Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok

Transkript

1 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Maturitní okruhy z matematiky pro školní rok Třída 8.A/8,.A/ V.Zlatohlávek, B. Naer. Úpravy výrazů v matematice.... Rovnice a nerovnice.... Soustavy rovnic a nerovnic...6. Geometrická zobrazení Použití metody substituce Absolutní hodnota Kvadratická rovnice a funkce Matematické důkazy Konstrukční úlohy Goniometrické vztahy, trigonometrie...7. Inverzní a složená funkce...8. Vzájemné polohy útvarů...9. Vzdálenosti.... Odchylky Obvody, obsahy, objemy a povrchy Kružnice a elipsa Hyperbola Parabola Posloupnost, aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost, nekonečná geometrická řada...8. Variace, kombinace a permutace bez opakování, kombinační čísla...0. Variace, kombinace a permutace s opakováním, binomická věta.... Pravděpodobnost, statistika.... Funkce a její ita, derivace funkce Průběh funkce Primitivní funkce, výpočty integrálů Určitý integrál a jeho použití...8

2 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Úpravy výrazů v matematice. Jaké úpravy výrazů se v matematice nejčastěji používají?. Upravte: a) 5 : 5 b a a b ab a b b a ab b a : ab c b a bc c b a. Rozhodněte v jaké části množiny R platí rovnosti: ( ) = = = =,,,. Je dán zlomek: a) Pro která R má zlomek smysl? Pro která R je zlomek roven nule? Pro která R nabývá kladných hodnot? 5. Upravte: ( ) 6. Dokažte, že pro všechna R y R,, platí: y y 7. Vysvětlete pojmy - usměrňování zlomků, částečné odmocňování 8. Upravte: a) ( ) : a a a a a a ( ). a a a 9. Vypočítejte: a) ( ) ( ) ( ) : 5 8 0

3 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova ( sin cos ) 0. Upravte: a) sin cotg tg cos sin cos sin. Řešte graficky: a) = y y y > 9 y < 5 log ( ) y 0 y 0 y 5 > 0. Vypočítejte (v algebraickém tvaru): 5 6i i i i i i a) ( ) ( )( ) ( n )! ( n )! n!. Upravte: a) n! ( n )! ( n )!. Vypočítejte: a) ( n n n) n 0 i i i i i ( ) ( ) n! n n! ( )

4 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Rovnice a nerovnice. Řešte v R : a) = = < 5 e) 9 5 f) <. Řešte v R : a) 7 = = 5 e) < 5. Řešte v R : a) 0 0, 0,0 0 ( ). Určete reálnou hodnotu parametru m tak, aby rovnice s neznámou R měla: a) kladný kořen 6 m m = 5 reálné kořeny A) m m = 0 B) m m = 0 C) m 9 = 0 reálné různé kořeny A) m = 0 B) m m = 0 jeden kořen roven nule m m = 0 5. Řešte v R rovnici s reálným parametrem p: = ( ) p p 6. Řešte v R : a) = = 8 = 7. Určete definiční obory funkcí: a) y = log( 0) 5 y = log ( ) : ( 5) 0

5 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Řešte v R : a) = 5 = 0 7 = 0 = 9. Řešte v R : a) log( ) log7 log = log( ) log6 8 log log log log... = 5log log 5 = log log log log log = e) log log = f) log = 0 g) log < 0. Řešte v R : a) sin = 0 sin = f) sin cos = 0 sin = tg = e) cotg =. Řešte graficky nerovnice: a) sin cos < tg <. Řešte v R : a) sin( π ) = 0, 5 cotg ( π 6) = sin = sin sin = cos. Řešte v C : a) 5 = 0 6i 8 = 0, Řešte v C : ( i) i = 0 a) 5 = 8 = 8 = i Jak se tyto rovnice nazývají?

6 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Soustavy rovnic a nerovnic. Řešte početně i graficky soustavu lineárních rovnic v R. y = 5 y = 5 y = 5 a) y = y = 0 y = 5. V R řešte soustavy rovnic použijte metodu GEM (Gaussova einační metoda) a JEM (Jordanova einační metoda): y z = 7 y z = a) y 5z = 5 y z = 5y z = 9 Jaký je geometrický význam této úlohy?. Řešte v R soustavu rovnic s parametrem b :. Pro které reálné hodnoty parametru b má v řešení [ y] ( b ) y ( b ) y = = R soustava rovnic b y =,, kde > 0 y < 0? by = 5. Určete všechny kvadratické funkce, jejichž grafy procházejí body: [, 57 ], [,9 ], [ 5, ] 6. Řešte početně i graficky: y = 9 y 8 7. Řešte graficky i výpočtem soustavy rovnic: a) = y y 5 = 0 y = y = 8 8. Řešte graficky soustavy nerovnic: y y < 5 a) y 6 y 0 y 5 y < 0 y 0 y y > 9 y 5 9. Řešte v R soustavu nerovnic: a) 6 9 < 0 0. V pravoúhlém trojúhelníku je součet délek stran cm, součet obsahů čtverců nad jeho stranami je 6050cm. Jak dlouhé jsou strany trojúhelníku?. Řešte v log log y = 5 a) log log y = R soustavy rovnic: log log y = log log y. = 5 y y = 5 = 5. Řešte v 0,π soustavu nerovnic: a) cotg < / sin / tg cos < /

