Aplikace geometrických posloupností

Transkript

1 Aplikace geometrických posloupostí ) Racioálí ísla a jejich dekadické zápisy ƒísla a =,736 2 b = 0,9 vyjád ete zlomkem v základím tvaru e²eí zp sob Platí 0a = 7,36 000a = 736,36 } 990a = 79 a = = zp sob ƒíslo a si p edstavíme ve tvaru sou tu, ve kterém vystupuje ekoe á geometrická ada s prvím leem a = 0,036 a kvocietem q = 0,0 a =,736 =,7 + 0, , , Uºitím vztahu pro sou et ekoe é geometrické ady s = a q ) dostáváme 2 zp sob Platí a =,736 = b = 0,9 0b = 9,9 } = = = 9 0 9b = 9 b = 2 zp sob ƒíslo b si p edstavíme ve tvaru sou tu ekoe é geometrické ady s prvím leem b = 0,9 a kvocietem q = 0, pro jejíº sou et uºitím ) vypo teme b = 0,9 = 0,9 + 0,09 + 0,009 +, Podob platí,49 = 3 2 skute osti =,5, 2,069 = 207 b = 0,9 = = = 2,07,, coº jsou pro studety mohdy p ekvapivé 2) Úlohy z a í matematiky A) Pezijí p ipoji²t í Státí podpora maximál 50 K p i m sí í úloºce 500 K ) je osvobozea od da z p íjmu Nulové poplatky uzav eí smlouvy, vedeí ú tu, výpisy - v²e zdarma) Garatovaá kladá ula - pezijí fod p i ²patém hospodá ském výsledku emusí za daý rok p ipsat klietovi ºádé úroky, kliet v²ak má garatováu ástku svých vklad + státí podpory

2 Tzv odloºeá da ová poviost - kliet eplatí da z p íjmu z p ipsaých úrok ihed, ale aº souhr p i uko eí smlouvy tz díky sloºeému úrokováí je to pro klieta drobá výhoda) Smlouvu m ºe uzav ít ob a star²í 8 let, smlouva musí trvat miimál 5 let a ejmé do dovr²eí 60 let v ku klieta Dal²í výhody ap moºost síºeí základu da z p íjmu fyzických osob aº o K ro, p ísp vky zam stavatele), moºosti ákládáí se smlouvou ap výb r aº poloviy uspo eých prost edk po dovr²eí 5 let spo eí, p echod k jiému pezijímu fodu), podmíky a pravidla Modelový p ípad Kliet uzav e de duba 20 smlouvu o pezijím p ipoji²t í a m sí chce vkládat ástku v = 500 K K í bude dostávat státí podporu p = 50 K za m síc Pezijí fod m ºe p ipsat klietovi úrok u% pa Pro jedoduchost p edpokládejme spl í ásledujících podmíek Kliet vºdy p edspo í své vklady a období jedoho roku dop edu, tz jedorázov vloºí p i uzav eí smlouvy ástku V = 2v Teto postup pravidel kaºdoro opakuje po celou dobu trváí smlouvy Státí podpory jsou klietovi p ipisováy pravidel vºdy po uko eém roce spo eí, tedy jedorázov ve vý²i P = 2p Úrok u je kostatí po celou dobu spo eí Vypo t te, jakou celkovou ástku si bude moci kliet vyzvedout za t chto podmíek p i uko eí smlouvy o pezijím p ipoji²t í, tj po letech trváí jeho smlouvy 5) Po ítejte s daí z p íjmu ve vý²i 5% uvaºujte odloºeou da ovou poviost) e²eí Oza me z i z statek klieta bez zda í) a koci i-tého roku v okamºiku hed po p ipsáí státích podpor ale t s p ed vloºeím ásledujícího vkladu) a úrokovací iitel q = u Potom platí z = V q + P, z 2 = z q + V q + P = V q 2 + q) + P q + ), z 3 = z 2 q + V q + P = V q 3 + q 2 + q) + P q 2 + q + ), z = V q + q + q 2 + q) + P q q q + ) = V q + P ) q q q + ) Výraz A = q + + q 2 + q je sou tem prvích le geometrické poslouposti s prvím leem a = a kvocietem q Pro u = 0 je q =, takºe platí A =, tedy z = V + P ), coº je ástka, kterou kliet dostae, ebo mu ebyly p ipsáy ºádé úroky, které by m l dait Pokud u > 0, dostáváme A = q u ) q = u Takºe z = V q + P ) q q = [ V u ) ] u + P ) u ƒástka ke zda í tedy výsledý úrok za celou dobu spo eí) je z v + p) a kliet z í dostae pouze 85% K výplat je tudíº pro klieta suma [ [z V + P )] 0,85 + V + P ) = 0,85 V u ) ] u + P ) u + 0,5 V + P ) Nap íklad po dosazeí íselých hodot = 5, u = dostáváme , pro = 25 za átek spo eí v 35 letech), u = 2 vychází Nezajímavý eí ai údaj o tom, jakou roli hraje tzv odloºeá da ová poviost Teto výpo et jiº poecháme a teá i 2

