VZOROVÝ TEST PRO 2. ROČNÍK (2. A, 4. C)

Transkript

1 VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 4. C) max. body 1 Vypočtěte danou goniometrickou rovnici a výsledek uveďte ve stupních a radiánech. cos x + sin x = 1 4 V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. Řešte danou binomickou rovnici: max. body 7z + 4 = 0 V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.

2 Načrtněte graf dané funkce a určete průsečíky se souřadnými osami. f: y = x x + max. body V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. R x R y body 4 S využitím grafu mocninné funkce vzestupně porovnejte podle velikosti daná čísla: 4 ; ( 1,5) 4 ; 1 4 ; 0,8 4 ; ( 0,8) 4 A) (0,8) 4 = ( 0,8) 4 < 1 4 < ( 1,5) 4 < 4 B) ( 0,8) 4 < 0,8 4 < 1 4 < ( 1,5) 4 < 4 C) 4 < ( 1,5) 4 < 1 4 < 0,8 4 = ( 0,8) 4 D) 1 4 < 0,8 4 < ( 1,5) 4 < ( 0,8) 4 < 4 E) jiné řešení

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 max. 4 body Přiřaďte grafy funkcí ( ) k zadaným předpisům funkcí (f 1 -f 8 ) f 1 : y = x f : y = log1 x f : y = x f 4 : y = x x f 5 : y = 1 f 6 : y = log x f 7 : y = x 4 f 8 : y = x

4 1 bod 6 V oboru R řešte: x + x+1 = 108 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Na hmotný bod působí dvě síly o velikostech F 1 = 15 N a F = 75 N, jejichž vektory svírají úhel Jak velká je výslednice vektorů sil? A) 175 N B) 165 N C) 155 N D) 145 N E) jiné řešení

5 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dán trojúhelník ABC s obsahem S = 0,75 dm, stranou a = 0 cm a úhlem γ = 0. 8 Určete velikost strany b v trojúhelníku ABC. 9 V oboru C řešte: + i = z + z 1 bod max. body 10 Rozhodněte u příkladů ( ), zda jsou či nejsou goniometrickým tvarem komplexního čísla z = (sin π + i cos π) Ano Ne z = 17 (sin 15 + i cos 15 ) Ano Ne 10. z = (cos π + i sin π) Ano Ne 10.4 z = cos 6 i sin 6 Ano Ne

6 11 Zjednodušte výraz a výsledek zapište v goniometrickém tvaru komplexního čísla. ( i) 4 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 body Kulička vyrobená ze zlata má hmotnost 9,6 kg. Za normální pokojové teploty je hustota zlata přibližně 19, g cm. 1 Určete průměr kuličky. A) 4,9 cm B) 6,8 cm C) 9,8 cm D) 10,8 cm E) jiné řešení

7 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána krychle STUVWXYZ a body M, N, P, které jsou postupně středy hran TX, WX, UV. 1 Určete vzájemnou polohu přímek VM a NP. body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 Je dána pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Délka jeho podstavných hran je 9 cm a výška je rovna 4,5 cm. 14 Určete odchylku rovin ABC a BCV. A) 5 B) 5 C) 45 D) 55 E) jiné řešení

8 1 bod 15 Určete odchylku dvou tělesových úhlopříček krychle ABCDEFGH (výsledek uveďte s přesností na vteřiny). Velikost hrany krychle je a. ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDLI VŠECHNY ODPOVĚDI.

9 Autorské řešení vzorového testu pro. ročník max. body 1 Vypočtěte danou goniometrickou rovnici a výsledek uveďte ve stupních a radiánech. cos x + sin x = 1 4 cos x + 1 cos x 1 4 = 0 cos x cos x 4 = 0 4cos x 4cos x = 0 Substituce: y = cos x 4y 4y = 0 y 1; = 4± ( ) 4 cos x = 1 y 1 = 1 ; y = cos x = => K =, H f = 1; 1 Goniometrická rovnice bude mít dva kořeny x 1 a x, které budou v II. A III. kvadrantu. Hodnota 1 odpovídá 60 = π. x 1 = π + kπ = 10 + k 60 x = 4 π + kπ = 40 + k 60 Řešte danou binomickou rovnici: max. body 7z + 4 = 0 Nejprve upravíme rovnici na z = 4 7 a poté převedeme algebraický tvar komplexního čísla na goniometrický: z = 4 (cos x + i sin x). Pro výpočet binomické n rovnice využijeme vzorec z k = z 7 (cos α+kπ n vypočítat algebraický doplněk = π n, v našem případě = π. + i sin α+kπ ). Dále si můžeme n k = 0: z 0 = 4 (cos π 7 + i sin π )