7 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova V π π, sin cos y sin cos y řešte soustavu rovnic: 6 = =. Rozdíl dvou přirozených čísel je 8, rozdíl jejich aritmetického a geometrického průměru je 6. Určete tato čísla.

8 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Geometrická zobrazení. Vysvětlete pojmy: a) geometrické zobrazení shodné zobrazení podobné zobrazení samodružný bod, samodružný objekt. Jaká znáte shodná zobrazení v rovině? Každé z nich charakterizujte - čím je určeno, jakým způsobem zobrazíme bod, jaké útvary jsou samodružné.. Je dán trojúhelník ABC, a = 7cm, b = 6cm, c = 5cm, T je jeho těžiště. Sestrojte jeho obraz v zobrazení 0 0 T R B,0 S BC οt AC S TA ο R B,60 S ο ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ) ( ). Určete všechny osy a středy souměrnosti útvarů: čtverec, obdélník, kosočtverec, rovnoběžník, trojúhelník - rovnostranný, rovnoramenný, obecný, kruh. 5. Je dán ostrý úhel AVB, bod S leží mezi rameny VA, VB. Sestrojte úsečku XY se středem S, bod X VA, bod Y VB. 6. Je dán bod S, kružnice k, přímka p. Sestrojte čtverec ABCD se středem S, vrchol A k, vrchol C p. 7. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: t a = 5 cm, b = 6cm, c = 5, 5cm. 8. Jsou dány kružnice k l, k l = { } ABCD tak, že vrchol,, přímka p ležící mezi nimi, úsečka KL. Sestrojte kosočtverec A k, vrchol C l, úhlopříčka BD p a platí: BD = KL. 9. Je dána přímka p, body A, B ležící ve stejné polorovině určené přímkou p. Sestrojte trojúhelník ABC, bod C p, tak, aby měl minimální obvod. 0. Jsou dány soustředné kružnice k, l, bod A k. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC, vrchol B k, vrchol C l.. Jsou dány rovnoběžné přímky b, d, bod A ležící mezi nimi. Sestrojte čtverec ABCD, vrchol B b, vrchol D d.. Jsou dány různoběžné přímky a, b, úsečka KL. Sestrojte úsečku AB, bod A a, bod B b, AB KL, AB = KL.. Charakterizujte stejnolehlost - čím je určena, jakým způsobem zobrazíme bod, úsečku.. Je dán trojúhelník ABC, a = 7cm, b = 6cm, c = 5cm. Sestrojte jeho obraz - trojúhelník KLM v zobrazení H B, ο H ( A, ). Jaký je vztah mezi trojúhelníky ABC, KLM?

9 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Je dána kružnice k, její vnější bod Q. Bodem Q veďte sečnu s ke kružnici k tak, aby platilo: QB = QA, kde s k = { A, B} A. 6. Je dán čtverec ABCD, jeho vnitřní bod K. Sestrojte úsečku XY, body X, Y leží na obvodu čtverce ABCD a platí: KX = KY. 7. Jsou dány různoběžné přímky a, b, bod M a M b. Sestrojte kružnici k, bod M k, k se dotýká přímek a, b. 8. Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC s rameny AC, BC. Vepište do něj čtverec KLMN, strana KL AB, vrchol M BC, vrchol N AC.

