n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a a N. n=1

Transkript

1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti komplexích čísel = 0, = ( ) = (α + j β ) = (α ) + j (β ), α, β R defiice limity jako v reálém případě Platí: lim = 0 lim = ( lim = a C lim ( Re a ) 2 + ( Im ) 2 = 0 lim Re = Re a lim ) Im = Im a lim = lim = + k tomu stačí, když platí lim Re = + ebo lim Im = + (eí to ovšem uté viz posloupost ( ) = (, 2 j, 3, 4 j,... ), pro kterou ai jeda z uvedeých dvou limit eexistuje) 5. Úvod ( ) posloupost reálých ebo komplexích čísel (ekoečá) reálých ebo komplexích čísel, -tý čle řady obecěji: Defiice : =N 0 ;, kde P () je ějaký výrok (apř. 3 edělí ) ;... P () Nechť N N. Pak N-tý částečý součet řady s N = defiujeme předpisem: N = a + a a N. Existuje-li s = lim N s N, azýváme s součtem řady. Píšeme s =. Řekeme, že koverguje ( osciluje), jestliže posloupost částečých součtů (s N ) N= vlastí (evlastí emá limitu). má limitu Příklad 5.: ; ( ) osciluje; ( ) osciluje v R, ale v C Veroika Sobotíková, FEL ČVUT Praha

2 [M2-P20] Příklad 5.2a: Geometrická s kvocietem q:, kde a 0 0, + = q speciálě pro a 0 = máme: N N = q = s N = + q + q q N a odtud s N+ = + q + q q N + q N+ s N + q N+ = + q s N s N + q N+ = + q s N ( zřejmě pro q = je s N = N + ), tedy a dále v R: v C: q = q = s N = qn+ q + pro q osciluje pro q q = q pro q > ebo q = osciluje pro q =, q pro q pro q < pro a 0 obecé : všechy součty vyásobíme číslem a 0 speciálě pro q < dostáváme = a 0 q ( a tedy: Příklad 5.2b: =N 0 q = =N 0 q N0 q N0 3 ( 4) = 2 5 m= N0 = q N0 q m = q N0 q ) m=0 Příklad 5.3: ( + ) = Věta 5. : Je-li = A C, b = B C a c C, pak platí pokud je výraz vpravo defiová. ( + b ) = A + B, c = c A, Věta 5.2 : Nechť ( ) C. Pak Pokud řady kovergují, pak koverguje právě tehdy, když kovergují obě řady = Re + j Im. Re, Im. Veroika Sobotíková, FEL ČVUT Praha

3 [M2-P2] Věta 5.3 (utá podmíka kovergece) : Jestliže koverguje, pak lim = 0. Příklad 5.4: řady arctg, si ( π ) ekovergují Řady s ezáporými čley Věta 5.4 : Je-li 0 pro každé N, pak existuje součet (a je ezáporý). Pozámka : Protože je zde (s N ) N= eklesající (a tedy lim N s N existuje), stačí k určeí hodoty součtu řady ajít limitu jakékoliv podposlouposti poslouposti (s N ) N=. Příklad 5.5: harmoická Věta 5.5 (srovávací kritérium) : Nechť 0 b pro každé. Potom platí: a) Jestliže koverguje b, pak koverguje i b) Jestliže, pak i b. ( a je-li =, pak 0 b ). Příklad 5.6a: Příklad 5.6b: pro α 2 α koverguje Věta 5.6 (podílové kritérium D Alembertovo) : Nechť > 0 pro všech. Potom platí: a) Jestliže existuje 0 < q < tak, že + b) Jestliže + pro všech, pak Věta 5.7 (limití podílové kritérium) : Nechť > 0 pro všech N. Potom platí: + a) Jestliže existuje lim <, pak b) Jestliže existuje lim + >, pak q pro všech, pak koverguje. koverguje. Věta 5.8 (odmociové kritérium Cauchyovo) : Nechť 0 pro všech N. Potom platí: a) Jestliže existuje 0 < q < tak, že q pro všech, pak b) Jestliže pro ekoečě moho, pak koverguje. Veroika Sobotíková, FEL ČVUT Praha