10 k = 1: z 1 = 4 7 (cos π + i sin π) k = : z = 4 7 (cos 5π + i sin 5π ) Načrtněte graf dané funkce a určete průsečíky se souřadnými osami. f: y = x x + max. body hyperboly. f: y = x x + = x + 6 = x + x + S[ ; 1] R x [; 0] R y [0; 1] Předpis funkce nejprve upravíme na středový tvar, abychom mohli určit střed Souřadnice průsečík s osou x Rx zjistíme tak, že za y-souřadnici dosadíme 0 a budeme řešit jednoduchou rovnici x = 0. Je zde zřejmé, že rovnice bude rovna nule právě tehdy, x+ když čitatel bude roven nule, tzn., že x + 6 = 0, z čehož plyne x =. Souřadnice průsečíku s osou y zjistíme tak, že za x-souřadnici dosadíme nulu, z čehož vyplývá y = 1.

11 body 4 S využitím grafu mocninné funkce vzestupně porovnejte podle velikosti daná čísla: 4 ; ( 1,5) 4 ; 1 4 ; 0,8 4 ; ( 0,8) 4 Z grafu plynou jednotlivé funkční hodnoty pro zadaná umocněná čísla. Správné řešení je za C. A) (0,8) 4 = ( 0,8) 4 < 1 4 < ( 1,5) 4 < 4 B) ( 0,8) 4 < 0,8 4 < 1 4 < ( 1,5) 4 < 4 C) 4 < ( 1,5) 4 < 1 4 < 0,8 4 = ( 0,8) 4 D) 1 4 < 0,8 4 < ( 1,5) 4 < ( 0,8) 4 < 4 E) jiné řešení VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Přiřaďte grafy funkcí ( ) k zadaným předpisům funkcí (f 1 -f 8 ). max. 4 body

12 f 1 : y = x 5.1 f 6 f : y = log1 x 5. f 4 f : y = x 5. f 1 f 4 : y = x 5.4 f x f 5 : y = 1 f 6 : y = log x f 7 : y = x 4 f 8 : y = x Na obrázku 5.1 graf předepsané funkce prochází na ose x hodnotou 1. Ze znalosti grafu logaritmické funkce víme, že prochází právě bodem 1 na ose x. Funkce je navíc rostoucí, což znamená, že základ logaritmu musí být větší než 1. Správné řešení je f 6. Na obrázku 5. jsou grafem osově souměrné přímky, tento graf má lineární funkce s absolutní hodnotou. Funkce je na ose y posunutá o dílky, čemuž odpovídá předpis funkce f 4. Na obrázku 5. graf funkce prochází na ose y bodem 1, tzn., že se jedná o exponenciální funkci. Tato funkce je rostoucí, takže základ musí být větší než 1. Správné řešení je f 1. Na obrázku 5.4 je graf mocninné funkce se sudým, záporným základem. Správné řešení je f.

13 1 bod 6 V oboru R řešte: x + x+1 = 108 x + x 1 = 108 x (1 + ) = 108 x 4 = 108 x = x = 7 x = x = body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Na hmotný bod působí dvě síly o velikostech F 1 = 15 N a F = 75 N, jejichž vektory svírají úhel Jak velká je výslednice vektorů sil? F 1 = 15 N F = 75 N α = 60 φ = 180 α = 10 F =? F = F 1 + F F 1 F cos φ F = cos 10 N F = 065 N F = 175 N Správná odpověď je A.

