Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty

Transkript

1 Kapitola Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty U jednokriteriálních úloh je vždy pouze jedno kritérium optimality, a to buď maximalizační nebo minimalizační. Varianty rozhodování jsou zadány. implicitně podmínkami, které musí být splněny (viz úlohy lineárního programování s jednou účelovou funkcí) 2. explicitně je dán seznam variant, mezi kterými se má řešitel rozhodnout V našem kurzu se budeme věnovat explicitnímu zadání variant. Cílem je tedy vybrat ze všech variant variantu nejvýhodnější. Musíme znát následující údaje: a) kritérium rozhodování, b) seznam m variant V, V 2,..., V m, c) seznam n situací S, S 2,..., S n, d) m n důsledků d ij (důsledek výběru varianty V i při situaci S j ). Statický (jednoetapový) rozhodovací problém se zobrazuje pomocí rozhodovací matice. Řádky v rozhodovací matici se vztahují k variantám, sloupce se vztahují k situacím a prvky matice d ij představují důsledky výběru varianty V i při situaci S j. Obecně můžeme rozhodovací matici zapsat takto: V V 2... V m S S 2... S n d d 2... d n d 2 d d 2n d m d m2... d mn Jeden rozhodovací jednokriteriální problém je popsaný v příkladu. Na tomto problému budeme ilustrovat různé postupy rozhodování. Příklad. Majitel cestovní kanceláře se rozhoduje, jakou variantu zvolit - kolik má objednat míst v hotelu (25, 30, 35, 40), když přesně neví, jaká situace nastane - kolik zájemců o zájezd se přihlásí (25, 30, 35, 40). Od jedné přihlášené osoby bude vybírat 0000 Kč. Skutečné náklady na jednu osobu jsou 6000 Kč. V případě přebytečně objednaných míst musí počítat se ztrátou 000 Kč na jedno místo. Důsledky výběru jednotlivých variant v jednotlivých situacích (realizovaný zisk v tis.kč) jsou v následující matici.

2 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY 2 V V 2 V 3 V 4 S S 2 S 3 S Prvky matice se vypočítají následujícím způsobem. Pokud poptávka převyšuje nabídku nebo je rovna nabídce (P N), zisk neboli důsledek rozhodnutí d ij = 4000N Kč, kde N je počet nabízených míst. Pokud je poptávka menší než nabídka (P < N), zisk - důsledek rozhodnutí d ij = 4000P 000(N P ) Kč, kde P je počet zájemců. Kritérium v tomto příkladu je výnosového typu (maximalizační). Vyhodnocením prvků rozhodovací matice lze dospět k preferenčnímu uspořádání variant, tj. k jejich seřazení podle výhodnosti z hlediska daného kritéria hodnocení. Skutečnost, že varianta V i má přednost (je preferována) před variantou V h, značíme V i V h. Jestliže mezi danými situacemi je taková, která určitě nastane (nastane s pravděpodobností ), hovoříme o rozhodování za jistoty. V tomto případě se rozhodovací matice zredukuje jen na jeden sloupec a je zřejmé, že největší (nejmenší) číslo v tomto sloupci určuje nejvýhodnější variantu rozhodnutí vzhledem ke kritériu výnosového (nákladového) typu. Jako určitá podpora rozhodovatele pro hodnocení rizikových variant při jediném kritériu byla navržena pravidla, jejichž charakter se liší podle toho, zda známe či neznáme pravděpodobnosti, s jakými nastanou jednotlivé situace. Jestliže známe pravděpodobnosti, s jakými nastanou uvažované situace, hovoříme o rozhodování za rizika (pravděpodobnosti můžeme určit například z historických dat počasí, zájem o dovolenou,... ). Pokud tyto pravděpodobnosti neznáme, jde o rozhodování za (úplné) nejistoty. Zvláštním případem hodnocení rizikových variant z hlediska jednoho kritéria jsou úlohy typu portfolio, v nichž jde o optimální výběr souboru rizikových variant, které nárokují tytéž omezené zdroje. S výběrem tohoto souboru úzce souvisí otázka snížení celkového rizika tzv. diverzifikací, tj. vytvořením většího počtu realizovatelných rizikových variant se stejným očekávaným výnosem. Postup při řešení úloh typu