos vkorů u v boť a j již důsldkm růzosi vlasích čísl Ukažm si o Nchť plaí: ( λ I A) u ( λ I A) v λ λ u v Uvažm ulovou liárí kombiaci cu + cv a ukažm ž musí bý riviálí Z rovic cu + cv však dosávám ( λ I A)( cu + cv) ( λ I A) j c( λ I A) u + c( λ I A) v a kočě c + c( λ λ ) v dy uě c Mám dy c u a dy i c Příklad 73 Uvažm sousavu A kd A Poom λ λ I A λ j I A ( λ) d( λ ) ( λ ) Mám dy jdo vlasí číslo λ ásobosi 5

6 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic Proož λ I A mám pro výpoč odpovídajících vlasích vkorů sousavu s ulovou maicí krá má jisě dvě liárě závislá řší apříklad u v Nalzli jsm dy fudamálí sysém ( ) dy ( ) U ( ) Obcé řší můžm zapsa v varu ( ) U( ) c c c Příklad 74 Uvažm sousavu A kd A Poom λ λ I A λ j I A ( λ) d( λ ) ( λ ) Mám dy jdo vlasí číslo λ ásobosi Proož však maic λ I A má hodos homogí sousava ( λ I A) u můž mí za řší dvojici liárě závislých vkorů proož dim( kr( λ I A ) ) h( λ I A ) Tuo siuaci řší dál uvdá věa Věa 75 J dáa sousava difrciálích rovic A Nchť číslo λ j ásobým kořm charakrisického polyomu maic A j plaí ( λ) d( λ I A ) ( λ λ) ψ ( λ) kd již ψ ( λ) Pak sousava λ ( I A) u má liárě závislých řší chť jsou o vkory u u Pomocí ěcho vkorů ssrojím liárě závislých fukcí kré jsou řším homogí sousavy 6

7 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic A K každému vkoru u i saovím odpovídající fukci i podl dál uvdého vzorc 3 3 λ i( ) I + Aλ + A λ + A λ + + A λ u i (75)! 3! ( )! kd jsm ozačili A : A λ I λ Tímo způsobm můžm k každému vlasímu číslu ssavi olik liárě závislých řší homogí sousavy kolik čií jho ásobos Výsldý sysém ako získaých fukcí j fudamálím sysémm sousavy A Příklad 74 (pokračováí) Proož λ I A a λ j ásobosi j řba ají dvě liárě závislá řší sousavy ( ) λ I A u kd ( λ I A ) Opě můžm vzí dvojici vkorů u u Odpovídající fukc získám z vzorc (75) j i( ) ( ) i λ I + Aλ u kd Aλ A λ I j i( ) i u Mám dy kočě ( ) ( ) a pro fudamálí maici plaí U ( ) c Obcé řší sousavy můžm zapsa v varu ( ) c Rovic s ulovou pravou sraou variac kosa () Njprv j ué řši přidružou homogí sousavu rovic A j ají fudamálí maici sousavy řší přidružé homogí sousavy lz pak vyjádři jako souči vkoru kosa c a fudamálí maic U j ( ) U( ) c () Mám-li řši sousavu rovic s ulovou pravou sraou j A + q q j dál pořba saovi parikulárí řší Moda variac kosa spočívá v om ž parikulárí řší hldám v varu součiu vkoru pomocých fukcí c() s fudamálí maicí j v varu ˆ( ) U( ) c ( ) Dosazím do sousavy s ulovou pravou sraou q() dosam podmíku a vkorovou fukci c() Plaí: ˆ( ) ( U( ) c( ) ) U ( ) c( ) + U( ) c ( ) dy U ( ) c( ) + U( ) c ( ) AU( ) c( ) + q( ) (76) 7

8 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic Rovici (76) lz přpsa do varu ( ) drivac vkorové fukc c() mám U( ) c( ) AU( ) U( ) c( ) + q( ) j pro výpoč Odud igrací vzí kroukoliv fukci z možiy c ( ) U ( ) q( ) (77) U ( ) q ( ) d získám pomocé fukc c() za parikulárí řší můžm U( ) U ( ) q ( ) d (3) Obcé řší J-li vybráo parikulárí řší lz psá v varu ˆ( ) ( ) ( ) ( ) U U q d obcé řší ( ) ˆ ( ) + U( ) c c Příklad 75 J dáa sousava + () řší homogí rovic Sousava byla vyřša v příkladu 74 mám dy výsldk c ( ) c () parikulárí řší variací kosa Parikulárím řším bud podl přdchozího výkladu krákoliv vkorová fukc z možiy U( ) U ( ) q ( ) d v ašm případě j U ( ) q ( ) Odud ( ) ( ) 4 U q Dál igrací získám pomocou vkorovou fukci c() c U q d ( ) ( ) ( ) d c + c Vybrm c ( ) pak ˆ( ) U ( ) 8