3 B) Stavebí spo eí P íklad Stavebí spo eí u Wüsterotu Doba trváí smlouvy tzv vázací doba) miimál 6 let, poplatek za její uzav eí % z cílové ástky ta esmí být iº²í eº sou et celkové aspo eé ástky, v²ech p izaých státích podpor a úrok síºeý o poplatky) Ro í poplatek za vedeí ú tu p = 240 K, výpisy z ú tu v elektroické form zdarma Tyto poplatky jsou garatováy v em é vý²i po celou dobu trváí vázací doby Státí podpora, která je osvobozea od da z p íjmu, ií 0% z ro í úloºky, maximál v²ak K ro Úrok u = 2,5% pa je em ý po celou dobu vázací doby Modelový p ípad Kliet uzav e de duba 20 smlouvu o stavebím spo eí s cílovou ástkou Jakou ástku aspo í, bude-li jeho smlouva za vý²e uvedeých podmíek trvat do Po ítejte s daí z p íjmu ve vý²i 5% Pro jedoduchost p edpokládejme spl í ásledujících podmíek Kliet vloºí sv j prví vklad v okamºiku uzav eí smlouvy Z tohoto vkladu si spo itela ihed ode te vstupí poplatek p 0 = K % z cílové ástky) K pohybu a ú tu bude v kaºdém roce docházet pouze k datu duba p edpokládejme, ºe k tomuto datu bude p ipsáa státí podpora za p edchozí kaledá í rok a kliet p ípad provede ový vklad) a k datu 3 prosice k tomuto datu budou zaú továy a zda y úroky za uplyulý rok a bude ode te poplatek p = 240 K za vedeí ú tu Uvaºujme, ºe ástky zaú tovaé k datu duba jsou v daém roce úro ey úrokem 3 2,5% =,875% 4 tj pom rou ástí celkového úroku) Výpo et prove te ve dvou odd leých variatách: Kliet vloºí a ú et p i jeho zaloºeí jedorázov vklad v = K, pozd ji uº ºádé dal²í vklady edává 2 Kliet vloºí a ú et p i jeho zaloºeí vklad K a dále kaºdý rok p idává ástku K tz postup vloºí celkem 6 vklad ve vý²i K ) e²eí variata) Oza me je²t z i z statek klieta a koci i-tého kaledá ího roku, s vý²i p ipisovaé státí podpory v a²em p ípad je s = 2 000) a úrokovací iitele q = u 0, 85 a q = 3 u 0, 85 4 Platí z = v p 0 ) q p , z 2 = z q + sq p = v p 0 ) qq + sq p q + ) , z 3 = z 2 q + sq p = v p 0 ) qq 2 + sq q + ) p q 2 + q + ) , z 7 = v p 0 ) qq 6 + sq q 5 + q q + ) p q 6 + q q + ) Výraz q 5 +q 4 + +q+ p edstavuje sou et ²esti ísel to odpovídá ²esti dosud p ipsaým státím podporám v letech 202 aº 207), výraz q 6 +q 5 + +q+ je tvo e sedmi s ítaci, ebo kliet poplatek p za vedeí ú tu hradí celkem sedmkrát Oba výrazy mají spole é to, ºe se jedá o sou et kolika prvích le geometrické poslouposti s prvím leem a = a kvocietem q Uºitím vztahu pro sou et s prvích le takové poslouposti s = a q q dostáváme z 7 = v p 0 ) qq 6 + sq q6 q p q7 q 2) 3