10 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Použití metody substituce. Řešte v R rovnice: a) 0 9 = 0 ( ) = 7( ). Řešte v R rovnici: = Řešte v R zavedením nových neznámých: = = = 0 y z y z. Řešte v R : a) 9. 8 = = = 8 5. Řešte v R : a) log = log log = 0 log 5 = log log log log 0 = 6. Řešte v y y R soustavu rovnic: = 5.9 = Řešte v R : a) sin π = tg π = sin cos sin = 0 tg cotg = 0 8. Řešte v N : n n n = 0 k k a) (!) 7n! 6 = 0 d 9. Vypočítejte: a) 0( ) sin cos d ln 5 e d d 5 e) sin cos d f) cos d

11 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Absolutní hodnota. Jak je definována absolutní hodnota reálného čísla a? Jaký je její geometrický význam?. Řešte zpaměti, R : a) = < e) <. Dokažte vztahy pro a R, b R : a) a. b = a. b a = b Jaký je vztah mezi výrazy: a b??? a b. Sestrojte grafy funkcí: a) y = y = a b y = y = e) 6 9 y = f) y = g) 9 y =. h) 9 y = i) y = sin j) y = log k) y = log 5. Řešte v R : a) 6 = 0 = = e) 6 5 < 6 f) < g) 6. Řešte graficky: = y y 7. Jak je definována absolutní hodnota kompleního čísla? Jaký je její geometrický význam? 8. Vypočtěte absolutní hodnotu kompleního čísla: i i z = i i

12 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Řešte v C algebraicky: z z = i 0. Řešte v C graficky: a) z = z i < z i < z i < z i > z

13 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Kvadratická rovnice a funkce. Jaký je obecný zápis kvadratické rovnice? Vysvětlete pojmy: ryze kvadratická rovnice kvadratická rovnice bez absolutního členu normovaná kvadratická rovnice. Řešte v množině R, v množině C : a) 7 6 = 0 = 0 = 0 7 = 0 e) 7 = 0 f) 5 = 0. Řešte v množině C : a) 6i 8 = 0 ( i) i = 0 ( i) 7i = 0. Ze stanice se má vypravit vlaků, z nichž každý má 5 vagónů. Aby se ušetřilo několik lokomotiv, zmenšili počet vlaků tím, že ke každému vlaku přidali tolikrát po 5 vagónech, kolik lokomotiv ušetřili. Tak byly opět vypraveny všechny vagóny. Kolik lokomotiv se ušetřilo, kolik vagónů měl každý vlak? 5. Pozemek obdélníkového tvaru o rozměrech metrů a metrů je rozdělen dvěma navzájem kolmými stejně širokými cestami rovnoběžnými se stranami pozemku. Zbývající část pozemku je zahrada, jejíž obsah se rovná 8 7 celého pozemku. Jak široké jsou cesty? 6. Uveďte Vietovy vzorce - vztahy mezi kořeny a koeficienty (normované) kvadratické rovnice. 7. Vysvětlete rozklad kvadratického trojčlenu b c ( a 0) a na součin kořenových činitelů. 8. Určete všechny kvadratické rovnice, a) jejichž kořeny jsou čísla a -5 jejichž dvojnásobným kořenem je číslo /5 9. Zapište všechny kvadratické rovnice, které mají kořeny a) čtyřikrát větší o čtyři větší než jsou kořeny rovnice 9 5 = 0 (pomocí Vietových vzorců bez řešení původní rovnice). 0. Určete, pro která reálná čísla p platí, že součet druhých mocnin kořenů rovnice p = 0 je roven 96.. Řešte v R rovnice: a) = 5 = = 8 =. Sestrojte grafy funkcí v závislosti na parametru a : a) y = a y a = ( ) y = a

14 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Sestrojte grafy funkcí a určete jejich vlastnosti: ( ) ( ) y D f, H f, P, P, monotónnost, omezenost, sudost, lichost. a) y = y = y =. Určete D(f): a) y = y = 5. Na oplocení pozemku obdélníkového tvaru máme k dispozici m 00 pletiva. Určete jeho rozměry tak, aby výměra byla co největší.

15 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Matematické důkazy. Co je to výrok?. Vysvětlete pojem tautologie výrokové logiky. Dokažte, že jde o tautologie: a, [ A B] [( A) ( B) ] b, [ A B] [( B) ( A) ] Vysvětlete termíny: obrácení implikace, obměna implikace.. Formulujte negace výroků: Přímka prochází nejvýše pěti body. Rovnice má alespoň dvě řešení. Každé přirozené číslo je kladné. Posloupnost a je rostoucí pro n n N platí: a n < a n. Jaké znáte typy důkazů v matematice? Stručně charakterizujte. 5. Vyjmenujte znaky dělitelnosti dvěma, třemi, čtyřmi, pěti, šesti, devíti, deseti. Dokažte: Pro n N n 6 n n 5 n 5 n platí: a) ( ) 6 ( n n) 6. Vysvětlete rozdíl mezi racionálním a iracionálním číslem. Dokažte sporem: není racionální číslo. 7. Dokažte matematickou indukcí: Pro n N platí: a)... Κ n = n ( n ) n ( n )( n ) n Κ n 8. Dokažte matematickou indukcí: Pro n N platí: 6 n n 9. Dokažte sporem: Každým bodem roviny lze vést k dané přímce nejvýše jednu kolmici. 0. Dokažte geometricky vztah: ( ) a b = a ab b. Dokažte geometricky: Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 80 stupňů.. Dokažte: Lineární funkce y = a b je pro a > 0 rostoucí, pro a < 0 klesající.. Dokažte, že pro každá dvě čísla a R, b R, a > 0, b > 0 platí vztahy: = 6 a b a) ab a b ab y =, = R : y.. Dokažte podle definice derivace: 0 ( 0 ) 0