portfolio a jeho aplikaci na optimální alokaci peněžních prostředků do souboru cenných papírů uvádí Fotr 992. Vedle statických (jednoetapových) jednokriteriálních rozhodovacích problémů existují jednokriteriální problémy víceetapové, v nichž důsledky rozhodnutí v každé etapě ovlivňují výběr variant v etapách následujících. Vhodnou pomůckou pro zobrazení a analýzu těchto problémů jsou rozhodovací stromy. Pomocí rozhodovací matice a rozhodovacího stromu lze zobrazit důsledky rizikových variant v případě, že faktory rizika mají diskrétní povahu (diskrétní rozdělení, viz Statistika). Jestliže faktory rizika představují spojité náhodné veličiny, pro stanovení důsledků rizikových variant lze využít počítačovou simulaci. Tento přístup vyžaduje matematické vyjádření závislosti zvoleného kritéria hodnocení na faktorech rizika a znalost rozdělení jejich pravděpodobnosti..0. Dominovanost Mnohdy nelze u rozhodování za rizika a nejistoty (a stejně tak při vícekriteriálním rozhodování) jednoznačně určit optimální variantu. Výběr optimální varianty je často subjektivní záležitostí, jiný rozhodovatel by na základě svých preferencí a znalostí zvolil jinou variantu za optimální a nelze říci, že by jeden měl pravdu a druhý nikoliv. Ovšem každá varianta, která je zvolena jako optimální musí být tzv. nedominovaná. Definice. Řekneme, že varianta je dominovaná, pokud k ní existuje varianta, která je v jednom z uvažovaných kritérií lepší a ve všech ostatních stejná nebo lepší. Variantu nazveme nedominovanou, pokud k ní neexistuje žádná, která ji dominuje.

3 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY 3. Rozhodování za jistoty Mezi situacemi je taková, která určitě nastane. Rozhodovací matici zredukujeme na jeden sloupec a největší (nejmenší číslo) určí nejvýhodnější variantu rozhodování vzhledem k příslušnému kritériu optimálnosti. Například pokud byste věděli, že se na zájezd přihlásí 30 lidí, potom byste objednali 30 míst v hotelu a dosáhli byste maximálního možného zisku 20 tis.kč..2 Rozhodování za rizika Známe nebo dokážeme odhadnout pravděpodobnosti, s jakými jednotlivé situace nastanou. Více informací o pravděpodobnostním počtu, o odhadech pravděpodobnosti apod. naleznete v Dodatku (Pravděpodobnost). Pravidla pro rozhodování za rizika. Pravidlo očekávané střední hodnoty E X i = n p j d ij, i =, 2,... m (.) j= X i je náhodná veličina, která představuje hodnoty důsledků varianty V i při situacích S, S 2,..., S n, tedy nabývá hodnot d i, d i2,... d in s pravděpodobnostmi p, p 2,..., p n. E(X i ) je střední hodnota náhodné veličiny. Řešený příklad. Z historických dat podnikatel usuzuje, že jednotlivé situace z příkladu nastanou s pravděpodobnostmi 0,2; 0,3; 0,3; 0,2. Vyberte nejlepší variantu, která přinese majiteli cestovní kanceláře maximální zisk podle pravidla očekávané střední hodnoty. Řešení. Nejprve spočítáme podle vztahu (.) střední hodnoty výnosů jednotlivých variant: E X = 00 E X 2 = 95 0, , , , 3 = 5 E X 3 = 90 0, , , , 3 = 22, 5 E X 4 = 85 0, , , , 3 = 22, 5 Vzhledem k tomu, že kritérium je výnosového typu, nejvýhodnější je varianta s nejvyšší střední hodnotou (zde jsou dvě, a to varianta 3 a 4). Varianty jsou uspořádány V 3 V 4 V 2 V. Poznámka. Protože jsou zde dvě nejvyšší střední hodnoty, podle tohoto pravidla se nelze jednoznačně rozhodnout, přihlédneme k dalšímu pravidlu. Poznámka. V případě, že by rozhodovací kritérium bylo minimalizační, vybírali bychom jako nejvýhodnější variantu s nejnižší střední hodnotou. 2. Pravidlo očekávané střední hodnoty a rozptylu Rozptyl důsledků jednotlivých variant při všech uvažovaných situacích počítáme ze vztahu var X i = n p j [d ij E(X i )] 2, i =, 2,... m. (.2) j= Méně riziková varianta má menší rozptyl, ať se jedná o výnosový nebo nákladový typ kritéria.

