VYUŽITÍ METOD LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI ŘEŠENÍ DOPRAVNÍCH ÚLOH

Transkript

1 Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Ústav statistiky a operačního výzkumu VYUŽITÍ METOD LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI ŘEŠENÍ DOPRAVNÍCH ÚLOH Diplomová práce Vedoucí práce: doc. Ing. Josef Holoubek, CSc. Vypracovala: Eva Kourková Brno 2009

2 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma Využití metod lineárního programování při řešení dopravních úloh vypracovala samostatně a použila jen pramenů, které cituji a uvádím v přiloženém seznamu literatury. V Brně dne 18. května

3 PODĚKOVÁNÍ Touto cestou bych chtěla poděkovat vedoucímu diplomové práce doc. Ing. Josefu Holoubkovi, CSc. za odborné vedení a cenné připomínky při zpracování této práce. Dále děkuji vedení firmy Dekor extra, s. r. o., která mi poskytla potřebné informace

4 ABSTRAKT Předkládaná diplomová se zabývá možnostmi optimalizace dopravních tras v konkrétním podniku. Cílem je analýza systému tvorby okružních tras a vytvoření návrhu na zlepšení tohoto systému. Teoretická část je zaměřena na problematiku logistiky, lineárního programování, samotného okružního dopravního problému a využití programových systémů. Tyto teoretické poznatky jsou aplikovány v konkrétním podniku, který se zabývá dovozem a prodejem dekoračního zboží. Výsledkem diplomové práce je prezentace výpočtu dopravních tras podle vybrané metody a formulace návrhu na možné zlepšení současného systému tvorby okružních tras v podniku. ABSTRAKT The presented graduation thesis deals with possibility of optimalization of transportation routes in a concrete company. The aim of the thesis is the analysis of formation of transportation routes system and production of a propsal for improvment of this system. In the theoretical pieces I have defined logistics, linear programming and a travelling salesman problem and usage of program systems. These pieces of information are applied in the concrete company which is specialized in an import and sale of decorative products. The result of the presented graduation thesis is the presentation of the calculation of transportation routes ad selected metod and formulation of proposals for possibles to improvement of the formation transportation routes system of this company

5 OBSAH 1 ÚVOD CÍL PRÁCE A METODIKA LITERÁRNÍ REŠERŠE LOGISTIKA Definice logistiky Historický vývoj logistiky Současné trendy ve vývoji logistiky DOPRAVNÍ LOGISTIKA Druhy dopravy LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Formulace ekonomického modelu Formulace matematického modelu Distribuční úlohy lineárního programování OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM Formulace matematického modelu Řešení okružního dopravního problému POČÍTAČOVÉ ZPRACOVÁNÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Program STORM Program LINGO VLASTNÍ PRÁCE VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Vogelova metoda Metoda nejbližšího souseda Littlova metoda Zpracování pomocí programu STORM Zpracování pomocí programu LINGO Komparace získaných výsledků CHARAKTERISTIKA PODNIKU SORTIMENT PODNIKU Umělé květiny Svíčky a svícny

6 4.3.3 Keramické obaly a skleněné vázy Vánoční dekorace Velikonoční dekorace Aromatické silice a olejové lampy ODBĚRATELÉ SORTIMENTU DOPRAVNÍ SYSTÉM PODNIKU ZÍSKÁNÍ A ZPRACOVÁNÍ VSTUPNÍCH DAT OPTIMALIZACE DOPRAVNÍCH TRAS VE SPOLEČNOSTI Trasa A Trasa B Optimalizace pomocí programů STORM a LINGO DISKUSE ZÁVĚR SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY SEZNAM PŘÍLOH

7 1 ÚVOD V posledních letech se naše podniky dostávají při svém podnikání do tržních podmínek vyznačujících se tvrdou konkurencí. Na managementu podniku pak závisí, zda podniky budou prospívat, zda přežijí, nebo zda zaniknou. Plevný a Žižka (2005, s. 9) uvádí, že klíčem k řízení jakýchkoliv systémů je rozhodování. Je všeobecně známé tvrzení, že kdo nic nedělá, nic nezkazí, na druhou stranu ale také nic nevyřeší. Většinou také platí, že pokud něco běží samo, obvykle to s tím jde z kopce. Co z toho vyplývá? Nejspíše to, že pokud chceme něčeho dosáhnout, musíme dělat nejrůznější rozhodnutí. Každý systém je potřebné nějakým způsobem řídit, ať se jedná o výrobní podnik, domácnost či celé národní hospodářství. Gros (2003, s. 9) poukazuje na to, že nedílnou součástí systematického vzdělávání manažerů jsou už dlouhou dobu předměty zaměřené na poskytování základních poznatků a dovedností v oblasti konstrukce modelů rozhodovacích procesů a jejich řešení širokou škálou matematických, statistických a jiných kvantitativních metod. Jejich použití bylo a je motivováno snahou omezit oblast intuitivního rozhodování a odstranit negativní důsledky subjektivního řešení problémů řízení. Postupná globalizace trhů a z toho vyplývající požadavky na integrované řízení toků zboží v celých, stále rozsáhlejších zásobovacích řetězcích pak vedou zejména v posledním desetiletí k rychlejšímu a širšímu pronikání exaktních metod do rozhodování. Rychlý vývoj možností výpočetní techniky, snadnější komunikace uživatelů s počítači a velmi pestrá nabídka softwarových produktů zaměřených na podporu rozhodování a zejména stále se lepšící úroveň informačních systémů v podnicích postupně odstraňují překážky, které dosud bránily širšímu využívání metod vědeckého řízení 1 jak při hledání řešení operativních problémů, tak přijímání rozhodnutí dlouhodobějšího dosahu. Oblast prodeje výrobků, jejich distribuce je jedním z významných polí aplikace vědeckého rozhodování. Podle Raise (2004, s. 52) růst přepravních výkonů, nároky na neustálé zvyšování kvality přepravní práce společně se snahou minimalizovat náklady na přepravu způsobují, že řízení dopravy se stává velmi náročným úkolem. V současné době zefektivnění vnitrofiremní dopravy obvykle nedosáhneme pouhým využíváním 1 vědecké řízení je vědní disciplína zabývající se analýzou a řešením komplexních rozhodovacích problémů - 7 -

8 praktických zkušeností, nýbrž musíme aplikovat progresivní metody řízení s uplatněním výpočetní techniky. Jak uvádí Gros (2003, s.14): distribuční náklady silně ovlivňují výdaje na dopravu. Hledání nejlepších přepravních cest a struktury přepravní sítě patří k úlohám, které nelze v současných podmínkách, kdy sférou zájmu společností není omezený region, ale celé kontinenty, řešit intuitivními metodami. Modelování a následné řešení dopravních úloh dokonce patřily k jedněm z prvních úspěšných aplikací exaktních metod rozhodování

9 2 CÍL PRÁCE A METODIKA Práce je zaměřena na řešení problému obchodního cestujícího v konkrétním podniku, který se zabývá dovozem a prodejem dekoračních předmětů (umělé květiny, svíčky a svícny, keramické obaly a skleněné vázy, vánoční a velikonoční dekorace, aromatické silice a olejové lampy apod.) Hlavní cíl práce je zaměřen na optimalizaci dopravních tras v tomto podniku. Dílčí cíle: nalezení metody pro výběr pouze určitých lokalit z matice vzdáleností (obchodní cestující vždy neprojede všechna místa z matice a trasa je pokaždé jiná), komparace vybraných metod řešení problému obchodního cestujícího, využití programových systémů při výpočtu úlohy obchodního cestujícího. Pro řešení diplomové práce byly použity následující metody: interpretace, deskripce, analýza, komparace a individuální rozhovor. Práce je rozdělena na dvě hlavní části, a to na teoretickou (kapitola 3) a praktickou část (kapitola 4). Metody interpretace a deskripce jsou použity hlavně v teoretické části (kapitola 3). Ta se opírá o řadu publikací, které se zabývají tématy souvisejícími s problémem obchodního cestujícího. Kapitola 3 Literární rešerše je věnována výkladu pojmu logistika, který je nedílnou součástí pojednání o dopravních úlohách. Další část třetí kapitoly je zaměřena na lineární programování, protože dopravní problémy pod tuto problematiku spadají. Poslední část je věnována již samotnému problému obchodního cestujícího, kde je mimo jiné uvedeno několik možných metod jeho řešení včetně alternativ použití programových systémů. Teoretické poznatky jsou v kapitole 4 Vlastní práce aplikovány na konkrétní podnik, který mi umožnil nahlédnout do interního systému tvorby dopravních tras. Při individuálních rozhovorech s pověřeným pracovníkem jsem získala informace o vybraném podniku, jeho odběratelích a hlavně o plánování tras rozvozu zboží. Jako součást vlastní práce bylo nejdříve nutné zjistit informace o vzdálenostech v km mezi místy, kde se odběratelé nacházejí. K tomuto účelu je možné využít internetové plánovače - 9 -

10 tras. Plánovač tras umožňuje plánovat cesty mezi dvěma místy zadanými jejich jménem nebo GPS souřadnicemi. Podle recenze zveřejněné na webové adrese vsemiosmi.blogspot.com by se jako nejpřijatelnější plánovač tras jevil ViaMichelin. Ne ale pro tento případ. Po zadání některých názvů měst nebyl prohlížeč ani schopen najít danou lokalitu a navíc vyhledání bylo značně zdlouhavé. Po vyzkoušení dalších plánovačů (Mapy.cz, Mapy Google, Routeplanner Škoda Auto, apod.) se v tomto případě jako nejlepší ukázal plánovač tras zveřejněný na Mapy.cz. Ten vytváří trasu tak, že naplánuje cestu mezi nejbližšími známými křižovatkami pro každé ze zadaných míst. Pomocí tohoto plánovače pak byly zjištěny číselné údaje, které se objevují v praktické části diplomové práce jako matice vzdáleností (příloha 1, 2). Data získané do matice vzdáleností bylo dále nutné upravit. A to z toho důvodů, že v našem případě obchodní cestující nenavštíví vždy všechna místa, která jsou v matici uvedena. Jelikož na vytvoření matice vzdáleností byl použit program Microsoft Excel, bylo nutné vyřešit problém jak získat ze základní tabulky takovou vybranou matici míst, která je zrovna potřeba. Jednalo se tedy o situaci jak z tabulky získat jen určité řádky a sloupce. Tento problém byl, po vyzkoušení mnoha neúspěšných metod, vyřešen pomocí kontingenční tabulky, kde je možné vybrat si ve sloupcích i řádcích pouze ta místa, v rámci nichž obchodní cestující trasu pojede. Vlastní práce (kapitola 4) začíná ukázkou využití jednotlivých metod pro řešení okružního problému. Jejich podrobný postup je uveden v kapitole Dále následuje představení podniku s ukázkou sortimentu dováženého zboží. Zanalyzován je současný systém plánování dopravních tras. Praktická část práce obsažená v kapitole 4 je založena zejména na ukázce výpočtu reálně projetých dopravních tras v rámci podniku. Pro optimalizaci byla využita Littlova metoda a programové systémy STORM a LINGO, které výrazně omezují výpočetní náročnost ručního řešení tohoto problému. Ke zpracování byly použity tabulky a schémata, které usnadní pochopení řešené problematiky