16 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Konstrukční úlohy. Sestrojte množinu všech bodů v rovině, z nichž je vidět úsečku AB, AB = 5cm, pod úhlem: a) Je dána kružnice k( S cm) 0 0 kružnice k vytíná tětivy o délce cm.. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:,, bod A, AS = 7cm. Bodem A veďte všechny přímky, na nichž a) c, v, t b b b, b, c, ta c, a, va, α d, c, v, v b a e, β,t, t b a. Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno: v, e 5. Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: a,α, e 6. Sestrojte lichoběžník ABCD, AB CD, je-li dáno: b, c, α, f, l O, r, 7. Jsou dány soustředné kružnice ( ) ( ) k O, r r > r, přímka p, která je sečnou kružnic k, l. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímky p, kružnice k k uvnitř, kružnice l vně. k,, bod A k, bod B ležící vně kružnice k. Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnice k v bodě A, bod B l. 8. Je dána kružnice ( O r) 9. Jakými způsoby lze sestrojit úsečku délky 5? 0. Jsou dány úsečky délek a, b (a >. Sestrojte úsečku délky: a) a b a b a b ab a b. Obdélník má strany o délkách a, b. Sestrojte čtverec o stejném obsahu.

17 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Goniometrické vztahy, trigonometrie. Pomocí jednotkové kružnice ukažte zavedení funkcí: y = sin, y = cos, y = tg, y = cotg. Odvoďte základní vztah sin cos =.. Vypočítejte zpaměti: a) a.sin π b.cos0 ab. cosπ cosπ sin π 8tgπ cosπ 6cotg π 5sin π 0. Vypočítejte: a) sin π cos π tg π sin 600 cos 0 tg 50 cotg 05 ( ) ( ) ( ) ( ). Vypočítejte hodnoty sin, cos, tg, cotg, jestliže je dáno: a) sin = 0, 6 π, π cotg = π, π 5. Upravte výrazy a určete podmínky: cos sin sin a) sin cotg sin sin cos cos tg z cos cos sin cos e) f) tg z tg cotg cos cos sin 6. Dokažte, že platí: a) sin ( cotg ) cos ( tg ) = sin cos = sin cotg tg 7. Dokažte, že platí vztah pro obsah trojúhelníku ABC : S = b c sin α. 8. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže platí a : b = :, α : β = :. 9. Určete velikost úhlu γ v trojúhelníku ABC, jestliže platí: a) c = a b ab c = a b ab 0. Silnice, vedoucí po hrázi rybníka, má být po zrušení rybníka nahrazena přímou cestou. Její krajní 0 body A, B jsou zaměřeny z bodu C pod úhlem γ = 60, a = AC = m, b = BC = m. Jak dlouhá bude nová cesta?. Na vrcholu kopce stojí rozhledna vysoká v = 5m. Její patu vidíme z údolí ve výškovém úhlu 0 0 α = 9, vrchol ve výškovém úhlu β. Jak vysoko je vrchol kopce nad pozorovacím místem?. Z věže vysoké v = 0 m a vzdálené od řeky a = 0m se jevila šířka řeky v zorném úhlu 0 0 α = 5. Určete šířku řeky v tomto místě.

18 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Inverzní a složená funkce. Vysvětlete, kdy je funkce prostá ve svém definičním oboru. Ukažte, zda jsou prosté funkce: a) y = c (konst.) y = y = e) y = e f) y = ln. Vysvětlete pojem rovnosti funkcí. Rozhodněte, zda jsou si rovny dané funkce f, g : a, f ( ) =, g( ) = sin cos b, f ( ) =, g( ) = c, f ( ) = sin, g( ) = tg cos y =. Vysvětlete pojem inverzní funkce. Jakou vlastnost musí mít funkce f, aby k ní eistovala funkce inverzní grafy funkcí f? Jaké jsou vztahy mezi množinami ( ) ( ) ( D f, H f, D f ), H ( f ) f, f?. Napište rovnici a určete ( ) ( ) ( f, H f, D f ), H ( f ) a) f : y = D inverzní funkce f : y = : y = : y = log f) f : y = sin f e) 5. Do stejné soustavy souřadné načrtněte grafy následujících funkcí: f? Jaký je vztah mezi f (relace) k funkci f : f : y = a) y =, y = y =, y =, y = a 6. Určete pro které reálné hodnoty parametru a jsou funkce f : y = g : y = log a a 5 a a) rostoucí klesající 7. Určete, z kterých funkcí jsou složeny následující funkce a derivujte je: y = a) ( ) y = cos sin y = y = ln e) y = ln (ln (ln )) 8. Vypočítejte integrály: 5 a) d d 5 7 sin (a d sin. cos d e) e d

