M ºeme v it své vlastní kalkula ce?

Transkript

1 M ºeme v it své vlastí kalkula ce? Edita Pelatová, katedra matematiky FJFI, ƒvut Miloslav Zojil, Ústav jaderé fyziky, AV ƒr Abstrakt V láku studujeme vliv zaokrouhlováí, které po íta i kalkula ka b hem výpo tu ut musejí provád t, a správost výsledku Na jedé kokrétí úloze demostrujeme, jak pouºití výpo etí techiky bez uvaºováí o její p esosti m ºe zp sobit chyby libovolé velikosti I v b ºých matematických výpo tech se asto setkáváme s iracioálími ísly Výpo et obsahu kruhu vyºaduje pouºití Ludolfova ísla π, staoveí vý²ky úrok vyºaduje logaritmováí, kde základem je Eulerovo íslo e Je dávo zámo, ºe ob zmí é kostaty jsou iracioálí ísla, to zameá, ºe jejich zápis v desítkové soustav eí koe ý jak je tomu ap u ísla 5 = 0, 2 ai od jistého místa periodický jak je tomu u ísla 6 = 0, 666 Zápisy ísel π a e mají tvar π = 3, , e = 2, Výpo ty, které provádíme pomocí kalkula ky i po íta e, jsou omezey pouze a racioálí ísla Po et platých íslic, se kterými kalkula ka a po íta pracují, je limitová a závisí a typu p ístroje Velikosti ísel, se kterými pracuje lov k, ejsou v pricipu omezey, ale ruku a srdce, kolikamístá ísla byste byli ochoti ásobit s tuºkou a papí e vy? Nemoºost pracovat s p esou hodotou Ludolfova ísla a Eulerova ísla ás v t²iou etrápí P i ²kolích výpo tech si vysta íme s p ibliºou hodotou ísla π = 3, 4 ebo π = 22 Chyba, 3 která vzike p i výpo tu obsahu kruhu, je tak me²í eº jedo promile Je-li v²ak úloha sloºit j²í a vyºaduje v t²í po et operací, m ºe chyba p er st v²echy meze Kostrukce mohých techických za ízeí vyºaduje komplikovaý výpo et Nebudeme dopodroba popisovat úlohu ze skute é praxe - zabíhali bychom do podrobostí ed leºitých pro vysv tleí vziku chyb Následující vymy²leý p íb h dob e ilustruje podstatu problému Pro úplost dodejme, ºe matematické jádro p íb hu bylo ispirováo p edá²kou Fracouze Jeaa-Michela Mullera Otce práv arozeého sya, paa Ne²et ila, upoutá reklama ve výloze baky se slogaem "Iracioál ke ²t stí" Baka abízí rodi m, aby zaloºili pro arozeé dít ú et, a který vloºí e koru, tedy iracioálí ástku Baka slibuje, ºe po kaºdém roce ode te z ú tu jedu koruu jako poplatek za vedeí ú tu a vyásobí zbytek po tem let od zaloºeí ú tu V de 25 arozei baka dít ti vyplatí jm í, které pro rodi e a²et ili Pa Ne²et il se zamyslí, zda by em l uº te pamatovat a ²t stí svého sya Rozhode se o abídce uvaºovat a za e po ítat: po prvím roce je a ú t p = e koru, po druhém roce p 2 = 2p ) = 2e 2) koru, po t etím roce p 3 = 3p 2 ) atd Protoºe má po ruce mobil, za e po ítat a kalkula ce Hodotu Eulerova ísla si otec epamatuje ai p ibliº, ale ve výloze baky je jako dekorace uvedeo íslo e s více eº sto místy Kalkula ka dovolí v²ak a ukat pouze 9 platých míst Proto rozváºý otec správ zaokrouhlí a po ítá ástky p Kdyº mu mobil ukáºe p 25 = 0, , je celý bez sebe a sp chá ozámit sv j plá maºelce Ta, i kdyº zrova kojí, je je²t rozváº j²í a taky ví, ºe jméo Ne²et il edostala maºelova rodia áhodou) a ud lá kotrolí výpo et doma a kalkula ce po íta e, která pracuje s p esostí 6