4 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY 4 Řešený příklad 2. Pro příklad spočítejte rozptyl pro varianty, které mají stejnou (nejvyšší) střední hodnotu. Řešení. var X 3 = 0, 2(90 22, 5) 2 + 0, 3(5 22, 5) 2 + 0, 3(40 22, 5) (40 22, 5) 2 = 38, 25 var X 4 = 0, 2(85 22, 5) 2 + 0, 3(0 22, 5) 2 + 0, 3(35 22, 5) (60 22, 5) 2 = 656, 25 Nižší rozptyl má varianta 3. Vzhledem k tomu, že střední hodnota výnosů je stejná u varianty 3 a varianty 4, doporučili bychom k realizaci variantu 3, která je méně riziková. Poznámka. Nemáme-li sklon k riziku, vždy platí čím menší rozptyl, tím lepší. Podle pravidla očekávané střední hodnoty a rozptylu rozhodovatel preferuje variantu, která je z hlediska očekávané střední hodnoty i rozptylu lepší, nebo která je lepší jen z jednoho hlediska a z druhého stejná. V případě maximalizačního kritéria, když preferujeme variantu i před variantou h, můžeme předchozí větu zapsat pomocí následujících výroků: V našem příkladu platí: varianty jsou uspořádány v pořadí V 3 V 4. V i V h E X i E X h var X i < var X h, V i V h E X i > E X h var X i var X h. E X 3 = E X 4 var X 3 < var X 4, V případě, že by rozhodovací kritérium bylo nákladového typu, pak by platilo V i V h E(X i ) E(X h ) var X i < var X h, V i V h E(X i ) < E(X h ) var X i var X h. Pravidlo očekávané hodnoty a rozptylu obecně neumožňuje úplné preferenční uspořádání rizikových variant, ale pouze zjištění nedominovaných a dominovaných variant. Může se totiž stát, že varianta V i bude mít střední hodnotu větší než varianta V j, ale zároveň také bude mít větší rozptyl. V takové případě nedokážeme jednoduše rozhodnout, kterou variantu preferovat. K tomuto rozhodnutí bychom museli užít například některých medod vícekriteriální optimalizace. Příklad 2. Mějme dva podnikatelské záměry, které mají šanci na úspěch 60%. Zisk z prvního z nich (A) je odhadován na milionů Kč, zisk z druhého z nich (B) je odhadován na 0 milionů Kč. V případě neúspěchu je ztráta z projektu A 0,5 milionů Kč a z projektu B 50 milionů Kč. Jaká je střední hodnota zisku a rozptyl u obou variant? E X A = 0, 6 + ( 0, 5) 0, 4 = 6, 4 E X B = 0 0, 6 + ( 50) 0, 4 = 40, 6 var X A = 0, 6( 6, 4) ( ) 2 = 3.74 var X B = 0, 6(0 40, 6) ( 50 40, 6) 2 = 5472, 24 Z hlediska středních hodnot je lepší varianta B, z hlediska rozptylů varianta A.

5 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY 5 3. Pravidlo očekávaného užitku Pro toto pravidlo musíme znát funkci užitku. Funkce užitku vyjadřuje, jaký přínos pro rozhodovatele znamenají změny tohoto kritéria. Užitek nejhorší hodnoty kritéria je 0 a užitek nejlepší hodnoty kritéria je. Užitek ostatních kriteriálních hodnot se nachází mezi těmito dvěma hodnotami. Uvažujeme tedy užitkovou funkci v normovaném tvaru. Pro očekávaný užitek varianty V i platí: E[u(V i )] = n p j u(d ij ), (.3) j= pro i =, 2,..., m a j =, 2,..., n, kde u(v i ) je užitek varianty V i, p j je pravděpodobnost, se kterou nastane situace S j (musí platit n p j = ) a u(d ij ) je užitek varianty V i při situaci S j. j= Platí, že V i V h E[u(V i )] > E[u(V h )]. (.4) Řešený příklad 3. V příkladu kromě pravděpodobnosti, se kterými nastanou jednotlivé situace, známe ještě ohodnocení (užitky) jednotlivých částek, které si určil majitel cestovní kanceláře. Řešení. Užitky byly odvozeny z jeho užitkové funkce zisku v intervalu od 85 tis. Kč do 60 tis. Kč. Zisk Užitek 0 0,2 0,3 0,4 0,55 0,65 0,7 0,85 0,9 Nyní postupujeme stejně, jako u střední hodnoty výnosů, jen místo výnosů počítáme s užitky těchto výnosů. E[u(V )] = 0, 4 E[u(V 2 )] = 0, 2 0, 3 + 0, 3 0, 7 + 0, 3 0, 7 + 0, 2 0, 7 = 0, 62 E[u(V 3 )] = 0, 2 0, 2 + 0, 3 0, , 3 0, 9 + 0, 2 0, 9 = 0, 685 E[u(V 4 )] = 0, , 3 0, , 3 0, , 2 = 0, 62 Nejlepší z variant je podle pravidla očekávaného užitku varianta 3, ostatní varianty lze seřadit následujícím způsobem V 3 V 2 V 4 V.