19 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Vzájemné polohy útvarů. Zjistěte, zda dané body leží v jedné přímce: a) A [, ], B[ 7, ], C[,5] A[ 7,, ], B[ 5,, ], C[,8, ]. Zjistěte, zda leží dané body v jedné rovině: a) A [,, ], B[,, ], C[,, ], D[,, ] A [,, ], B[,,8 ], C[,, ], D[,,9 ]. Určete vzájemnou polohu přímek q p, : a) p : A[, ], směrový vektor a (,) q : B[, ], směrový vektor b (, ) p : A[,0, ], B[,, ], q : C[,, ], D[ 0,,]. Určete reálné číslo a tak, aby přímka p : = 5 6t, y = a t, t R procházela průsečíkem přímek r,s, kde r : = u, y = u, u R, s : = v, y = v, v R. 5. Ukažte, že přímka AB : A[,, ], B[,, ] Určete jejich průsečík., je různoběžná s rovinou α : y z = Zjistěte vzájemnou polohu roviny, která má obecnou rovnici y z = 0 a přímky, která je průsečnicí rovin α : y z = 0, β : y z 7 = Vysvětlete pojmy: příčka mimoběžek procházející daným bodem, nejkratší příčka mimoběžek. Uveďte příklad na krychli ABCDEFGH - mimoběžky AE, BC, bod S (střed krychle). 8. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM, průsečík přímky PQ s krychlí:

20 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Sestrojte řez jehlanu ABCDEFV rovinou KLM, vysvětlete pojem - prostorová kolineace.. Sestrojte řez hranolu ABCDEFGHIJ rovinou PQR, vysvětlete pojem - prostorová afinita.

21 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Vzdálenosti. Vypočítejte výšku c v v trojúhelníku ABC : A[, ], B[, ], C[,].. Určete vzdálenost přímek p, q : p : y 0 = 0 q: = t, y = t, t R. Určete vzdálenost rovin: α : y z 6 = 0 β : y z = 0.. Určete vzdálenost bodu [,6,8] K od roviny α : = r s, y = r, z = 6 s, r R, s R. Určete obraz bodu K v souměrnosti podle roviny α. 5. Určete vzdálenost bodu M [,,] od přímky AB, A[ 0,, ], B[,,0 ] p =. 6. Napište rovnici kružnice, je-li dán její střed S a rovnice přímky p, která se jí dotýká: [,], p : 8 5y = 0 S. 7. Na základě výpočtu vzdálenosti středů kružnic k,l rozhodněte o jejich vzájemné poloze: k : y 0 8y 00 = 0 l : y 6y = 0 8. Ukažte, že množinou všech bodů X roviny, které mají od bodu [,9] než od bodu B [ 6, 7], je kružnice. Určete její střed a poloměr. A třikrát větší vzdálenost 9. Je dán pravidelný čtyřboký hranol ABCDEFGH, AB = a, AE = v. Určete vzdálenost bodu B od přímky: a) GH EG AG Řešte výpočtem i graficky. 0. Určete vzdálenost vrcholu A pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV od přímky CV, je-li AB = a, AV = b. Řešte výpočtem i graficky.. Je dána krychle ABCDEFGH, AB = a, body K, L jsou po řadě středy hran AB, BC početně i konstrukčně: a) vzdálenost přímek EG, KL vzdálenost rovin ACH, BEG. Určete

22 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Odchylky. Jaký je vztah mezi středovým a obvodovým úhlem v kružnici? Trojúhelníku ABC je opsána kružnice, jeho vrcholy dělí kružnici na tři oblouky v poměru : : 7. Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC.. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC : a) A [,, ], B[,, 5 ], C[,, ] A,,, B,,, C,, [ ] [ ] [ ]. Vypočítejte souřadnice vektoru u, který je kolmý k vektoru v (,) a má velikost 5.. Je dána přímka p : = t, y = t, z = t, t R, rovina α : y 8 = 0, rovina β : = 5 r s, y = 6 r s, z = r, r R, s R. Vypočítejte: a) odchylku přímky p a roviny α odchylku přímky p a roviny β odchylku rovin α, β 5. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, AB = a = 6cm, výška jehlanu v = cm. Určete: a) odchylku přímek BC, AV odchylku přímky AV od roviny ABC odchylku rovin ABC, ADV Úlohu řešte: a) metodou stereometrie - výpočtem a konstrukčně 6. Je dána krychle s hranou délky a. Určete odchylku: a) dvou stěnových úhlopříček dvou tělesových úhlopříček stěnové a tělesové úhlopříčky 7. Pod jakým úhlem je vidět kružnici : y 8 5 = 0 k z bodu [ 0,0] P?