11 LOGISTIKA 3 LITERÁRNÍ REŠERŠE 3.1 Logistika Definice logistiky Podle Kubíčkové (2006, s. 3) představuje logistika nový směr myšlení, který je zaměřen na uspokojení potřeby zákazníka. Tohoto efektu se snaží dosáhnout s co největší pružností a hospodárností. Vše se plánuje tak, aby to nejlépe sloužilo zákazníkovi, včetně logistiky a dopravy. V literatuře není pojem logistiky jednoznačně a jednotně vymezen. Její šířka a pojetí se liší jak v různých oblastech aplikací, tak u jednotlivých autorů, částečně také v závislosti na jejich profesi. Stručně lze říci, že se logistika zabývá pohybem zboží a materiálu z místa vzniku do místa spotřeby a s tím souvisejícím informačním tokem. Týká se všech komponent oběhového procesu, tzn. především dopravy, řízení zásob, manipulace s materiálem, balení, distribuce a skladování. Zahrnuje také komunikační, informační a řídící systémy. Jejím úkolem je zajistit správné materiály na správném místě, ve správném čase, v požadované kvalitě, s příslušnými informacemi a s odpovídajícím finančním dopadem. (Kubíčková, 2006, s. 4) Logistika se člení podle oblastí působení na: Makrologistiku zabývající se řešením ucelených souborů logistických řetězců v rámci regionů, např. státu. Mikrologisitku, která se zabývá logistickými řetězci pouze v rámci jednotlivých podniků. Obchodní logistiku, která je zaměřena na logistické řetězce důležité pro podnik v rámci obchodní činnosti. Dopravní a zasílatelskou logistiku je jednou z nejrozšířenějších neboť koordinuje synchronizuje a optimalizuje pohyby zásilek po dopravní síti od místa vstupu až k příjemci

12 LOGISTIKA Historický vývoj logistiky Podle Drahotského a Řezníčka (2003, s. 1) v historii používali pojem logistika nejdříve řečtí filozofové. Kubíčková (2006, s. 4) uvádí, že původ samotného názvu logistika není zcela jasný. Patrně je odvozen z řeckého logistikon (důmysl, rozum). Drahotský a Řezníček (2003, s. 1) uvádí, že již od 9. st. je možné setkat se s tímto pojmem ve vojenství. Logistika zajišťovala veškeré potřeby vojska, zásobování potravou, zbraněmi, municí, logističtí důstojníci připravovali vojenské akce, kontrolovali pohyby vojenských jednotek apod. Jako předmět zkoumání se logistika objevuje až na počátku dvacátého století, a to v souvislosti s podporou obchodní strategie podniku a dosahováním užitné hodnoty času a místa. Podle Kubíčkové (2006, s. 7) bylo pojetí hospodářské logistiky zformováno v USA v 60. letech 20. století. Prvenství v užití pojmu logistika v uvedeném smyslu náleží Národnímu výboru pro řízení distribuce v USA, který definoval logistiku jako metodu řízení, zabývající se pohybem surovin od zdrojů k místu finální výroby a distribuce výrobků, a to z hlediska dopravy, zásobování, služeb spotřebitelům, skladování, manipulace, balení, ale i projektování výroby a rozmísťování kapacit. Pro situaci v Evropě v době vzniku logistiky byla charakteristická prostorová omezenost národních trhů, která začala být překonávána integračními tendencemi až od 70. let. Teprve v průběhu 80. let se začíná v západní Evropě prosazovat vlastní logistika, a to v pojetí integrujícím materiálové (zbožové) toky s toky informací, jež podmiňují jejich uskutečnění. K těmto tokům začínají být přičleňovány i související toky peněžních prostředků mezi dodavateli a odběrateli. Logistika se ujala v praxi zprvu jako nástroj podnikového řízení, využívaný ke zdokonalení plánování operativního řízení, aplikovaný v rámci tradičního organizačního uspořádání podniku, a to nejdříve na úseku distribuce, kde navazovala na marketing jako konkretizátor a realizátor jím vymezených toků zboží vedoucích přes různé zprostředkující články k zákazníkům (od výrobce k velkoobchodu popř. maloobchodu)

13 LOGISTIKA Respektování tradičně vymezených hranic podnikových útvarů se záhy ukázalo jako překážka, neboť logistika spěla k postavení průřezové činnosti, překrývající základní podnikové funkce. Logistika se tak stala jednou z podnikových funkcí, podobně jako financování nebo personalistika, a sice funkcí zabezpečovací (obslužnou). Později, zvláště u velkých podniků, začalo docházet k organizačnímu vyčlenění logistiky do samostatného podnikového útvaru. V posledních letech vítězí poznatek, že obrovský potenciál logistiky se může v podniku plně uplatnit jen tehdy, jestliže logistika spolupracuje s marketingem a s ostatními podnikovými složkami. (Kubíčková, 2006, s. 8) Současné trendy ve vývoji logistiky Kubíčková (2006, s. 6): Ve vyspělém tržním hospodářství může být úspěšný jen ten podnik, který dovede uspokojit čím dál tím náročnější potřeby zákazníků seriózní nabídkou nového, vysoce kvalitního zboží nebo služeb. Nestačí však jen vyrobit kvalitní zboží nebo připravit kvalitní služby, ale je třeba postarat se o to, aby byly k dispozici ve správném množství, na správném místě, ve správném okamžiku, a to s vynaložením přiměřených nákladů. To znamená, že nabídka musí být velmi pružná, aby se podnik svou pohotovostí vyrovnal konkurentům a pokud možno je i předčil a že si musí počínat hospodárně, aby ceny jeho zboží či služeb byly srovnatelné s cenami u konkurentů. Jestliže si zákazník může vybrat mezi zbožím nebo službami, které mají stejnou kvalitu a cenu, pak se obvykle rozhodne pro to zboží či služby, které jsou dodány rychleji. V posledních letech v průmyslově nejvyspělejších zemích silně vzrostl význam pružnosti. Podniky ve vyspělém tržním prostředí se dostávají do jakéhosi magického trojúhelníku, neboť jejich celková úspěšnost na trhu závisí na úspěšnosti s jakou řeší zvýšení kvality, snížení nákladů a zvýšení pružnosti. Tyto tři faktory úspěšnosti podniku, jako vrcholy onoho trojúhelníku, souvisejí s úrovní techniky a technologie, jíž podnik disponuje, s úrovní podnikové organizace a s úrovní jeho pracovníků. Konstatuje se, že význam uvedených faktorů se během posledních let přesouvá, a to z kvality, přes snižování nákladů, právě k pružnosti. Ta se stává dominantním strategickým faktorem a čím dál tím

14 DOPRAVNÍ LOGISTIKA více je zřejmé, že podniky, které sledují tradiční nákladovou strategii, budou konkurenty vytlačeny z trhu. Zkušenosti ukazují, že racionalizovat samostatnou manipulaci ve výrobních závodech či ve skladech, samotnou přepravu, překládku atd., čili dílčím způsobem racionalizovat jednotlivé články, jimž materiál a zboží procházejí, nevede ani k výraznému zpružnění a zrychlení pohybu materiálu a zboží, ani k jeho podstatnému zhospodárnění. Zrovna tak nevede k žádoucím efektům řešení samotné distribuce, samotné výroby nebo samotného zásobování. Je proto nutné uceleně řešit a koordinovat veškeré hmotné i nehmotné (informační, peněžní aj.) operace v rámci výrobních a oběhových procesů, které vznikají jako důsledek dělby práce a jsou spojené s výrobou, resp. s oběhem určitého výrobku nebo skupiny či druhu výrobků (zboží). Tyto operace jsou navzájem propojeny do řetězců, jejichž počátkem je zjištění potřeby zákazníka po daném zboží a koncem je dodání zboží zákazníkovi. (Kubíčková, 2006, s. 6) V současné době se ale podniky začínají dostávat ze stádia, kdy se vázaly na tradiční logistický trojúhelník, jehož vrcholy tvořily od 80. let schopnost vyrábět nebo dodávat lépe, rychleji, levněji než konkurence a začínají se přiklánět k magickému čtyřúhelníku, kdy je dodán pojem dělat věci jinak, protože pouze tím, že firma dělá věci jinak, se odliší v podmínkách dnešní tvrdé konkurence. Nutností bývá především individualizace vztahu k zákazníkovi a to je v současné logistice tím největším trendem. Z toho plyne fakt, že se logistika v současné době stává tvůrčím procesem, je třeba logistická řešení přizpůsobovat individuálnímu zákazníkovi. (Kubíčková, 2006, s. 7) 3.2 Dopravní logistika Kubíčková (2006, s. 48) vymezuje dopravní logistiku jako činnost, která koordinuje, synchronizuje a optimalizuje pohyby zásilek po dopravní síti od místa a okamžiku jejich vstupu do sítě až po místo a okamžik jejich výstupu ze sítě. Protože pohyb každé zásilky je zprostředkován pohyby přepravních prostředků (např. kontejnerů), dopravních prostředků, manipulačních prostředků a zařízení a přenosem informací, zabývá se dopravní logistika také koordinací, synchronizací a optimalizací prostorového rozmístění, kapacit a pohybů všech těchto prostředků a zařízení

15 DOPRAVNÍ LOGISTIKA Získal a Havlíček (2002, s. 60) jsou přesvědčeni, že rozvoj dopravní logistiky je determinován úrovní dopravní infrastruktury daného státu či regionu. Doprava je rostoucím odvětvím ekonomiky a poptávka po ní nepřetržitě vzrůstá. Vzrůst poptávky po dopravě je způsoben změnami ve struktuře zpracovatelského průmyslu, změnami v metodách výroby, zmenšováním velikosti dodávek a zvyšováním jejich frekvence, nárůstem podílu odvětví služeb (profesní mobilita) a demografickými změnami (vyšší podíl osobních automobilů a rozvoj cestování). V dalším období je nutno počítat s dalším rozvojem silniční dopravy a kombinované přepravy za účasti železnice. Cílem dopravní logistiky je takové pojetí sledu úkonů a dílčích procesů, které vede k minimalizaci nákladů na logistické řetězce při dosažené požadované výkonnosti. Logistika nemá vlastní metodický aparát, využívá řadu různých metod matematického a simulačního modelování Druhy dopravy Podle Kubíčkové (2006, s. 55) lze pro přepravu výrobků obecně zvolit kterýkoliv z pěti základních druhů dopravy, kterými je doprava silniční, kolejová, letecká, lodní a potrubní. Dále lze použít i různé kombinace již zmíněných základních druhů dopravy. Silniční doprava Nabízí rychlé, spolehlivé služby s malou pravděpodobností poškození a ztrát během přepravy. Autodopravci jsou velmi pružní a univerzální. Pružnost autodopravců je dána hustou silniční sítí, která jim umožňuje nabízet přepravní služby z místa na místo prakticky pro jakoukoliv kombinaci místa původu a místa určení. Silniční doprava tedy ve srovnání s jinými druhy dopravy poskytuje nejširší pokrytí trhu. Autodopravci jsou také velmi univerzální, protože mohou přepravovat výrobky nejrůznějších velikostí, hmotností a na jakoukoliv vzdálenost. Kolejová/železniční doprava Železnice postrádá pružnost a univerzálnost silniční dopravy, neboť se omezuje na pevně dané tratě. Doprava po železnici stojí obecně méně než doprava letecká nebo silniční. Bývá s ní však spojeno větší procento ztrát a poškození. Ze srovnání se silniční dopravou železnice nevychází dobře zejména v ohledu na dobu přepravy a frekvenci služeb

16 DOPRAVNÍ LOGISTIKA Letecká doprava Jak uvádí Drahotský a Řezníček (2003, s. 15), letecká doprava je stále ještě považována za nadstandardní způsob přepravy. Je schopna realizovat nejkratší dobu přepravy, ale s vysokými náklady. Bývá využívána pro produkty s vysokou hodnotou, a to právě z důvodu vysoké ceny za přepravu. Poskytovaný servis je relativně spolehlivý. Lodní doprava Podle Kubíčkové (2006, s. 57) je možno lodní dopravu rozdělit do několika kategorií: lodní doprava po vnitrozemských vodních cestách, po jezerech, přípobřežní námořní doprava, mezinárodní námořní doprava. Obvykle se lodní dopravou přepravují polozpracované materiály a suroviny, které se převáží ve velkém (ruda, obilí, dřevo, uhlí, vápenec, ropa). Uplatňuje se v případech, kdy rychlost přepravy není určující. Potrubní doprava Drahotský a Řezníček (2003, s. 15) tvrdí, že potrubní doprava je vhodná pro přepravu látek kapalných, plynných, případně takových, které lze zkapalnit. Nejčastěji se přepravuje zemní plyn, ropné produkty, chemikálie či voda. Tok uvnitř potrubí je sledován a řízen počítači. Potrubí minimalizuje vliv klimatických podmínek na přepravu, téměř nedochází ke ztrátám a poškození. Tento způsob přepravy je spolehlivý a z hlediska nákladů výhodný. Kombinovaná doprava Za kombinovanou dopravu Kubíčková (2006, s. 58) považuje přepravu nákladů v téže přepravní jednotce nebo silničním vozidle s využitím několika druhů dopravy, kde nedochází k přeložení zboží nákladu, ale pouze přepravní jednotky nebo silničního vozidla. Drahotský a Řezníček (2003, s. 15) dodávají, že základními prvky kombinované dopravy jsou unifikované přepravní jednotky, kterými jsou v našich podmínkách kontejnery a výměnné nástavby. Kubíčková (2006, s. 58) spatřuje výhody kombinované dopravy např.: ve zvyšování efektivnosti dopravy použitím přepravních jednotek, zlepšování ochrany nákladu a omezení možnosti poškození a ztrát, snižování nákladů na balení a obalové materiály, racionalizaci manipulace s materiálem v provozech a skladech, vypomáhá jako skladovací prostor a snižuje náklady spojené především s krátkodobým skladováním zboží, umožňuje rychlejší a bezpečnější manipulaci nákladu při překladu, představuje celkové snížení dopravních nákladů

