14. Exponenciální a logaritmické rovnice

Transkript

1 @ Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic a využíváme toho, že jde o funkce prosté, vzájemně inverzní a rostoucí resp. klesající na celém svém definičním oboru. Dále používáme jejich základních vlastností. Nicméně, ani takovou jednoduchou rovnici e x = x + neumíme řešit jinak než přibližně, a to: a graficky (průsečíky grafů funkcí b speciálními numerickými metodami na počítačích Úkol: Sestrojte graf funkce na levé a na pravé straně a určete přibližně kořen rovnice e x = x

2 @151 Řešte rovnici log(x+ = log(x+1 Řešení: x + = x + 1 x = 1 L(1 = log(1+ = log 3 P(1 = log(.1+1 = log 3 Příklad: Řešte rovnici 3x-1 = 3 x+1 Řešení: Nejsou-li stejné základy mocnin, zlogaritmujeme levou stranu a pravou stranu rovnice. Protože stejnému číslu každá funkce přiřazuje stejnou funkční hodnotu (jinak by to nebyla funkce, budou se strany rovnice rovnat i po zlogaritmování. Tomuto postupu říkáme, že zlogaritmujeme rovnici. log( 3x-1 = log(3 x+1 (3x-1 log = (x+1 log3 log a log3 jsou reálná čísla ve funkci konstant a my s nimi pracujeme stejně jako třeba s nebo 3. Podíváme-li se pozorně, jde vlastně o lineární rovnici x(3log - log3 = log3 + log x log(8/9 = log6 x = log6 / log(8/9 Výpočtem na kalkulačce nebo pomocí tabulek určíme x = - 15,13 Zkoušku musíme také udělat na kalkulačce nebo obrácením postupu. Příklad: Řešte rovnici 3 x+ + 5 x+ = 3 x x Řešení: Tuto rovnici musíme nejprve upravit. Logaritmovat ji nemá smysl, protože s logaritmem součtu nelze nic dělat. 3 x+ + 5 x+ = 3 x x 3 x x 5 = 3 x x 9.3 x x = 81.3 x + 5 x 5.5 x - 5 x = 81.3 x x

3 u mocnin o stejném základu a stejném exponentu lze sečíst jejich násobky 4.5 x = 7.3 x Tím jsme dostali exponenciální rovnici, kterou již logaritmovat lze. Úkol: Dořešte rovnici 4.5 x = 7.3 x

4 @154 Řešte rovnici vhodnou substitucí x x + 8 = 0 Odhadujeme, že by mohla být výhodná substituce t = x. Ovšem jen tehdy, podaří-li se nám rovnici vhodně upravit:.( x 17. x + 8 = 0 Podařilo a substituci použijeme t - 17t + 8 = 0 Kvadratická rovnice pro t má tato dvě řešení t 1 = 1/ t = 8 po dosazení do substituce řešíme dvě jednoduché exponenciální rovnice x = 1/ x = 8 x = -1 x = 3 Zkouška se provede do zadané rovnice. Úkol: Řešte rovnici vhodnou substitucí (log x - log x + = 0

5 @149 pokračování

6 @ x = 7.3 x 5 x = 3.3 x Rovnici zlogaritmujeme xlog5 = log3 + xlog3 x(log5 - log3 = log3 x = log3 / (log5 - log3 x = log3 / (log(5/3 Pro tabulky je výhodnější první vyjádření, pro kalkulátor druhé: x =,1506. Příklad: Řešte rovnici log x 3 = log x Řešení: Buď upravíme 3 log x = log x log x = 0 log x = 0 x = 1 zkouška L(1 = log 1 3 = log 1 = 0 = P(1 nebo použijeme toho, že funkce logaritmus je prostá x 3 = x x 3 - x = 0 x(x-1(x+1 = 0 Poslední rovnice má tři kořeny -1, 0, 1, z nichž první dva musíme vyloučit, protože nepatří do definičního oboru ani levé ani pravé strany původní rovnice. Příklad: Řešte rovnici x logx = 100 Řešení: Rovnici zlogaritmujeme logx logx = log100 logx.logx = (logx = zavedeme substituci t = logx

7 řešíme kvadratickou rovnici t = která má dvě řešení pro t t 1 = - t = + a řešíme dvě jednoduché logaritmické rovnice logx = - logx = exponenciální funkce je k logaritmické inverzní x 1 = 10 - x = 10 zkouška: L(10 (10 log(10 10 log(10 10 log(10 10 log( P(10 Zkoušku s druhým kandidátem na řešení proveďte sami. Úkol: Řešte rovnici x logx = 100x

8 @155 Řešte rovnici vhodnou substitucí (log x - log x + = 0 Substituce t = log x vede ke kvadratické rovnici t - t + = 0 která nemá řešení a proto nemá řešení ani původní rovnice. Úkol: Řešte rovnici vhodnou substitucí (log x - log x + = 0 Poznámka: Používá se úspornější zápis mocnin funkce log (x+1 = (log(x+1 log(x+1

9 @150 V této lekci si ukážeme, jak řešit některé typy exponenciálních a logaritmických rovnic algebraicky. Příklad: Řešte rovnici 3 x-1 = 7 x Řešení: V tomto případě se snažíme dostat stejný základ. Poznáme, že 7 = 3 3 a dosadíme do zadané rovnice a upravíme pravou stranu 3 x-1 = (3 3 x 3 x-1 = 3 3x Exponenciela o základu 3 je prostá. Rovnají-li se funkční hodnoty, musí se rovnat také exponenty. A naopak. x - 1 = 3x x = -1 Zkouška musí být provedena do původní rovnice: L(-1 = 3 (-1-1 = 3-3 = 1/3 3 = 1/7 = 7-1 = P(-1 Příklad: Řešte rovnici log(3x-1 - log5 = 1 Řešení: rozdíl logaritmů (o stejném základu je logaritmus podílu log[(3x-1/5] = 1 Logaritmus o základu 10 je funkce prostá. Rovnají-li se funkční hodnoty, musí se rovnat také logaritmy. Dekadický logaritmus se rovná 1 pro číslo 10. log[(3x-1/5] = log10 (3x-1/5 = 10 x = 17 zkouška L(17 = log( log 5 = log 50 - log 5 = log 50/5 = log 10 = 1 = P(17 Úkol: Řešte rovnici log(x+ = log(x+1

10 @153 Řešte rovnici x logx = 100x Příklad: Rovnici zlogaritmujeme logx.logx = log100 + logx (logx = + logx zavedeme substituci t = logx t - t - = 0 řešíme kvadratickou rovnici t 1 = -1 t = a řešíme dvě jednoduché logaritmické rovnice logx = -1 logx = exponenciální funkce je k logaritmické inverzní x = 1/10 x = 100 Zkoušku do původní rovnice proveďte sami. Úkol: Řešte rovnici vhodnou substitucí x x + 8 = 0

11 @156 Řešte rovnici vhodnou substitucí (log x - log x + = 0 Substituce t = log(x+1 vede ke kvadratické rovnici s řešením t - 5t + 6 = 0 t 1 = t = 3 a řešíme dvě jednoduché logaritmické rovnice log(x+1 = log(x+1 = 3 x+1 = 100 x+1 = 1000 x = 99 x = 999 Zkouška se provede do zadané rovnice. KONEC LEKCE