veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

Transkript

1 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i tak zvaou ejistotu hodoty fyzikálí veličiy ebo kostaty. Jestliže posledí zapsaá číslice eí spolehlivá, musíme velikost ejistoty uvést. Např. ozačíme-li délku měřeého předmětu x a tuto délku změříme s ejistotou x bude zápis v případě x = 283, 6 mm, x = 0, 4 mm mít formu x = (283, 6 ± 0, 4)mm. Délka x tedy eí určitá (bodová) hodota, ale iterval od dolí hodoty x d = 283, 2 mm do horí hodoty x h = 284, 0 mm, jak ukazuje ásledující obrázek x d x x h Do zveřejňovaých tabulek číselých kostat a jiých veliči se zapisuje jeom tolik číslic, aby i posledí číslice byla správá. Například v tabulkách uvedeá hodota 2 = 1, 41, u které jsme ealezli zápis a více číslic, má ejistotu 0,005, tedy pro aše případé výpočty je 2 = 1, 410 ± 0, 005. Je zřejmé, že číslo z ašeho posledího příkladu je iracioálí podobě jako apř. Ludolfovo číslo π. Pravou (skutečou) celou hodotu iracioálího čísla edokážeme zapsat a použít v umerických výpočtech, ai kdybychom ji teoreticky zali. Kdyby přesá válcová tyč měla poloměr vyjádřeý koečým přesým číslem, potom plocha podstavy (případě obvod) bude vyjádře iracioálím číslem. Pracovat s čísly, která jsou vyjádřea koečým počtem číslic a uváděí velikosti ejistoty je prakticky utostí. Povšiměme si způsobu zápisu číselých hodot fyzikálích veliči. Posledí číslice číselé hodoty veličiy má stejý řád jako je řád posledí číslice ejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jeom jedou číslicí. Jeom v případě, že touto číslicí je 1 ebo 2, připojuje se ještě druhá platá číslice (a to i u veličiy), eboť mezi ejistotou vyjádřeou jedičkou a dvojkou je až stoprocetí rozdíl, kdežto apř. mezi 8 a 9 je rozdíl maximálě 12 %. Někdy je vhodé vyjádřit tzv. relativí ejistotu δx = x x. Relativí ejistota je bezrozměrá veličia. Často je však uváděa v procetech δx = x x 100%. Jestliže veličia má relativí ejistotu blížící se hodotě 1 tj. 100% je ejistota stejě velká jako veličia a tehdy je měřeí zpravidla bezceé. Velmi často bývá relativí ejistota v hodotách ěkolika málo procet. Přesá měřeí mají relativí ejistotu ve zlomcích proceta. 1

2 Rozděleí aměřeých hodot Opakovaým měřeím veličiy x získáme soubor aměřeých hodot x 1, x 2,...x, které se mohou avzájem lišit i přesto, že měřeí probíhalo za stejých podmíek. Soubor aměřeých hodot se bude při dostatečě velkém počtu měřeí ( ) řídit určitými statistickými zákoitostmi. Např. aměřeá hodota x i se vyskyte v tomto souboru p(x i ) krát, když p(x i ) ozačuje takzvaou hustotu pravděpodobosti výskytu jedotlivých měřeí x i. Závislost p(x) bývá azýváa pravděpodobostí fukcí. Pro fyzikálí měřeí je typické tzv. ormálí (Gaussovo) rozděleí (či rozložeí) pravděpodobosti, které je zázorěo a obr. 1 a jež lze vyjádřit p(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2. (1) p 68.3% 95.5% 99.7% x Obr. 1: Gaussova křivka pro ormálí rozděleí aměřeých hodot Předpokladem pro použití ormálího rozděleí je, že spojitá áhodá veličia se utváří pod vlivem moha vzájemě ezávislých čiitelů, z ichž žádý emá a výsledek rozhodující vliv. Normálí rozděleí se uiverzálě používá k aproximaci (k přibližému vyjádřeí) rozděleí pravděpodobosti velkého možství áhodých veliči v biologii, ekoomii, techice, atd. Jeho parametry jsou středí hodota µ a rozptyl (disperze) D(s 2, σ 2 ), které jsou určey vztahy µ = 1 x i a D = 1 (x i µ) 2. Z obr. 1 je patré, že hodoty blízké µ budou v souboru zastoupey častěji ež hodoty odlišější a hodoty větší ež µ lze očekávat se stejou pravděpodobostí, jako hodoty meší. Pokud staovíme směrodatou odchylku středí hodoty σ = D = 1 (x i µ) 2, bude v itervalu µ±σ ležet asi 68,3% všech aměřeých hodot. Iterval µ±2σ pak bude obsahovat 95,5% a iterval µ ± 3σ až 99,7% aměřeých hodot. Za předpokladu, že měřeá veličia x má určitou přesou hodotu a podmíky měřeí jsou optimálí (spolehlivá metoda, přesé měřící přístroje atd.), reprezetuje středí hodota µ správou (pravou, přesou) hodotu X měřeé veličiy. 2