23 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Obvody, obsahy, objemy a povrchy. Vypočítejte obsah trojúhelníku, je-li dáno: a) a = 6 cm, va = cm a = cm, b = 5cm, γ = 0 a = 5 cm, b = cm, c = cm (dokažte, že jde o pravoúhlý trojúhelník). Trojúhelníky ABC, KLM jsou podobné s poměrem podobnosti k. Co platí o poměru jejich výšek, obvodů, obsahů?. Nad stranami čtverce o straně délky a jsou sestrojeny uvnitř čtverce půlkružnice. Určete obsah obrazce, který vyvářejí - viz obrázek.. Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky a = cm, c = cm, je-li jeho výška o cm menší než délka ramene. 5. Obvod kruhové výseče, která je částí kruhu o poloměru cm, je 9 cm. Vypočítejte její obsah. 6. Úhlopříčný řez kvádru kolmý k rovině podstavy je čtverec s obsahem hrana je o cm delší než druhá. Vypočtěte objem a povrch tělesa. 5 cm. Jedna podstavná 7. Délka všech hran pravidelného čtyřbokého jehlanu je a = 6 cm. Vypočtěte jeho objem a povrch. 8. Podstava kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délky v poměru :. Výška hranolu je o cm menší než větší odvěsna podstavy a povrch hranolu je 68 cm. Vypočtěte objem hranolu. 9. Osový řez nádoby, která má tvar rotačního válce, je obdélník s úhlopříčkou u = 9 cm. Poměr obsahu pláště a obsahu podstavy je 5 :. Kolik litrů vody se vejde do nádoby? 0. Určete objem a povrch komolého kužele, jehož podstavy jsou kruh opsaný a vepsaný protilehlým stěnám krychle s hranou délky a.. Určete poměr objemů rotačního válce, polokoule a rotačního kužele se stejnými poloměry podstav a stejnými výškami.

24 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Kružnice a elipsa. Vyslovte definici kružnice, kruhu, elipsy.. Zapište rovnici kružnice, jejímž průměrem je úsečka, A[, ], B[, 5] AB.. Zjistěte, pro které hodnoty parametru p je rovnice y 6y p = 0 rovnicí kružnice. Určete souřadnice středu a poloměr.. Napište rovnici kružnice opsané trojúhelníku, A[, ], B[,0 ], C[ 0,5] ABC. 5. Zapište rovnice kružnic, které se dotýkají souřadnicových os a procházejí bodem A [,]. 6. Napište rovnice tečen kružnice dané rovnicí y 6 y = 0 v jejích průsečících s přímkou p : y =. 7. Určete rovnici tečny ke kružnici y 6y 9 = 0, která je rovnoběžná s přímkou p : y =. 8. Napište rovnici elipsy, jejíž osy splývají s osami souřadnými a která prochází body [, 6] L [ 6,0]. 9. Napište rovnici elipsy se středem S [,], hlavní vrchol [,8] 0. Proveďte rozbor elipsy, určete: S, A, B, C, D, E, F, a, b, e, o, o : a) 9y = 6 9 5y 5 00y = 0 A, ecentricita e =.. Určete vzájemnou polohu elipsy 9y 6 = 0 a přímky p : y 6 = 0.. Napište rovnice tečen elipsy: ( ) ( y ) = p : y = 0.. Ukažte, že pro každé R b a y = a b. v jejích průsečících s přímkou t leží bod [ a t, bsin t] cos na elipse, která má rovnici K,

