Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2016"

Miloš Dušek
před 4 lety
Počet zobrazení:

1 Přijímací zkouška a avazující magiserské sudium 2016 Sudijí program: Sudijí obor: Maemaika Fiačí a pojisá maemaika Variaa A Řešeí příkladů pečlivě odůvoděe. Věuje pozoros ověřeí předpokladů použiých maemaických vě. Příklad 1 25 bodů Odůvoděe, proč exisuje iegrál M y 2 dxdydz, kde M {x, y, z R : 2 < x < 2, 0 < y < x 2 1, 0 < z < 2y}. Spočěe ho. Příklad 2 25 bodů Defiujme fukci f : R 2 R předpisem fx, y x x 2 y + xy 2 y. Určee její oálí difereciál všude, kde exisuje. V bodech, kde eexisuje, odůvoděe proč. Příklad 25 bodů Uvažujme áhodý výběr X 1, Y 1,..., X, Y z rozděleí s husoou fx, y; β βx exp { βxy} I{x 0, 1, y > 0}, β > 0. a Najděe maximálě věrohodý odhad pro ezámý paramer β > 0. b Odvoďe asympoické rozděleí maximálě věrohodého odhadu pro ezámý paramer β. c Sesave i es poměrem věrohodosi, ii Raoův skórový es, iii Waldův es pro ulovou hypoézu H 0 : β β 0 oproi aleraivě H 1 : β β 0. Příklad 4 25 bodů Uvažuje dluhopis s omiálí hodoou F, ročí kupóovou sazbou c, splaosí le a rží ceou P. Nechť i je oceňovací úroková míra. i Co je spravedlivá cea počáečí hodoa P V ohoo dluhopisu? ii Napiše rovici pro výpoče výososi do splaosi i YTM ohoo dluhopisu. iii Dokaže vrzeí: P < F zv. prodej pod par, právě když i > c.

2 Přijímací zkouška a avazující magiserské sudium 2016 Sudijí program: Maemaika Sudijí obor: Fiačí a pojisá maemaika Variaa A řešeí Příklad 1 25 bodů Iegrál exisuje, proože iegrujeme měřielou, ezáporou fukci přes měřielou možiu. Můžeme použí Fubiiho věu. Je pro ás výhodé psá Nyí M M 1 M 2 { 2 < x < 1, 0 < y < x 2 1, 0 < z < 2y} M 1 y 2 dxdydz Velmi podobý výpoče vede a {1 < x < 2, 0 < y < x 2 1, 0 < z < 2y}. x 2 1 2y 0 0 y 2 dz dy dx x 2 1 x 2 [ z 2 ] 2y 1 x y 2 2 dy dx [ 2 2x 4 2x 2 dx 5 x5 2 x] M 2 y 2 dxdydz x 2 dy dx Proo M 124 dxdydz y

3 Příklad 2 25 bodů Proože x x 2 y + xy 2 y x yx 2 + y 2, a možiě R 2 \ {x y} máme a x x, y x 2 2xy + y 2 x x 2 y + xy 2 y 2 y x, y x 2 + 2xy y 2. x x 2 y + xy 2 y 2 Obě parciálí derivace jsou spojié a uvažovaé možiě. Proo zde oálí difereciál exisuje a splňuje x 2 2xy + y 2 x 2 + 2xy y 2 dfx, yh 1, h 2 h x x 2 y + xy 2 y h x x 2 y + xy 2 y 2 2. Dále a možiě {x, x: x 0} máme fx +, x fx, x x, x lim x 0 x + lim x + 2 x + x + x 2 x 0 0 lim 0 x x 2 lim 0 2x 2 + 2x Proo zde oálí difereciál eexisuje. Zbývá vyšeři chováí v počáku. Máme a f0 +, 0 f0, 0 0, 0 lim lim x 0 0 f0, 0 + f0, 0 0, 0 lim lim y Proo jediým kadidáem a oálí difereciál je lieárí fukce L: h 1, h 2 h 1 h 2. Ověřme, zda splňuje defiici oálího difereciálu f0 + h 1, 0 + h 2 f0, 0 Lh 1, h 2 lim h 0 h lim h 0 h 1 h 2 1 h 2 + h 1 h 2 2 h 2 h 1 + h 2 h Tao limia se však erová ule, proože pro h 2 h 1 < 0 máme. h 1 h 2 1 h 2 + h 1 h 2 2 h 2 h 1 + h 2 h 4h 1 2h 1 2h Proo oálí difereciál v počáku eexisuje.

4 Příklad 25 bodů a Nejdříve vyjádříme věrohodos L β; [X, Y] β X i exp { β i1 i1 } X i Y i, X i 0, 1, Y i > 0, i. Logarimická věrohodos je pak l β; [X, Y] log β + log X i β i1 Následě zderivováím dosaeme skórovou saisiku U β; [X, Y] β X i Y i. i1 X i Y i. Maximálě věrohodý odhad je řešeím věrohodosí rovice l β; [X, Y]/ β 0 vzhledem k ezámému parameru β, j. ˆβ i1 X. iy i Pozorovaá výběrová iformačí maice je i1 I β; [X, Y] 1 U β; [X, Y] 1 β β 2, kerá po vyčísleí v maximálě věrohodém odhadu abývá kladé hodoy I ˆβ; i1 [X, Y] X 2 iy i > 0. Tím pádem je alezeý maximálě věrohodý odhad právě jede. b Fisherovu iformačí maici spočíáme jako I β EI β; [X, Y] 1 β 2. Pak plaí, že ˆβ β D N 0, β 2,. c,i Tes podílem věrohodosi pro ulovou hypoézu H 0 : β β 0 oproi aleraivě H 1 : β β 0 je založe a esové saisice D 2 log L ˆβ; [X, Y] 2 log L β 0 ; [X, Y] β 0 i1 X 2 β 0 X i Y i iy i a H 0 zamíáme ve prospěch H 1, když D > χ α, kde χ2 1 1 α je 1 α-kvail χ2 rozděleí o jedém supi volosi. i1

5 c,ii Raoův skórový es pro ulovou hypoézu H 0 : β β 0 oproi aleraivě H 1 : β β 0 je založe apříklad a esové saisice R [U β 0 ; [X, Y]] 2 Iβ 0 1 a H 0 zamíáme ve prospěch H 1, když R > χ α. β 0 2 X i Y i i1 c,iii Waldův es pro ulovou hypoézu H 0 : β β 0 oproi aleraivě H 1 : β β 0 je založe apříklad a esové saisice 2 W ˆβ β0 I ˆβ 1 β 0 a H 0 zamíáme ve prospěch H 1, když W > χ α. 2 X i Y i i1

6 Příklad 4 25 bodů i Spravedlivá cea je počáečí hodoa všech fiačích oků spojeých s daým dluhopisem:. ii Rovice má var ebo ebo ebo kde v 1 1+i, a i 1 v i. iii Posupě dosáváme: P V P Proože 1 v > 0, plye odud, že C 1 + i + C 1 + i 1 + C + F 1 + i. cf 1 + i + + cf cf + F 1 + i i P cf v + + cf v + F v P F [c 1 v i ] + v P F [ ca i + v ], P F [c 1 v i ] + v P F 1 c i [1 v ] [1 v ] P c F 1 i 1 [1 v ]. P F 1 < 0 právě když c i 1 < 0.

Podobné dokumenty

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření