Pomocný text. Nerovnosti. P íklad 1.1. Dokaºte, ºe pro v²echna kladná reálná x, y platí x+y

Transkript

1 Pomocý text Nerovosti Milí e²itelé, teto text vás uvede do ²iroké palety matematických úloh souhr azvaých erovosti Jde o úlohy vcelku oblíbeé a sout ºích olympiádího typu, p esto je jim ve stadardí výuce v ováo je miimum asu ebo se o ich ve ²kole edovíte v bec V povídáí si ejprve ukáºeme, co to vlast erovosti jsou, a au íme se je e²it Za eme t mi úpl jedoduchými a dostaeme se aº k mír pokro ilým a pokro ilým Nerovosti jsou ale orhom ²iroké a bohaté téma a eí v bec v a²ich silách pokrýt v²e, co by se o ich dalo íci Neváhejte tak obrátit se také a dal²í zdroje i mimo teto pomocý text Úvod Ve výuce jste se uº ejspí² setkali s erovicemi Neechte se ale zmýlit podobou ázv, erovosti a erovice jsou hod odli²é pojmy Z ur itého úhlu pohledu jsou erovosti dokoce úplý opak erovic Nerovice je úloha, a jejímº za átku je výraz typu A(x) < B(x) (p ípad >,, ebo ) a postup se r zými úpravami, úvahami a zpravidla rozborem moºostí dopracujete k moºi M ísel x (obvykle podmoºia reálých ísel), která p vodí erovici vyhovují Mohou se pak objevit také obec j²í p íklady, kdy porováváme ap íklad výrazy závisející a více prom ých, máme zadáo více erovic sou as atd Nerovost fuguje p es opa Na za átku je obvykle zadaá jaká moºia (také jde obvykle o podmoºiu reálých ísel, asto p jde o kladá reálá ísla) a cílem je dopracovat se úpravami a úvahami k platé erovosti Teto rozdíl ejlépe ilustrujeme p íkladem: P íklad 11 Dokaºte, ºe pro v²echa kladá reálá x, y platí x+y 2 xy e²eí Protoºe x i y jsou kladá reálá ísla, x a y existují a jsou také kladá a reálá Navíc kvadrát reálého ísla je ezáporé reálé íslo, takºe ur it platí ( x y) 2 0 Rozásobeím a p evedeím a druhou strau získáme x + y 2 xy, coº po vyd leí dv ma dává ámi dokazovaou erovost

2 Nástroje Ková umí ukovat me, i kdyº k tomu emá v²echa pot ebá kladiva, kovadliy a dal²í ástroje a stej tak i erovosti lze dokázat od základích pricip Nicmé kdyº má lov k pot ebé ástroje, jde to v²e hed lépe, rychleji, sáze a p iroze ji A to platí jak u ková ství, tak i v matematice Narozdíl od ková vám ale m ºeme pot ebé ástroje p edat slov v pár odstavcích textu, takºe se do toho dáme Nástroje a e²eí erovostí mají obvykle tvar jaké obec platé erovosti Pouºívají se tak, ºe vhodou volbou jedotlivých prom ých v obecé erovosti obdrºíme ámi dokazovaou erovost Nap íklad pokud bychom cht li dokázat, ºe pro kladé reálé íslo x platí, ºe x + 1/x je vºdy v t²í rove dv ma, sta í v p edchozím p íklad za y dosadit 1/x a dokazovaá erovost je a sv t S prvím (a dle mého ázoru asi ejmoc j²ím) ástrojem a e²eí erovostí jsme se setkali uº v prvím p íklad Je to erovost x 2 0, která platí pro v²echa reálá x Poj me si dále uvést které mé z ejmé Nerovosti mezi pr m ry Nech x 1, x 2, x 3,, x jsou kladá reálá ísla Jejich pr m r stup k je deová jako x k = k x k 1 + xk xk V²im te si, ºe pro k = 1 jde o klasický aritmetický pr m r t chto ísel Dále pr m r stup 2 se azývá kvadratický a pr m r stup 1 harmoický Obec je teto výraz je dob e deovaý pro v²echa reálá k krom uly Pr m r stup 0, který se azývá geometrický, se deuje zvlá² jako x 0 = x 1 x 2 x Z t chto výraz je sado vid t, ºe takto deovaý pr m r (libovolého stup ) má skute o ekávaé vlastosti pr m r Tedy, ºe se achází kde mezi ejv t²í a ejme²í hodotou Pro takto deovaé pr m ry platí tzv erovost mezi pr m ry: V ta 11 Nech x 1, x 2, x 3,, x jsou kladá reálá ísla Dále ech k, l jsou reálá ísla spl ující k < l Pak platí x k x l, p i emº rovost astává práv tehdy, kdyº x 1 = x 2 = = x D kaz Nejprve p edpokládejme k > 0 Chceme dokázat, ºe pro k < l platí k x k 1 + xk xk l x l 1 + xl xl Nerovost ekvivalet upravíme (pouhé umoc í a l a kosmetické úpravy expoet ) do tvaru ( x k 1 + x k ) l xk k (x k 1 ) l k + (x k 2 ) l k + + (x k ) l k Tohle je erovost, jejíº platost je z ejmá uºitím tzv Jeseovy erovosti pro (kovexí) fukci x l k a body x k 1, xk 2,, xk Pokud evíte, co je Jeseova erovost, elamte si s tím