25 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Hyperbola. Grafem jaké funkce je rovnoosá hyperbola? Zapište její rovnici a rovnice asymptot. Jaká je vzájemná poloha asymptot?. Vyslovte definici hyperboly.. Hyperbola má ohniska E[ 5,0 ], F[ 5,0], a prochází bodem M [,0]. Napište její rovnici.. Napište rovnici hyperboly s ohnisky E [ 0, ], F[ 0,6], která prochází bodem [ 0,] 5. Proveďte rozbor hyperboly, určete: S, A, B, E, F, a, b, e, o, o, h, h a) 9y 8 8y = 0 y 6 6y = 0 L. 6. Určete vzájemnou polohu přímky p a hyperboly H, popř. souřadnice společných bodů: H : y = 6 a) p : = t, y =,5t, t R p : 5 6y 6 = 0 p : = t, y = t, t R 7. Určete vzájemnou polohu přímky p : 5 y t = 0, hyperboly H : y = 6 v závislosti na parametru t. H v bodě [,] 8. Napište rovnici tečny k hyperbole : 5y 80y = 0 Jakými způsoby lze úlohu řešit? 9. Určete rovnici hyperboly, která má svá ohniska v hlavních vrcholech elipsy a své vrcholy v ohniscích elipsy o rovnici: 9 5y = Sestrojte graf relace 9y = 6 y. T. 8. Vypočítejte odchylku tečen hyperboly y = 6, které procházejí bodem R,.

26 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Parabola. Sestrojte grafy relací: y =, y =, = y, = y.. Vyslovte definici paraboly.. Zapište vrcholovou rovnici paraboly, je-li dáno ohnisko F, řídící přímka d: a) F [,0], d : y = F [, ], d : y = F [ 6,], d : = 8 F [,], d : =. Zapište vrcholovou rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y, má vrchol [,5] prochází bodem A [ 0,]. 5. Je dána trojice bodů [, ], B[,7 ], C[,] V a A. Určete rovnici paraboly, která prochází body A, B, C a má osu rovnoběžnou s osou y. Načrtněte obrázek. 6. Proveďte rozbor paraboly,určete: V, F, p, o, d : a) y 5 = 0 y y = 0 7. Určete vzájemnou polohu přímky p, paraboly P, souřadnice společných bodů: a) p : y 5 = 0 P : y = 0 p : y = 0 P : y = 8 p : y = 0 P : y = 0 p : = 0 P : y = 0 8. Parabola o rovnici p = y se dotýká přímky, která má rovnici y 6 = 0. Určete parametr paraboly a souřadnice bodu dotyku. 9. Určete rovnici tečny paraboly P v jejím bodě T : : y = 5 P T [, ] y T 0. Určete velikost úhlu, pod nímž je z bodu M vidět parabolu P : M [ 0,] P : = y. Vypočítejte odchylku tečen kružnice K : y = 5 a paraboly P : y = 6 v jejich společných bodech.. Průměr parabolického automobilového reflektoru je cm, hloubka reflektoru je cm. Určete rovnici parabolického řezu a vypočítejte polohu vlákna žárovky, je-li reflektor zapnut na dálková světla (vlákno je v ohnisku).. Vypočítejte obsah obrazce omezeného parabolou y = a přímkou y = 0.

27 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Posloupnost, aritmetická posloupnost. Jak je definována posloupnost? Vysvětlete rozdíl mezi zadáním posloupnosti n-tým členem a rekurentním předpisem posloupnosti.. Zjistěte, která z čísel,65, jsou členy posloupnosti, kde a n = 5 n 8.. Určete rekurentní předpis posloupnosti: a) = n a n = n( n ). Danou posloupnost vyjádřete vzorcem pro n-tý člen: a = 0, a n = an 5. Napište definici posloupnosti: a) rostoucí klesající omezené shora (zdola) omezené a n Vyšetřete tyto vlastnosti na posloupnosti: a n n = n 6. Jak je definována aritmetická posloupnost? Pro jaké hodnoty diference d je aritmetická posloupnost: a, rostoucí b, klesající 7. Dokažte, že posloupnost a n = 5n je aritmetická. 8. Určete aritmetickou posloupnost ( a, d ), ve které platí: a, a a5 = 0 a a = 6 b, s 5 = 60 s0 = 70 c, a a = a a = Součin tří po sobě jdoucích členů aritmetické posloupnosti se rovná jejich součtu, Určete tyto členy. d =. 0. Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Určete jejich velikost, je-li obsah trojúhelníka 6 dm.... n n. Vypočítejte: n n. Teploty Země přibývá směrem do jejího středu o 0 C na m. Jaká je teplota v hloubce 05 m, je-li v hloubce 5 m teplota 9 C?. Určete velikost ostrého úhlu, tvoří-li posloupnosti? cotg, ( sin ). Vypočítejte součet všech trojciferných přirozených čísel dělitelných pěti., tg tři po sobě jdoucí členy aritmetické