2 míst Paí Ne²et ilová provádí stejý výpo et a dostae p 25 = Vyleká se a okamºit telefouje zpátky maºelovi, ºe baké i jsou vyd idu²i a ºe jejich sy by po 25 arozeiách byl tak aejvý² velkým dluºíkem, rozhod e bohá em Pobou eá paí Ne²et ilova maºelovi vyadá a avrhuje baku ºalovat pro klamavou reklamu Pa Ne²et il se eodvaºuje maºelce odporovat, ale d ív, eº podá ºalobu, vezme tuºku a papír a za e po ítat v ruce Vidí, ºe kalkula kám v it elze Kdyº zjistí, ºe faktická ástka, kterou by sy k arozeiám dostal, by byla kladá co kolem jedé koruy koupí maºelce iracioál za posledích e koru kytku a sp chá dom, aby stihl vykoupat sya Bohuslava Pro teá e, který si bude provád t kotrolí výpo et, up es me, ºe uvedeé ástky p 25 jsme získali a kalkula ce mobilu za ky Motorola a a kalkula ce zabudovaé v p íslu²eství k Widows Rekostruujme úvahy, které zku²eý matematik pa Ne²et il s tuºkou v ruce provedl ƒíslo e je deováo pomocí poslouposti a = + ) Tato posloupost je rostoucí, tj a < a +, a práv reálé íslo, ke kterému se s rostoucím hodoty a p ibliºují, bylo a po est Eulera oza eo e V matematickém jazyce se e azývá limitou poslouposti a a zapisujeme + ) e = lim Uº samotý Euler v d l, ºe e lze vyjád ít i jako limitu jié rostoucí poslouposti, totiº poslouposti b = +! + 2! + 3! + + )! +! Tato posloupost se pro a²e ú ely bude hodit více Pro zajímavost srovejme prvích pár le obou posloupostí a b , 25 2, 5 3 2, , , , , , , , 7828 Kdyº srováme hodoty a a b v tabulce s uvedeou hodotou e, vidíme, ºe posloupost b se ke své limit p ibliºuje rychleji Obec lze ukázat erovosti a < b < e ƒteá i, který by se cht l ve v t²ích podrobostech v ovat íslu e, doporu ujeme u ebici [2] Pro ilustraci toho, jak lze od poslouposti a dosp t k poslouposti b, odvodíme prví ze dvou erovostí Pouºijeme zámou biomickou v tu ) ) ) ) A + B) = A + A B + A 2 B 2 + A 3 B A B + B, 2 3 kde koeciety k) jsou kombia í ísla deovaá p edpisem ) k =! k)!k!, ebo chcete-li, jsou to prvky z -tého ádku Pascalova trojúhelíku Biomickou v tu pouºijeme a výpo et hodoty a, kde za A dosadíme a za B dosadíme Dostaeme ) ) ) ) a = Nap b 9 se shoduje s íslem e a prvích 6 místech za desetiou árkou, zatímco a 9 a ºádém

3 Obecý tvar s ítace v p edchozím sou tu m ºeme upravit ) k k =! k)!k! k = ) 2) k + ) k! k Po vadº kaºdý le sou iu ) 2) k+) lze odhadout ) k k k! a celkov k = 2 a < +! + 2! + 3! + + )! +! = b k+2 k+ je aejvý² jeda, Vzhledem ke zmí é erovosti a < b < e má posloupost b limitu e ƒíslo e si tedy m ºeme p edstavit jako výsledek ekoe ého sou tu e = +! + 2! + 3! + 4! + 5! + Za me yí vyjád ovat ástky p aspo eé v bace, p = e ) =! + 2! + 3! + 4! + 5! + p 2 = 2 p ) = 2 2! + 3! + 4! + 5! + ) p 3 = 3 p 2 ) = 3 2 3! + 4! + 5! + 6! + ) p 4 = 4 p 3 ) = ! + 5! + 6! + 7! + ) p 5 = 5 p 4 ) = 5! 5! + 6! + 7! + 8! + ) p 24 = 24 p 23 ) = 24! 24! + 25! + 26! + 27! + ) p 25 = 25 p 24 ) = 25! 25! + 26! + 27! + 28! + ) Je jasé, ºe ástka aspo eá po 25 roce musí být kladá a v t²í eº jeda Odhad me, jak je opravdu veliká Po zkráceí faktoriál ve vyjád eí p 25 dostaeme p 25 = < Na pravé stra se objevil ekoe ý sou et geometrické poslouposti s kvocietem q = 26, viz [] Protoºe sou et prvích N le této poslouposti je rove qn q a pro N blíºící se do ekoe a se a²e q N blíºí k 0, dostaeme pro sou et ekoe moha le sou et q, a tedy celkový odhad p 25 < 26 = 26 =, Hodotu p 25 m ºeme odhadout zdola jedodu²e sou tem prvích dvou le geometrické poslouposti Získáme tak dolí odhad p 25 > + 26 = 27 =, Vidíme, ºe skute á vý²e uspo eých pe z p 25 se podstat li²í od výsledk, které dostaeme pomocí kalkula ky mobilu ebo kalkula ky po íta e Paradoxí je, ºe i kdyº ap displeje r zých mobil umoº ují pracovat se stejým po tem platých míst, m ºete dostat r zé výsledky zkuste si výpo et p 25 i s mobily svých spoluºák ) Jak je to moºé? M ºeme v bec d v ovat výsledk m, které dostaeme pomocí výpo etí techiky? Prvím krokem k pochopeí zdálivého paradoxu je zji²t í, ºe zabudovaé programy pro ásobeí a s ítáí jsou r zé Mohou se li²it v tom, jak a kdy zaokrouhlují zda p ed p evodem do dvojkové soustavy, ve které v t²ia algoritm pracuje, ebo aº po tomto p evodu Vyskytují se i kalkula ky, které pracují pouze v desítkové soustav P i výpo tu mohou dále pouºívat více platých cifer, eº kolik se jich akoec ukáºe a displeji, atp Zjistit, jakou zaokrouhlovací taktiku vlast vá² po íta pouºívá, je tém emoºé

4 I a²eho teá e jist apade, ºe v p edchozím p íklad by k vy e²eí celé záhady mohlo pomoci pouºití algoritmu, který by po ítal prost a více platých cifer P i práci v pohyblivé desetié árce des samoz ejm existuje moºost m it p esost výpo t velmi sado Pro a²e pot eby jsme proto pouºili programovací jazyk Maple, který byl vyviut a uiverzit v kaadském Waterloo proto ázev javorový list) - v agli ti maple leaf)) V ásledující tabulce D p , , , , , , , , , , , , , , 0399 symbol D zameá po et platých míst, které jsme programu Maple p edepsali pro provád í výpo tu Z hodot p 25 apo ítaých Maplem uvádíme v tabulce pouze prvích p t platých míst 2 P i pohledu a a²i tabulku se musíme zeptat: Podle jakého obecého pravidla máme tedy p edem zvolit po et platých míst pro výpo et, abychom se vyvarovali velkých chyb? Nebo aopak: Co ám tedy p i daé p esosti výpo tu vlast a displeji po íta ukazuje, kdyº e správé hodoty? Oza me tyto hodoty z displeje p, p 2, p 3,, p 25 a zkusme odvodit, s jakou p esostí by musel po íta pracovat, aby se zobrazeá ástka p 25 li²ila od skute é p 25 o mé eº koruu Odchylku výsledku operace provád é po íta em od výsledku operace, který bychom m li dostat p i absolut p esých výpo tech, budeme oza ovat písmekem ε, a to bude mít v idexu p íslu²é po adové íslo operace Odchylka ε m ºe být kladá ebo záporá podle toho, zda se zaokrouhlí ahoru ebo dol Tedy p = e + ε = p + ε p 2 = 2 p ) + ε 2, a odtud p 2 = 2p + ε ) + ε 2 = p 2 + 2ε + ε 2 p 3 = 3 p 2 ) + ε 3, a odtud p 3 = 3p 2 + 2ε + ε 2 ) + ε 3 = p ε + 3ε 2 + ε 3 p 4 = 4 p 3 ) + ε 4, a odtud p 4 = p ε + 4 3ε 2 + 4ε 3 + ε 4 atd Nakoec odvodíme p 25 = 25 p 24 ) + ε 25 = p !ε + 25! 2 ε ! 2 3 ε ! ε ε 25 Rozdíl mezi skute ou hodotou p 25 a vypo ítaou hodotou p 25, tj celková chyba = 25! ε + 2! ε 2 + 3! ε 3 + 4! ε ) 25! ε 25 Kdybychom m li zaru eo, ºe velikosti ε ep esáhou hodotu 0 N to lze docílit tím, ºe budeme zaokrouhlovat a N platých desetiých míst), bude chyba v absolutí hodot me²í eº chyba 25! + 2! + 3! + 4! + + ) 0 N < 25! 0 N e 25! 2 Na prví pohled p ekvapí, ºe pro volbu p esosti výpo tu D = 2 a D = 22 dostaeme stejou a p esto esprávou) hodotu p 25 ƒteá si sad vysv tlí teto jev, kdyº se podívá a 2 íslici za desetiou árkou v zápisu ísla e

5 Bude-li tedy N alespo tak velké, ºe 25! 0 N e <, budeme mít zaru eo, ºe chyba výsledku je me²í eº jeda Nejme²í takové N je N = 26 Tedy pro a²i úlohu je t eba po ítat s 26 místy za desetiou árkou A co dodat akoec? Na²e úloha byla velice jedoduchá, v podstat se v í 25 krát ásobilo Skute é úlohy z praxe kostruktér letadel ebo jaderých elektráre, tv rc model pro p edpov di po así ebo pro pláováí let do kosmu jsou daleko sloºit j²í ƒíslo 0 0 provád ých operací eí ijak eobvyklý po et Proto d sledá aalýza umerických chyb je ezbytou sou ástí kaºdého ²pi kového softwarového produktu Komer abízeé programy ám velice usad ují práci, musíme si v²ak být v domi i jejich e vºdy a prví pohled z ejmých omezeí Traduje se, ºe v hlasý matematik Householder zakladatel oboru umerická matematika ikdy ecestoval letadlem Prý si byl aº moc dob e v dom, kde v²ude mohlo p i výpo tech spojeých s kostrukcí letadel dojít k chyb Pouºitá literatura: O Odvárko, Matematika pro gymázia, Poslouposti a ady, Prometheus, S Po²ta, P Po²ta, Aalýza v p íkladech, skriptum ƒvut, 2009