3 zatím hlavu, dostaeme se k í pozd ji v tomto textu Podobým zp sobem se dokáºe p ípad, kdy l < 0 Sado ahlédeme, ºe pak uº zbývá dokázat je p ípady k = 0 a l = 0, protoºe zbylé p ípady získáme pouºitím trazitivity erovosti (tj z A BaB C plye A C) Dokáºeme p ípad k = 0, te druhý by se op t dal dokázat aalogicky Chceme tedy dokázat pro k > 0: x1 x k x k xk Ekvivalet upravíme (umoc ím a kladé k) do tvaru x k 1 xk xk xk Nyí a ob stray erovosti pouºijeme fukci p irozeý logaritmus (l) Je to fukce rostoucí, takºe pokud x y, pak také l x l y, a avíc jde o logaritmus, který má tu zajímavou vlastost, ºe l(xy) = l x + l y (takºe také l x = l x) Aplikací zmí ých vlastostí získáme ekvivaletími uprávami l x k 1 + l xk l xk ( x k l x k ), coº je op t erovost, která p ímo vyplývá z Jeseovy erovosti, tetokrát pro fukci p irozeý logaritmus (která je kokáví), ale stejou -tici ísel Speciálí a obec zámý p ípad je erovost mezi aritmetickým a geometrickým pr - m rem (tzv AGerovost) Její variatu pro pouhé dv prom é jsme si dokázali v úvodím p íkladu Nerovost mezi pr m ry platí i v p ípad tzv váºeého pr m ru Nech x 1, x 2,, x jsou kladá reálá ísla a a 1, a 2,, a také kladá reálá ísla, tzv váhy Pak váºeý pr m r stup k je dá výrazem a x k = k 1 x k 1 + a 2x k a x k a 1 + a a Je vid t, ºe pokud budou v²echy váhy stejé, dostaeme oby ejý pr m r stup k Pokud by ap íklad prví váha byla dvakrát v t²í eº v²echy ostatí, bylo by to, jakobychom k -tici hodot p idali je²t jedou x 1 Podob se pr m ry chovají i v obecém p ípad : p evedeím a spole ého jmeovatele a rozd leím a sou ty jedotlivých hodot bychom erovost dokázali pro v²echy racioálí váhy Pro ty iracioálí bychom argumetovali ur itou podmíkou spojitosti (pokud erovost platí pro libovol blízké racioálí váhy, musí platit také pro iracioálí), jejíº d kladý rozbor je ad rámec tohoto textu, ale ituitiví výzam je sado pochopitelý Homogeí erovosti Pom r velká ²kála erovostí, se kterými se setkáte v úlohách, pat í mezi tzv homogeí erovosti Tato vlastost umoº uje klást a jedotlivé prom é (bez újmy a obecosti) dal²í dodate é podmíky a zjedodu²it tak e²eí Co tedy zameá, ºe je erovost homogeí?