17 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ 3.3 Lineární programování Jablonský (2002, s. 19) uvádí, že lineární programování je disciplína operačního výzkumu, která se zabývá řešením rozhodovacích problémů, ve kterých jde o určení intenzit realizace procesů, které probíhají nebo mohou probíhat v daném systému. Je přitom třeba respektovat všechny podmínky, které realizaci těchto procesů ovlivňují, a najít takové řešení, aby byl cíl rozhodování splněn co nejlépe. Termín lineární programování je složen ze dvou slov, která poměrně přesně vystihují podstatu tohoto odvětví operačního výzkumu. Slovo programování je zde spíše synonymem pro plánování nebo vytváření programů (scénářů) budoucího vývoje. Slovo lineární vyjadřuje, že jsou všechny vazby v modelech lineárního programování vazbami lineárními, tzn. všechny matematické funkce, použité v těchto modelech, jsou funkce lineární. Lineární programování je tedy prostředkem pro plánování realizace určitých procesů (činností), který zabezpečuje dosažení optimálního výsledku ve vztahu k definovanému cíli. Podle Raise (2004, s.21) lze zase lineární programování (LP) chápat zcela obecně jako matematickou metodu pro řešení extremálních úloh, které mají řadu zajímavých ekonomických i technických aplikací. Uvádí, že postup při praktické aplikaci LP lze rozčlenit do čtyř fází: a) formulace tzv. ekonomického modelu, tj. výběr a volba problému, jeho zjednodušení a popis ekonomickou řečí. Ekonomický model má odrážet významné stránky zkoumané reálné problematiky; b) formulace tzv. matematického modelu, který má být ekvivalentem ekonomického modelu. Jde tedy o vyjádření ekonomického modelu matematickými prostředky; c) výpočet matematického modelu vhodnou matematickou metodou LP; d) ekonomická interpretace matematického řešení, převod výsledku předchozí fáze (tj. matematického řešení) zpět do řeči ekonoma

18 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Formulace ekonomického modelu Rais (2004 s. 21,22) uvádí, že v první fázi se seznamujeme s konkrétními problémy, ujasňujeme si, co vlastně je třeba řešit, jaké kvalitativní charakteristiky popisují zkoumaný problém, jaké podstatné vlivy je nutno brát při řešení v úvahu a které naproti tomu lze opominout. V ekonomickém modelu musí být: a) vymezeny a popsány tzv. činnosti (aktivity) neboli procesy, které tvoří kostru ekonomického modelu. Jsou to reálné činnosti (nákup určité suroviny, provedení jisté výrobní série, výroba určitého výrobku, atd.), o jejichž úrovni (množství) rozhodujeme, b) dále popsány činitelé, tj. (výrobní) zdroje (např. suroviny, energie, polotovary, výrobní zařízení, atd.), které se spotřebovávají v průběhu hospodářských činností nebo procesů; mluvíme o nich často jako o vstupech těchto činností. Činiteli rozumíme také výsledky neboli výstupy hospodářských činností či procesů (polotovary, výrobky, komplety výrobků, atd.). Pro výrobní zdroje bývají určena množství, která jsou k dispozici, pro výsledky činnosti pak požadovaná množství. Důležitou součástí ekonomického modelu je soustava tzv. strukturních neboli technických koeficientů, tj. koeficientů, které charakterizují vztah vstup výstup neboli jednotkovou spotřebu zdrojů resp. jednotkovou produkci výsledků. Jinými slovy vyjadřují vstupující a vystupující množství činitelů při jednotkové úrovni činnosti. Jestliže v ekonomickém modelu uvažujeme m činitelů, pak každá činnost je obecně popsána m strukturními koeficienty, z nichž některé mohou být nulové. Nulová hodnota strukturního koeficientu znamená, že odpovídající činitel se při této činnosti ani nespotřebovává ani neprodukuje. c) uvedeno tzv. kriterium optimality, tj. nějaký významný hospodářský ukazatel (např. výrobní náklady, tržba, zisk, dopravní náklady, atd.), který při řešení daného problému má nabýt maximální nebo minimální možné hodnoty

19 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Formulace matematického modelu Ve druhé fázi se podle Raise (2004, s. 22) ekonomický model převádí na matematickou úlohu, tzv. matematický model. Na základě úvah Plevného a Žižky (2005, s. 17) je možné z hlediska vstupů a výstupů model matematického programování popsat způsobem znázorněným na obrázku č. 1: Obrázek č. 1: Vstupy a výstupy modelu matematického programování Řiditelné vstupy jsou vstupy do matematického modelu, které je možné ovlivňovat nebo řídit tak, aby byl dosažen požadovaný výsledek (např. počet vyráběných výrobků jistého typu, velikost nákladu převáženého z místa i do místa j atd.). V modelu vystupují jako rozhodovací proměnné. Neřiditelné vstupy jsou vstupy do matematického modelu, které není možné ovlivňovat. Jsou to naším rozhodnutím neovlivnitelné faktory (např. ceny nakupovaných surovin, dispoziční množství faktorů, kapacity zařízení a požadavky zákazníků apod.) Rais (2004, s. 22, 23) uvádí matematický model, který má tvar tohoto typu: Nalezněte takové řešení [ x x, x,..., x ] 0 X = 1, 2 3 n (3.1) soustavy lineárních rovnic (m < n)

20 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ a a b 11 x1 a12 x2... 1n xn = 1 a a b 21 x1 a22 x2... 2n xn = 2 a a b 31 x1 a32 x2... 3n xn = 3... a = m1 x1 am2 x2... amn xn b m (3.2) a které vyhovují podmínkám nezápornosti x 1 0 x x 0 (3.3) n a maximalizujte, popřípadě minimalizuje lineární formu z = c x + c x + c x c x n n (3.4) kde jak uvádí Plevný a Žižka (2005, s. 50) a také Gros (2003, s. 124, 125) jsou: x j (j = 1, 2,., n) optimalizované proměnné veličiny, jejichž optimální úroveň je podmínkou dosažení cíle řešení rozhodovací situace (např. objemy produkce jednotlivých výrobků, přepravované množství zboží atd.);

21 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ c j (j = 1, 2,, n) koeficienty vystupující u každé proměnné v účelové funkci tzv. koeficienty účelové funkce (např. ceny výrobků, variabilní náklady na jednotku produkce, kvalitativní požadavky na výrobky, pracnost produkce apod.); a ij (i = 1, 2,, m; j = 1, 2,, n) technické koeficienty vystupující u proměnných v podmínkách vyjadřující vztah mezi j-tou proměnnou a i-tým omezujícím faktorem (tj. i-tou omezující podmínkou) tzv. koeficienty podmínek (např. měrné spotřeby materiálových a energetických vstupu, výkon strojů, výrobních linek, pracnost produkce); b i ( i = 1, 2,, m) hodnoty vystupující na pravých stranách podmínek, kterými mohou být kapacitní omezení formulované např. jako maximální dosažitelný objem produkce nebo využitelný časový fond, omezení disponibilním množstvím surovin, paliv, obalů, ale také požadavky zákazníků dané např. maximálním množstvím, které lze prodat, požadavky na minimální objem produkce, nebo přímo určené množství výrobků; n počet definovaných proměnných; m počet potřebných omezení úlohy. Lineární rovnice (3.2) se nazývají vlastní omezení úlohy; forma (3.4) je účelová (kriteriální) funkce. Účelová funkce neboli kritérium podle Plevného a Žižky (2005, s. 18) vyjadřuje cíl, tj. to co je měřítkem úspěšnosti našeho řešení. Je to skutečná funkce (v matematickém slova smyslu) závislá na hodnotách řiditelných i neřiditelných vstupů. Cílem je nalézt takovou kombinaci rozhodovacích proměnných, aby hodnota této účelové funkce byla minimální resp. maximální. Omezující podmínky vyjadřují omezení a závazky, které jsme nuceni při řešení splnit. Je to obvykle soustava rovnic či nerovnic, z nichž každá vyjadřuje jedno konkrétní omezení. Mezi omezující podmínky patří i skupiny tzv. obligátních podmínek, což jsou omezení, která běžně považujeme za samozřejmá, ale pokud by v modelu nebyla uvedena, mohlo by řešení vyjít zcela nesmyslné. Jde o podmínky, které vymezují definiční obor jednotlivých

22 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ proměnných. Klasickými obligátními proměnnými jsou podmínky nezápornosti proměnných (nelze vyrábět záporná množství výrobků, ujet záporné množství kilometrů apod.) Jablonský (2002, s. 28) pokládá za velkou skupinu úloh lineárního programování tzv. distribuční úlohy. Vyznačují se některými speciálními vlastnostmi. Tyto vlastnosti se mohou týkat speciální struktury modelu, způsobů jejich řešení apod Distribuční úlohy lineárního programování Podle Holoubka (2006, s. 80) představují distribuční úlohy lineárního programování díky svým vlastnostem takový typ úloh, které je vhodné řešit specifickými metodami. Problémy zahrnované do této skupiny úloh se v praxi vyskytují často a jsou označovány jako dopravní problém, přiřazovací problém, problém obchodního cestujícího, kontejnerový dopravní problém, obecný dopravní problém. Stručné charakteristiky jednotlivých typů problémů zahrnovaných do distribučních úloh jsou uvedeny níže. Problém obchodního cestujícího, který je řešen v praktické části diplomové práce, je pak podrobněji rozebrán v kapitole 3.4. Dopravní problém Při řešení typických dopravních úloh jde podle Raise (2004, s. 52) v podstatě o problém, kde základním úkolem je rozvést mezi několik různých odběratelů homogenní výrobky, které jsou vyráběny nebo skladovány na různých místech. Přeprava musí být provedena tak, aby bylo zajištěno plné uspokojení odběratelských potřeb v rámci daných zdrojů a aby současně bylo docíleno minimálních celkových přepravních nákladů (vyjádřených např. v tunokilometrech, v Kč nebo ve spotřebě pohonných hmot apod.). Kontejnerový problém Jak uvádí Jablonský (2002, s. 103) kontejnerový problém představuje modifikaci základní formulace dopravního problému v tom smyslu, že přeprava mezi dodavateli a odběrateli se realizuje pouze pomocí kontejnerů, které mají určitou kapacitu. Náklady na přepravu nejsou tedy vztaženy k jedné jednotce přepravovaného zboží, ale jsou uvedeny na jeden kontejner. S přepravou jednoho kontejneru souvisejí náklady, které jsou stejné bez ohledu