28 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Geometrická posloupnost, nekonečná geometrická řada. Jak je definována geometrická posloupnost?. Dokažte, že posloupnosti: a) a n = ( ) n jsou geometrické. Určete a, q. b n = n. n. V geometrické posloupnosti platí: a a =,5 a a =, 5. Určete a, a, s.. V geometrické posloupnosti je a =, q =, sn = 80. Určete n, an. 5. Mezi čísla 5 a 60 vložte tolik čísel, aby vznikla geometrická posloupnost, přičemž součet vložených čísel je Dokažte: Je-li a n geometrická posloupnost, potom pro každé přirozené číslo n platí: a n = an. an 7. Přičteme-li k číslům,6, 58 stejné číslo, dostaneme první tři členy geometrické posloupnosti. Určete v této posloupnosti s. 8. Mezi čísla, 8 vložte dvě čísla tak, aby první tři tvořila geometrickou posloupnost a poslední tři posloupnost aritmetickou. 9. Délky hran kvádru tvoří geometrickou posloupnost. Objem vycházejících z jednoho vrcholu, je cm. Určete délky hran. V = 6 cm. Součet délek hran, 0. Délky stran a, b, c trojúhelníku ABC tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Jak jsou velké, je-li délka strany b = 8 cm a obvod o = cm.. Kratší úhlopříčka, strana a delší úhlopříčka kosočtverce mají délky, které tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Vypočítejte velikosti úhlů kosočtverce.. Pro které hodnoty kvocientu q je geometrická posloupnost konvergentní? Vysvětlete pojem nekonečné geometrické řady a odvoďte vzorec pro její součet.. Zjistěte, které z nekonečných řad jsou konvergentní a určete jejich součty: n= n ( ) n n= n 0, 6. Dokažte správnost rovnosti: = 0, Zjistěte, pro která je nekonečná geometrická řada konvergentní a určete pak její součet: ( ) ( ) ( ) Κ Κ n 6. Vypočítejte: n n n n Κ 8 n=, n

29 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Řešte v R: a) = Κ 0 5 = Κ log log log Κ = 8 6 Κ = 6 8. Řešte v 0, π : sin sin sin Κ = tg 9. Je dán čtverec o straně délky a. Do něho je vepsán čtverec tak, že jeho vrcholy leží ve středech stran daného čtverce. Takto vzniklému čtverci je opět vepsán čtverec s vrcholy ve středech stran předchozího čtverce atd. Postup se stále opakuje. Určete: a) součet obvodů všech čtverců součet obsahů všech čtverců

30 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova Variace, kombinace a permutace bez opakování, kombinační čísla. Vyslovte definici variace, kombinace a permutace bez opakování.. Definujte číslo n!. n. Vysvětlete pojem: kombinační číslo k ( n )! ( n )! n!. Zjednodušte výrazy: a) n! ( n )! ( n )! 5. Řešte rovnice: n! n n! ( ) ( n ) a) ( n )! n! 6 6n = 8 n = 8 n n n ( n )! ( n )! n = 0 ( n )! ( n )! n = e)! = 0( )! f) ( n!) 7n! 6 = 0 6. V R řešte rovnici s neznámou a parametrem n N : ( n )! ( n )! ( n )! Κ n( n )! ( n ) n! n! n! Κ =! 7. Jsou dány cifry 0,,,,,5,6, 7. Určete počet přirozených čísel, ve kterých se cifry neopakují a splňují podmínky: a) jsou pěticiferná jsou čtyřciferná sudá jsou větší než a zároveň menší než Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer 0,,,, 7. Kolik z těchto čísel je: a) dělitelných šesti? větších než 70? 9. V rovině je dáno 0 bodů, z nichž právě 5 leží na jedné přímce. Kolik je těmito body určeno: a) přímek trojúhelníků kružnic 0. Určete, kolika způsoby lze z 0 mužů a 6 žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou: a) právě ženy aspoň ženy. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b. Na přímce a je dáno 5 různých bodů A,...A 5, na přímce b různých bodů B,...B. Určete počet všech trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech.

31 MATURITA Gymnázium V.Hlavatého, Louny, Poděbradova K sestavení vlajky, složené ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. Kolik z nich má modrý pruh? Kolik jich má modrý pruh uprostřed? Kolik jich nemá uprostřed červený pruh?. O telefonním čísle víme: je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné 5. Kolik telefonních čísel přichází v úvahu?. Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet tříčlenných variací bez opakování: a) desetkrát o 50 Určete původní počet prvků. 5. Určete počet prvků tak, aby: a) bylo možno z nich utvořit právě 00 permutací bez opakování při zvětšení jejich počtu o dva se počet permutací bez opakování zvětšil 56 krát při zmenšení jejich počtu o dva se počet permutací bez opakování zmenšil 0 krát 6. Určete počet prvků tak, aby: a) počet členných kombinací bez opakování z nich vytvořených byl 0 krát větší než počet členných kombinací bez opakování při zvětšení počtu prvků o se počet členných kombinací bez opakování zvětšil o