6 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY 6.2. Cena dokonalé informace Je to částka, která by se rozhodovateli vyplatila investovat do získání dalších informací o výskytu jednotlivých situací (pokud by taková informace byla k dispozici). Největší (nejmenší) čísla ve sloupcích rozhodovací matice odpovídající fiktivní variantě, která dosahuje nejlepších hodnot podle všech kritérií. Tuto fiktivní variantu můžeme vyhodnotit například pomocí pravidla očekávané střední hodnoty. Rozdíl mezi touto hodnotou a střední hodnotou pro nejvýhodnější reálnou variantu představuje cenu dokonalé informace. Řešený příklad 4. Pro příklad spočítejte, kolik by se vyplatilo investovat do získání informace o možném výskytu jednotlivých situací. Řešení. Nejprve v každém sloupci najdeme největší číslo a čísla zapíšeme jako důsledky (zisky) pro fiktivní variantu ve všech situacích. F = [00, 20, 40, 60] Nyní tuto variantu vyhodnotíme podle pravidla očekávané střední hodnoty. E X F = 00 0, , , , 2 = 30 Cena dokonalé informace se pak počítá jako rozdíl mezi touto střední hodnotou a střední hodnotou pro nejvýhodnější reálnou variantu. E X F E X 3 = 30 22, 5 = 7, 5.3 Rozhodování za nejistoty Při rozhodování za nejistoty rozhodovatel ví, jaké situace mohou nastat, ale neví s jakými pravděpodobnostmi. K rozhodnutí o výběru nejlepší varianty lze použít různá pravidla, která mohou vést k různým výsledkům. U všech následujících pravidel předpokládejme, že rozhodovací kritérium je maximalizační (výnosového typu). Všechny dále zmiňované přístupy budou ilustrovány na příkladu z rozhodování za rizika.. Optimistický přístup - princip maximaxu Rozhodovatel je optimista a předpokládá, že ať vybere jakoukoli variantu, vždy nastane situace, která je mu nejvíce nakloněná. Rozhodovatel vybere variantu, která mu přinese nejlepší výsledek. Nalezne se největší číslo v celé rozhodovací matici, tedy max i max j d ij. Vybere se v řádku největší prvek a z těchto největších prvků zase ten největší. Řešený příklad 5. Jak by se měl majitel cestovní kanceláře z příkladu rozhodnout, pokud by byl optimista? Řešení. Největší hodnota možného zisku 60 tis.kč odpovídá volbě varianty 4 (objednání 40-ti míst). Poznámka. Pokud by rozhodovací kritérium bylo minimalizační, vybíral by se nejmenší prvek v každém řádku a z těchto nejmenších prvků opět minimum.