3 Nejistoty měřeí. Nejistota měřeí je parametr (přidružeý k výsledku měřeí) charakterizující rozptýleí hodot měřeé veličiy. Základí kvatitativí charakteristikou ejistoty měřeí je stadardí ejistota. Může mít i více příči a podle ich dělíme ejistoty do dvou základích skupi: ejistoty typu A ( A x), projevující se drobými odchylkami výsledků při opakovaých měřeích (jejichž příčiy se obecě považují za ezámé) a a ejistoty typu B ( B x), kdy sice při opakovaých měřeích dostaeme vždy stejý výsledek, ale te je zkresleý buď epřesostí použitého měřidla, ebo evhodou metodou měřeí, ebo edokoalostí lidského smyslu při odečítáí a měřidle ebo jeho ovládáí, apod. Vyhodoceí ejistot typu A Nejistoty typu A jsou staovey z výsledků opakovaých měřeí statistickou aalýzou série aměřeých hodot. Statistické zákoy se projeví tím průkazěji, čím větší je soubor měřeí. V laboratořích však budeme zpravidla provádět malý počet opakovaých měřeí (často i < 10). Těchto ěkolik hodot je pouze malým výběrem, který eumožňuje staovit dostatečě přesý průběh rozděleí aměřeých hodot základího souboru ai jeho středí hodotu (a tedy ai přesou hodotu měřeé veličiy). Naší sahou proto bude staovit iterval, který bude s určitou zvoleou pravděpodobostí pravou hodotu X obsahovat. Je oprávěé předpokládat, že pravé hodotě X je ejblíže aritmetický průměr x = 1 x i (2) aměřeých hodot x i (výběrový průměr). Výběrový rozptyl aritmetického průměru (rozptyl výběrových průměrů) D( x) je krát meší ež výběrový rozptyl jedoho měřeí D(x). Výběrová směrodatá odchylka aritmetického průměru (směrodatá odchylka výběrových průměrů) σ( x), která je považováa za stadardí ejistotu typu A se proto vypočítá takto: D(x) σ( x) = = 1 (x i x) ( 1) 2. (3) V metrologii je zvykem staovit iterval, který by obsahoval pravou hodotu X s pravděpodobostí 95%. Proto staovujeme tzv. rozšířeou ejistotu A x = k σ( x). Koeficiet k pro kofidečí pravděpodobost 95% závisí a počtu měřeí, jak je vidět z ásledující tabulky, vybraé z takzvaého Studetova rozděleí. Tabulka součiitelů k pro kofidečí 95% iterval pravděpodobosti měřeí k 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,20 2,14 2,09 2,04 2,00 1,98 1,96 3

4 Vyhodoceí ejistot typu B Stadardí ejistota typu B se odhaduje pomocí úsudku a základě dostupých iformací a zkušeosti. Nejčastěji se použijí: údaje výrobce měřicí techiky (techické parametry použitého zařízeí, apř. třída přesosti elektromechaického (ručkového) měřicího přístroje ebo dvojice kostat charakterizujících chybu číslicového měřicího přístroje, apříklad teploměru), zkušeosti z předchozích měřeí, zkušeosti s vlastostmi chováí materiálů a techiky a pozatky o ich, údaje získaé při kalibraci a z certifikátů, ejistoty referečích údajů v příručkách. Pro každý uvažovaý zdroj ejistot se staoví dílčí ejistota typu B Bi x a výsledá ejistota se pak určí z dílčích ejistot jako B x = ( B1 x) 2 + ( B2 x) (4) Vyhodoceí kombiovaé ejistoty Výsledou ejistotu veličiy x (tzv. kombiovaou ejistotu) vypočteme podle vztahu x = ( A x) 2 + ( B x) 2 (5) a aměřeou hodotu veličiy x vyjádříme zápisem x = (x ± x). Nejistoty veliči získaých epřímo (výpočtem) Pokud je veličia y fukcí ěkolika veliči x i (ebo hodot jedé veličiy): y = f(x 1, x 2,.., x ), a záme ejistotu x i každé z těchto veliči, lze ejistotu veličiy y vypočítat ze vztahu ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 y y y y = x 1 + x x. x 1 x 2 x (Záko šířeí ejistot) Podmíkou ovšem je, že veličiy x i mají všechy ormálí rozděleí a ejsou korelovaé (eí mezi imi vzájemý vztah). 4

5 Odhad řešeí běžých typů difereciálích rovic Difereciálí rovice prvího řádu typu má obecé řešeí ve tvaru dx dt + C 1X = C 2 X = Ae C 1t + C 1 C 2, kde kostatu A lze určit z počátečích podmíek. Difereciálí rovice druhého řádu má řešeí ve tvaru harmoické fukce d 2 X dt 2 + ω2 X = 0 X = A si(ωt + ϕ 0 ). 5