23 LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ na to, je-li kontejner plný nebo poloprázdný. Optimální řešení kontejnerového dopravního problému by tedy mělo vést k tomu, aby jednotlivé kontejnery, které budou přepravovány, byly využity co možná nejvíce. Přiřazovací problém Přiřazovací problém lze podle Jablonského (2002, s. 107) charakterizovat jako úlohu, ve které se jedná o nalezení vzájemně jednoznačného přiřazení dvojice jednotek ze dvou skupin tak, aby toto přiřazení přineslo co nejlepší efekt. V přiřazovacím problému jsou tedy definovány dvě skupiny jednotek, u kterých můžeme předpokládat, že mají stejný počet prvků (pokud nemají, lze jednu ze skupin doplnit fiktivními jednotkami). Holoubek (2006, s. 100) tvrdí, že typickým příkladem je problém, jakým způsobem přiřadit pracovníky ke strojům, v případě, že všichni pracovníci jsou sice schopni na všech strojích pracovat, ale na splnění zadaného úkolu potřebují různé množství pracovního času (popřípadě splnění úkolu vyžaduje různé náklady). V daném případě je zřejmé, že je třeba hledat takové přiřazení pracovníků a strojů, které minimalizuje spotřebu času či velikost nákladů spojených se splněním úkolu. Obecný dopravní problém Jablonský (2002, s. 105) uvádí: obecný distribuční problém se liší od dopravního problému především v tom, že kapacity zdrojů a požadavky odběratelů nejsou uvedeny ve stejných jednotkách. Pro jejich vzájemnou porovnatelnost je proto třeba doplnit do modelu určité převodní koeficienty. Okružní problém Okružní dopravní problém, který se někdy označuje i jako úloha obchodního cestujícího (angl. traveling salesman problem) nebo problém listonoše, má podle Jablonského (2002, s. 111) řadu společných rysů s přiřazovacím problémem. Rais (2004, s. 62) uvádí: obchodní cestující má navštívit určitý počet míst tak, aby každé místo navštívil jenom jednou a aby se domů vrátil až po absolvování všech míst. Je třeba určit takové pořadí míst, aby délka okruhu byl minimální. Problém obchodního cestujícího je podrobně rozebrán v samostatné kapitole

24 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM 3.4 Okružní dopravní problém Holoubek (2006, s. 106) upozorňuje na otázku jak v praxi výrobních i obchodních firem co nejúsporněji dodat požadované zboží odběratelům. V tomto případě však nejde o klasickou podobu dopravní úlohy, kdy odběratelé mohou být zásobováni z několika míst. U okružního problému je dodávka zboží organizována tak, aby zboží bylo rozvezeno všem odběratelům v rámci jedné jízdy, která začíná a končí ve stejném místě. V průběhu této jízdy musí být všichni odběratelé navštíveni právě jedenkrát. Úloha tohoto typu má řadu praktických aplikací, protože problém optimálního stanovení okruhu vzniká ve firmách, které pravidelně či nepravidelně rozvážejí či svážejí určité produkty, zásilky a podobně (svoz zásilek z poštovních schránek, svoz komunálního odpadu, rozvoz tisku do prodejních stánků, zásobování prodejen aj.). Cílem je uspořádat cestu (pořadí navštívených míst) tak, aby náročnost dopravy byla minimální. Minimalizovat je možné například délku okruhu, spotřebu času či pohonných hmot, náklady. Je zřejmé, že u úloh tohoto typu nehraje podstatnou roli kapacita dopravního prostředku. Typickou ukázkou je problém obchodního cestujícího, který si chce naplánovat návštěvu jednotlivých klientů tak, aby v rámci své cesty ujel co nejmenší vzdálenost. Stevenson (1992, s. 346) uvádí, že existují dvě verze problému okružního cestujícího. První verze předpokládá, že délka trasy z místa A do místa B je stejná jako délka trasy z místa B do místa A. Tato verze se označuje jako symetrický problém obchodního cestujícího. V druhé verzi není délka trasy z místa A do B stejná jako z místa B do A. Tato se pak označuje jako asymetrický problém okružního cestujícího. Řešení problému obchodního cestujícího může být početně velmi náročné. V symetrické verzi problému existuje (n 1)! možných tras. Například, pokud je v matici 11 lokalit, možností je potom 10!, což znamená Pokud přidáme další lokalitu, bude počet možných řešení 11!, tedy Z toho vyplývá, že přidáním pouze jedné lokality počet možných řešení trasy neúměrně roste. Vzhledem k extrémní výpočetní zátěži není řešení pomocí celočíselného lineárního programování přijatelnou možností. Existuje proto řada rozvinutých metod schopných vypořádat se s extrémní výpočetní zátěží. Jednou z nich je jednoduchá metoda nejbližšího souseda, která bude podrobně rozebrána dále

25 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM Formulace matematického modelu Podle Rašovského a Šišlákové (1999, s. 153, 154) lze nejjednodušší okružní problém obecně popsat takto. Nechť máme: n návštěvních míst, přičemž vyjíždíme z i-tého místa a jedeme do j-tého místa; n kroků trasy (k = 1, 2,, n) c ij je vzdálenost mezi i-tým a j-tým návštěvním místem; x ijk je uskutečněná (x ijk = 1) nebo neuskutečněná (x ijk = 0) cesta mezi i-tým a j-tým návštěvním místem v k-tém kroku. Při daném označení zformulujeme úlohu takto: máme stanovit hodnoty proměnných x ijk, aby: Z min = n i= 1 n j= 1 n c k = 1 ij x ijk při omezeních n i= 1 n j= 1 x = 1 (k = 1, 2,, n) ijk n j= 1 n k = 1 x = 1 (i = 1, 2,, n) ijk n i= 1 n k = 1 x = 1 (j = 1, 2,, n) ijk n n = xijk xijk + 1 i= 1 j= 1 (i, j, k = 1, 2,, n) při k = n je k + 1 =

26 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM = { 0 xijk 1 (i, j, k = 1, 2,, n) Nalezení optimálního řešení okružního problému je výpočetně velmi náročné. V reálných aplikacích se proto často používají speciální algoritmy, které však poskytují pouze přibližné řešení Řešení okružního dopravního problému Získal a Havlíček (2002, s. 67) uvádí: pro řešení okružního dopravního problému existuje více metod, jejichž princip je založen na vytvoření a zpracování posloupností sledovaných míst, v nichž se musí každé místo objevovat právě jednou. Aby se zamezilo předčasnému uzavření okruhu, je nutno vyloučit všechny trasy, které by předčasně uzavřely okruh. Nezbytné je především vyloučit současné zařazení jednoho úseku oběma směry (vyloučit v matici sazeb symetrické prvky podle hlavní diagonály) a zpětnou vazbu každého uzlu (vyloučit z úvahy diagonální prvky matice). Obrázek č. 2: Příklady zakázaných tras V následujících kapitolách bude uveden přehled nejznámějších metod řešení okružního dopravního problému Vogelova metoda Šubrt aj. (2003, s. 37) uvádějí: u jednookruhového okružního problému není třeba uvažovat přepravované množství zboží, a tak se před zahájením výpočtu zapíší do tabulky pouze sazby a v průběhu algoritmu se obsazované buňky jen označují (zvýrazňují), což znamená, že spojení odpovídající těmto buňkám jsou zařazována (přidávána) do konstruované trasy obchodního cestujícího

27 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM Pro každou řadu (tj. řádek nebo sloupec) v tabulce spočteme diferenci (rozdíl) mezi dvěmi nejmenšími sazbami. Nalezneme největší diferenci a označíme buňku s nejnižší sazbou v této řadě. Po obsazení buňky se vyškrtává jak řádek, tak i sloupec ve kterých se obsazovaná buňka nachází, a kromě toho je třeba vyškrtnout ještě jednu další buňku, která s právě obsazenou buňkou a případně ještě několika již dříve obsazenými uzavírá kruh, který neprochází všemi místy. Přepočítáme diference a postup opakujeme, dokud nejsou do okruhu zařazena všechna místa. (Šubrt aj., 2003, s. 39) Metoda nejbližšího souseda Princip této metody spočívá v tom, že si zvolíme výchozí místo, z něj se vydáme do místa, do něhož je nejvýhodnější spojení z výchozího místa, odtud pak do dalšího z těch míst, kde jsem ještě nebyli, které má nejvýhodnější spojení z místa, kde se právě nacházíme, atd. Po projetí všech míst se vracíme zpět do výchozího. Popíšeme si, jak se takový výpočet provádí v matici sazeb. Především vyškrtneme sloupec odpovídající výchozímu místu (do tohoto místa totiž prozatím nepojedeme, vrátíme se tam nakonec). V řádku odpovídajícím výchozímu místu najdeme buňku s minimální (nejvýhodnější) sazbou a označíme (obsadíme) ji, tj. příslušné spojení bude součástí výsledné okružní trasy. Tímto spojením jsme se přesunuli do místa, jemuž odpovídá sloupec, v němž se tato buňka nachází. Tento sloupec vyškrtneme (do tohoto místa se již nebudeme více vracet). V řádku odpovídajícím tomuto místu vybereme z buněk v dosud nevyškrtnutých sloupcích opět tu s nejvýhodnější sazbou a celý postup opakujeme, dokud nejsou všechny sloupce vyškrtány (tj. dokud jsme nenavštívili všechna místa). V řádku, v němž jsme se ocitli nakonec, obsadíme buňku ve sloupci odpovídající výchozímu místu. Postupně zvolíme všechna místa jako výchozí a pro každé najdeme tímto postupem okružní trasu. Má-li úloha nesymetrickou matici sazeb, provedeme pro každé místo také hledání trasy pozpátku, tj. buď vyškrtáváme řádky a hledáme minimální sazby ve sloupcích nebo původní postup aplikujeme na transponovanou matici. Ze všech takto nalezených tras vybereme nejvýhodnější (s nejmenším součtem sazeb). (Šubrt aj., 2003, s. 38)

28 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM Metoda sestavení okružních jízd výběrem minimálních prvků (Mayerova metoda) Tato metoda je podle Získala a Havlíčka (2002, s. 68) vhodná pro úlohy víceokruhové s úplnou sítí cest a s omezenou kapacitou. Jde o přibližnou metodu vypracovanou kolektivem pracovníků Výzkumného ústavu dopravního pod vedením Ing. Mayera. Je vhodná pro sestavení svozných, resp. rozvozních plánů pro kratší období několika dnů. Postup řešení vychází ze symetrické matice vzdáleností v km mezi místy zahrnutými do řešení. Jednotlivá místa jsou v matici sestavena v posloupnosti podle vzdálenosti od místa centrálního svozu. Nejvzdálenější místo je v matici uvedeno jako první, centrální místo jako poslední. Řešení se provádí ve dvou krocích. V prvním kroku se provede výběr míst pro okružní trasu jednotlivých vozidel. Ve druhém kroku se provádí řešení vlastních okružních tras pro každé vozidlo zvlášť. 1. krok: Výběr míst pro jednotlivé okružní trasy v matici vzdáleností začíná od nejvzdálenějšího místa, které bude zařazeno do první okružní trasy, tedy od nejvýše položeného místa v matici se zadaným přepravovaným množstvím. K již vybranému místu se přiřazuje další, které má k němu nejmenší vzdálenost. zpravidla je to místo, které v posloupnosti míst v matici následuje za předchozím s uvážením směru od již vybraného místa a centra. Po přiřazení dalšího místa do okružní trasy je třeba provést součet přepravních požadavků vybraných míst a porovnat ho s přepravní kapacitou uvažovaného vozidla. Pokud není kapacita vozidla vytížena, přiřadí se podle nejmenší vzdálenosti další místo a provede se opět porovnání součtu přepravních požadavků s kapacitou vozidla. Stejným způsobem se pokračuje až do naplnění kapacity vozidla. Výběr míst pro další okružní trasu začíná opět nejvzdálenějším přepravním požadavkem, který dosud nebyl přiřazen. Postup je stejný jako v předchozím případě. 2. krok: Ve druhém kroku probíhá řazení míst v jednotlivých trasách. Místa vybraná do jednotlivých okružních tras jsou seřazena podle minimální délky jednotlivých spojení a tras celkem. Trasy jsou upravovány na základě intuitivního rozhodování a znalostí