4 Po dosazeí zadaých íselých hodot vychází z 7 = 70 8 Dopl me, ºe k této ástce je²t klietovi avíc p íslu²í posledí státí podpora ve vý²i K, která by mu byla doplacea v dubu 208 Celková aspo eá ástka tedy ií 72 8 K Pro zajímavost lze uvaºovat, jak vysoký úrok by musel být a spo ícím ú tu který je ve v t²i bak abíze bez jakýchkoliv poplatk ), aby kliet za uvaºovaou dobu aspo il z výchozí ástky K práv ástku 72 8 K Obdobými úvahami bychom dosp li k rovici 72 8 = qq 6 = ) 4 u 0, 85 u ) 6 0, 85 s ezámou u Jejím umerickým e²eím s vyuºitím matematického software) obdrºíme u = 3,65 e²eí 2 variata) M ºeme vyuºít odvozeého vztahu 2), ov²em pro hodoty v = s = Numericky pak vychází z 7 = v této ástce op t eí zahruta posledí státí podpora ve vý²i K, která by klietovi byla p ipsáa aº v dubu ásledujícího roku) Zobec ím p edchozích úvah pak lze vypo- ítat, ºe p i této form spo eí docílíme zhodoceí p ibliº o % vy²²í eº v p edchozím p ípad Stavebí spo itela Wüsterot ve svých materiálech uvádí, ºe je moºé docílit pr m rého ro ího zhodoceí vklad aº 5, 49% C) Spot ebitelské úv ry P íklad Citi Shoppig karta - Citi karta - kredití karta, která ²et í Va²e peíze jede z reklamích sloga poskytovatele) Sleva 2% prví 2 m síce dokoce 0%, vºdy v²ak maximál 500 K m sí ) a vybraé kategorie ákup - potraviy, oble eí, ábytek a bytové dopl ky, sportoví pot eby, restaurace a bary Poplatek za kartu 50 K m sí dal²í p ípadé poplatky za výpisy z ú tu v papírové form, poji²t í) Úrok 23, 99% pa, bezúro é období aº 55 dí iformace a výpise), úro eí a výpisy jsou m sí Miimálí splátka 3, 2%, miimál 200 K Modelový p ípad Zákazík akoupí v prvím m síci pouºíváí karty zboºí vybraých kategorií v celkové hodot D = K Baka mu tedy p izá slevu s = 500 K Dal²í ákupy ekoá Kolik by iila vý²e v jedé splátky, pokud by cht l sv j dluh v i bace vyrovat v = 2 stejých m sí ích splátkách prví z ich p es a koci bezúro ého období; pro zjedodu²eí p edpokládejme, ºe se tak stae po dvou m sících od po ízeí karty)? Kolik celkov zaplatí? Kliet tedy dohromady hradí bace + = 3 m sí ích poplatk p = 50 K za kartu Pro jedoduchost uvaºujme jedoté m sí í úroky ve vý²i u = 2 proceta e²eí Odvo me obecý vztah Oza me D i aktuálí vý²i dluhu klieta v i bace a koci i-tého m síce a úrokovací iitel q = u Platí D = D s + p, D 2 = D p v = D s + p + p v, D 3 = D 2 q + p v = D s + p) q + p v) q + ), D 4 = D 3 q + p v = D s + p) q 2 + p v) q 2 + q + ), D + = D s + p) q p v) q q q + ) Výraz s = q q q + dále zjedodu²íme s vyuºitím skute osti, ºe se jedá o sou et prvích le geometrické poslouposti s prvím leem a = a kvocietem q, pro jejíº sou et platí Protoºe dle zadáí platí D = 0, dostáváme s = a q q = q q v q q = D s + p) q p q q 4

5 Odtud v = D s + p) q p q q q q = D s + p) q q ) q + p = D s + p) ) u u ) u + p Po dosazeí zadaých íselých hodot dostáváme v = 935, 34 Kliet tedy celkov bace zaplatí ástku 2v, tj p i zaokrouhleí 224 K, coº je o více eº 2% více eº byla p vodí cea kupovaého zboºí Nap íklad p i ástce D = vychází vý²e jedé splátky a 2 789, 44, tz kliet by celkov zaplatil asi K, coº je asi o,5% více eº byla p vodí cea kupovaého zboºí 3) Záv re á úloha Výraz s = 2 ) ) ) ), kde N upravte do ejjedodu²²ího moºého tvaru e²eí Prove me substituci x = Potom m ºeme výraz s zapsat ve formál jedodu²²ím tvaru s = 2x + 3x x 3) ƒteá e ispirovaého p edchozími úlohami, ve kterých se s ítaly ley geometrické poslouposti by mohla apadout jeda ze dvou ásledujících úvah Upravme výraz 3) uºitím základ difereciálího a itegrálího po tu s = s dx) = x + x 2 + x x + c ) = x + x x ) + c = x + x x ) Sou tem le geometrické poslouposti s prvím leem i kvocietem x dostáváme x + x 2 + x x = x x x = x+ x x Derivací podílu a ásledou úpravou dále obdrºíme ) x + x s = = [ + ) x ] x ) x + x) x x ) 2 = x+ + ) x + x ) 2 Odstra ím pomocé prom é x koe vychází s = x [ x ) ] + x ) 2 = ) [ ) ] + ) 2 = = Upravme výraz 3) podobým zp sobem, jakým odvozujeme vztah pro sou et prvích le geometrické poslouposti Vyásobme tedy rovici 3) íslem x, coº je vzhledem k tomu, ºe x 0 ekvivaletí úprava P i ²ikovém zápisu obou vziklých rovic pod sebe pak dostáváme s = 2x + 3x x, xs = x + 2x ) x x Odtud vidíme, ºe yí bude vhodé rovice od sebe ode íst Tedy Podob jako p i prvím postupu vypo teme, ºe s xs = x + x x x x + x x = x x, 5

6 proto s x) = x x x Dosadíme-li za x zp t ze substitu í rovice, obdrºíme s ) = ), ) takºe s = ) + 2 ) = 2 ) = ) 2 Ukázali jsme tedy, ºe pro libovolé p irozeé íslo platí 2 ) ) ) ) = 2 4) Pozameejme, ºe práv vy e²eou úlohu lze formulovat r zými zp soby Nap íklad i jako úlohu k d kazu vztahu 4) matematickou idukcí P i a²í formulaci v²ak vyike to, ºe k odvozeí vztahu 4) eí t eba zát jeho pravou strau Tuto úlohu lze alézt ve sbírce [3, str 32, P íklad 37], kde autor p i jejím e²eí hovo í o tzv aritmeticko-geometrické poslouposti a d kaz provádí postupem, který jsme ukázali jako druhý v po adí Referece [] Odvárko O, Matematika pro gymázia - Poslouposti a ady, Prometheus, 995 [2] Odvárko O, Sbírka úloh z a í matematiky pro st edí ²koly, Prometheus, 2005 [3] Calda E, Sbírka e²eých úloh - St edo²kolská matematika pod mikroskopem, Prometheus,