9 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic 3 dy ˆ( ) (3) obcé řší ( ) ˆ ( ) + U( ) c + c c Rovic s počáčí podmíkou Uvažujm sousavu s počáčí podmíkou Tuo úlohu můžm řši ak ž ajdm obcé řší krý obsahuj bod j A + q ( ) (78) ( ) ˆ ( ) + U( ) c a irvalu I I a vypočm vkor c ak aby řší splňovalo počáčí podmíku j ( ) ˆ( ) + U( ) c Odud c U ( ) ( ( )) a kočě ( ) ˆ ( ) + U( ) c ˆ ( ) + U( ) U ( ) ( ˆ( )) Parikulárí řší kré j řším v okolí bodu j možo vybra ak aby ˆ( ) j počáčí úlohy (78) mám dy vzorc ˆ( ) ( ) ( ) ( ) U U τ q τ dτ Pro řší ( ) U( ) U ( ) U( ) U ( τ ) q ( τ ) dτ (79) + V vzorci (79) s dají součiy maic U( ) U ( ) U( ) U ( τ ) jšě dál zjdoduši Njprv zavďm zv sadardí fudamálí maici sousavy Dfiic 7 (sadardí fudamálí maic) Fudamálí maic V() liárí difrciálí sousavy A s kosaí maicí A s azývá sadardí vyhovuj-li podmíkám V AV V() I Taková maic podl věy 7 o isci a jdozačosi vždy isuj a podl vzorc (75) jjími prvky jsou ějaké kvazipolyomy Ukažm ž plaí V( τ ) U( ) U ( τ ) (7) kd U j libovolá fudamálí maic sousavy Dfiujm maic W ( ) : V ( τ ) W ( ) : ( ) ( τ ) U U 9

10 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic Plaí W ( τ ) V() I W ( τ ) ( τ ) ( τ ) U U I J dy W ( τ ) W ( τ ) I (7) W ( ) V( ) V ( τ ) ( )( ) AV τ A( V ( τ )) AW ( ) podobě Dál ( τ ) ( τ ) W U U U U ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) τ ( AU( )) U ( ) τ A( U( ) U ( )) AW ( ) Maic W W vyhovují sjým počáčím podmíkám (7) a řší sjou liárí homogí sousavu podl věy 7 o isci a jdozačosi jsou dy oožé j W W a dy plaí (7) Odud dál ply V( ) U( ) U () V( τ ) U( τ ) U () (7) mám dy řší počáčí úlohy (78) v varu ( ) V( ) + V( τ ) q ( τ ) dτ (73) Příklad 76 Řšm počáčí úlohu A + q ( ) () sadardí fudamálí maic kd A 4 3 () q ( ) λ ( λ) d( λ I A ) ( λ )( λ + ) 4 λ + 3 pro λ u 4 4 u odud u pro λ 4 v 4 v odud v 4 Fudamálí maic: U ( ) 4 sadardí fudamálí maic

11 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic V( ) U( ) U () () řší počáčí úlohy ( ) V( ) + V( τ ) q ( τ ) dτ 4 + ( ) ( ) τ ( τ ) τ dτ τ ( τ ) τ ( ) ( ) + 3 τ ( τ ) τ dτ τ ( τ ) 3 4 kd 3 τ ( τ ) τ dτ τ ( τ ) 3 4 dτ ( ) Mám dy ( ) ( ) ( ) ( ) Elimiačí moda Uvažujm úlohu z příkladu 76 sousavu rozpišm a jdolivé složky vkorů dosam: (74) Sjě jako při řší sousavy algbraických rovic můžm s pokusi rdukova poč zámých fukcí v sousavě (74) Například z prví rovic vyjádřím zámou + (75) a dosadím do druhé rovic dosam rovici z íž j zámá fukc limiováa j po úpravě dosam ( + ) 4 3( + ) (76) Řším rovic (76) získám dosazím do (75) dosam

12 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic Právě uvdý posup limiac s j ěžko zobcňuj a sousavy o víc jak dvou rovicích S využiím opráorových polyomů s dá dokáza ásldující Věa 76 (limiac) Uvažujm homogí sousavu o rovicích s kosaí maicí A j A (77) Nchť ( λ) d( λ I A ) j charakrisický polyom maic A Pak každá kompoa vkoru řší [ ] T sousavy (77) vyhovuj difrciálí rovici ého řádu určé opráorovým polyomm [ D] j [ D] i i (78) Každé řší i rovic (78) lz vyjádři jako liárí kombiac fudamálího sysému rovic (78) j i ci y ci y Dfiujm vkor y [ y y ] T jhož složky voří fudamálí sysém rovic (78) Pak k každému vkoru řší rovic (77) isuj maic kosa C ypu aková ž Cy Rovici (77) lz přpsa užiím opráoru drivováí D dosam D A j D A ( DI A) Mám dy rovici ( DI A) (79) Z liárí algbry j zámo ž ásobím-li zlva či zprava maici M raspoovaou maicí jjích algbraických doplňků ozačm ji C(M) dosam M C(M) C(M) M d(m) I Provdm-li uo opraci a rovici (79) dosam: C( DI A)( D I A) C( DI A) j d( DI A) I kočě [ D] Rozpsáím do složk získám (78) Zbyk vrzí věy j zřjmý Využií věy 76 ukážm a příkladě Příklad 77 Řšm sousavu (7) Pro charakrisický polyom maic sousavy mám: ( λ) d( λ I A ) dλ λ λ λ λ + ( λ α)( λ α ) kd α + j Pro fudamálí sysém rovic [ D] y