29 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM člověka. K tomu je nezbytné znát rozložení a vlastnosti cestní sítě. Zároveň je vhodné uvažovat i objem přepravovaného materiálu jednotlivými úseky Habrova metoda absolutních výhodností (MAV) Habrova přibližná metoda řešení okružního dopravního problému vytváří okruh tak, že ze všech možných spojení mezi jednotlivými místy vybírá a do okruhu zařazuje takové spoje, které jsou co nejvýhodnější z hlediska celé uvažované dopravní sítě. Tento globální pohled poskytují Habrovy frekvence. Habrova frekvenční metoda předpokládá, že se vypočtou frekvence a ze všech možných spojení mezi jednotlivými místy se vybere a do kruhu zařadí nejprve to spojení dvou míst, které odpovídá nejvýhodnější frekvenci. Pak se vyhledá nejvýhodnější frekvence pro navazující spojení a příslušný úsek se zařadí do okruhu. Tak se pokračuje, až se okruh uzavře. Pro zlepšení a urychlení tohoto postupu není třeba pracovat s frekvencemi jako charakteristikami celkové výhodnosti jednotlivých úseků sítě, nýbrž tzv. rozloženými frekvencemi. Vychází se z této úvahy: u frekvenční metody vyjadřujeme elementární frekvenci vždy pro čtveřici sazeb jako rozdíl křížového součtu sazeb f ij = ( + ) ( + ) c ij c kl c il c kj Křížový rozdíl sazeb lze vyjádřit též takto: ( ) ( ) c ij c kj c il c kl Tyto dvojce nejsou nic jiného než řádkové rozdíly sazeb. To znamená, že vzájemné výhodnosti jednotlivých políček si lze vyjádřit pomocí rozdílů sazeb mezi jednotlivými řádky nebo sloupci tabulky. Sestavíme analytické frekvenční tabulky řádkových rozdílů sazeb a z nich lze vyčíst informace o výhodnosti určité dvojice spojení v porovnání s jinou dvojicí spojení v dopravní síti. Za výhodná pokládáme spojení, pro něž jsou rozložené frekvence záporné

30 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM Algoritmus metody MAV: 1. Ze základní tabulky vzdáleností se sestaví analytické dílčí tabulky řádkových rozdílů sazeb. 2. V dílčích tabulkách se zjistí řádková minima, která zakroužkujeme. 3. Pro tvorbu okruhu se vyberou ta spojení, pro něž se řádková minima koncentrují do některého sloupce dílčích tabulek. 4. Jestliže neexistují v dané dopravní síti absolutně výhodná spojení, zjistí se všechna spojení absolutně nevýhodná. Spojení s maximálním počtem minim ve sloupci se pak zkonfrontují se spojeními absolutně nevýhodnými. Jestliže některé z těchto spojení je nevýhodné ve vztahu ke spojení, které je absolutně nevýhodné, uvažuje se další tak, jako by bylo absolutně výhodné. 5. Z absolutně výhodných spojení, která jsou navzájem nezávislá, se vytváří první úseky okružní cesty. 6. Zařazením určitého spoje se zredukují původní dílčí tabulky tak, že všechny hodnoty odpovídající těmto spojením se vypustí z úvahy (v tabulce příslušnou řadu vyškrtneme). Mimoto se z dalších úvah vypustí všechny spojení, která by mohla způsobit předčasné uzavření okruhu (např. spojení opačných směrů). 7. Ve zbývajících dílčích tabulkách se opět vyhledávají spojení absolutně výhodná, respektive nevýhodná. Postup se opakuje tak dlouho, až je okruh uzavřen. (Získal a Havlíček, 2002, s ) Metoda větví a mezí Metoda větví a mezí (brand and bound) je podle Raise (2004, s. 63) optimalizační metoda sloužící k nalezení bodu absolutního minima dané účelové funkce na dané konečné množině přípustných řešení. Podstatu metody větví a mezí tvoří: postupný rozklad množiny přípustných řešení na vzájemné disjunktní podmnožiny;

31 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM stanovení dolní meze účelové funkce na každé podmnožině. Po prvním rozkladu se dále rozkládá vždy podmnožina s nejmenší dolní mezí účelové funkce, neboť tato podmnožina je perspektivní pro hledání optimálního řešení. Postupným rozkladem se na konec získá podmnožina jednoprvková, obsahující jediné přípustné řešení. Přitom mohou nastat tyto dva případy: hodnota účelové funkce není větší než dolní meze, hodnota účelové funkce, odpovídající získanému přípustnému řešení, není větší než dolní meze účelové funkce na ostatních podmnožinách. Toto nalezené řešení je tedy optimálním řešením, v opačném případě se pokračuje v rozkladu podmnožiny s nejmenší dosud nalezenou dolní mezí účelové funkce. V důsledku konečnosti množiny přípustných řešení je tento postup finální. Postup při maximalizačních úlohách by byl podobný a odlišoval by se pouze použitím horních (a nikoliv dolních) mezí účelové funkce. Při ručním výpočtu se postup řešení metodou větví a mezí graficky znázorňuje ve tvaru stromů, jehož uzly odpovídají postupně vytvářeným podmnožinám. Řešení úloh většího rozsahu je ovšem nemyslitelné bez použití počítačových systémů. (Rais, 2004, s. 63) Littlova metoda Získal a Havlíček (2002, s. 67) uvádí, že Littlova metoda je založena na metodě větvení a mezí. Množina přípustných řešení (cyklů) se dělí na stále se zmenšující podmnožiny. Pro každou podmnožinu se vypočte hranice minimální dosažitelné délky cyklu. Postup končí, je-li nalezeno řešení s nejmenší hodnotou spojení rovnou nejnižší určené hranici. Metoda je vhodná pro stanovení okružní trasy při neomezené kapacitě vozidel. Úlohu si lze podle Holoubka (2006, s. 106) zapsat do čtvercové matice. V jednotlivých políčcích jsou uvedeny například délky tras mezi jednotlivými odběrateli koeficienty

32 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM účelové funkce. Matice vzdáleností může být symetrická i nesymetrická, podle toho, zda předpokládáme či nepředpokládáme, že vzdálenost mezi místem i a j je v obou směrech shodná. Z podstaty problému vyplývá, že v matici vylučujeme dva druhy tras: trasu z místa i zpět přímo do místa i tj. políčka na hlavní diagonále matice (tyto zakázané trasy si v matici označíme symbolem ); trasy, které by předčasně uzavřely okruh, tj. dříve než jsou do okruhu zapojena všechna plánovaná místa. Cesty zakázané z tohoto důvodu označíme například symbolem. Zjednodušeně lze podle Rašovského a Šišlákové (1999, s ) algoritmus řešení okružního problému popsat takto: 1. Redukujeme výchozí matici vzdáleností mezi jednotlivými návštěvními místy, tj. od každého řádku a každého sloupce matice odečteme nejnižší sazbu (transformační konstantu) nacházející se v příslušném řádku a sloupci. Touto redukcí získáme v každém řádku a sloupci alespoň jednu nulovou sazbu. Řešení úlohy s takto redukovanou maticí je ekvivalentní s řešením původní úlohy. 2. Vypočteme hodnotu Z 0, o kterou se sníží hodnoty účelové funkce libovolného přípustného řešení při odpočtu příslušných transformačních konstant. Z 0 = n i = 1 n a i + b j = 1 j a i. transformační konstanta odpovídající i-tému řádku (i = 1, 2,, n) b j. transformační konstanta odpovídající j-tému sloupci (j = 1, 2,, n)

33 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM 3. Pro všechny redukované vzdálenosti rovné nule ( c = 0 ) stanovíme hodnoty ij φ ij = c + c * * i, min j,min * c i,min...nejmenší redukovaná vzdálenost v i-tém řádku * c j,min...nejmenší redukovaná vzdálenost v j-tém sloupci 4. Vyhledáme maxφ ij = φmax, které určuje zařazení cesty z i-tého do j-tého i, j místa do okruhu. Je-li více φ max, pak je lhostejné, které cestě dáme přednost. 5. Vypočteme hodnotu účelové funkce do j-tého místa do okruhu Z = Z ij Z při nezařazení cesty z i-tého místa ij 0 + φ max 6. Vynecháme i-tý řádek a j-tý sloupec redukované matice vzdáleností a současně vyloučíme vratnou cestu (tj. jízdu z j-tého místa do i-tého místa) tím, že příslušné pole v matici označíme symbolem. 7. V případě, že v každém řádku a každém sloupci redukované matice vzdáleností po provedení bodu 6 není ani jedno c = 0, pak provedeme další redukci vzdáleností pomocí nových transformačních konstant (jako v bodu 1). 8. Byla li do okruhu správně zařazena cesta z i-tého místa do j-tého místa, pak musí platit ij Z ij Z, ij

34 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM kde Z ij představuje hodnotu předcházející účelové funkce zvětšenou o n i= 1 n a i + b j= 1 j Transformační konstanty a i, b j odpovídají bodu 7. Holoubek (2006, s. 107) dodává: pokud uvedený vztah neplatí, nebyl důsledně dodržen stanovený algoritmus a je třeba řešení začít znovu. 9. Získáme-li redukovanou matici vzdáleností (viz bod 6 a 7) typu 2 x 2, pak uvažujeme okruh po zbývajících cestách (přičemž dvě ze čtyř cest v matici jsou zakázané) a výpočet je ukončen. (Rašovský a Šišláková, 1999, s. 155) Uvedený algoritmus Littlovy metody je znázorněn na obrázku č

35 OKRUŽNÍ DOPRAVNÍ PROBLÉM Obrázek č. 3: Postup výpočtu pomocí Littlovy metody

36 POČÍTAČOVÉ ZPRACOVÁNÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Na tomto místě je vhodné zdůraznit, že mezinárodní komise matematiků vybrala z řady návrhů sedm hlavních problémů, které čekají na vyřešení v 21. století. Za zdolání každého z nich byla vypsána odměna ve výši jednoho milionu dolarů. A jak se navíc zdá, u jednoho z nich není vyloučeno, že by jej mohl vyřešit i amatér. (Devlin, 2005) A to je právě problém obchodního cestujícího. Představme si, že obchodní cestující má navštívit postupně tři města. V tomto případě je výpočet jednoduchý. Stačí najít tři čísla v tabulce a sečíst je. Provedete-li to pro každou přípustnou trasu, pak stačí porovnat získané výsledky a vybrat ten, který udává nejkratší celkovou trasu. Problém ale nastává pokud se obchodní cestující rozhodne navštívit větší počet měst. Vzniká zde totiž veliká spousta tras, které musíme prozkoumat. Pokud se nám zpočátku problém jevil jako přímočarý, bylo to prostě tím, že přímočarý je. To co dělá tento problém těžkým ve skutečnosti neřešitelným, je pouhá velikost čísla udávajícího počet tras. Změníme počet měst z deseti na jedenáct a výsledný počet různých tras se zjedenástinásobí. S každým novým městem je třeba počet tras vynásobit faktorem, který navíc sám také narůstá. Jestliže nějaká veličina narůstá tímto způsobem, pak říkáme, že jde o faktoriální růst. A je to právě tento růst, který dělá z problému obchodního cestujícího cosi jako časovanou bombu. (Devlin, 2005, s. 133) Devlin (2005, s. 135) uvádí, že kromě přibližných odpovědí a částečných výsledků pro některé konkrétní skupiny měst nikdo žádné praktické řešení problému obchodního cestujícího nezná. Žádná z dnes známých metod není nikterak podstatně lepší než ohodnocení všech tras a porovnání jejich délek, což je ale zoufale neefektivní, pokud se nejedná jen o velice malý počet měst. 3.5 Počítačové zpracování okružního problému Program STORM Lauber a Jablonský (1997, s. 27) označují STORM jako modulový systém, jehož jednotlivé části umožňují řešit úlohy lineárního programování, řízení projektů, teorie zásob, teorie hromadné obsluhy atd. Z hlediska ovládání je velmi přívětivý. Veškerá práce je organizována pomocí systému nabídek menu