7 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY 7 2. Pesimistický přístup - Waldův princip maximinu Rozhodovatel očekává nejhorší výsledek a vybere z nejhorších výsledků ten nejlepší, tedy v rozhodovací matici vybere v každém řádku nejmenší číslo a z nejmenších čísel pak to největší, neboli max i min j d ij. Řešený příklad 6. Jak by se měl majitel cestovní kanceláře z příkladu rozhodnout, pokud by byl pesimista? Řešení. Pokud rozhodovatel pro rozhodování použijeme pesimistický přístup, vybere variantu a objedná pouze 25 míst. Poznámka. Při minimalizačním rozhodovacím kritériu by se v každém řádku vybíralo maximum a z těchto prvků minimum. 3. Hurwiczovo pravidlo Nejprve je nutné stanovit index optimismu α, α 0;. Pro α = je realistické pravidlo shodné s optimistickým přístupem a naopak při α = 0 je toto pravidlo shodné s pesimistickým přístupem. Index optimismu oslabuje extrémní postoje rozhodovatele. V řádcích se vybere vždy maximum a to se násobí α a nejmenší prvek, který se násobí α. Tyto dva součiny se pak sečtou. Nejlepší varianta rozhodnutí je ta, pro kterou výraz je maximální. α max d ij + ( α) min d ij (.5) j j Řešený příklad 7. Předpokládejme, že majitel cestovní kanceláře z příkladu je spíše optimista a index α si zvolil 0,7. Jaká varianta je potom pro něj nejlepší? Řešení. V... 0, , 3 95 = 00 V , , 3 00 = 2, 5 V... 0, , 3 90 = 25 V... 0, , 3 85 = 37, 5 Podle Hurwiczova pravidla by rozhodovatel volil variantu 4, tedy objednal by 40 míst. Poznámka. V případě minimalizačního kritéria indexem α násobíme minimum v řádcích a maximum naopak násobíme ( α). Jako nejlepší pak označíme variantu, pro kterou je hodnota výrazu.5 je minimální. Nevýhodou Hurwiczova pravidla je skutečnost, že jsou stejně ohodnoceny varianty, v nichž nejnižší a nejvyšší hodnota důsledků rozhodnutí je stejná a přitom může jít o varianty podstatně odlišné vzhledem k dalším hodnotám kritéria. Příklad 3. Mějme dvě varianty A a B a čtyři různé situace, které mohou nastat. Kriteriální hodnoty jsou v následující matici. V V 2 ( S S 2 S 3 S 4 )

8 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY 8 Obě varianty při zvoleném indexu optimismu α = 0, 5 se jeví stejně dobré. Většina rozhodovatelů by zřejmě volila variantu první, protože nejhorší a nejlepší kriteriální hodnota je pro obě varianty stejná a ostatní hodnoty jsou u první varianty výrazně lepší. Dalším nedostatkem Hurwiczova pravidla je kvantifikace indexu optimismu α. Doporučuje se vážený průměr nejlepších a nejhorších výsledků v jednotlivých variantách vyjádřit pro obecnou hodnotu α a pak konkrétní hodnotu α specifikovat intervalově. Na obrázku. jsou pro příklad znázorněny grafy funkcí 00α + 00( α), 20α + 95( α) 40α + 90( α) 60α + 85( α), které pro α = 0 nabývají hodnot 00, 95, 90, 85 a pro α = nabývají hodnot 00, 20, 40, 60. Na obrázku. jsou silně vytaženy ty části úseček, které představují maximum z hodnot všech uvažovaných funkcí. Graf tohoto maxima se v řešené úloze láme v bodě s hodnotou α, která je řešením rovnice 00α + 00( α) = 60α + 85( α), tj. α = 0, 2. Pro index optimismu α < 0, 2 je nejvýhodnější volit variantu, tedy objednat 25 míst, pro α > 0, 2 je nejvýhodnější volit variantu 4, tedy objednat 40 míst. Pokud by rozhodovatel zvolil α = 0, 2,pak by obě varianty (25 míst a 40 míst) byly pro něj stejně výhodné ,2 alfa Obrázek.: Odvození hodnoty indexu optimismu Poznámka. V případě minimalizačního kritéria indexem by se v grafu hledalo minimum těchto funkcí.

9 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY 9 4. Laplaceovo pravidlo (princpi stejné věrohodnosti) U tohoto pravidla se předpokládá, že všechny situace mohou nastat se stejnou pravděpodobností, tedy pokud počet situací je n, tzn. P(S j ) =, kde j =, 2,..., n. n Pro nejvýhodnější variantu podle principu stejné věrohodnosti platí, že výraz je maximální. n n d ij (.6) j= Řešený příklad 8. Využijte principu stejné věrohodnosti k doporučení volby některé z variant majiteli kempu - viz příklad Řešení. V = 00 V 2 = 0, , , , = 3, 75 V 3 = 0, , , , = 2, 25 V 4 = 0, , , , = 22, 5 Z hlediska principu stejné věrohodnosti můžeme varianty seřadit takto: V 4 V 3 V 2 V. Poznámka. V případě minimalizačního kritéria vybíráme variantu s nejnižší střední hodnotou. 5. Savageovo pravidlo U tohoto pravidla je Waldův princip aplikovaný na matici ztrát. Matici ztrát značíme R a její prvky r ij určíme tak, že pro každou situaci určíme ztrátu, která by vznikla při volbě jednotlivých variant oproti nejvýhodnější variantě v dané situaci. Platí r ij = max i d ij d ij. (.7) Nebo-li v každém sloupci této matice najdeme nejvyšší číslo a od něj se odečtou všechny prvky v daném sloupci. Řešený příklad 9. Pro příklad určíme matici ztrát podle vztahu R = V matici ztrát vybereme v řádcích maxima a z nich potom minimum. Maxima v jednotlivých řádcích jsou 60, 40, 20, 5, nejmenší je 5 a z toho vyplývá, že nejvýhodnější je objednat 40 míst (varianta 4). Pokud bychom chtěli sestavit preferenční uspořádání, bylo by následující: V 4 V 3 V 2 V. Poznámka. V případě minimalizačního kritéria zjišťujeme absolutní hodnoty rozdílů mezi nejlepší variantou a ostatními - tím získáme matici ztrát a další postup je shodný s postupem u maximalizačního typu kritéria. Závěr: Podle většiny pravidel se jeví jako nejvýhodnější volit variantu 4 (objednat 40 míst). Kromě uvedených pravidel pro výběr nejvýhodnější varianty při rozhodování za nejistoty existují ještě další principy, u kterých lze najít více či méně racionální jádro. Použití kteréhokoli z těchto principů však pouze zaručuje, že nebude vybrána varianta vyloženě špatná.