13 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic mám [ y cos si ] T Podl věy 76 isuj maic kosa a b C aková ž řší sousavy lz psá v varu Cy Dosazím do původí sousavy získám vazbu mzi koficiy maic C Dosam: a b cos a b cos si j si a b cos si a b cos si cos (7) + si sousavu (7) můžm krái pociálou mám dy a bcos si a bcos si + cos si (7) Rozpsáím sousavy (7) získám vazbu mzi koficiy maic C Lz posupova ako: a bcos si a bcos a bsi si + cos si + cos a bcos b acos a b b a cos + si d c si + d c si a + b b acos c + d d c si a bcos c d cos si ( a + c) ( b + d) si Pak plaí a + b b a c d c + d d c ( a + c) ( b + d) odud dosam c a b d a b Řší homogí sousavy (7) j dy a b cos a b a b si cos si a cos si cos si b + + Pozámka 73 Výpoč charakrisického polyomu maic A ypu A [ a i k ] i si podl dál uvdého vzorc můžm usadi: k k k ( λ) d( λ I A ) λ ( ) S k k 3

14 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic i i ik pro koficiy S k plaí: S Sk A( i i i ) Vždy plaí S S A i i ik ( i i i ) i < i< < ik d k i r( A ) aii S d( A ) a a a a a a a a a k ii ii ii k ii ii iik ik i iki ik ik kd jsm ozačili Spciálě pro maici mám ( λ) λ r( A) λ + d( A ) pro maici 3 3 mám ( λ ) λ r( ) λ a a a a a a A d( ) a a a3 a33 a3 a λ A 33 Parikulárí řší rovic s kvazipolyomiálí pravou sraou Uvažujm sousavu A + q( ) α (73) kd vkorová fukc q() j vořa pouz polyomy parikulárí řší rovic j pak možo uvažova v sjém varu j v varu součiu ˆ p ( ) α kd opě vkorová fukc p() j vořa pouz polyomy jjichž koficiy získám dosazím do rovic (73) Dosam ( D + α) I A p( ) q ( ) (74) ( ) kd jsm již vykráili pociálu a použili opráor drivováí D Sjě jako v věě 76 ásobm rovici (74) raspoovaou maicí algbraických doplňků C(( D + α) I A ) Jsliž kofici α j k ásobým kořm charakrisického polyomu maic A j ( λ) ( λ α) k ψ ( λ) ψ ( α) dosam a lvé sraě rovic (74) a dy k [ D + α] p( ) ψ ( D + α) D p ( ) k ψ ( D + α) D p( ) C(( D + α) I A) q ( ) k Opráor D síží řád všch polyomů v p() o k opráorový polyom ψ (D + α) řád již sižuj Odud vyplývá ž i ou složku vkorové fukc p() j řba uvažova v varu m k p i( ) pi m k pi kd m ma{s(q ) s(q )} 4

15 :3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic Příklad 78 Uvažujm sousavu cos( ) + (75) Přidružou homogí rovici jsm již vyřšili v příkladu 77 zd s sousřďm a alzí parikulárího řší Pravá sraa rovic (75) j rálá čás kvazipolyomu s koficim α + j a j o ásobý koř charakrisického polyomu maic sousavy Parikulárí řší proo hldjm v varu + + a b c ( + j) ˆ c( ) (76) d + + f Dosazím do rovic (75) s komplí pravou sraou dosam vzahy pro koficiy a b c d Dosam rovici podl (74) odud dosam D + α a + b + c D α + d + + f Po úpravě + + α a b ( a b c) d f ( a + b + c) + d + + ( )( d + + f ) α α α + ( a d) ( a b ) b c f a + α d + b + d + α c + + α f ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) α Porováím koficiů dosam α a + d a + ( α ) d a + αb + b + d + ( α ) (77) b + αc + f c + + ( α ) f j Řším sousavy (77) jsou koficiy a 4 4 d 4 j) 4 f 4 (3 ) ( + j ) c j libovolé položm c Dosazím koficiů do (76) a výpočm rálé čási dosam parikulárí řší původí sousavy (75) Dosam cos ( + )si ˆ ( ) R( ˆ c( )) 4 ( + + 3) cos + ( )si 5