MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

Transkript

1 Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/ Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Poděbrady Tematický okruh: Eponenciální rovnice 3 Jméno autora: Mgr. Karel Lhotský Datum: 30. listopadu 2013 Ročník: Anotace: 2. ročník HŠ Učební materiál určený nejen k výkladu v hodinách matematiky, ale především k samostudiu, popřípadě

2 Eponenciální rovnice 3 řešené logaritmováním

3 Příklad z praktického života Klient postižený povodněmi si u úvěrové společnosti půjčil ,- Kč na roční úrok (p. a.) pouze 10 %. Půjčka bude jednorázově splatná částkou ,- Kč. Vypočítejte dobu splatnosti, tj. za kolik let bude (má být) půjčka splacena? K vyřešení úlohy potřebujeme znát učivo o logaritmech. 3

4 Řešení příkladu z praktického života (1) Jedná se o složené úročení, pro které platí vzorec: K n K 0 = ,- Kč K n = ,- Kč p = 10 % n =? p K n Ze vzorce je třeba vyjádřit neznámou n. Pro výpočet čísla n využijeme vlastnosti logaritmů. 4

5 Definice a vlastnosti logaritmů Logaritmus o základu a čísla je eponent, na který musíme umocnit základ a, abychom získali logaritmované číslo. > 0, a > 0, a 1, y R y = log a = a y u > 0, v > 0, a > 0, a 1, r R 1. log a uv = log a u + log a v 2. log a (u:v) = log a u log a v 3. r log a u = log a u r 5

6 Řešení příkladu z praktického života (2) p Kn K p log Kn log K p log log Kn log K0 p log K n log K0 n log1 100 n n n Rovnají-li se dvě čísla, rovnají se i jejich logaritmy. Obě strany rovnice zlogaritmujeme. Na pravé straně se logaritmus součinu rovná součtu logaritmů (1). Z eponentu se přesune n jako koeficient před logaritmus (3). 6

7 Řešení příkladu z praktického života (3) p n log1 100 n log K log K n log K0 log p n log K 0 Výraz obsahující proměnnou n převedeme na jednu stranu rovnice, ostatní výrazy na druhou stranu. Vyjádříme číslo n. 7

8 Řešení příkladu z praktického života (4) log log n 10 log log log log 1,1 = 4 Úvěr je splatný za 4 roky. Můžeme použít odvozený vzorec pro výpočet doby splatnosti nebo tento výpočet provést se zadanými hodnotami. Oba postupy vedou ke stejnému závěru. Výpočet provedeme najednou na kalkulačce. 8

9 Další příklady (už ne přímo ze života) Po vyřešení předchozího příkladu by aspoň jeden student mohl připustit, že znalost logaritmů při řešení eponenciálních rovnic, může být pro praktický život užitečná. Ukážeme si několik dalších typů eponenciálních rovnic, k jejichž řešení užijeme logaritmy. 9

10 Příklad 1: 2 9 Pokud by na pravé straně bylo místo čísla 9 číslo 8, vyřešili bychom rovnici okamžitě. Kořenem rovnice by bylo číslo 3. Pokud bude na pravé straně místo čísla 9 číslo 16, bude kořenem rovnice číslo 4. Funkce y 2 je rostoucí. Z toho je zřejmé, že kořen naší rovnice leží v intervalu (3; 4). S takovou přesností se jistě nespokojíme. Jestliže si vzpomeneme na definici logaritmu, můžeme z této rovnosti vyjádřit 9. log 2 Na běžných kalkulačkách však logaritmus o základu 2 nemusí být k dispozici. 10

11 Řešení příkladu 1. log log 2 log 9 log 9 log 9 log 2 3,1699 Rovnici zlogaritmujeme o základu 10. Podle 3. vlastnosti logaritmů převedeme z eponentu jako koeficient před logaritmus. Vydělíme rovnici číslem log 2. Přibližnou hodnotu vyčíslíme pomocí kalkulačky. Vidíme, že kořen rovnice opravdu leží v intervalu (3; 4). 11

12 Příklad 2: log6 2 log5 2log 6 log 5 log 6 2log 6 log5 log 6 log5 2 log36 log 6 log 5 log36 log1,2 19,6549 log6 Protože pro čísla 5 a 6 nelze nalézt společný základ, rovnici zlogaritmujeme jako v př. 1. Eponenty převedeme jako koeficienty před logaritmy. Rovnici (lineární) dořešíme běžným způsobem. 12

13 Příklad 3: log log log10 7 log3 7 log 3 7 log 4 7 log 4 log 3 13,4095 Řešení rovnice je obdobné jako u předchozích příkladů. Využijeme, že na pravé straně je mocnina (sedmá) čísla

14 Příklad 4: log 4 log 3 log 4 log 3 log 3 log 4 0,7925 Rovnici nelze logaritmovat (pro logaritmus součtu nemáme žádný vzorec). Nejprve je třeba upravit pravou stranu rovnice na tvar vhodný k logaritmování. Ještě zkrátíme. Nyní už můžeme logaritmovat. 14

15 Příklady k procvičení (1): ,7712 2,3219 0,8413 1,1950 3,8188 1,

16 Příklady k procvičení (2): , , , ,