37 POČÍTAČOVÉ ZPRACOVÁNÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Problém obchodního cestujícího je řešen v rámci modulu Distance Network (Paths, Tours, Trees), který řeší vybrané optimalizační úlohy v grafech. Lauber a Jablonský (1997, s. 53, 55): Grafem se v této souvislosti rozumí množina uzlů a hran, spojujících tyto uzly. Pro nalezení nejkratšího okruhu lze považovat uzly grafu za konkrétní místa. Pro řešení úlohy obchodního cestujícího stačí zadat kilometrové vzdálenosti mezi těmito místy. V části pro určení základních parametrů se zadává (kromě titulku): počet uzlů grafu (numer of nodes) maximálně 40 charakter matice vzdáleností (distance matrix type) matice vzdáleností může být buď symetrická (SYM) nebo asymetrická (ASYM). Po určení základních parametrů se přechází na vstup zbývajících údajů. V tomto případě je třeba zadat matici vzdáleností. Lauber a Jablonský (1997, s. 55): Pokud je tato matice symetrická, je povolen pouze vstup prvků horní trojúhelníkové matice. Jedná-li se o nesymetrickou matici, potom lze zadávat všechny prvky matice kromě prvků hlavní diagonály. Po zadání povelu ke zpracování je zobrazena nabídka základních typů úloh, které je možné se zadanými vstupními údaji řešit. Tato nabídka obsahuje pět položek: 1. Nejkratší cesta (shortest paths). 2. Nejdelší cesta (longest paths). 3. Úloha obchodního cestujícího (traveling salespersons tour). 4. Minimální spojení míst (minimal spanning tree). 5. Maximální spojení míst (maximal spanning tree). U prvních dvou voleb je třeba nejprve určit uzel, který je počátečním při hledání nejkratší (nejdelší) cesty a uzel nebo uzly, které mají být konečnými uzly. Ve zbývajících úlohách nevyžaduje zpracování další údaje a bez dalšího je předloženo výsledné řešení. (Lauber a Jablonský, 1997, s. 56)

38 POČÍTAČOVÉ ZPRACOVÁNÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Program LINGO Pelikán (2001, s. 109): Programový systém LINGO je systém určený pro řešení úloh lineárního, celočíselného a smíšeného celočíselného programování. Jeho velkou předností je způsob zadávání modelu úlohy. Popis modelu užívaný v systému je velice podobný matematickému zápisu modelu. Pracuje pod různými operačními systémy a v různých verzích, které se liší rozsahem úlohy, které je schopen systém řešit. Od 100 omezení, 200 proměnných u studentské verze až po profesionální verzi schopnou řešit úlohy 32 tisíc omezení, 100 tisíc proměnných. Jak uvádí Pelikán (2001, s. 109): Programový systém LINGO řeší úlohu formulovanou jako textový soubor, obsahující matematický model zapsaný podle určitých pravidel, v určitém modelovacím jazyku. Jablonský (2002, s. 160) dodává, že tento obecný model stačí spojit s připraveným datovým souborem. Může se přitom jednat o běžný textový soubor bez zvláštních požadavků na jeho formát nebo soubor připravený ve spreadsheetu nebo databázi. Jablonský (2002, s. 165): Základní ideou tohoto systému je oddělení obecného modelu daného problému od datové základny. Uživatel si tak může vytvořit obecný model a ten používat opakovaně s různými datovými soubory. Pro řešení problému obchodního cestujícího nabízí programový systém LINGO již připravený modul TSP (Traveling salesman problem). Stačí zadat požadovaný počet měst, zapsat data nebo je importovat z připraveného souboru a modul je připravený pro výpočet. Jak se uvádí v manuálu programu LINGO (2008, s. 638) může modul pro okruh s 20 městy, datovým souborem Matice vzdáleností.xls a definovaným názvem oblasti dat okruh vypadat takto: MODEL:! Traveling Salesman Problem for the cities of 501; SETS: CITY / /: U;! U( I) = sequence no. of city; LINK( CITY, CITY): DIST,! The distance matrix; X;! X( I, J) = 1 if we use link I, J; ENDSETS

39 POČÍTAČOVÉ ZPRACOVÁNÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU DATA:!import the data from Excel; DIST vzdáleností.xls','okruh'); ENDDATA!The model:ref. Desrochers & Laporte, OR Letters, Feb. 91; N CITY); MIN LINK: DIST * CITY( K):! It must be CITY( I) I #NE# K: X( I, K)) = 1;! It must be CITY( J) J #NE# K: X( K, J)) = 1; END Jak se ukazuje, velké TSP modely je obtížné řešit pomocí optimalizace. Problém spočívá v tom, že řešení pro velké modely mají tendenci obsahovat více menších okruhů. Je možné přidat omezení na odstranění subokruhů, ale počet požadovaných omezení dramaticky roste s růstem počtu měst. (Lingo the modeling language and optimizer, 2008, s. 368)...! Weak form of the subtour breaking constraints;! These are not very powerful for large CITY( J) J #GT# 1 #AND# J #NE# K: U( J) >= U( K) + X ( K, J) - ( N - 2) * ( 1 - X( K, J)) + ( N - 3) * X( J, K) ); );! Make the X's X));! For the first and last stop we CITY( K) K #GT# 1: U( K) <= N ( N - 2) * X( 1, K); U( K) >= 1 + ( N - 2) * X( K, 1) ); END

40 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU 4 VLASTNÍ PRÁCE 4.1 Využití různých metod pro řešení okružního problému Pro ukázku možnosti využití různých metod pro řešení problému obchodního cestujícího byl nejdříve vypočítán ilustrační příklad. Údaje v tabulce č. 1 odpovídají vzdálenostem mezi městy v km. V tomto případě byla matice vzdáleností symetrická. Ilustrační příklad byl pro ukázku řešen pomocí Vogelovy metody, metody nejbližšího souseda, Littlovy metody a za pomocí programových systémů STORM (Storm Codec ) a LINGO. Tabulka č. 1: Zadání ilustračního příkladu Č. Bud. Hr. Kr. Plzeň Praha Ústí České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem Zdroj: Šubrt aj (2003, s. 39), vlastní zpracování Vogelova metoda Pro každý řádek a sloupec je vypočten rozdíl mezi dvěmi nejmenšími sazbami (vzdálenostmi). Tabulka č. 2: První krok Vogelovy metody Č. Bud. Hr. Kr. Plzeň Praha Ústí České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem Zdroj: Vlastní zpracování

41 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU V tabulce č. 2 jsou největší diference v 2. řádku, 2. sloupci, 5. řádku a 5. sloupci, všechny jsou rovny 54. Vybereme např. 5. řádek a označíme buňku s nejnižší sazbou, tj. buňku Ústí nad Labem Praha, jejíž sazba činí 92. Znamená to, že během jízdy po okruhu bude zamířeno z Ústí nad Labem do Prahy. Vyškrtneme 5. řádek (z Ústí už totiž nemůžeme jet do žádného jiného města) a 4. sloupec (z žádného jiného města už nemůžeme jet do Prahy). Vyškrtneme také buňku Praha Ústí nad Labem, protože z Prahy nemůžeme jet zase zpátky do Ústí nad Labem. Přepočítáme diference a postup opakujeme. Tabulka č. 3: Druhý krok Vogelovy metody Č. Bud. Hr. Kr. Plzeň Praha Ústí České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem Zdroj: Vlastní zpracování Nyní je největší diference ve 2. sloupci. Opět označíme nejnižší sazbu v tomto sloupci, což je hodnota 112. Z toho vyplývá, že z Prahy se pojede do Hradce Králové. Vyškrtneme 4. řádek, 2. sloupec. Buňku Hradec Králové Praha nemusíme vylučovat, protože je již vyškrtnuta

42 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Tabulka č. 4: Třetí krok Vogelovy metody Č. Bud. Hr. Kr. Plzeň Praha Ústí České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem Zdroj: Vlastní zpracování Tentokrát je největší diference v 1. řádku. Nejnižší sazba je v buňce České Budějovice Plzeň, která je rovna hodnotě 133. Z Českých Budějovic tedy zamíříme do Plzně. Vyškrtneme 1. řádek a 3. sloupec. Dále musíme vyškrtnout buňku Plzeň České Budějovice. Nyní je už zřejmé, že z Plzně můžeme jet pouze do Ústí nad Labem a z Hradce Králové tak můžeme jet pouze do Českých Budějovic. Tím se nám okruh uzavřel. Pokud výchozím místem bude např. Praha, výsledná trasa bude vypadat takto: Praha Hradec Králové České Budějovice Plzeň Ústí nad Labem Praha Tento okruh bude dlouhý 700 km Metoda nejbližšího souseda Tabulka č. 5: Zadání ilustračního příkladu Č. Bud. Hr. Kr. Plzeň Praha Ústí České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem Zdroj: Šubrt aj (2003, s. 39), vlastní zpracování

43 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Jako výchozí místo byly zvoleny nejdříve České Budějovice. V prvním řádku najdeme minimální sazbu. Ta se nachází v buňce České Budějovice Plzeň a je rovna hodnotě 133. Z Českých Budějovic vyjedeme tedy přímo do Plzně. Vyškrtneme 1. a 3. sloupec. Tabulka č. 6: První krok metody nejbližšího souseda Č. Bud. Hr. Kr. Plzeň Praha Ústí České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem Zdroj: Vlastní zpracování Nyní přesuneme pozornost do 3. řádku, kde se nejnižší sazba nachází v buňce Plzeň Praha. Je rovna hodnotě 94. Vyškrtneme 4. sloupec. Tabulka č. 7: Druhý krok metody nejbližšího souseda Č. Bud. Hr. Kr. Plzeň Praha Ústí České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem Zdroj: Vlastní zpracování V této chvíli hledáme nejnižší sazbu v 4. řádku, která odpovídá buňce Praha Ústí nad Labem o hodnotě 92. Vyškrtneme 5. sloupec

44 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Tabulka č. 8: Třetí krok metody nejbližšího souseda Č. Bud. Hr. Kr. Plzeň Praha Ústí České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem Zdroj: Vlastní zpracování Z tabulky č. 8 už je jasné, že z Ústí nad Labem pojedeme do Hradce Králové. Z Hradce Králové pak zamíříme do Českých Budějovic. Výsledná trasa při zvolení Českých Budějovic jako výchozího místa má délku 702 km a vypadá následně: České Budějovice Plzeň Praha Ústí nad Labem Hradec Králové České Budějovice Postupně vybíráme jako počáteční místa všechna města a pro každé najdeme okružní trasu stejným způsobem. Najdeme tak pět tras, které jsou přehledně uvedeny v tabulce č. 9. Tabulka č. 9: Okružní trasy s různými počátečními místy Počáteční místo České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem Okružní trasa České Budějovice Plzeň Praha Ústí nad Labem Hradec Králové České Budějovice Hradec Králové Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem Hradec Králové České Budějovice Plzeň Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Hradec Králové Praha Ústí nad Labem Praha Plzeň České Budějovice Hradec Králové Ústí nad Labem Délka v km Zdroj: Vlastní zpracování

45 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Z těchto tras vybereme tu nejkratší. Tou jsou spojení s počátečním místem v Hradci Králové a v Praze. Pokud bychom trasu s počátečním místem v Hradci Králové přepsali tak, aby začínala v Praze, dostali bychom stejnou trasu jako při řešení s výchozím místem v Praze. Tato trasa by tedy vypadala takto: Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Hradec Králové Praha Mimochodem, tato trasa je stejná jako při řešení Vogelovou metodou, je pouze projeta v opačném směru Littlova metoda Tabulka č. 10: Zadání ilustračního příkladu Č. Bud. Hr. Kr. Plzeň Praha Ústí České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem Zdroj: Šubrt aj (2003, s. 39), vlastní zpracování Nejdříve redukujeme matici tak, že od každého řádku a sloupce odečte nejnižší sazbu, která se v daném řádku či sloupci nachází. Tak získáme matici, kde v každém řádku a sloupci je minimálně jedna nulová hodnota. Pro všechny buňky, které se rovnají nule vypočteme hodnoty, které získáme jako součet nejnižších sazeb v daném řádku a sloupci, na kterých se nulová buňka nachází. Tyto hodnoty jsou v příkladech vždy zvýrazněny tučně