10 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY 0.4 Rozhodovací stromy Rozhodovací stromy jsou grafickým nástrojem rozhodovací analýzy, vhodným zejména pro víceetapové rozhodovací procesy s jedním kritériem rozhodování. Umožňují zobrazit logický vývoj časově na sebe navazujících alternativních rozhodnutí a náhodných situací. Jejich cílem je stanovení optimální strategie rozhodovatele, tj. posloupnost rozhodnutí, která vede k nejlepší očekávané hodnotě zvoleného kvantitativního kritéria (výnosového či nákladového typu). Rozhodovací strom je zvláštním typem grafu, tzn. skládá se z uzlů a hran. Uzly rozhodovacího stromu představují fáze rozhodovacího procesu, ve kterých se střídá rozhodování rozhodovatele (tyto rozhodovací uzly zpravidla značíme čtverečky) a rozhodování přírody (tyto uzly nazýváme situační a značíme kroužky). Co představují hrany záleží na tom, z jakého typu uzlu vycházejí. Z rozhodovacích uzlů vycházejí hrany, které představují deterministické činnosti, závislé na vůli rozhodovatele, jedná se o různé varianty rozhodnutí. Ze situačních uzlů vycházejí hrany, které představují náhodné (stochastické) alternativy vyskytující se s určitými pravděpodobnostmi. Náhodné alternativy tvoří úplnou soustavu jevů, a proto součet pravděpodobností jejich výskytu se rovná jedné. Optimální strategii rozhodovatele v rozhodovacím stromu určíme tak, že z hlediska zvoleného kritéria rozhodování vyhodnotíme jednotlivé uzly, přičemž postupujeme od konce stromu k jeho začátku. V situačních uzlech počítáme jistotní ekvivalent, který představuje jistý užitek nahrazující nejistý užitek náhodných variant, které z daného situačního uzlu vycházejí. Za předpokladu, že rozhodovatel má neutrální postoj k riziku, jistotní ekvivalent uzlu je totožný se střední hodnotou veličiny, která je přiřazena náhodným variantám vycházejícím z tohoto uzlu. V rozhodovacích uzlech počítáme poziční hodnotu, která představuje maximum (při výnosovém rozhodovacím kritériu) nebo minimum (při nákladovém kritériu) z ocenění variant, které vycházejí z daného uzlu. Varianty s horším ohodnocením zamítneme. Řešený příklad 0. Firma zavádí na trh nový výrobek a rozhoduje se, zda má pro jeho prodej zmodernizovat stávající obalovou techniku a zlepšit potisk obalu nebo zda má koupit novou obalovou linku s atraktivním potiskem (v tom případě má možnost vybrat si mezi výrobci A a B). Při volbě optimálního rozhodnutí firma vychází z těchto údajů: Náklady spojené se změnou obalové techniky, přepočítané na jeden měsíc provozu linky Modernizace stávající obalové linky... 3 mil.kč Nákup obalové linky od výrobce A... 5 mil.kč Nákup obalové linky od výrobce B... 6 mil.kč Pravděpodobnosti velké poptávky po změně obalové techniky Modernizace stávající obalové linky... 0,5 Nákup obalové linky od výrobce A... 0,7 Nákup obalové linky od výrobce B... 0,8 Měsíční tržby při velké poptávce jsou odhadnuty na 3 mil.kč, při malé poptávce na 7 mil.kč. Při koupi obalové linky od výrobce B je obal natolik atraktivní, že lze počítat s většímu měsíčními tržbami, a to 5 mil.kč při velké a 9 mil.kč při malé poptávce. Pro jakou variantu zlepšení obalové techniky se má firma rozhodnout, aby očekávaný měsíční rozdíl mezi tržbami a náklady na změnu v obalové technice byl co největší?