4 Homogeí erovost je erovost mezi dv ma homogeími výrazy téhoº stup To jsme tomu pomohli, ºe? Ale homogeí výraz stup k eí ic sloºitého Je to zkrátka výraz f(x 1, x 2,, x ) v prom ých x 1, x 2,, x spl ující pro kaºdé t R +, ºe f(tx 1, tx 2,, tx ) = t k f(x 1, x 2,, x ) Co ám to umoº uje? Uvaºme erovost (ap íklad "<") mezi výrazy f a g pro jakou -tici ísel x 1, x 2,, x, eboli f(x 1, x 2,, x ) < g(x 1, x 2,, x ) Pak protoºe jsou výrazy homogeí téhoº stup k, m ºeme erovost vyásobit kladým t k a získat t k f(x 1, x 2,, x ) < t k g(x 1, x 2,, x ), f(tx 1, tx 2,, tx ) < g(tx 1, tx 2,, tx ) Nyí vidíme, ºe erovost platí pro p vodí -tici práv tehdy, kdyº platí také pro -tici tx 1, tx 2,, tx K emu je to tedy dobré? Uvedeme si p íklad A kdyº uº tak uº Dokáºeme s vyuºitím homogeity tzv Cauchy-Schwarzovu erovost, dal²í ze silých ástroj k e²eí erovostí Cauchyho-Schwartzova erovost Nech jsou dáy dv -tice reálých ísel x 1, x 2,, x a y 1, y 2,, y Pak platí (x 1 y 1 + x 2 y x y ) x x x2 y1 2 + y y2 V²im me si, ºe erovost je v obou -ticích homogeí stup 1 Pokud je jeda z - tic celá ulová, erovost platí triviál Pokud je alespo jede le kaºdé -tice eulový, ur it existují taková kladá reálá ísla s a t, ºe (sx 1 ) 2 + (sx 2 ) (sx ) 2 = s x x+ 2 + x2 = 1 a (ty 1 ) 2 + (ty 2 ) (ty ) 2 = t y1 2 + y+ 2 + y2 = 1 Sta í tedy, pokud dokáºeme Cauchyho-Swartzovu erovost pro takovéto -tice, v²echy ostatí umíme získat vhodou volbou koeciet s a t Dokazujeme yí x 1 y 1 + x 2 y x y 1 za podmíky x x x 2 = 1, y y y 2 = 1 To je ale jedoduché, protoºe platí: 0 (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x y ) 2 = x 2 1 2x 1 y 1 + y x 2 2 2x 2 y 2 + y x 2 2x y + y 2 2(x 1 y 1 + x 2 y x y ) x x x 2 + y y y 2 = 2 x 1 y 1 + x 2 y x y 1 Tím je d kaz u koce Uve me je²t druhý, který vám moºá pom ºe si CS erovost zapamatovat V erovosti lze totiº rozpozat výrazy týkající se vektor V levé stra pozáváme skalárí sou i vektor x = (x 1, x 2,, x ) a y = (y 1, y 2,, y ), zatímco

5 pravá straa je sou i jejich velikostí Ti z vás, kte í se s vektory jiº setkali moºá také ví, ºe oza íme-li úhel mezi t mito vektory α, pak platí cos α = x y x y a protoºe cos α je vºdy me²í eº 1, dostáváme z této rovosti rovou a²i CS erovost Jeseova erovost Dostáváme se k dal²ímu ástroji a to je Jeseova erovost, kterou jsme zmíili jiº d íve Nejprve pár pojm Útvar je kovexí, pokud s kaºdými dv ma jeho body leºí uvit j i úse ka tyto body spojující A o fukci ekeme, ºe je kovexí a daém itervalu, pokud je kovexí útvar ad grafem této fukce omezeý daým itervalem Pokud je aopak kovexí útvar pod grafem a tomto itervalu, ekeme o fukci, ºe je kokáví Nap íklad fukce f(x) = x 2 je a celých reálých íslech kovexí f(x) = 1 x je a kladých reálých íslech kovexí a a záporých reálých íslech kokáví Te uº k samoté erovosti Nech fukce f(x) je kovexí a itervalu I Nech dále x 1, x 2,, x I jsou ísla v tomto itervalu a a 1, a 2,, a R + jsou váhy Pak platí ( ) a1 x 1 + a 2 x a x f a a a 1f(x 1 ) + a 2 f(x 2 ) + a f(x ) a 1 + a a V levé stra pozáváme fuk í hodotu váºeého aritmetického pr m ru, apravo pak máme váºeý pr m r fuk ích hodot Budeme postupovat matematickou idukcí Bez újmy a obecosti pro dal²í postup p edpokládejme, ºe sou et vah je 1 Z vlastosti kovexity fukce sado získáváme f(ax + (1 a)y) af(x) + (1 a)f(y) Dál p edpokládejme, ºe erovost platí pro jaké Pak f(a 1 x 1 + a 2 x a +1 x +1 = ( ( ) ) a 1 a f (1 a +1 ) x x + a +1 x +1 1 a +1 1 a +1 ( ) a 1 a (1 a +1 )f x x + a +1 f(x +1 ) 1 a +1 1 a +1 a 1 f(x 1 ) + + a f(x ) + a +1 f(x +1 ) Tím je d kaz hotov Pokud je fukce kokáví, platí v erovosti zaméko opa Dal²í erovosti Tímto bychom rádi a²e stru é povídáí uko ili Nerovostí, které lze vhod pouºít jako ástroje k e²eí je samoz ejm daleko více M ºete si ajít ap íklad micovou erovost, Muirheadovu erovost, ƒeby²evovu erovost a mohé dal²í V íme, ºe vám teto text pom ºe vy e²it eje úlohy ²esté série, ale také v²echy dal²í erovosti, se kterými se a matematických sout ºích setkáte