46 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Tabulka č. 11: První krok Littlovy metody Č. Bud. Hr. Kr. Plzeň Praha Ústí a i České Budějovice Hradec Králové Plzeň Praha Ústí nad Labem b j Zdroj: Vlastní zpracování Ze získaných hodnot vybereme tu maximální (v příkladech vždy označena červeně a podtržena). V našem případě vybereme 54 ve směru Praha Hradec Králové. To znamená, že jako první do okruhu zařadíme cestu z Prahy do Hradce Králové a vratnou cestu zakážeme. Vypočteme hodnotu Z 0 = = 582 a Z PR,HK* = = 636. Zredukujeme matici vynecháním řádku Praha, sloupce Hradec Králové a zakázáním opačné cesty. Opět musíme mít v každém řádku a sloupci alespoň jednu nulovou hodnotu

47 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Tabulka č. 12: Druhý krok Littlovy metody Č. Bud. Plzeň Praha Ústí a i České Budějovice Hradec Králové Plzeň Ústí nad Labem b j Zdroj: Vlastní zpracování 0 54 Maximální hodnota 64 zařazuje do okruhu úsek Hradec Králové Ústí. Opačnou cestu zakážeme. Z PR,HK = = 636 Z PR,HK Z PR,HK* 636 = 636 Z HK,Ú* = = 700 V redukované matici musíme navíc zakázat cestu z Ústí do Prahy, protože by došlo k předčasnému uzavření okruhu. Tabulka č. 13: Třetí krok Littlovy metody Č. Bud. Plzeň Praha a i 0 7 České Budějovice Plzeň Ústí nad Labem Zdroj: Vlastní zpracování b j

48 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Z HK,Ú = = 690 Z HK,Ú Z HK,Ú* Z Ú,PL = = 737 Z této tabulky tedy vyplývá, že z Ústí bude směřováno do Plzně. Opačnou cestu opět v redukované matici zakážeme stejně jako cestu z Plzně do Prahy. Tabulka č. 14: Čtvrtý krok Littlovy metody Č. Bud. Praha a i 7 České Budějovice Plzeň - Zdroj: Vlastní zpracování b j Z Ú, PL = = 697 Z Ú,PL Z Ú,PL* Nyní je již jasné, že z Plzně pojedeme do Českých Budějovic a odsud do Prahy. Tím se okruh uzavřel. Výsledná trasa, jejíž délka je 697 km tedy vypadá následovně: Praha Hradec Králové Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Praha Zpracování pomocí programu STORM Pro přehlednost výsledného řešení byla výchozí tabulku upravena tak, aby výchozí lokalita byla na prvním místě. V tomto případě je výchozím městem Praha, proto bude hned na prvním řádku

49 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Tabulka č. 15: Zadání ilustrativního příkladu Praha Č. Bud. Hr. Kr. Plzeň Ústí Praha České Budějovice Hradec Králové Plzeň Ústí nad Labem Zdroj: Šubrt aj (2003, s. 39), vlastní zpracování Po spuštění programu bude vybrána nabídka Distance Network (Paths, Tours, Trees) neboli Optimalizační úlohy v grafech jak je znázorněno na obrázku č. 4. Obrázek č. 4: Výběr úlohy z hlavního menu Z další nabídky zvolíme zadání nových dat. Z počátku je nutné zadat název úlohy, počet uzlů a zda je matice symetrická či asymetrická. Po určení základních parametrů se může přistoupit k zadání matice vzdáleností

50 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Obrázek č. 5: Zadání parametrů a dat Po stisknutí klávesy F7 je zobrazena nabídka základních typů úloh, ze které vybereme traveling salespersons problem. Obrázek č. 6: Volba úlohy obchodního cestujícího Po tomto kroku se již provede výpočet okružní trasy. Výsledek je zřejmý z obrázku č

51 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Obrázek č. 7: Výsledný okruh Výsledná trasa získaná pomocí programu STORM má délku 697 km a vypadá následovně: Praha České Budějovice Plzeň Ústí nad Labem Hradec Králové Praha Zpracování pomocí programu LINGO V programu LINGO je přímo připraven algoritmus pro řešení problému obchodního cestujícího. Stačí pouze zadat počet míst a uvést z jakého souboru data čerpat. Soubor vstupních dat je pořízen v MS Excel, a proto je pro potřeby výpočtu nutné definovat název dat, jak je znázorněno na obrázku č. 8. Obrázek č. 8: Definování názvu oblasti vstupních dat

52 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Na obrázku č. 9 je již znázorněn algoritmus pro výpočet okružní trasy. V ilustračním příklade je i nadále uvažováno o pěti lokalitách použitých v předcházejících případech. Je třeba změnit název souboru, ze kterého se data budou čerpat a také název dat, který byl definován. V tomto případě je definovaný název ilustrat. Obrázek č. 9: Výsledný algoritmus pro řešení V dalším kroku zvolíme v nabídce tlačítko Solve, které spustí výpočet příkladu

53 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Obrázek č. 10: Příkaz k řešení úlohy Nyní se již provede výpočet, ze kterého zjistíme jak by měla být trasa projeta. Výsledek je zřejmý z obrázku č

54 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Obrázek č. 11: Výsledek ilustrativního příkladu Výsledná trasa je tedy dlouhá 697 km a měla by být projeta tímto způsobem: Praha České Budějovice Plzeň Ústí nad Labem Hradec Králové Praha Z toho vyplývá, že program STORM a LINGO v tomto případě poskytly naprosto stejné výsledky

55 VYUŽITÍ RŮZNÝCH METOD PRO ŘEŠENÍ OKRUŽNÍHO PROBLÉMU Komparace získaných výsledků V komparaci Littlovy metody s Vogelovou metodou a metodou nejbližšího souseda je okružní trasa získaná pomocí Littlovy metody projeta jiným způsobem a je o 3 km kratší. Tabulka č. 16: Porovnání získaných výsledků vzhledem k použité metodě Použitá metoda Vogelova metoda Metoda nejbližšího souseda Littlova metoda Program STORM Program LINGO Zdroj: Vlastní zpracování Výsledná trasa Praha Hradec Králové České Budějovice Plzeň Ústí nad Labem Praha Praha Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Hradec Králové Praha Praha Hradec Králové Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Praha Praha Hradec Králové Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Praha Praha Hradec Králové Ústí nad Labem Plzeň České Budějovice Praha Počet km Tabulka č. 16 porovnává uspořádání okružní trasy a její délky vzhledem k použité metodě řešení problému obchodního cestujícího. V tomto případě se jako nejlepší jeví okružní trasa získaná pomocí Littlovy metody. Přestože je Littlova metoda často zmiňovanou možností pro řešení problému obchodního cestujícího, není metodou exaktní. Řešení získané pomocí této metody umožňuje získat řešení pouze velmi blízké optimu. Není tedy pravidlem, že okružní trasa získaná pomocí Littlovy metody je tím jediným a optimálním řešením. Při použití programových systémů STORM a LINGO, které umožňují řešit problém obchodního cestujícího byly získány naprosto shodné výsledky. Tyto jsou navíc stejné jako při použití Littlovy metody. Z ilustračního příkladu jsme se ale přesvědčili, že Littlova metoda snad dokáže poskytnout lepší řešení než další zmíněné metody, proto bude využita i pro optimalizaci dopravních tras ve společnosti Dekor Extra s.r.o. K optimalizaci tras v podniku budou také použity programové systémy STORM a LINGO

56 CHARAKTERISTIKA PODNIKU 4.2 Charakteristika podniku Dekor Extra s.r.o. je obchodní organizace s dlouholetou tradicí v dovozu, výrobě a prodeji dekoračních předmětů. Společnost sídlí v Hrušovanech u Brna, kde se nachází 250 m 2 výstavních síní a více než m 2 skladových ploch. (obrázky jsou čerpány z webové stránky podniku Obrázek č. 12: Sídlo společnosti Obrázek č. 13: Část skladovacích prostor

57 CHARAKTERISTIKA PODNIKU Společnost byla založena v roce 1991 a v této době se zabývala prodejem drobného zahradního nářadí. To bylo nakupováno pouze od velkoobchodníků. Postupně byl nabízený sortiment rozšiřován o dekorativní předměty jako např. svíčky a umělé květiny. V roce 1994 bylo vedení podniku osloveno generálním ředitelem Euronova (dnes společnost Ahold) a byla mu nabídnuta spolupráce. Od tohoto okamžiku začala společnost dodávat svůj sortiment do obchodních domů Prima. Firma se rozšířila a zboží začala odebírat přímo od výrobců. Umělé květiny byly dováženy z Rakouska, kde byla obchodním partnerem společnost Wolf. V roce 1995 se k odběratelům sortimentu přidaly supermarkety Billa a v roce 1996 společnost začala nakupovat zboží od německých dodavatelů. Zásadním se stal rok 1999, kdy firma přesídlila do Hrušovan u Brna a začala obchodovat s Čínou odkud dovážela květiny, vánoční a velikonoční výzdobu a prakticky celý nynější sortiment. Byla ukončena spolupráce se společností Wolf, jelikož dovoz z Číny byl mnohem výhodnější. V roce 2000 začala výstavba hypermarketů Hypernova na Slovensku. Jelikož společnost již dodávala své zboží do Hypernov v České republice, bylo jí nabídnuto, aby obsluhovala i vznikající Hypernovy na území Slovenské republiky. Z tohoto důvodu byla založena dceřinná společnost SK Dekor extra, s. r. o. a v rámci ní příruční sklad v Nové Dubnici. Obchodní zástupci nabízeli zboží nejen do Hypernov, ale i malým podnikům na území Slovenska. V roce 2006 byl příruční sklad zrušen a veškeré zboží je až do dnešní doby dováženo ze skladů umístěných v Hrušovanech u Brna. V roce 2004 byl rozšířen region odběratelů o rakouské lokality. V roce 2008 se začalo obchodovat s Polskem. V současné době tvoří dovoz z Číny přibližně 68 %, z Polska 30 % a z Německa 2 %. Vývoz na Slovensko zaujímá 30 %, Rakousko cca 0,3 % a zbytek sortimentu je realizováno na území České republiky. V současné době společnost uzavřela dohodu o spolupráci se supermarkety Interspar. Do hlavního sortimentu podniku patří následující skupiny s dekoračním zbožím

58 SORTIMENT PODNIKU 4.3 Sortiment podniku Umělé květiny Společnost Dekor Extra nabízí umělé květiny např. květiny řezané, vázané kytice, květinové závěsy kvetoucí i celozelené, keře jak malolisté tak velkolisté, stromy tuzemské i zahraniční výroby, palmy a řadu dalších umělých rostlin. Je možné také si objednat aranžování na zakázku. Obrázek č. 14: Růže, lilie mix kytice Obrázek č. 15: Slunečnice kytice Obrázek č. 16: Umělé květiny aranžované Obrázek č. 17: Strom wisteria

59 SORTIMENT PODNIKU Svíčky a svícny Organizace nabízí také svíčky a svícny. Pro různé druhy příležitostí má v prodeji široký sortiment svíček a různých velikostí, tvarů, barev a vůní, jako jsou svíčky stolní a dekorativní, dortové, sváteční i vánoční a v neposlední řadě také svíčky hřbitovní a kostelní. Svícny nabízí nejen v provedení z kovu, ale také ze skleněných a keramických materiálů. Obrázek č. 18: Svíčky Fruit Obrázek č. 19: Svíčky MOTÝL Keramické obaly a skleněné vázy Dále jsou součástí nabízeného sortimentu keramické obaly, včetně květináčů a skleněných váz a mnoho jiných doplňků ze skla či keramiky včetně dárkového zboží pro zútulnění domácího nebo pracovního prostředí

60 SORTIMENT PODNIKU Vánoční dekorace Obrázek č. 20: Konvička slunečnice Jako výrobce vánočních řetězů dokáže společnost pružně a efektivně vyhovět představám zákazníků o barvě, délce, průměru a hustotě vánočního řetězu, a to s garancí vysoké kvality. Dále dodává kompletní sortiment vánočních dekorací počínaje plastovými, skleněnými a keramickými ozdobami, třásněmi, vánočními růžemi, svíčkami a svícny, chvojkovými větvemi, girlandami a věnci až po bohatě zdobené adventní věnce a stromy pro náročnější zákazníky. Obrázek č. 21: Vánoční koule s domkem Obrázek č. 22: Vánoční věnec zdobený zlatý