11 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY Řešení. Rozhodovací strom pro zadaný příklad je na obrázku.2, do kterého jsou již vepsány pravděpodobnosti velké a malé poptávky a výnosy a náklady spojené s rozhodnutím firmy. Nad situačními uzly jsou vepsány jejich jistotní ekvivalenty, tj. střední hodnoty měsíčních tržeb při velké a malé poptávce: Uzel : 0, , 5 7 = 0 Uzel 2: 0, , 3 7 =, 2 Uzel 3: 0, , 2 9 = 3, 8 Nad rozhodovacími uzly v obrázku.2 jsou napsány jejich poziční hodnoty: Uzel 2: max(, 2 5; 3, 8 6) = 7, 8... zamítneme nákup linky od výrobce A Uzel : max(7, 8; 0 3) = 7, 8... zamítneme modernizaci obalové linky -3 0 VP MP 3 p=0,5 7 modernizace p=0,5 7,8 nová linka 7,8 2,2 2-5 výrobce A 3 VP p=0,7 MP 7 p=0,3 výrobce B 3-6 3,8 5 VP p=0,8 MP 8 p=0,2 Obrázek.2: Rozhodovací strom k řešenému příkladu Při výběru optimální varianty postupujeme od konce stromu. Nejprve porovnáme rozdíly mezi jistotními ekvivalenty a náklady pro situační uzly 2 a 3. Větší rozdíl mezi střední hodnotou výnosů a náklady na pořízení odpovídá variantě volit výrobce B (proto poziční hodnota u rozhodovacího uzlu 2 odpovídá rozdílu mezi střední hodnotou výnosů při volbě výrobce B a náklady na pořízení linky od výrobce B). Potom postupujeme opět blíže k počátku a porovnáváme zisk v případě modernizace se ziskem při volbě nové linky od výrobce B. I zde vychází lépe nová linka od výrobce B. Optimální strategií firmy je nákup nové obalové linky od výrobce B. Měsíční rozdíl mezi tržbami a náklady na změnu v obalové technice lze očekávat ve výši 7,8 milionů Kč.

12 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY 2 Řešený příklad. Majitel domu, který chce dům prodat nejpozději do dvou let, se rozhoduje, zda má dům prodat hned (za 3 milionů Kč, přičemž by získané peníze uložil se sedmiprocentním úrokem), nebo za rok (dům by pronajímal s ročním ziskem 200 tisíc Kč), nebo za dva roky (dům by po celou tuto dobu pronajímal se stejným ročním ziskem 200 tisíc Kč). Majitel domu počítá se změnou ceny domu v průběhu jednoho roku v rozmezí ±300 tis.kč, přičemž pravděpodobnost vzrůstu i poklesu ceny budov o 0 % v průběhu uvažovaných dvou let odhadl následujícími hodnotami: vzrůst ceny v prvním roce... p = 0, 2 vzrůst ceny ve druhém roce za předpokladu jejího vzrůstu v prvním roce... p = 0, 3 vzrůst ceny ve druhém roce za předpokladu jejího poklesu v prvním roce... p = 0, Řešení. Nejprve nakreslíme rozhodovací strom, viz obrázek.3.. rok 2. rok 3,4347 prodat 3,4347 neprodat 3,074 +0,2 0,2 0,8 3,53 2 vzrùst cen pokles cen 2,889 3 prodat neprodat +0,2 prodat neprodat 3,8 2 2,46 0,3 0,7 0, 3,53 3,6 vzrùst cen pokles cen 3 2,889 3 vzrùst cen +0,2 3 0,9 pokles cen 2,4 Obrázek.3: Rozhodovací strom k řešenému příkladu 2 Rozhodovací strom v této úloze obsahuje tři situační a tři rozhodovací uzly. Hrany stromu jsou ohodnoceny výnosy z prodeje a pronájmu domu (v milionech Kč). U hran vycházejících ze situačních uzlů jsou uvedeny příslušné pravděpodobnosti. Strom budeme vyhodnocovat zprava doleva, jistotní ekvivalenty a poziční hodnoty jsou vepsány nad uzly. Situační uzel 2 V situačním uzlu 2 je očekávaná hodnota zisku 0, 3 3, 6 + 0, 7 3 = 3, 8. Dále postoupíme směrem vlevo k rozhodovacímu uzlu 2. Rozhodovací uzel 2 Větev prodat vycházející z rozhodovacího uzlu 2 je ohodnocena číslem 3,53 milionů Kč, což představuje výnos z uložené částky 3,3 milionů Kč (= cena domu po. roce) na dobu jednoho roku se sedmiprocentním úrokem. Číslo 0,2, kterým je ohodnocena větev neprodat vycházející z rozhodovacího uzlu 2, představuje celoroční výši nájemného (v milionů Kč), o kterou musíme zvýšit jistotní ekvivalent situačního uzlu 2. Poziční hodnota uzlu 2 je dána maximem z hodnot 3, 53; 0, 2 + 3, 8,