14 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Je dán trojúhelník ABC s obsahem S = 0,75 dm, stranou a = 0 cm a úhlem γ = 0. 8 Určete velikost strany b v trojúhelníku ABC. S = 75 cm S = 1 a b sin γ b = S a sin γ b = 75 = 10 cm 0 sin 0 1 bod 9 V oboru C řešte: + i = z + z + i = a + bi + a + b a + a + b + bi = + i I: a + a + b = II: b = a + a + = a + 9 = a a + 9 = 4 4a + a 4a = 5 a = 5 4 z = i

15 max. body 10 Rozhodněte u příkladů ( ), zda jsou či nejsou goniometrickým tvarem komplexního čísla z = (sin π + i cos π) Ano Ne z = 17 (sin 15 + i cos 15 ) Ano Ne 10. z = (cos π + i sin π) Ano Ne 10.4 z = cos 6 i sin 6 Ano Ne Správný goniometrický tvar komplexního čísla vypadá: z = z (cos φ + i sin φ). Jestliže nějaký příklad neodpovídá tomuto předpisu, tak se nejedná o goniometrický tvar komplexního čísla Ne 10. Ne 10. Ano 10.4 Ne 11 Zjednodušte výraz a výsledek zapište v goniometrickém tvaru komplexního čísla. ( i) 4 1 bod Nejdříve komplexní číslo v algebraickém tvaru převedeme na goniometrický. Nejprve si vypočítáme z, kde a = a b = 1 a dále sin φ a cos φ. z = a + b = ( ) + ( 1) = sin φ = b z = 1 cos φ = a z = Hodnoty funkcí odpovídají úhlu π 6 a obě funkce se kladnými hodnotami shodují ve IV. kvadrantu, proto velikost úhlu bude 11π. Převedený goniometrický tvar umocníme podle Moivreovy věty. 6

16 ( i) 4 = [ (cos 11π 6 (cos φ + i sin φ) n = cos n φ + i sin n φ 4 11π + i sin 6 )] = 4 (cos 4 11π 6 = 16 (cos 4π + i sin 4π ) + i sin 4 11π ) 6 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 body Kulička vyrobená ze zlata má hmotnost 9,6 kg. Za normální pokojové teploty je hustota zlata přibližně 19, g cm. 1 Určete průměr kuličky. A) 4,9 cm B) 6,8 cm C) 9,8 cm D) 10,8 cm E) jiné řešení m = 9,65 kg ρ = 19, g cm = kg m V = 4 πr = 4 π (d ) = 4 d π 8 = 4 4 πd = 1 6 πd d = 6V π d = 6V π V = m ρ d = 6m πρ d = 6m πρ = 6 9,65, m = 0,098 m = 9,8 cm

17 Správná odpověď je C. Kulička má přibližně průměr 9,8 cm. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána krychle STUVWXYZ a body M, N, P, které jsou postupně středy hran TX, WX, UV. 1 Určete vzájemnou polohu přímek VM a NP. VNM VR VNM STU P VR => VM a NP jsou mimoběžné

18 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 Je dána pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Délka jeho podstavných hran je 9 cm a výška je rovna 4,5 cm. 14 Určete odchylku rovin ABC a BCV. A) 5 B) 5 C) 45 D) 55 E) jiné řešení Správná odpověď je za C. v = SV = 4,5 cm SS BC = a = 4,5 cm tan φ = SV SS BC = 4,5 4,5 = 1 φ = 45

19 1 bod 15 Určete odchylku dvou tělesových úhlopříček krychle ABCDEFGH (výsledek uveďte s přesností na vteřiny). Velikost hrany krychle je a. BH = CE = a EH = a ES = HS = 1 CE = a sin φ = ES EH = a a a = 1 = φ = φ = KONEC

20 Klíč vzorového testu pro druhý ročník Úloha Správné řešení Počet bodů 1 x 1 = π + kπ = 10 + k 60 x = 4 max. π + kπ = 40 + k 60 body k = 0: z 0 = 4 (cos π 7 + i sin π ) k = 1: z 1 = 4 7 (cos π + i sin π) max. body k = : z = 4 7 (cos 5π + i sin 5π ) Graf viz autorské řešení R x [; 0] max. body R y [0; 1] 4 C 1 bod 5 max. 4 body 5.1 f 6 4 podúlohy 4 b. 5. f 4 podúlohy b. podúlohy b. 5. f 1 1 podúloha 1 b. 5.4 f 0 podúloh 0 b. 6 1 bod 7 A body 8 10 cm 1 bod 9 z = i 1 bod 10 max. body 10.1 Ne 4 podúlohy b. 10. Ne podúlohy b. 10. Ano podúlohy 1b Ne 1 podúloha 0 b.

21 11 16 (cos 4π + i sin 4π ) 1 bod 1 C body 1 Mimoběžné 1 bod 14 C body 15 φ = bod CELKEM 0 bodů Hodnocení: Počet bodů Známka