4 Věta 5.9 (limití odmociové kritérium) : Nechť 0 pro všech N. Potom platí: a) Jestliže existuje lim a <, pak koverguje. b) Jestliže existuje lim a >, pak [M2-P22] Pozámky : + a) V elimitích kritériích pro kovergeci estačí < resp. < pro všech ( viz apř. harmoická + : = + <, = <, ale ). + b) Limití kritériepomohou, je-li lim = ebo lim a = ( viz apř. řady:, 2 koverguje ). c) U podílového kritéria pro divergeci estačí: pro ekoečě moho ( viz příklad 5.7b ). d) Lze-li ukázat, že koverguje pomocí podílového kritéria, lze to i pomocí odmociového. Pro divergeci to ale eplatí ( viz apř. řadu, jejíž divergeci lze ukázat pomocí podílového kritéria, e však pomocí odmociového). Příklad 5.7a:! koverguje podle podílového kritéria Příklad 5.7b:, kde = 2 pro - sudé a = 5 pro - liché, koverguje podle odmociového + kritéria ( podílové ale epomůže, protože > pro všecha lichá ; elze použít ai limití odmociové kritérium, protože a eexistuje ). lim Příklad 5.7c: u řad, α > 0, podílové ai odmociové kritérium epomůže α Věta 5.0 (itegrálí kritérium) : Nechť f je ezáporá erostoucí fukce a, ). Pak itegrál f(x) dx. f() koverguje právě tehdy, když koverguje Příklad 5.8a: koverguje právě tehdy, když α > ( využití ve srovávacím kritériu ) Příklad 5.8b: podle itegrálího kritéria podle itegrálího kritéria α l Pozámka : k Jestliže ve Větě 5.0 koverguje a její součet je rove A, pak pro r k = A f() ( = f() ) platí: f(x) dx r k k+ k k čleů. ). f(x) dx ( r k =k+ je chyba, které se dopustíme, když místo celé řady sečteme je jejích prvích Veroika Sobotíková, FEL ČVUT Praha

5 5.3 Řady s obecými čley [M2-P23] Věta 5. : Jestliže pro řadu Platí : Řada platí lim = a 0, pak tato koverguje právě tehdy, když pro každé ε > 0 existuje 0 takové, že M =N+ kdykoliv 0 N < M ( tj. splňuje tzv. Bolzao-Cauchyovu podmíku (B.C.P.) pro kovergeci řad ) = s M s N < ε, < +... = +, koverguje... koverguje absolutě koverguje eabsolutě (relativě) Pozámka : Koverguje-li reálá řadeabsolutě, pak součet jejích kladých čleů je +, záporých. Tj. ozačíme-li a + = max, 0}, a = max, 0} (všiměte si, že = a + a, = a + +a ), pak a + = = +. Příklad 5.9: ( 2 ) koverguje absolutě Pozámka : Absolutí kovergeci řad lze zkoumat pomocí kritérií z odstavce 5.2. Věta 5.2 : Koverguje-li absolutě, pak koverguje. (Obráceé tvrzeí eplatí.) a Věta 5.3 (Leibizovo kritérium) : Nechť (b ) je erostoucí posloupost ezáporých čísel. Pak (tzv. alterující ) koverguje právě tehdy, když lim b = 0. ( ) + b = b b 2 + b 3 b Příklad 5.0: ( ) + = koverguje eabsolutě Pozámky : a) Je-li f : N a N prosté zobrazeí, pak řadu a f() azýváme přerováím řady. Platí: ) Jestliže koverguje absolutě, pak koverguje absolutě i každé její přerováí a má stejý součet. 2) Jestliže reálá koverguje eabsolutě, pak každé reálé číslo je součtem ěkterého přerováí této řady. Totéž platí pro ±. Řadu lze přerovat v tomto případě i tak, že ová bude oscilovat. b) Cauchyovým součiem řad, azýváme řadu c, kde c 0 = a 0 b 0, c = a 0 b + a b 0,..., c = a 0 b + a b b 0 = Platí: Jestliže řady Cauchyův souči, c a platí b absolutě i jejich Cauchyův souči. b a k b k k=0 (motivace výpočet koeficietů při ásobeí dvou polyomů). kovergují a alespoň jeda z ich koverguje absolutě, pak koverguje i jejich ( )( ) b = c. Kovergují-li absolutě obě řady, pak koverguje Veroika Sobotíková, FEL ČVUT Praha