13 KAPITOLA. JEDNOKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA RIZIKA A NEJISTOTY 3 tj. číslem 3,53, neboli v rozhodovacím uzlu 2 zamítneme variantu neprodat. Situační uzel 3 V situačním uzlu 3 je očekávaná hodnota zisku dána výrazem 0, 3 + 0, 9 2, 4 = 2, 46. Rozhodovací uzel 3 Podobným způsobem jako u rozhodovacího uzlu 2 stanovíme poziční hodnotu rozhodovacího uzlu 3, která představuje max(2, 7, 07; 0, 2 + 2, 46) = 2, 889. V uzlu 3 tedy opět zamítneme variantu neprodat. Situační uzel Jistotní ekvivalent v situačním uzlu je dán výrazem 0, 2 3, , 8 2, 889 = 3, 074, takže pro rozhodovací uzel počítáme max(3, 07 2 ; 0, 2 + 3, 074) = 3, Rozhodovací uzel I v prvním rozhodovacím uzlu zamítneme variantu neprodat, neboli pro majitele domu je nejvýhodnější prodat dům hned, peníze uložit a dva roky z tohoto vkladu nic nevybírat. Kdyby např. uložené peníze chtěl vybrat po jednom roce, bylo by pro něho výhodnější prodat dům až později (3, 07 0, , 7 < 0, 2 + 3, 074). Poznámka. Někdy je také možné (především u menších stromů postupovat opačným postupem, tedy od začátku ke konci. Kdy si pro každou větev počítáme pravděpodobnosti (s jakými daná situace nastane) a hodnotu optimalizačního kritéria, které bychom dosáhli v případě, že se vývoj bude ubírat cestou na jejímž konci je tato větev. Výhodou tohoto postupu je, že na konci získáme všechny možné výsledky včetně jejich pravděpodobností. Nevýhodou, zvláště pak u větších úloh je větší pracnost. K výhodám rozhodovacích stromů patří především jejich univerzálnost, názornost, snazší komunikace mezi pracovníky řešícími stejný rozhodovací proces, odstranění nedostatků koncepčního rozhodování (je nutné znát důsledky i časově vzdálenějších rozhodnutí) a v neposlední řadě možnost experimentování se vstupními daty rozhodovacích stromů, tj. s pravděpodobnostmi jednotlivých situačních variant a s údaji ovlivňujícími hodnotu rozhodovacího kritéria, popř. s hypotézami o možných důsledcích rozhodování. Při tomto experimentování na modelu víceetapového rozhodovacího problému lze využít počítače, které navíc ještě umožňují simulaci některých vstupních dat. Analýzou rozhodovacího stromu získáme výběr nejvýhodnějších variant od začátku rozhodovacího procesu až do jeho konce, ale praktický význam má především realizace optimální varianty v. etapě rozhodování. Do doby realizace dalších rozhodnutí zpravidla nastanou změny, které mohou jejich důsledky ovlivnit (vzniknou nové rozhodovací i situační varianty, dodatečně se získají informace podstatné pro další rozhodování apod.) Proto se doporučuje po realizaci první etapy rozhodovacího procesu sestrojit a vyhodnotit nový rozhodovací strom. Pomocí rozhodovacích stromů můžeme znázornit i jednoetapové (statické) rozhodovací procesy, které se běžně zobrazují rozhodovacími maticemi. Postup výpočtu v rozhodovacím stromu i jeho výsledek odpovídá pravidlu očekávané (střední) hodnoty kritéria rozhodování. zúročený vklad se sníží o daň z úroku