61 SORTIMENT PODNIKU Velikonoční dekorace Obrázek č. 23: Vánoční stromek zdobený Mezi Velikonoční dekorace patří velikonoční věnce a závěsy, plastová i papírová vajíčka, obtisky a barvy na vajíčka, pomlázky, svíčky, svícny a ostatní sváteční dekorace. Obrázek č. 24: Kohout a slepice s kuřátky Obrázek č. 25: Svíčka vajíčko

62 SORTIMENT PODNIKU Aromatické silice a olejové lampy Zákazník může vybírat z velmi široké řady plně certifikovaných výrobků aromatických silic, vonných olejů a lampových olejů, jenž je možno plnit nejen do doporučených aromalamp a olejových lamp. Obrázek č. 26: Olejové lampy V současné době dováží Dekor Extra s.r.o. zboží a dekorace z Číny, Thajska, Rakouska, Itálie, Slovenska, Polska a je vývozcem do Rakouska, Německa, Ruska a na Slovensko. 4.4 Odběratelé sortimentu Jak již bylo zmíněno, společnost Dekor Extra s. r. o. se zabývá dovozem, výrobou a prodejem dekoračním předmětů. Její odběratelé jsou rozmístěni po celé České republice, část z nich se také nachází na Slovensku, v Rakousku a Německu. Tato práce bude zaměřena na optimalizaci dopravních tras v rámci České republiky, kde má společnost převážnou část svých odběratelů. Mezi odběratele zboží patří jak maloobchody s širokou nabídkou dekoračních předmětů (prodejny s domácími potřebami, papírnictví, květinářství a prodejny s drogistickým zbožím), ale také velkoobchody se svíčkami a sítě hypermarketů 2 a supermarketů 3. Ze sítí 2 Hypermarket - samoobslužní velkokapacitní prodejna nebo obchodní dům s širokou nabídkou potravinářského a nepotravinářského zboží pod jednou střechou, s prodejní plochou větší než m

63 DOPRAVNÍ SYSTÉM PODNIKU hypermarketů, kterým společnost Dekor Extra s. r. o. dodává zboží patří k odběratelům hypermarkety Hypernova 4 společnosti Ahold Czech Republic, a. s. a ze supermarketů jsou to Albert (Ahold Czech Republic, a. s.) a Billa (skupina REWE Group). 4.5 Dopravní systém podniku Jelikož se společnost zabývá převážně dovozem a prodejem dekoračních předmětů, je důležitou součástí plánování přeprava požadovaného zboží k zákazníkovi. Doprava nakupovaného zboží od dodavatelů v této práci není řešena. Odběratelská místa jsou rozdělena do šesti samostatných okruhů a sedmým okruhem je Praha. Okruhem Praha se v této práci nebudeme zabývat. Pro potřeby výpočtů a další manipulace byly okruhy sjednoceny do jedné, hlavní matice (příloha 1,2). Ve společnosti Dekor Extra s. r. o. jsou rozvozem zboží pověřeni 4 kvalifikovaní pracovníci a vozový park společnosti tvoří devět vozidel typu Ford Transit. Na rozvoz zboží do oblasti jižních a západních Čech se specializuje jeden pracovník. Ale i tento pracovník občas zajišťuje rozvoz zboží mimo tento region. Ostatní zaměstnanci zajišťují zbylé lokality v rámci České republiky. Z toho vyplývá, že všichni zaměstnanci střídavě obsluhují všechny okruhy. Dealer pro jižní a západní Čechy má velice specifický průjezd trasy. Jde o to, že síla odběratelů je zde větší než síla dodavatelů a tudíž tento dealer je nucen navštěvovat své zákazníky výlučně podle toho, kdy si určí sami. Z toho vyplývá, že jeho trasa vlastně netvoří okruh, protože tento pracovník projíždí místa v zásadě podle požadavků odběratelů. Zboží je obvykle naloženo do vozidla podle objednávek a další zboží je určeno k přímému prodeji již na určitém místě. Pověřený pracovník tedy zákazníkům nabízí ke koupi navíc ještě zboží mimo objednávku. Jelikož jsou některá místa velmi vzdálená trvá projetí trasy někdy i 2-3 dny. Zde by měla optimalizace pravděpodobně největší účinek. Jde ale o to, že tento pracovník zřejmě nikdy 3 Supermarket - samoobslužní prodejna s nabídkou převážně potravinářského zboží denní potřeby a s doplňkovým nepotravinářským zbožím (drogerie, tisk). Prodejní plocha je m 2. 4 od července 2009 přejmenováno na Albert hypermarket

64 DOPRAVNÍ SYSTÉM PODNIKU nebude schopen trasu projet podle optimalizačního návrhu. Přesto se ale v kapitole Optimalizace dopravních tras o optimalizaci jeho trasy pokusím. Odlišná situace nastává u ostatních pracovníků. Ti rozváží zboží do super- a hypermarketů. Tyto trasy většinou netrvají déle než jeden den. Do sítí hypermarketů Hypernova se dodává zboží většinou sezónně (Vánoce, Velikonoce, Halloween, Valentýn, Památka zesnulých, atd.) Do supermarketů Billa se jezdí obvykle jednou za 14 dní nebo 3 týdny a supermarkety Albert jsou navštěvovány jednou za 3 týdny. Pověření pracovníci zboží rozváží do odběratelských míst podle plánu, který jim vytvoří odpovědný pracovník. Tento plán nejsou povinni dodržovat. Podle zjištěných informací plán trasy vytváří odpovědný pracovník na základě vlastních zkušeností a subjektivních uvážení. Objednávky jsou dodány na místo určení a při tomto rozvozu se většinou hned tvoří objednávky nové a vyřizují se vratky zboží. Je nutné říci, že pracovníci pokaždé neobjíždí všechna místa z daného regionu, ale navštěvují pouze ta, která je třeba navštívit, např. proto, že tam vezou objednané zboží či tam chtějí nabídnout zboží neobjednané. Pro usnadnění plánování tras používají zaměstnanci GPS navigaci. V tomto případě ji ale používají pouze pro plánování trasy z jednoho místa do druhého nikoliv pro naplánování celého okruhu trasy. Jako kritérium pro projetí trasy mezi dvěmi městy je zadávána nejrychlejší cesta (trvá nejkratší dobu, ale může mít více km většinou dálnice). Jako další varianty navigace GPS nabízí nejkratší cestu (nejméně km, ale není nejrychlejší komunikace nižších tříd) nebo ekonomickou cestu (nabízí kdy je lepší využít různé úrovně silničních komunikací). 4.6 Získání a zpracování vstupních dat Nejnáročnější částí celé diplomové práce bylo získat potřebná data o vzdálenostech mezi odběratelskými místy. Jako největší problém se v tomto směru projevil fakt, že z matice je vždy využita pouze část údajů v závislosti na tom, která místa mají být v konkrétním případě do okruhu zařazena. Vyvstala zde tedy otázka jak z původní matice vzdáleností (příloha 1, 2) získat matici míst, které nás v danou chvíli zajímají

65 ZÍSKÁNÍ A ZPRACOVÁNÍ VSTUPNÍCH DAT K získání kilometrové vzdálenosti mezi městy byl využit internetový plánovač tras. Jak je již uvedeno v metodice práce, byl nakonec jako nejlepší vyhodnocen plánovač zveřejněný na Mapy.cz. Ten vytváří trasu tak, že naplánuje cestu mezi nejbližšími známými křižovatkami pro každé ze zadaných míst. Pomocí tohoto plánovače pak byly zjištěny číselné údaje, které jsou součástí této práce a označovány jako matice vzdáleností. Pro potřeby výpočtů byly všechny okruhy sjednoceny do jedné hlavní matice o rozměru 103 x 103, která je uvedena v příloze 1 a 2. Matice obsahuje údajů a je symetrická. Data obsažená v matici vzdáleností bylo dále nutné upravovat. A to z toho důvodů, že v našem případě obchodní cestující nenavštěvuje vždy všechna místa, která jsou v matici uvedena, ale pouze několik vybraných. Jelikož na vytvoření matice vzdáleností byl použit program Microsoft Excel, bylo nutné vyřešit problém jak získat ze základní tabulky takovou vybranou matici míst, která je zrovna potřeba. Jednalo se tedy o problém jak z tabulky získat jen určité řádky a sloupce. Nejdříve byly pro vyřešení tohoto problémů použity různé techniky jako skrytí sloupců a řádků nebo filtrování. Skrytí sloupců a řádků, které v dané chvíli nebyly potřeba nemělo žádný účinek, jelikož po přenesení nově vytvořené tabulky do jiného listu se skryté řady znovu objevily. Po prostudování problematiky filtrování se ukázalo, že tato funkce není vhodná pro řešený problém a tak bylo nutné hledat jiný způsob. Tento problém byl nakonec vyřešen pomocí kontingenční tabulky, kde je možné vybrat ve sloupcích i řádcích pouze ta místa, v rámci nichž obchodní cestující trasu pojede. Výchozí tabulka, která je podkladem pro kontingenční tabulku musí být nejprve celá naplněna daty. Hlavní diagonála proto nesmí být naplněna nečíselnými znaky. Podle obrázku č. 27 zvolíme nabídku Data Kontingenční tabulka a graf

66 ZÍSKÁNÍ A ZPRACOVÁNÍ VSTUPNÍCH DAT Obrázek č. 27: 1. krok tvorby kontingenční tabulky Po zobrazení průvodce kontingenční tabulky, který je znázorněn na obr. č. 28, zvolíme místo odkud se mají čerpat data. V tomto případě budou data čerpána ze seznamu nebo databáze Microsoft Excel, proto zatrhneme první možnost. Dále vybereme jako typ kontingenční sestavy možnost Kontingenční tabulka, jelikož kontingenční graf není pro tuto úlohu potřebný

67 ZÍSKÁNÍ A ZPRACOVÁNÍ VSTUPNÍCH DAT Obrázek č. 28: 2. krok tvorby kontingenční tabulky Vyznačíme oblast, ze které má být tabulka vytvořena. To je znázorněno na obrázku č. 29. Nyní může být tvorba tabulky dokončena. Obrázek č. 29: Výběr oblasti dat

68 ZÍSKÁNÍ A ZPRACOVÁNÍ VSTUPNÍCH DAT Po dokončení přípravy se objeví tabulka se seznamem polí kontingenční tabulky, viz obrázek č. 30. Obrázek č. 30: Naplnění kontingenční tabulky daty Nejdříve zvolíme ve spodní nabídce Oblast sloupců a přikážeme Přidat do. Tím se ve sloupcích zobrazí všechna města. Pak změníme volbu na Datová oblast a vkládáme jednotlivá místa až se celá tabulka naplní potřebnými daty. Nyní když už je tabulka hotová mohou být podle vlastní potřeby vybírána místa, která jsou předmětem zájmu jako je tomu na obrázku č

69 ZÍSKÁNÍ A ZPRACOVÁNÍ VSTUPNÍCH DAT Obrázek č. 31: Nabídka výběru měst Je zřejmé, že kontingenční tabulka nebyla původně vytvořena pro tyto účely. Slouží totiž k vizualizaci vzájemného vztahu dvou statistických znaků. Součty, které jsou v řádcích i sloupcích mají vyjadřovat počty výskytů jednoho jevu bez ohledu na vliv druhého jevu. Z tohoto důvodu se v řádcích kontingenční tabulky objevuje označení Součet z. Je to ale pouze estetická vada. Tento problém se dá jednoduše upravit po překopírování nově vytvořené matice vzdáleností. V našem případě nejsou zkoumány žádné závislosti mezi jevy a nepotřebujeme počty výskytů. Kontingenční tabulka ale splňuje naše požadavky. Pomocí ní mohou být z nabídky vybrána pouze ta města, která jsou v danou chvíli potřeba a tím je vyřešen problém, který před vlastním výpočtem vyvstal. Na tomto místě je velmi důležité upozornit na to, že hlavní matice by měla být využívána tak, aby nebylo možné ji nějakým způsobem znehodnotit. To znamená, že před začátkem jakékoliv manipulace s hlavní maticí by bylo vhodné ji nejdříve překopírovat a pracovat